Matemáticas Financieras - · PDF fileMatemáticas financieras 1 Fascículo...

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  • 1

    Semestre 3

    Fascculo

    4

    Matemticas

    Financieras

  • Matemticas

    financieras Semestre 3

    Matemticas financieras

  • Matemticas financieras

    Semestre 3

    Tabla de contenido Pgina

    Introduccin 1

    Conceptos previos 1

    Mapa conceptual fascculo 4 2

    Logros 2

    Series uniformes o anualidades 3

    Generalidades 3

    Anualidad vencida 4

    Valor futuro 5

    Valor presente 7

    Anualidad anticipada 12

    Valor futuro 12

    Valor presente 13

    Anualidad diferida 15

    Actividad de trabajo colaborativo 18

    Resumen 18

    Bibliografa recomendada 19

    Nexo 19

    Seguimiento al autoaprendizaje 21

    Crditos: 3

    Tipo de asignatura: Terico Prctica

  • Matemticas

    financieras Semestre 3

    Matemticas financieras

    Copyright2008 FUNDACIN UNIVERSITARIA SAN MARTN

    Facultad de Universidad Abierta y a Distancia,

    Educacin a Travs de Escenarios Mltiples

    Bogot, D.C.

    Prohibida la reproduccin total o parcial sin autorizacin

    por escrito del Presidente de la Fundacin.

    La redaccin de este fascculo estuvo a cargo de

    CARLOS FERNANDO COMETA HORTA

    Tutor Programa Administracin de Empresas

    Sede Bogot, D.C.

    Revisin de estilo y forma;

    ELIZABETH RUIZ HERRERA

    Directora Nacional de Material Educativo.

    Diseo grfico y diagramacin a cargo de

    SANTIAGO BECERRA SENZ

    ORLANDO DAZ CRDENAS

    Impreso en: GRFICAS SAN MARTN

    Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825

    Bogot, D.C., Octubre de 2009.

  • 1

    Fascculo No. 4

    Semestre 3

    Matemticas financieras

    Matemticas

    financieras

    Introduccin

    Un tema fundamental de las Matemticas Financieras bsicas es el que se

    deriva de transacciones donde intervienen varias sumas de dinero. Dentro

    de estas operaciones surgen elementos que permiten abreviar las rela-

    ciones cuando estas sumas son iguales y se dan en los mismos intervalos

    de tiempo.

    La mayora de crditos comerciales, tarjetas de crdito, cuotas de ahorro

    programado, entre otras, son aplicaciones concretas que sern abordadas

    en este fascculo. Para ello, se analizarn diferentes variaciones en los pla-

    zos, tasas de inters e intenciones de consolidar informacin en diferentes

    momentos de la serie de pagos.

    La gestin financiera requiere un adecuado manejo de estas operaciones,

    que estn a la orden del da tanto en el plano personal como organiza-

    cional.

    Conceptos previos

    El estudiante deber comprender y aplicar conceptos de Inters Com-

    puesto donde se incluyen las relaciones existentes en las tasas de inters y

    construccin de ecuaciones de valores equivalentes.

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    Matemticas financieras

    Matemticas

    financieras

    Fascculo No. 4

    Semestre 3

    Series Fijas o Anualidades

    Inters Compuesto

    A partir del

    Se generan operaciones de

    dentro de las cuales se presentan

    Anualidades Anticipadas

    Anualidades

    Vencidas

    con algunas variantes en

    Anualidades Diferidas

    Mapa conceptual fascculo 4

    Al finalizar el estudio del presente fascculo, el estudiante estar en capa-

    cidad de:

    Interpretar y proponer soluciones a problemas complejos donde inter-

    vienen pagos iguales a igual intervalo de tiempo y con diferentes tasas de

    inters.

    Argumentar la pertinencia en el uso y construccin de ecuaciones y gr-

    ficas de tiempo y valor para la resolucin de problemas de anualidades.

    Evaluar el alcance del desarrollo de competencias en el manejo de series

    fijas, como condicin para gestionar con suficiencia crditos financieros y

    otras operaciones a plazos.

    Reconocer las operaciones crediticias en las formas expresadas mediante

    series fijas y sus variaciones frente a los plazos, tasas y momentos de

    pago.

    LogrosLogrosLogros

  • 3

    Matemticas financieras

    Matemticas

    financieras

    Fascculo No. 4

    Semestre 3

    Series uniformes o anualidades

    Se conocen como Series Uniformes, aquellos pagos de igual valor que

    ocurren a intervalos iguales de tiempo. Comercialmente es comn llamar-

    les anualidades, aunque su prctica no necesariamente responde a pero-

    dos de ao y su periodicidad puede ser mensual, bimensual, trimestral,

    semestral, entre otros. Por ejemplo, las cuotas fijas de un crdito bancario,

    el canon de arrendamiento de un local comercial, los pagos semestrales

    de primas, etc., ocurren en perodos diferentes (menores) al ao.

    En este fascculo se analizarn diferentes clases de anualidades, calcu-

    lando sobre cada una de ellas su Valor Presente y su Valor Futuro, as

    como las precisiones de manejo a que haya lugar.

    Generalidades

    Para considerar que un conjunto de pagos (ingresos o egresos) sea una

    anualidad, y se puedan utilizar las frmulas abreviadas que se han

    construido para estos fines, se requieren tres condiciones: que los pagos

    tengan el mismo valor, que se encuentren a intervalos iguales de tiempo y

    que para todos ellos opere una sola tasa de inters.

    Es abundante la clasificacin de las anualidades: respecto del momento de

    inicio de los pagos se encuentran las anualidades ciertas, en las que el

    inicio y fin de los pagos se realizan en fechas determinadas; y contin-

    gentes, cuando se requiera del cumplimiento de una condicin o suceso

    para el inicio, cuya fecha se desconoce.

    Dentro de las alternativas de Anualidades Ciertas, las ms comunes y

    sobre las cuales se centrar la atencin en este fascculo son:

    Anualidades Vencidas: en las que los pagos se realizan al final del

    perodo.

  • 4

    Matemticas financieras

    Matemticas

    financieras

    Fascculo No. 4

    Semestre 3

    Anualidades Anticipadas: en las que los pagos se realizan al principio

    del perodo.

    Anualidades Diferidas: en las que transcurre un determinado nmero de

    perodos (perodo de gracia) antes de iniciar la serie de pagos.

    Para una mejor comprensin de las Series Uniformes o Anualidades, se

    utilizar la siguiente notacin:

    VP = Valor Presente de la anualidad

    VF = Valor Futuro de la anualidad

    R = Renta o Cantidad Uniforme Peridica: Es el valor de cada pago

    i = Tasa de Inters

    n = Nmero de Pagos Peridicos

    Anualidad Vencida

    De acuerdo con la clasificacin planteada, se abordar el anlisis de una

    anualidad cierta, vencida y sin diferir el inicio de los pagos. Sobre la

    anualidad es posible calcular al menos dos momentos de consolidacin de

    todos sus valores: al principio de la serie de pagos (Valor Presente de la

    Anualidad) y al fin de la serie de pagos (Valor Futuro).

    Es muy importante tener en cuenta estas reglas de ubicacin de los

    resultados de la anualidad:

    El Valor Presente de una anualidad vencida se ubica un perodo antes

    del primer pago.

    El Valor Futuro de una anualidad vencida se ubica justo en el ltimo

    pago.

  • 5

    Matemticas financieras

    Matemticas

    financieras

    Fascculo No. 4

    Semestre 3

    42

    X

    3

    1.200.000 1.200.000 1.200.000 1.200.000

    0 1

    Valor Futuro

    Es el valor que resulta de la suma de todos los montos compuestos de los

    pagos, acumulados al final de la serie, utilizando para ello frmulas de

    valor futuro a Inters Compuesto.

    La frmula de Valor Futuro para una anualidad vencida es:

    i

    iRVF

    n 1)1( (Frmula 4.1)

    Ejemplo 1

    Si al final de cada trimestre se realizan depsitos en un fondo por valor de

    $1.200.000 durante 4 perodos y se pacta una tasa de rendimiento del 2%

    trimestral, Cunto tendr acumulado al final?

    Los datos en el caso que se analiza son:

    R = $1.200.000 i = 0,02 trimestral

    n = 4

    Figura 4.1 Representacin grfica de la anualidad Ejemplo 1.

    Obsrvese en la figura 4.1 que el Valor Futuro de la anualidad coincide con

    el momento del ltimo pago, tal como se expres en las reglas de

    ubicacin de una Anualidad Vencida.

    Se calcula el Valor Futuro de la anualidad, para lo cual se trasladan todos

    los depsitos al final del cuarto trimestre, de acuerdo con la frmula 4.1,

    as:

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    Matemticas financieras

    Matemticas

    financieras

    Fascculo No. 4

    Semestre 3

    i

    iRVF

    n 1)1( =

    02,0

    1)02,01(*000.200.1

    4

    VF = 4.945.929,60

    Respuesta: El valor acumulado al final de los depsitos (Valor Futuro) es

    de $4.945.92960

    Ahora se explicar el comportamiento de la anualidad, calculando el valor

    futuro de cada Renta (R) por separado. Se trata de

    VF = R1 (Valor Futuro durante 3 trimestres) + R2 (Valor Futuro durante 2

    trimestres) +

    R3 (Valor Futuro durante 1 trimestres) + R4

    VF = 1.200.000(1+0,02)3 + 1.200.000(1+0,02)2 +

    1.200.000(1+0,02)1

    + 1.200.000

    VF = 1.273.449,60 + 1.248.480 + 1.224.000 + 1.200.000

    VF = 1.273.449,60 + 1.248.480 + 1.224.000 + 1.200.000

    VF = 4.945.929,60

    Este resultado confirma que el valor acumulado al final de los depsitos

    (Valor Futuro)