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Semestre 3

Fascculo

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Matemticas

Financieras

Matemticas

financieras Semestre 3

Matemticas financieras

Matemticas financieras

Semestre 3

Tabla de contenido Pgina

Introduccin 1

Conceptos previos 1

Mapa conceptual fascculo 4 2

Logros 2

Series uniformes o anualidades 3

Generalidades 3

Anualidad vencida 4

Valor futuro 5

Valor presente 7

Anualidad anticipada 12

Valor futuro 12

Valor presente 13

Anualidad diferida 15

Actividad de trabajo colaborativo 18

Resumen 18

Bibliografa recomendada 19

Nexo 19

Seguimiento al autoaprendizaje 21

Crditos: 3

Tipo de asignatura: Terico Prctica

Matemticas

financieras Semestre 3

Matemticas financieras

Copyright2008 FUNDACIN UNIVERSITARIA SAN MARTN

Facultad de Universidad Abierta y a Distancia,

Educacin a Travs de Escenarios Mltiples

Bogot, D.C.

Prohibida la reproduccin total o parcial sin autorizacin

por escrito del Presidente de la Fundacin.

La redaccin de este fascculo estuvo a cargo de

CARLOS FERNANDO COMETA HORTA

Tutor Programa Administracin de Empresas

Sede Bogot, D.C.

Revisin de estilo y forma;

ELIZABETH RUIZ HERRERA

Directora Nacional de Material Educativo.

Diseo grfico y diagramacin a cargo de

SANTIAGO BECERRA SENZ

ORLANDO DAZ CRDENAS

Impreso en: GRFICAS SAN MARTN

Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825

Bogot, D.C., Octubre de 2009.

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Fascculo No. 4

Semestre 3

Matemticas financieras

Matemticas

financieras

Introduccin

Un tema fundamental de las Matemticas Financieras bsicas es el que se

deriva de transacciones donde intervienen varias sumas de dinero. Dentro

de estas operaciones surgen elementos que permiten abreviar las rela-

ciones cuando estas sumas son iguales y se dan en los mismos intervalos

de tiempo.

La mayora de crditos comerciales, tarjetas de crdito, cuotas de ahorro

programado, entre otras, son aplicaciones concretas que sern abordadas

en este fascculo. Para ello, se analizarn diferentes variaciones en los pla-

zos, tasas de inters e intenciones de consolidar informacin en diferentes

momentos de la serie de pagos.

La gestin financiera requiere un adecuado manejo de estas operaciones,

que estn a la orden del da tanto en el plano personal como organiza-

cional.

Conceptos previos

El estudiante deber comprender y aplicar conceptos de Inters Com-

puesto donde se incluyen las relaciones existentes en las tasas de inters y

construccin de ecuaciones de valores equivalentes.

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Matemticas financieras

Matemticas

financieras

Fascculo No. 4

Semestre 3

Series Fijas o Anualidades

Inters Compuesto

A partir del

Se generan operaciones de

dentro de las cuales se presentan

Anualidades Anticipadas

Anualidades

Vencidas

con algunas variantes en

Anualidades Diferidas

Mapa conceptual fascculo 4

Al finalizar el estudio del presente fascculo, el estudiante estar en capa-

cidad de:

Interpretar y proponer soluciones a problemas complejos donde inter-

vienen pagos iguales a igual intervalo de tiempo y con diferentes tasas de

inters.

Argumentar la pertinencia en el uso y construccin de ecuaciones y gr-

ficas de tiempo y valor para la resolucin de problemas de anualidades.

Evaluar el alcance del desarrollo de competencias en el manejo de series

fijas, como condicin para gestionar con suficiencia crditos financieros y

otras operaciones a plazos.

Reconocer las operaciones crediticias en las formas expresadas mediante

series fijas y sus variaciones frente a los plazos, tasas y momentos de

pago.

LogrosLogrosLogros

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Matemticas financieras

Matemticas

financieras

Fascculo No. 4

Semestre 3

Series uniformes o anualidades

Se conocen como Series Uniformes, aquellos pagos de igual valor que

ocurren a intervalos iguales de tiempo. Comercialmente es comn llamar-

les anualidades, aunque su prctica no necesariamente responde a pero-

dos de ao y su periodicidad puede ser mensual, bimensual, trimestral,

semestral, entre otros. Por ejemplo, las cuotas fijas de un crdito bancario,

el canon de arrendamiento de un local comercial, los pagos semestrales

de primas, etc., ocurren en perodos diferentes (menores) al ao.

En este fascculo se analizarn diferentes clases de anualidades, calcu-

lando sobre cada una de ellas su Valor Presente y su Valor Futuro, as

como las precisiones de manejo a que haya lugar.

Generalidades

Para considerar que un conjunto de pagos (ingresos o egresos) sea una

anualidad, y se puedan utilizar las frmulas abreviadas que se han

construido para estos fines, se requieren tres condiciones: que los pagos

tengan el mismo valor, que se encuentren a intervalos iguales de tiempo y

que para todos ellos opere una sola tasa de inters.

Es abundante la clasificacin de las anualidades: respecto del momento de

inicio de los pagos se encuentran las anualidades ciertas, en las que el

inicio y fin de los pagos se realizan en fechas determinadas; y contin-

gentes, cuando se requiera del cumplimiento de una condicin o suceso

para el inicio, cuya fecha se desconoce.

Dentro de las alternativas de Anualidades Ciertas, las ms comunes y

sobre las cuales se centrar la atencin en este fascculo son:

Anualidades Vencidas: en las que los pagos se realizan al final del

perodo.

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Matemticas financieras

Matemticas

financieras

Fascculo No. 4

Semestre 3

Anualidades Anticipadas: en las que los pagos se realizan al principio

del perodo.

Anualidades Diferidas: en las que transcurre un determinado nmero de

perodos (perodo de gracia) antes de iniciar la serie de pagos.

Para una mejor comprensin de las Series Uniformes o Anualidades, se

utilizar la siguiente notacin:

VP = Valor Presente de la anualidad

VF = Valor Futuro de la anualidad

R = Renta o Cantidad Uniforme Peridica: Es el valor de cada pago

i = Tasa de Inters

n = Nmero de Pagos Peridicos

Anualidad Vencida

De acuerdo con la clasificacin planteada, se abordar el anlisis de una

anualidad cierta, vencida y sin diferir el inicio de los pagos. Sobre la

anualidad es posible calcular al menos dos momentos de consolidacin de

todos sus valores: al principio de la serie de pagos (Valor Presente de la

Anualidad) y al fin de la serie de pagos (Valor Futuro).

Es muy importante tener en cuenta estas reglas de ubicacin de los

resultados de la anualidad:

El Valor Presente de una anualidad vencida se ubica un perodo antes

del primer pago.

El Valor Futuro de una anualidad vencida se ubica justo en el ltimo

pago.

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Matemticas financieras

Matemticas

financieras

Fascculo No. 4

Semestre 3

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X

3

1.200.000 1.200.000 1.200.000 1.200.000

0 1

Valor Futuro

Es el valor que resulta de la suma de todos los montos compuestos de los

pagos, acumulados al final de la serie, utilizando para ello frmulas de

valor futuro a Inters Compuesto.

La frmula de Valor Futuro para una anualidad vencida es:

i

iRVF

n 1)1( (Frmula 4.1)

Ejemplo 1

Si al final de cada trimestre se realizan depsitos en un fondo por valor de

$1.200.000 durante 4 perodos y se pacta una tasa de rendimiento del 2%

trimestral, Cunto tendr acumulado al final?

Los datos en el caso que se analiza son:

R = $1.200.000 i = 0,02 trimestral

n = 4

Figura 4.1 Representacin grfica de la anualidad Ejemplo 1.

Obsrvese en la figura 4.1 que el Valor Futuro de la anualidad coincide con

el momento del ltimo pago, tal como se expres en las reglas de

ubicacin de una Anualidad Vencida.

Se calcula el Valor Futuro de la anualidad, para lo cual se trasladan todos

los depsitos al final del cuarto trimestre, de acuerdo con la frmula 4.1,

as:

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Matemticas financieras

Matemticas

financieras

Fascculo No. 4

Semestre 3

i

iRVF

n 1)1( =

02,0

1)02,01(*000.200.1

4

VF = 4.945.929,60

Respuesta: El valor acumulado al final de los depsitos (Valor Futuro) es

de $4.945.92960

Ahora se explicar el comportamiento de la anualidad, calculando el valor

futuro de cada Renta (R) por separado. Se trata de

VF = R1 (Valor Futuro durante 3 trimestres) + R2 (Valor Futuro durante 2

trimestres) +

R3 (Valor Futuro durante 1 trimestres) + R4

VF = 1.200.000(1+0,02)3 + 1.200.000(1+0,02)2 +

1.200.000(1+0,02)1

+ 1.200.000

VF = 1.273.449,60 + 1.248.480 + 1.224.000 + 1.200.000

VF = 1.273.449,60 + 1.248.480 + 1.224.000 + 1.200.000

VF = 4.945.929,60

Este resultado confirma que el valor acumulado al final de los depsitos

(Valor Futuro)