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  • 1 Matemticas Financieras
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  • Concepto de Matemticas Financieras Las Matemticas Financieras estudian el conjunto de conceptos y tcnicas cuantitativas de anlisis tiles para la evaluacin y comparacin econmica de alternativas relativas a inversin, financiacin y operacin, para lograr decisiones que relacionen las mejores posibilidades entre las que se tienen en consideracin. 2
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  • Como Herramienta Financiera es til para: Determinar el costo de una alternativa de financiacin. Determinar la rentabilidad de una inversin. Establecer planes de financiacin cuando se vende a crdito a los clientes. Seleccionar el mejor plan para amortizar deudas. Calcular el Costo de Capital. 3 Concepto de Matemticas Financieras
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  • Concepto de Equivalencia El concepto de equivalencia es la base para poder comparar, en trminos monetarios, dos o ms propuestas de inversin. Dos valores diferentes ubicados en diferentes momentos del tiempo, pueden ser, para un inversionista particular, indiferentes. Cuando usted acepta recibir $130,000 dentro de un ao a cambio de no recibir $100,000 hoy, est aceptando que esos dos valores son equivalentes, es decir indiferentes, en el sentido de que cualquiera de las dos opciones lo dejara a usted satisfecho. 4
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  • Concepto de Inters Cuando la riqueza obtenida en un periodo se relaciona con el capital inicialmente comprometido para producirla, obtenemos lo que universalmente se denomina el inters. Por lo tanto, podemos definir el inters como la utilidad o ganancia que genera el capital. El inters se devenga sobre la base de un tanto por ciento del capital y en relacin con el nmero de periodos de tiempo en que se disponga del capital. El inters depende de tres factores fundamentales: el capital, la tasa de inters y el tiempo. 5
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  • Inters Simple y Compuesto Existen dos clases de inters: simple y compuesto. Inters simple. Cuando los intereses no devengan ms inters, es decir no son capitalizables. Inters compuesto. Cuando los intereses devengan ms intereses, es decir, los intereses son capitalizables, se van acumulando al final de cada periodo, incrementando el valor del capital posedo. La diferencia en la forma de operar con inters simple e inters compuesto se puede apreciar a travs del siguiente ejemplo 6
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  • Inters Simple y Compuesto 7
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  • Ejercicio de Inters Simple 8 0 1 2 $100,000 $148,000
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  • Ejercicio de Inters Compuesto 9 0 1 2 $100,000 $153,760
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  • Tasas de Inters Compuesto Inters Peridico Inters Nominal Anual Inters Anticipado Tasas efectivas anuales 10
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  • Tasa Peridica ( i p ) Es la tasa que se devenga en un perodo de conversin o de pago de intereses. La tasa peridica es la que siempre se considera en la solucin de problemas financieros. Se indica directamente el inters (%) y el perodo en el cual se aplica, sin relacionarlo con un perodo diferente. Puede ser expresada como: 2% mensual, 32% anual, 9% Ta, (trimestre anticipado). 11
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  • Tasa Nominal ( i n ) Hace mencin a un perodo que se toma como referencia y a un perodo de pago de intereses. No es una tasa efectiva, por lo tanto, se debe ser muy cuidadoso cuando la informacin recibida es una tasa nominal. La relacin entre una tasa nominal y una tasa peridica est dada por la siguiente expresin: i p = i n /m ; i p = tasa peridica; m = nmero de perodos de conversin en el perodo de referencia; i n = inters nominal; i n = m x i p 12
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  • Tasa Nominal ( i n ) Ejemplo1: i n = 32% anual convertible semestralmente. Anual es el perodo de referencia. Semestralmente es el perodo de conversin o de pago de intereses o de capitalizacin. i p = i n /m = 32%/ 2 = 16% semestral. Ejemplo 2: i n = 24% anual convertible mensualmente. La tasa peridica mensual es: i p = i n /m = 24%/ 12 = 2% mensual. 13
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  • Tasa Nominal ( i n ) Ejemplo 3: i n = 42% en un ao y medio convertible trimestralmente. i p = 42% / 6 = 7% trimestral. Ejemplo 4: i n = 32% anual convertible diariamente. i p = i n /m = 32% / 365 = 0.087% diario. Ejemplo 5: A qu tasa semestral convertible mensualmente es equivalente el 2% mensual?. En este caso se conoce la tasa peridica y se desea conocer una tasa nominal. i n = i p x m = 2% x 6 = 12% semestral convertible mensualmente. 14
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  • Tasa Efectiva ( i e ) Algunas veces se desea conocer la tasa de inters que realmente se devenga en un perodo de referencia dado. Esta tasa se denomina tasa efectiva i e. As, por ejemplo, se tiene la tasa nominal i n = 32% anual capitalizable semestralmente. De esta informacin se sabe inmediatamente la tasa peridica: i p = 32% / 2 = 16% semestral En forma efectiva cada semestre se paga el 16%. 15
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  • Tasa Efectiva ( i e ) 16 Los diagramas de flujo, correspondientes a cada una de las dos situaciones anteriores son: 0 123 m F P.... ipip m F = P(1+i p ) 0 F 1 Perodos de conversin ieie Perodos de referencia 1 F = P(1+ i e )
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  • Tasa Efectiva ( i e ) 17 m Al comparar ( 1 ) y ( 2 ): P (1 + i p ) = P (1 + i e ) m tenemos : (1 + i p ) = (1 + i e ) i p corresponde al perodo ms pequeo i e corresponde al perodo ms grande Tanto i p como i e son tasas efectivas vencidas, m o sea que la expresin (1 + i p ) = (1 + i e ) relaciona tasas efectivas vencidas.
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  • Tasa Efectiva ( i e ) Ejemplo 6: a qu tasa efectiva anual es equivalente el 32% anual capitalizable semestralmente? Solucin: la informacin suministrada es una tasa nominal, a partir de la cual se puede conocer la tasa peridica semestral. i p = 32% / 2 = 16% semestral. Para hallar la tasa efectiva anual se debe utilizar la frmula: : i e = [(1 + i p )^m -1] i e = (1 + 0.16) - i e = 1.3456 - 1 i e = 0.3456 = 34.56% 18
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  • Tasa Efectiva ( i e ) Ejemplo 7: a qu tasa efectiva anual es equivalente el 2% mensual? Solucin: En este caso, se debe utilizar la frmula i e = [(1 + i p )^m -1], en la cual se conoce la tasa efectiva del perodo de mayor duracin: i p = 2% mensual i e = [(1 + 0.02)^12 -1] i e = 1.2682 - 1 i e = 0.2682 i e = 26.82% anual 19
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  • Tasa Efectiva ( i e ) Ejemplo 8: a qu tasa mensual es equivalente el 32% ea? Solucin: ( 1 + i e ) = ( 1 + i p ) ^m En este caso se conoce la tasa efectiva correspondiente al perodo de mayor duracin: i e = 32% anual (1 + 0.32 ) = (1 + i p )^12 1.32 = (1 + i p )^12 (1.32)^1/12 = 1 + i p 1.0234057 = 1 + i p i p = 1.0234057 - 1 i p = 0.023457 i p = 2.3457% mensual ip = [(1+ie)^(1/m)-1] 20
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  • Tasa Efectiva ( i e ) Ejemplo 9: a qu tasa anual capitalizable semestralmente es equivalente el 36% anual convertible mensualmente? Solucin: la solucin se planifica como sigue: A partir de la tasa nominal anual capitalizable mensualmente se obtiene la tasa peridica mensual aplicando ip = in/m Con la tasa peridica mensual se obtiene la tasa efectiva anual, mediante (1+i e )= (1 + i p )^m para 12 capitalizaciones al ao. Despus de conocer la tasa efectiva anual, se obtiene la tasa peridica semestral para dos capitalizaciones por ao. Con la tasa peridica semestral se obtiene la tasa nominal anual convertible semestralmente aplicando in= ip x m 1 ) i p = 36% / 12 = 3% mensual 2 ) (1 + i e ) = (1 + 0.03 )^12 ; i e = 1.4258 -1 ; i e = 42.58% EA 3) (1+ 0.4258) = (1+ ip)^2 ;ip = (1.4258)^1/2 -1 = 19.4% Semestral 4) i n = i p x m ; i n = 19.405% x 2 = 38.81% Anual CS 21
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  • Trminos del Mercado Financiero Colombiano Tasa de captacin: O tasa pasiva, tasa que pagan las entidades a los ahorradores. Tasa de Colocacin: O tasa activa, tasa que cobran las entidades financieras por sus prestamos. DTF: Promedio ponderado semanal de las tasas de captacin de los certificados de depsito a trmino CDT a 90 das con intereses anticipados de las entidades financieras. 22
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  • Trminos del Mercado Financiero Colombiano TCC: Promedio de las tasas de captacin de los depsitos a 90 das CDT hechos en las Corporaciones Financieras nicamente. CDAT: Depsitos a trmino fijo colocados a menos de un mes. Pagan una tasa menor que los CDT. TBS: Tasa Bsica del Sector, se calcula diariamente sobre el promedio de las tasas de los CDAT y de los CDT de cada sector. 23
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  • Trminos del Mercado Financiero Colombiano Margen de Intermediacin: Es la diferencia entre las tasas activas y pasivas o tasas de colocacin menos tasas de captacin. Inflacin: Proceso econmico que representa un aumento general de precios dentro de un pas. IPC: ndice de Precios al Consumidor. IPP: ndice de Precios al Productor. Retencin en la Fuente Rendimientos Financieros: 7% deducido del valor de los intereses devengados. 24
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  • VALOR FUTURO 25 123 P = $10,000 F = ? 045 Ejemplo 1: Hallar el valor futuro de $10,000 invertidos al 2% mensual de inters compuesto durante 18 meses: 18 i = 2% mensual
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  • VALOR FUTURO 26 123 P = $10,000 F = ? 045 Ejemplo 1: Hallar el valor futuro de $10,000 invertidos al 2% mensual de inters compuesto durante 18 meses: Solucin: F = P ( 1 + i ) ^n F = 10,000 (1 + 0.02 ) ^18 F = 10,000 ( 1.4282462) F = $14,282.462 18 i = 2%