ELEMENTOS DE MATEMATICA´ - Universidad CAECE · segundo lugar, porque la historia de la Revista...

ELEMENTOS DE

MATEMATICA

Publicacion didactico cientıfica editada

por la UNIVERSIDAD CAECE

VOLUMEN XXIII - NUMERO 82

Septiembre de 2017

ELEMENTOS DE MATEMATICA

Propietario: Fundacion CAECEPublicacion didactico cientıfica

editada por la Universidad CAECEsemestral.

Redaccion y administracionAv. de Mayo 866 - CP: 1067

CABA, ArgentinaTel: (011) 5252-2800

e-mail: [email protected]

Comite Editorial:Dr. Daniel PrelatDr. Cesar Massri

Dr. Federico Quallbrunn

Comite Cientıfico:Dr. Efim ZelmanovDr. Arturo PianzolaDr. Philippe Gille

Dr. Fernando Cukierman

Diagramacion:Dr. Cesar Massri

Secretaria:Lic. Mayra Valije

ELEMENTOS DEMATEMATICA

PUBLICACION DIDACTICO-CIENTIFICA

DE LA UNIVERSIDAD CAECE

VOLUMEN XXIII - NUMERO 82

Septiembre de 2017

SUMARIO

Prologo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Editorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Noticias matematicas . . . . . . . . . . . 4

Problemas de olimpiadas de matematicasformulados por olımpicos . . . . . . . . . 6

Funciones Abelianas y Curvas Algebraicas(una introduccion a las curvas algebraicas)Dr. Federico Quallbrunn . . . . . . . . . . . 7

Problemas para pensar . . . . . . . . . . 22

Brazo Robotico de UCAECEProf. Marcelo Grippo, Profa. Monica Lordi . . 24

El azar en la vida cotidianaDra. Ferrari, Dra. Kuna, Dr. Martinez, Lic.

Pedersen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

ISSN: 2591-3131

[email protected]

Prologo

Hace 31 anos la Universidad CAECE lanzaba la Revista Elementos deMatematica. Una revista dirigida a la comunidad docente, especialmente, aaquella vinculada a la ensenanza de la Matematica.

Desde su Editor y Consejo Editorial hasta los autores, hacıan de cadanumero de la Revista un ejemplar de Coleccion. Solo basta hacer una lecturade sus paginas para darse cuenta de la profundidad y actualidad de lo allıescrito.

Luego de varios anos de ausencia, y considerando la importancia de seguirtrabajando para acompanar y dar soporte a los educadores de la Matematica,la Universidad CAECE, en el ano de su quincuagesimo aniversario, decidevolver a poner a disposicion de la comunidad academica la Revista Elementosde Matematica con un formato totalmente renovado.

La Revista sera digital con una frecuencia semestral. Contara con diversassecciones, tales como: Problemas de olimpıadas de matematica formuladospor olımpicos, La Biblioteca, Problemas para pensar, Noticas matematicas,La computacion como recurso, diversos artıculos de divulgacion originalesformulados por matematicos reconocidos a nivel nacional e internacional, entreotras secciones.

La Revista sera gratuita y estara disponible en la web de la Universidad,junto a sus numeros anteriores.

Su Editor es el Dr. Daniel Prelat y su Consejo Editor esta compuestopor el Dr. Daniel Prelat, el Dr. Cesar Massri y el Dr. Federico Quallbrunn.Personalidades que con su vocacion demuestran su pasion por la Matematica.

Para concluir este prologo, retomamos un fragmento del texto de laEditorial del Numero LXXVIII de la Revista, para invitar al lector aseguir reflexionando sobre lo allı planteado: “El aprendizaje requiere dialogo,experimentacion, lecturas... De lo contrario, ninguna formacion seria es posible[....] Y sin tiempo, no hay reflexion”.

Esperando que el lector pueda darse el tiempo para la lectura y la reflexionde nuestra renovada Revista, dedicamos este ejemplar al Dr. Jorge Bosch, alProf. Roberto Hernandez, al Prof. Juan Foncuberta y a todos aquellos queparticiparon y jerarquizaron esta Revista a traves de los anos.

Dr. Leonardo F. GargiuloRector

Editorial

Me fue conferido el honor de escribir este editorial, y debo confesar queno me resulta nada sencillo hacerlo. En primer lugar, porque no puedo aunintuir al lector de la Revista en esta nueva etapa, en este renacimiento. Ensegundo lugar, porque la historia de la Revista acompano a la de nuestraUniversidad desde hace unos treinta anos, y yo estoy en esta casa desdeese entonces. Primero como alumno, luego como profesor y, actualmente,como director del Departamento de Matematica. Son muchos recuerdos yla nostalgia es inevitable. Respecto del lector, voy a asumir que el nuevopublico es tan heterogeneo como el anterior, pero con algunas diferencias. Esnuestro deseo que el publico habitual se mantenga, y que la Revista siga siendoleıda, apreciada y utilizada por numerosos profesores de ensenanza media.Pero, tambien, que se incorporen al publico lector alumnos avanzados de laslicenciaturas en Matematica. En este sentido, hemos incluido en este numeroalgunos problemas orientados a este publico. En cuanto a los recuerdos, nopuedo dejar de mencionar dos nombres asociados con los orıgenes mismos dela Universidad (en ese entonces, era el Centro de Altos Estudios en CienciasExactas) y de la Revista: el Profesor Roberto Hernandez y el Profesor JorgeBosch. Durante muchos anos llevaron adelante la Revista y nuclearon en tornode ellos a muchos colaboradores, algunos de los cuales marcaron la evolucion dela Matematica en la Argentina durante varios decenios, como, por ejemplo, LuisA. Santalo y Enzo Gentile. Posteriormente, se fueron incorporando nuevasgeneraciones de colaboradores, algunos durante varios anos, como HectorGuersenzvaig, Juan Foncuberta, Francisco Villaverde, Hector Perez y el autorde estas lıneas. El alma mater de la Revista en esa epoca fue Mariana Ortega,su incansable editora durante varios anos.

Muchas cosas pasaron en el mundo desde entonces (guerras, hambrunasy otras catastrofes humanas). Pero la civilizacion avanza por caminos muchomas sutiles, menos escandalosos y, por lo tanto, menos publicitados. Me estoyrefiriendo, obviamente, a los acontecimientos artısticos, literarios y cientıficos.En el devenir matematico podemos citar, por ejemplo, la demostracion del granteorema de Fermat, la resolucion de la conjetura de Poincare, la teorıa de lasalgebras de Lie semisimples y la clasificacion completa de los grupos simplesfinitos. Estos son dos hermosos ejemplos de hazanas

logradas por numerosos matematicos a lo largo de varios siglos. Unacontecimiento que no puede dejar de mencionarse es el surgimiento y explosionde las redes de comunicacion e interconexion de computadoras. Su impacto enla sociedad planetaria todavıa esta por estimarse en su verdadera magnitud, ysu analisis corresponde a los especialistas. En lo que a la Revista se refiere,precisamente, tenemos que mencionar que su renacimiento se produce en formadigital, como si se tratara de una reencarnacion. El responsable directo deeste renacimiento es el actual Rector de la Universidad. Fue el generador delimpulso inicial y conto inmediatamente con la colaboracion entusiasta de CesarMassri y Federico Qualbrunn.

Por ultimo, el tema que siempre estuvo presente en todos los numeros dela Revista, sin excepcion, es la educacion y la ensenanza de la Matematica. Esevidente que nuestro paıs tiene mucho camino por construir – y reconstruir -en esta materia. Esta situacion es el motivo principal de nuestra apuesta,valoracion y acompanamiento para aquellos profesores que han decididoemprender ese camino, con verdadera vocacion de estudiar y transmitirsus conocimientos de esta disciplina infinita que tanto nos apasiona: laMatematica.

Dr. Daniel PrelatDirector del Departamento de Matematica

4 Noticias matematicas

Noticias matematicas

En esta seccion recopilamos noticias de interes a todo el espectro de la comunidad matematica quehayan ocurrido en los ultimos meses

• En el blog Matroid’s Union aparece una explicacion de la muy reciente demostracion dela conjetura de Rota, que constituıa uno de los problemas abiertos mas importantes encombinatoria.

Link: http://matroidunion.org/?p=146.

• En un artıculo reciente de Kannan Soundararajan y Robert Lemke Oliver se descubre unpatron en las cifras con las que terminan los numeros primos, hecho que resulta sorprendentedado que se intuıa que las cifras de los numeros primos se comportaban de manera “aleatoria”.

Link: Mathematicians shocked to find pattern in random prime numbers.

• Dos notas muy interesantes en la pagina de la American Mathematical Society conectan latopologıa de superficies con la musica de J.S. Bach.

Links: http://www.ams.org/samplings/feature-column/fc-2016-10,

http://www.ams.org/samplings/feature-column/fc-2017-05

• El primero de junio de 2017 se realizo la quinta Competencia Interuniversitaria Argentina.En el sitio https://sites.google.com/site/competenciacima/ pueden consultarse losenunciados de los problemas y los resultados de la competencia.

• Desde el 21 al 25 de agosto se realizo en la Universidad de Alberta, Canada, un congresoen honor a los profesores Arturo Pianzola y Vladimir Chernousov. El Prof. Pianzola es ungraduado y actual colaborador de la Universidad CAECE en donde comenzo sus estudiospoco despues de la fundacion de la universidad.

Link: https://sites.google.com/a/ualberta.ca/lcg/home

• En el marco del festejo de los 50 anos del CAECE, el Encuentro UBA-CAECE de este ano,realizado el 13 y 14 de Septiembre, conto con la presencia de Efim Zelmanov ganador de lamedalla Fields 1994.

Link: http://www.mathunion.org/index.php?id=prizewinners

• Del 11 al 15 de diciembre del 2017 se realizara el primer encuentro conjunto de la RealSociedad Matematica Espanola (RSME) y la Union Matematica Argentina (UMA) en laciudad de Buenos Aires. Este encuentra se realizara junto con la Reunion Anual de la UMA.

Lie Theory, Cohomology, and Geometry in Wildrose Country

Entre el 21 y el 25 de agosto de 2017 se llevo a cabo el encuentro titulado “Lie Theory, Cohomology,and Geometry in Wildrose Country” en honor a Vladimir Chernousov y Arturo Pianzola en laciudad de Edmonton, Alberta en Canada. El objetivo fue celebrar las contribuciones matematicas

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http://matroidunion.org/?p=146

https://www.newscientist.com/article/2080613-mathematicians-shocked-to-find-pattern-in-random-prime-numbers/



https://sites.google.com/site/competenciacima/

https://sites.google.com/a/ualberta.ca/lcg/home

http://www.mathunion.org/index.php?id=prizewinners

ELEMENTOS DE MATEMATICA - Vol. XXIII Nro. 82, Septiembre de 2017 5

de Pianzola y de Chernousov ası tambien como el compromiso que han tenido en la educacion delas nuevas generaciones.

Dada la relevancia que el Prof. Pianzola tiene en las matematicas de la Universidad CAECE, elrector Leonardo Gargiulo ha decidido enviar al Prof. Massri del departamento de matematicas delCAECE a participar de dicho encuentro. El Prof. Massri tuvo la oportunidad de compartir ideas eintereses cientıficos con colegas de Canada y de diversas universidades del mundo (Estados Unidos,Inglaterra, Francia, Espana, Suecia, Italia, China, entre otras) y considera que dichos intercambiosseran de gran utilidad para las matematicas del CAECE.

Se podrıa decir que el tema principal del encuentro fue cohomologıa de Galois (consultar en labibliografıa, preferentemente el fantastico libro de Serre). Todos los oradores de dicho encuentrohan hablado maravillas de los trabados de Pianzola y Chernousov y de la influencia que hantenido en sus propias lineas de invenstigacion. Incluso el reconocido matematico Robert Moodyha hablado muy bien sobre los trabajos de su ex-alumno y amigo Arturo Pianzola.

El Prof. Massri destaca dos de las charlas realizadas en este encentro. La charla ofrecida porel Prof. Moody titulada “The 600 cell, an infinite reflection group, and a discretization of SU(2)”y la charla ofrecida por el Prof. Mathieu titulada “On self similarity of τ -groups”.

The 600 cell, an infinite reflection group, and a discretization of SU(2)Prof. Robert Moody

Non-crystallographic root systems, the ones that don’t show up in Lie theory,nonetheless do show up in the physical world, even in crystallography. The onesof most interest revolve around the number five, and involve the decagon, theicosa-dodecahedron, and their four dimensional cousin, the 600-cell. This is a regularpolyhedron with 600 faces whose 120 vertices form a root system of type H4. Itssymmetry group is the Coxeter group H4 (of order 14400), which is generated by thereflections in these roots. In its standard coordinate representation the coefficients ofthe roots are all expressible in terms of integers along with the golden ratio τ and itsconjugate τ ′. Curiously, simply conjugating all of these coefficients leads to a differentset of coordinates, a different model of the root system, and a different version H ′

4 ofthe Coxeter group.

No one looks at the group H∞ generated by these two Coxeter groups togetherbecause it is infinte and the orbits of the roots of each type now lie densely on thesphere on which these roots lie. Nonetheless, Jun Morita (University of Tsukuba,Japan) and I were interested in finding out what H∞ and the set of ’roots’ that itgenerates look like. This is more interesting and well-organized than it might firstappear, and is deeply connected with the ring R = Z[τ, 1/2]. In fact we determinethat the root system itself is a group isomorphic to SU2(R) and its correspondingreflection group is of index 2 in O4(R).

Apart from these algebraic results, the root system emerges in a way that leads to asort of discretization of SU(2) and also an effective way of approximating elements ofSU(2) (and then SO(3)) by using products of a few simple matrices with coefficientsof the form (a+ bτ)/2, where a, b are integers, with n.

On self similarity of τ-groupsProf. Olivier Mathieu

In the talk we will provide a criterion for the self-similarity of a τ -group.

The statement suggests to introduce the notion of complexity of a self-similarstructure. Then Galois cohomology is involved to compute the complexity of someself-similar structures.

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Problemas de olimpiadas de matematicas

formulados por olımpicos

Problemas de olimpiadas de matematicas

formulados por olımpicos

Propuesto por el Lic. Ignacio Darago

Supongamos que tenemos un tablero de ajedrez (8× 8).

• Si sacamos las casillas de dos esquinas opuestas, ¿podemos cubrir el tablero con piezas dedomino sin huecos ni superposiciones?

• Si sacamos una casilla blanca y una casilla negra cualesquiera del tablero, ¿podemos cubrirel tablero con piezas de domino sin huecos ni superposiciones?

• Si ahora queremos cubrir al tablero con piezas de 4×1, ¿podemos cubrir el tablero sin huecosni superposiciones?

• Si sacamos una casilla del tablero arbitraria, ¿podemos cubrir el tablero con piezas en formade “L” (que ocupan 3 casillas) sin huecos ni superposiciones?

¿Que pasa para las preguntas anteriores cuando el tablero es de n× n en vez de 8× 8?

Propuesto por el Dr. Martın Mereb

Hay 2017 rectas en el plano de manera tal que no hay 3 de ellas pasando por un mismo punto.Un caracol recorre las rectas de la sigiuente manera: comienza moviendose en una de las rectasy continua hasta que se encuentra con un cruce. En la interseccion gira a derecha o izquierda ycontinua su paseo recorriendo la nueva recta, alternando la direccion que elige en cada interseccionque pasa. Puede suceder que pase por un mismo segmento dos veces en direcciones opuestas?

Propuesto por el Dr. Daniel Kohen

En una recta se eligieron 99 segmentos rojos y 99 segmentos azules, de manera que cada segmentorojo tiene puntos en comun con al menos 50 segmentos azules y cada segmento azul tiene puntosen comun con al menos 50 segmentos rojos. Demostrar que hay un segmento azul que tiene puntosen comun con todos los segmentos rojos, y hay un segmento rojo que tiene puntos en comun contodos los segmentos azules.

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Funciones Abelianas y Curvas Algebraicas

(una introduccion a las curvas algebraicas)

Dr. Federico Quallbrunn

Resumen. La geometrıa de las curvas algebraicas comenzo a estudiarse a partir delestudio de ciertas integrales llamadas integrales abelianas. En esta nota vamos acomentar el desarrollo historico que va desde el estudio de funciones definidas porintegrales no elementales a la geometrıa algebraica.

Palabras preliminares

La presente nota esta escrita de manera que en cada seccion se introducen nociones sucesivamentemas sofisticadas. El consejo del autor al lector es que avance por todo el terreno que le sea familiary, cuando se encuentre con nociones que le son ajenas, haga el esfuerzo de avanzar unos pasos mas.En lo sucesivo trataremos de repasar la historia de una serie brillante de ideas desarrolladas pordiversos matematicos a lo largo de todo el siglo XIX.

Introduccion

Desde el siglo XVIII los matematicos estuvieron interesados en estudiar las propiedades de lasfunciones que son primitivas de funciones racionales o funciones algebraicas.Ejemplos tales como

ln(z) =

∫ z

1

ds

s, arcsin(z) =

∫ z

0

ds√1− s2

aparecen tıpicamente en los primeros cursos de analisis. Fueron originalmente estudiados por suspropiedades analıticas (ln(z)) o por su relacion con la geometrıa clasica (arcsin(z)).Otras funciones como

φ(z) =

∫ z

0

ds√1− s4

, ψ(z) =

∫ z

0

ds√

(1− x2)(1− k2x2)

son menos conocidas (no tienen nombre propio, por lo menos no en analisis 1), pero aparecenfrecuentemente como soluciones a problemas de mecanica o problemas de rectificacion de curvas(calculos de longitud de arco).

Las propiedades del logarıtmo y la exponencial bien pueden deducirse, como lo hacen en [1],de la clasica formula:

ln(a) + ln(b) = ln(ab).

Asimismo tambien hay formulas similares para las funciones trigonometricas inversas, aunque sonmenos lindas:

arcsin(a) + arcsin(b) = arcsin(a√

1− b2 + b√

1− a2).

Esta formula, que puede deducirse de la formula de la suma del seno o bien derivando respecto de ade los dos lados, tambien puede usarse para deducir las propiedades de las funciones trigonometricas.

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8 Dr. Federico Quallbrunn

Estudiando problemas de elasticidad, Bernoulli mostro que serıa util conocer propiedades de lafuncion φ(z) =

∫ z

0ds√1−s4

. Para esta funcion Fagnano encontro en 1718 la formula

2φ(a) = φ(2a

√1− a4

1 + a4),

y en 1756 Euler descubrio que valıa la formula mas general:

φ(a) + φ(b) = φ(a√1− b4 + b

√1− a4

1 + a2b2).

El problema de Euler

Estos descubrimientos llevaron a Euler a formular el problema de estudiar las funciones que admitenformula de la suma, mas en concreto:Sea ϕ una funcion algebraica, es decir, una funcion implıcitamente definida por una ecuacion deltipo

f(x, ϕ(x)) = ϕn + f1(x)ϕn−1 + · · ·+ fn−1(x)ϕ+ f0(x) = 0

donde los fi(x) son polinomios en x.Sea tambien una funcion racional de dos variables R(x, y) ∈ C(x, y).A partir de estos datos consideramos la funcion

ξ(z) =

∫ z

z0

R(s, ϕ(s))ds.

Pregunta 1 (Euler). ¿Se puede encontrar siempre una funcion algebraica g(a, b) en a y b tal quevalga

ξ(a) + ξ(b) = ξ(g(a, b))?

¿Para que tipo de funciones ξ(z) existe una formula ası?

Despues que Euler formulo esta pregunta Lagrange encontro una formula de este tipo para lafuncion ψ(z) de mas arriba. Entre 1824 y 1826 Abel escribio una serie de trabajos en los quemuestra que no es siempre posible encontrar una formula para la suma como buscaba Euler, perosı es posible encontrar formulas menos fuertes pero mas generales.

Teorema 2 (N.H.Abel). Dada la funcion ξ(z) =∫ z

z0R(s, ϕ(s))ds existe un numero p, que solo

depende de la ecuacion algebraica que verifica ϕ (o sea solo depende del polinomio f(x, y)) y quetiene la siguiente propiedad:Para cualquier m ∈ N existen p funciones algebraicas y1(x1, . . . , xn), . . . , yp(x1, . . . , xm) de nvariables y una funcion elemental v(x1, . . . , xm) (composicion de funciones algebraicas y logaritmos)tales que

ξ(x1) + · · ·+ ξ(xm) = v + ξ(y1) + · · ·+ ξ(yp).

En pocas palabras el teorema dice que a cualquier suma de m terminos la podemos reducira una suma de p terminos mas un sumando dado por una funcion elemental. Las formulas deFagnano, Euler y Lagrange corresponden al caso en que p = 1 y la funcion v ≡ 0.

Como todo gran teorema, el de Abel abre mas preguntas de las que cierra. ¿Como se calcula elnumero p? ¿Y las funciones yi? ¿De donde salio la funcion v, por que en las formulas de Fagnanoy Euler no aparece?

Observacion 3. El lector avisor se habra dado cuenta que muchos de los objetos sobre los queestamos hablando hasta aca no estan del todo definidos. Por empezar no queda del todo clarocual es el dominio de las funciones ξ(z). Sabemos, basados en el caso particular de las funcionesexponenciales y trigonometricas, que mucho se simplifican los argumentos si consideramos funcionesde variable compleja. Por otro lado, al considerar funciones en el plano complejo, hay que especificarlas ramas del logaritmo y de las funciones algebraicas que uno este usando, y ası la definicion deξ(z) que se presento aca resulta ambigua.

Posiblemente estas sutilezas tuvieran sin cuidado a Euler. Posiblemente Abel se haya dadocuenta de que son necesarias ciertas precauciones al usar estas definiciones (despues de todo eltambien fue el primero en estudiar seriamente la cuestion de la convergencia de series). Fue sinembargo Riemann el que dio a estas cuestiones un marco teorico solido.

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En el siglo XIX Riemann y sus sucesores se dieron cuenta gradualmente que las propiedades deestas funciones y las respuestas a las preguntas antes planteadas estan ıntimamente relacionadas conla geometrıa de las curvas algebraicas. Este descubrimiento fue una de las razones que originaronel estudio de las curvas algebraicas y la Geometrıa Algebraica en general.

Ejercicios

1. (Perıodo del pendulo) Consideremos el problema del pendulo (de masa m sin rozamiento,con una varilla de masa despreciable de longitud l = 1) Denotemos θ(t) es el angulo con lavertical a tiempo t, y g la gravedad (constante). Sea θ0 el angulo inicial del movimiento (esdecir θ0 = θ(0) y dθ

dt|t=0 = 0). Entonces la energıa cinetica en tiempo t esta dada por

K(t) =1

2mv2t =

1

2m

(dθ

dt(t)

)2

.

Y la energıa potencial por

U(t) = mght = mg(1− cos(θ(t)).

Supongamos la hipotesis (de ındole fısico) que la energıa total K +U es constante a lo largodel tiempo.

(a) Deducir que necesariamente se cumple la ecuacion diferencial

dθ

dt=√

2g(cos(θ)− cos θ0).

(b) Analizar la para que puntos (t, θ(t)) la funcion θ(t) es inversible y su inversa es derivable.Denotemos a la inversa t(θ) (es el tiempo que le lleva al pendulo alcanzar el angulo θ).

(c) Mostrar que en el intervalo (0, θ0) vale la siguiente formula para t(θ):

t(θ) =1√2g

∫ θ

0

dυ√

cos(υ)− cos θ0.

(d) Hacer un cambio de variables para escribir a t como una funcion de la forma

t(z) =1√2g

∫ z

1

ds√

(1− s2)(s− a).

2. Mostrar que, en coordenadas polares, la longitud de arco de la elipse

x2

a2+y2

b2= 1

esta dada en terminos de la integral

∫ 1

0

1− k2x2√

(1− x2)(1− k2x2),

donde k = 1− ( ba)2.

3. La lemniscata es una curva plana dada por la ecuacion

(x2 + y2)2 = a(x2 − y2).

Dar una expresion para la longitud de arco de la lemniscata en coordenadas polares, comola integral de una funcion del tipo ξ(z) =

∫ z

z0R(s, ϕ(s))ds.

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1 Curvas algebraicas planas

Definicion 4. Una curva algebraica plana C es un subconjunto de C2 tal que existe algun

polinomio de dos variables f(x, y) ∈ C[x, y] tal que C = C(f) := (x, y) ∈ C2|f(x, y) = 0.

Si existe un polinomio primo f tal que C = C(f) entonces la curva C se dice irreducible.

Afirmacion 5. Si C es una curva irreducible entonces existe un polinomio primo f tal que C =C(f), para cualquier otro polinomio primo g tal que C = C(g) existe λ ∈ C tal que g = λf .

Definicion 6. Sea C(f) una curva irreducible y f un polinomio primo que la define. Al dominioıntegro C[C] := C[x, y]/(f) lo llamamos anillo de coordenadas o anillo de funciones regulares dela curva y a su cuerpo de fracciones Frac(C[C]) lo llamamos cuerpo de funciones racionales de C,tambien lo denotamos K(C).

La primera de las ideas que tuvo Riemann para tratar el problema de Euler fue la siguiente:

En vez de tratar con funciones algebraicas como√

(1− x2)(1− k2x2) que presentan inconvenientespor ser “funciones multivaluadas” hay que considerar la curva asociada a la funcion (en el casoanterior la curva y2 = (1− x2)(1− k2x2)).

Observacion 7. Sea p = (x0, y0) ∈ C tal que ∂f∂y

|p 6= 0. Entonces, por el Teorema de la Funcion

Implıcita, existe un abierto U ⊆ C y una (unica) funcion holomorfa ϕ : U → C tal que g(x0) = y0 yf(x, ϕ(x)) = 0 para todo x ∈ U . Es decir que ϕ(x) es una funcion algebraica de ecuacion implıcitaf(x, ϕ) = 0. En ese sentido es que consideramos heurısticamente que la ecuacion f(x, y) = 0 dalugar a “funciones algebraicas multivaluada”. Por ejemplo f(x, y) = y2 − x da lugar a las diversasdeterminaciones de la raız cuadrada.

Hasta Riemann solo se consideraban las funciones algebraicas definidas en un abierto U ⊆ C

conveniente de manera de poder determinar la funcion unıvocamente. Riemann mostro que lageometrıa global de la curva f(x, y) = 0 determina el comportamiento de las funciones algebraicasasociadas.

1.1 Curvas racionales y fracciones simples

Definicion 8. Una curva algebraica irreducible C(f) (f primo) se dice racional si existen funcionesracionales X,Y ∈ C(t) y T ∈ C(x, y) tales que

f(X,Y ) = 0 ∈ C(t),

T (X(t), Y (t)) = t ∈ C(t) y

X(T (x, y)) = x, Y (T (x, y)) = y como elementos del cuerpo K(C).

Proposicion 9. Sea f ∈ C[x, y] primo tal que C(f) es una curva racional, y φ(s) una funciondada implıcitamente por f(x, φ(x)) = 0. Entonces toda funcion ξ(z) =

∫ z

z0R(s, ϕ(s))ds se escribe,

en algun entorno simplemente conexo U de z0 apropiado, como

ξ(z) = S(z, ϕ(z)) +∑

i

bi log(T (z, ϕ(z))− ai),

con S(x, y), T (x, y) ∈ C(x, y) .

Proof. Como C(f) es racional existen funciones X(t), Y (t) y T (x, y) con las propiedades de ladefinicion 8. Luego en la integral

∫R(s, ϕ(s))ds podemos hacer el cambio de variables

s = X(t), ϕ(s) = Y (t)

de manera que R(X,Y )dXdtdt = pdt, donde p ∈ C(t). Ahora a la integral

∫p(t)dt podemos aplicarle

el metodo de fracciones simples para encontrarle una primitiva de la forma r +∑

i bi log(t − ai),con ai, bi ∈ C y r ∈ C(t). Entonces reemplazando t = T (s, ϕ(s)) tenemos que la primitiva de∫R(s, ϕ(s))ds es S(z, ϕ(z)) +

∑

i bi log(T (z, ϕ(z))− ai), donde S(x, y) = r(T (x, y)).

Sabemos ahora que el metodo de fracciones simples puede extenderse a integrar funcionesalgebraicas ϕ tales que cumplan una ecuacion f(x, ϕ(x)) = 0 con C(f) ⊂ C

2 una curva racional.Cabe preguntarse como reconocer si un polinomio f ∈ C[x, y] define una curva racional. No vamosa dar aca un criterio general, solo mencionamos el siguiente criterio, cuya demostracion es casoparticular de un procedimiento bastante mas general para reconocer curvas racionales.

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Proposicion 10. Sea f ∈ C[x, y] un polinomio primo que solo contiene monomios de grados r yr + 1. Entonces la curva C(f) es racional.

Proof. Notemos como fr+1 y fr las partes homogeneas de grados r + 1 y r respectivamente.Reemplazando y = tx en f(x, y) = 0 obtenemos fr(x, tx)+fr+1(x, tx) = xrfr(1, t)+x

r+1fr+1(1, t) =

0, con lo cual obtenemos la parametrizacion X = − fr(1,t)fr+1(1,t)

, Y = tX.

Ejercicios

1. (a) Verificar que una curva C(f) es racional si y solo si K(C(f)) ∼= C(t).

(b) Concluir que el teorema de Luroth en teorıa de cuerpos implica la siguiente afirmacion:

Sea C una curva algebraica plana. Si existen dos funciones racionales X(t), Y (t) ∈ C(t)tales que la aplicacion

T : C → C2

t 7→ (X(t), Y (t))

cumple Im(T ) ⊆ C, entonces la curva C es racional.

2. Encontrar una primitiva de 1/y(x) donde

y(x) =3

√

−x2 +√

x4 + 4x3 − 3

√

x2 +√

x4 + 4x3.

(Sugerencia: Observar que y3 + axy + bx2 = 0 para ciertas a, b ∈ C.)

3. Probar que toda curva dada por un polinomio f de grado 2 es racional. Concluir que todafuncion de la forma ξ(z) =

∫ z

z0R(s,

√as2 + bs+ c)ds se escribe como suma de funciones

algebraicas y logarıtmos de funciones algebraicas. (Sugerencia: Usar el mismo cambio devariables que en la demostracion de la proposicion 10.)

2 Formas diferenciales en curvas regulares.

Para continuar con nuestro estudio de las integrales abelianas vamos a considerar compactificacionesde las curvas afines. Una forma canonica de compactificar una curva plana afın es considerar laproyectivizacion de la curva.

Sea f(x, y) = f0 + · · · + fn ∈ C[x, y] un polinomio de grado n, siendo fi(x, y) el terminohomogeneo de grado i de f . Consideremos ahora el polinomio f ∈ C[x, y, z] definido por f(x, y, z) =∑n

i=0 zn−ifi(x, y). Observemos que el polinomio f(x, y, z) es homogeneo de grado n.

Recordamos tambien que el plano proyectivo complejo P2(C) se puede definir como el conjunto

cociente (C3 \ (0, 0, 0))/ ∼ donde v ∼ w si y solo si w = λv para agun λ ∈ C no nulo. Notamos ala clase de equivalencia de (x, y, z) en P

2(C) como (x : y : z) y le llamamos coordenadas homogeneasa esta notacion.

Definicion 11. La proyectivizacion de la curva C(f) es el subconjunto de P2(C) definido como

C(f) := (x : y : z) ∈ P2(C) t.q. : f(x, y, z) = 0 ⊂ P

2(C).

En general, dado un polinomio homogeneo g cualquiera, decimos que el conjunto

C(g) := (x : y : z) ∈ P2(C) t.q. : g(x, y, z) = 0 ⊂ P

2(C)

es una curva algebraica proyectiva.

Observacion 12. En P2 tenemos el cubrimiento por abiertos afines coordenados. Estos son los

subconjuntos de la forma Ui := (x0 : x1 : x2) ∈ P2(C) t.q. : xi 6= 0. La proyectivizacion C(f) de

una curva afın C(f) contiene a la curva afın como un abierto denso. En efecto C(f) = C(f) ∩U3.Por otra parte, siendo cualquier curva proyectiva un cerrado de P

2(C) (ejercicio: verificar estaafirmacion), y siendo que P

2(C) es una variedad diferencial compacta, tenemos que una curvaproyectiva es, como subespacio topologico de P

2(C) (considerado con la topologia de variedaddiferencial), compacto.

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Definicion 13. Una curva algebraica afın C ⊂ C2 se dice regular si esta dada por un polinomio

f ∈ C[x, y] tal que para todo punto p ∈ C se tiene (∂f∂x

|p, ∂f∂y |p) 6= (0, 0).

Una curva algebraica proyectiva C ⊂ P2 se dice regular si para todo punto p ∈ C existe un

abierto de la forma Ui := (x0 : x1 : x2) ∈ P2 t.q. : xi 6= 0 tal que C ∩Ui es una curva afın regular.

Observacion 14. Si consideramos el polinomio f como una funcion holomorfaf : C2 → C la condicion de regularidad nos dice que podemos aplicar el Teorema de la FuncionImplıcita para funciones holomorfas. Supongamos sin perdida de generalidad que ∂f

∂x|p 6= 0,

tenemos entonces que existe un entorno U ∈ C y una funcion holomorfa g : U → C2 tal que

f(g(y), y) = 0, ∀y ∈ U . En este caso el teorema de las fibras que se ve generalmente en cursos degeometrıa diferencial tiene una version holomorfa, que implica que la restriccion de la proyeccion ala curva C, (x, y) 7→ y es una carta de la unica estructura de variedad holomorfa que hace de C unasubvariedad holomorfa de C2 de dimension 1 (dimension como variedad compleja). En particular Ces una varidead diferencial de dimension real 2. A una variedad holomorfa de dimension compleja1 se la denomina superficie de Riemann.

Por lo anterior una curva proyectiva regular tiene tambien un cubrimiento por abiertos y cartasholomorfas que le dan estructura de subvariedad holomorfa de P

2(C) de dimension compleja 1.Mas aun, una curva regular es una superficie de Riemann compacta.

2.1 Formas diferenciales en curvas

Ya mencionamos que una forma de tratar con funciones algebraicas era considerar curvas algebraicasen el plano. Ası, en vez de tratar con la “funcion multivaluada”

√x, simplemente consideramos la

restriccion de la funcion (x, y) 7→ y a la curva x2 − y = 0. Para estudiar integrales de funcionesalgebraicas vamos a necesitar de otra construccion geometrica, la de forma diferencial. Hablandomal y pronto una forma diferencial sobre una variedad es simplemente algo que tiene sentidointegrar. Vamos a tratar de hacer esto mas preciso a continuacion. Recordamos, sin embargo, quelo recomendable es que el lector ya haya tomado contacto con la nocion de formas diferenciablesy bajo ningun concepto este apunte es una introduccion al tema, para esto recomendamos el libro[6], capıtulo 4.

Definicion 15. Una 1-forma diferencial holomorfa en una variedad compleja X es una seccionholomorfa del fibrado cotangente T ∗X → X. Denotamos al C espacio vectorial de 1-formasholomorfas Ω1[X].

Afirmacion 16. Similarmente al caso de formas diferenciales toda 1-forma diferencial holomorfapuede escribirse localmente de la forma

∑fidzi con fi funciones holomorfas y zi coordenadas

locales. En el caso en que la variedad tenga dimension compleja 1 cualquier forma puede escribirselocalmente como f(z)dz.

Definicion 17. Una 1-forma diferencialmeromorfa en una superficie de RiemannX es una 1-formaω definida sobre un abierto denso U ⊆ X tal que para todo p ∈ X, existe un entorno de p donde ωpuede escribirse como ω = f(z)dz con f una funcion meromorfa. Observemos que el conjunto deformas meromorfas tiene una estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo K(X) de funcionesmeromorfas. A este espacio lo denotamos Ω1(X).

En el caso en que la superficie de Riemann X sea una curva plana tenemos muchas 1-formassobre X que vienen de restringir 1-formas definidas en el plano C

2 (o P2(C)) a X. En particular

podemos considerar una curva no singular C(f), las 1-formas que se escriben como g1(x, y)dx +g2(x, y)dy con gi ∈ C[x, y]; y la restriccion de estas 1-formas a C(f).

Ejemplo 18. Sea f ∈ C[x, y] primo y C = C(f) ⊂ C2. Supongamos que C es no singular.

Considerando que la funcion f restringida a C es identicamente nula, entonces tenemos que, en C,vale la igualdad df = 0, o sea.

fxdx+ fydy = 0. (5.1)

Lema 19. Sea f ∈ C[x, y] primo de grado d y X = C(f) ⊂ P2(C) la proyectivisacion de la curva

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C(f). Supongamos que X es no singular. Entonces tenemos bien definida una aplicacion lineal

C[x, y]≤d−3 −→ Ω1[X]

h 7−→ ωh =h∂f∂y

dx,

donde C[x, y]≤d−3 denota el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual que d−3. Masaun esta aplicacion es inyectiva.

Proof. Denotemos fx = ∂f∂x

y fy = ∂f∂y

. A priori ωh es una forma meromorfa sobre la curva afın

C(f). Veamos que define una unica forma meromorfa en X. Para esto notemos que la curva C(f)vista dentro de C(f) ⊂ P

2(C) es el conjunto (x : y : 1) ∈ P2(C) t.q. : f(x, y, 1) = 0, y que

en un punto (x : y : z) ∈ P2(C)lo que expresamos en coordenadas afines como ωg se expresa en

coordenadas homogeneas como

ωh((x : y : z)) =h(x

z, yz)

fy(xz, yz)d(x

z

)

.

Luego, si denotamos g(x, y, z) el homogeneizado de g(x, y) y fy(x, y, z) el de fy(x, y), podemosescribir la ecuacion de arriba como

ωh((x : y : z)) =h(x, y, z)

fy(x, y, z)

zd−1

zed(x

z

)

= (5.2)

=

(h(x, y, z)

fy(x, y, z)

zd−1

ze

)(dx

z+xdz

z2

)

, (5.3)

donde e es el grado de h. Esta ultima expresion es la de una forma meromorfa sobre X.Tenemos entonces una forma meromorfa ωh sobre X. Vamos a ver que es regular en todo punto.

Primero veamos que es regular en el abierto denso C(f) ⊂ C(f).Tomemos entonces un punto p ∈ C(f) tal que fy(p) = 0, como X es no singular entonces

necesariamente fx(p) 6= 0. Por la identidad del ejemplo 18 llegamos a la conclusion de que vale

ωh =h

fydx = − h

fxdy.

Entonces ωh es regular en p.Ahora veamos que ωh es regular en C(f) \ C(f). Notemos primero que C(f) \ C(f) consiste

de los (finitos) puntos de la forma (x : y : 0) tales que f(x, y, 0) = 0. Usando la expresion (5.3)vemos que, si e ≤ d − 3, entonces ωh es regular en (x : y : 0) ∈ C(f) si y solo si dx

fy+ xdz

fylo es.

Para ver que esta ultima forma es regular en X \ C(f) podemos razonar como en el ejemplo 18 yver que esto es consecuencia de la regularidad de X. En efecto, escribiendo (5.1) en coordenadashomogeneas tenemos que

fx(x, y, z)(dx+x

zdz) = −fy(x, y, z)(dy +

y

zdz).

Esta formula junto a la regularidad de X muestran que ωh es una forma regular en todo punto.El hecho de que la aplicacion es inyectiva sale facil del hecho de que la forma ωh tiene siempre

coeficientes no nulos si h(x, y) 6= 0.

El siguiente teorema, que no vamos a demostrar, caracteriza completamente las formas holomorfasen una curva plana no singular.

Teorema 20. Sea X como en el lema anterior. La aplicacion

C[x, y]≤d−3 −→ Ω1[X]

g 7−→ ωh

es un isomorfismo. En particular, si la curva tiene grado d, el C-espacio vectorial de formasdiferenciales holomorfas tiene dimension (d− 1)(d− 2)/2.

Proof. Ver [7], cap. 7.

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Ejercicios

1. Dado un polinomio homogeneo g ∈ C[x, y, z] y la curva proyectiva planaX = C(g), consideramosel anillo cociente C[X] := C[x, y, z]/(g). Lo llamamos anillo de coordenadas homogeneas dela curva X.

(a) Mostrar que, al ser g homogeneo, C[X] tiene una graduacion de manera que la proyeccionC[x, y, z] → C[X] respeta el grado.

(b) Supongamos que C[X] es un dominio. Consideremos entonces el cuerpo K(X) := fgt.q. : f, g ∈ C[X], deg(f) = deg(g) que llamamos cuerpo de funciones racionales.

Probar que si C es una curva afın tal que C ⊂ X entonces K(C) = K(X).

2. Probar que cualquier curva proyectiva es un cerrado de P2(C) (ojo, un polinomio homogeneode tres variables NO define una funcion P

2 → C).

3. Sea f(x) ∈ C[x]. Mostrar que si la proyectivizacion de la curva plana y2−f(x) = 0 es regularentonces el grado de f es necesariamente menor o igual a 3.

4. (a) Sea X = P1(C) con coordenadas homogeneas (x : y), y sea una 1-forma meromorfa ω

que en el abierto y 6= 0 se escribe ω = f(x)dx. Entonces necesariamente f(x) es unafuncion racional.

(b) Concluir que P1(C) no posee formas holomorfas globales.

3 El teorema de Abel

Recordemos que empezamos estudiando integrales de la forma ξ(z) =∫ z

z0R(s, ϕ(s))ds, con ϕ(s)

una funcion satisfaciendo una ecuacion polinomial f(s, ϕ(s)) = 0. Hasta ahora, para estudiarlas funciones ξ(z) del principio, hemos introducido primero curvas algebraicas para pensar a lasfunciones algebraicas ϕ(s) como funciones sobre una curva algebraica C(f). Luego definimos1-formas holomorfas y meromorfas en las curvas algebraicas, el proposito de esto es poder pensaren la expresion

∫R(s, ϕ(s))ds como la integral de la forma (meromorfa) ω = R(x, y)dx, definida

sobre la curva C(f).

Recordemos que, dada una 1-forma diferencial η = f(x)dx definida sobre una variedad M ,

podemos definir la integral de η a lo largo de una curva [0, 1]c−→M como

∫

c

η =

∫ 1

0

f(c(t))dt,

notemos que, si η es una forma holomorfa en una variedad compleja, esta formula sigue teniendoperfecto sentido y generaliza la integral curvilınea de funciones complejas. Recordemos que podemosdefinir una 1-cadena como una combinacion entera simbolica de curvas

∑nici y extender linealmente

la definicion de integral a cadenas.

Definicion 21. Sea X una superficie de Riemann y η ∈ Ω1(X). El residuo de η alrededor de unpunto singular p es el numero resp(η) :=

∫

cη donde c es una curva que encierra a p y a ningun

otro punto singular de η.

3.1 La aplicacion de Abel-Jacobi

Sea X una curva proyectiva regular. Vamos a definir una funcion cuyo dominio es X, que va aenglobar informacion sobre funciones de la pinta ξ(z) =

∫ z

z0R(s, ϕ(s))ds. Para poder entender esta

aplicacion es preciso hacer consideraciones sobre la topologıa y la geometrıa de X.

El teorema 20 afirma que, siX es una curva plana regular, el espacio vectorial Ω1[X] de 1-formasholomorfas tiene dimension finita. De hecho vale una afirmacion un poco mas general.

Afirmacion 22. Sea X una superficie de Riemann compacta. El espacio Ω1[X] tiene dimensionfinita sobre C. Al numero g = dimC Ω1[X] se le llama el genero de X.

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Tomemos entonces una base ω1, . . . , ωg de Ω1[X]. Un paso importante en el estudio de lasfunciones ξ(z) fue considerar simultaneamente las integrales de las formas ωi. Ası uno toma encuenta la aplicacion

p 7→ (

∫ p

p0

ω1,

∫ p

p0

ω2, . . . ,

∫ p

p0

ωg). (5.4)

La conveniencia de estudiar tal aplicacion estaba explıcita en los trabajo de Riemann sobreintegrales abelianas y aparentemente en los trabajos originales de Abel sobre el tema tambientiene un lugar importante.

La formula 5.4, sin embargo, no define ninguna funcion ası como ası, por empezar tenemosque darle sentido al dominio y codominio de la aplicacion, tarea que en este caso es altamente notrivial.

La formula∫ p

p0ω no tiene, a priori, sentido ya que la integral de una 1-forma depende realmente

de la curva sobre la cual estamos integrando y no solamente de los puntos inicial y final de la curva.Mas precisamente vale la siguiente afirmacion:

Afirmacion 23 (Teorema de Stokes para formas holomorfas). Sea X una variedad holomorfa, ηuna p-forma holomorfa y ∆ un p+ 1 simplex en X entonces

∫

∂∆

η =

∫

∆

dη.

La forma dη se calcula localmente de la misma manera que para formas diferenciales solo queusando la derivada compleja (y coordenadas complejas).

En particular, como una superficie de Riemann tiene dimension compleja 1, no hay 2-formasholomorfas no triviales en una superficie de Riemann, por lo que todas las 1-formas holomorfas soncerradas. Esto implica, junto con el teorema de Stokes, que en el caso de superficies de Riemannla integral

∫

cη de una 1-forma η a lo largo de una curva c solo depende de la clase de homologıa

de la curva c. En efecto, si c y c′ son dos curvas homologicamente equivalentes entonces el ciclo[c]− [c′] es el borde de una cadena ∆ de dimension 2 y, usando el teorema de Stokes,

∫

c

η −∫

c′η =

∫

[c]−[c′]

η =

∫

∂∆

η =

∫

∆

dη =

∫

∆

0 = 0.

Vemos ası que es preciso tener en cuenta las clases de homologıa de 1-cadenas para hablar de laaplicacion de Abel-Jacobi, es decir que hay que tener en cuenta al grupo H1(X,Z). Respecto deeste grupo tenemos el siguiente teorema.

Teorema 24 (Riemann). Sea X una superficie de Riemann y sea g = dimC Ω1[X] el genero deX. Entonces H1(X,Z) ∼= Z

2g.

Proof. Ver [6] capıtulo 1 y referencias ahı dadas.

Ahora estamos en condiciones de darle sentido a las integrales de la formula 5.4. En efectosi tomamos una base δ1, . . . , δ2g de H1(X,Z); tenemos que las integrales

∫ p

p0ω estan definidas a

menos de un termino de la forma∑nj

∫

δjω. Mas precisamente, si c y c′ son dos curvas (reales) en

X que empiezan en p0 y terminan en p, entonces el 1-ciclo [c]− [c′] es homologo a una combinacionentera

∑niδi y, por lo tanto,

∫

cω −

∫

c′ω =

∑ni

∫

δiω. Esto hace que considerar las propiedades

de la integral∫ p

p0ω se haga muy difıcil. Abel se dio cuenta que si se consideran todas las formas

holomorfas simultaneamente el panorama sorprendentemente se hace mucho mas claro. Vamos aver por que.

Sea una base ω1, . . . , ωg del espacio de 1-formas holomorfas de X, y sea δ1, . . . , δ2g una base deH1(X,Z). La matriz de perıodos de X es la matriz de g × 2g

∫

δ1ω1 . . .

∫

δ2gω1

.... . .

...∫

δ1ωg . . .

∫

δ2gωg

.

Los 2g vectores columna de esta matriz Πi = (∫

δiω1, . . . ,

∫

δiωg) ∈ C

g se llaman perıodos. Tenemosque vale lo siguiente

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Afirmacion 25. Los perıodos Πi1≤i≤2g forman un conjunto linealmente independiente sobre R.En otras palabras el conjunto

Λ :=

2g∑

i=0

niΠi : ni ∈ Z

forma un reticulado del espacio Cg.

Notemos que, mientras que la integral∫ p

p0ω esta bien definida modulo los 2g perıodos de ω,

que en general forman un conjunto denso en C, el vector(∫ p

p0

ω1, . . . ,

∫ p

p0

ωg

)

esta bien definido modulo el reticulado Λ ⊂ C. Luego, eligiendo un punto p0 ∈ X arbitrario,tenemos que la formula

p 7→(∫ p

p0

ω1,

∫ p

p0

ω2, . . . ,

∫ p

p0

ωg

)

define un morfismo de variedades holomorfas.

AJ1 : X −→ Cg/Λ.

Un poco mas en general podemos definir, para todo n ∈ N, morfismos

AJn : Xn −→ Cg/Λ.

(p1, . . . , pn) 7−→(

n∑

i=1

∫ pi

p0

ω1, . . . ,

n∑

i=1

∫ pi

p0

ωg

)

.

Afirmacion 26. Si X es una curva proyectiva y regular la variedad Cg/Λ tiene estructura de

variedad algebraica y los morfismos AJn son morfismos regulares de variedades algebraicas.

La(s) demostracion(es) de la afirmacion de mas arriba conforma(n) un hito en la geometrıaalgebraica de segunda mitad del siglo XX. Muchas de las herramientas que conforman la geometrıaalgebraica moderna juegan algun papel en la demostracion de la forma mas general de este teorema.Sin, embargo, mientras estemos trabajando con curvas proyectivas sobre los numeros complejos,no vamos a necesitar esta afirmacion.

Vamos a usar los morfismos AJn para investigar las formulas de la suma de las funcionesabelianas ξ(z).

3.2 Divisores y equivalencia racional

Si bien no es como fue expresado originalmente, para hablar del teorema de Abel nos conviene usarla nocion de divisores en curvas y la de equivalencia racional de divisores.

Definicion 27. Sea X una curva algebraica. El grupo de divisores de X Div(X) es el grupoabeliano libre generado por los puntos de X. Tıpicamente notamos los elementos de Div(X) como∑

i ni[pi], a cada uno de estos elementos lo llamamos un divisor. El grado de un divisor∑

i ni[pi]es el numero

∑

i ni ∈ Z. Llamamos soporte de D al conjunto de puntos pi. Al subgrupo dedivisores de grado 0 lo denotamos Div0(X).

Ejemplo 28. Sea X una curva regular proyectiva y f ∈ K(X) una funcion meromorfa. El divisorde ceros y polos de f es el divisor (f) =

∑

p∈X ordp(f)[p]. Donde ordp(f) es el orden de p comocero o polo de f . Notar que es un divisor bien definido ya que, al ser X proyectiva y regular, escompacta y una funcion meromorfa solo puede tener entonces finitos ceros y polos, por lo que lasuma es finita. Puede demostrarse que (f) siempre es un divisor de grado 0 (Ver [6] cap. IV.3.18,o [7] cap. 7).

Ejemplo 29. Asimismo tenemos, para toda forma meromorfa η ∈ Ω1(X) el divisor de ceros ypolos de la 1-forma (η) =

∑

p∈X ordp(η)[p].

Definicion 30. Dos divisores D y D′ sobre una curva X son racionalmente equivalentes (olinealmente equivalentes, son sinonimos) si y solo si existe una funcion racional f tal que D−D′ =(f). Lo denotamos D ∼rat D

′.

Observacion 31. Dos divisores racionalmente equivalentes tienen el mismo grado.

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3.3 El teorema de Abel

Como bien senala Kleiman en [4] no existe un unico teorema de Abel. Sin, embargo, a partir dellibro [8] la siguiente afirmacion fue conocida generalmente como EL teorema de Abel:

Teorema 32.

AJn(p1, . . . , pn) = AJm(q1, . . . , qm) ∈ Cg/Λ ⇐⇒

n∑

i=1

[pi]− n[p0] ∼rat

m∑

i=1

[qi]−m[p0].

Solo vamos a describir la demostracion de una de las implicaciones (la que efectivamente esdebida a Abel) que es algo menos complicada y basta para dar “formulas de la suma” bastantegenerales.

Proof. (=⇒) Ver [3] cap. II.2.(⇐=) Definamos una funcion

µ : Div0(X) → Cg/Λ

µ(∑

i

[pi]− [qi]) 7→(

n∑

i=1

∫ pi

qi

ω1, . . . ,n∑

i=1

∫ pi

qi

ωg

)

(notar que esta funcion esta bien definida, es decir que no depende del agrupamiento de las pi conlas qi). Ahora, si D = (f), tenemos un morfismo (ejercicio: verificar que la siguiente formula defineun morfismo de variedades holomorfas)

ψ : P1(C) → Cg/Λ,

(λ0 : λ1) 7→ µ((λ0 · f − λ1)).

Si zi son las coordenadas de Cg, las formas dzi, con 1 ≤ i ≤ g generan el espacio cotangente

T ∗p (C

g/Λ) para todo p. Como P1(C) no tiene formas holomorfas globales (ver el ejercicio 4 de la

seccion anterior) entonces ψ∗(dzi) = 0, luego ψ es constante, por lo tanto µ(D) = ψ((0 : 1)) =ψ((1 : 0)) = 0.

El teorema de Abel nos da un criterio para establecer cuando tenemos igualdades entre sumasde la forma ξ(s1) + · · ·+ ξ(sm) = ξ(s′1) + · · ·+ ξ(s′m′) cuando podemos establecer m′ = 1 entoncestenemos una formula de la suma como querıa Euler. En cualquier caso el teorema nos dice que esclave el estudio de los divisores de grado cero modulo equivalencia racional. De hecho, podemosinterpretar parte del teorema de Abel sobre formulas de la suma para funciones abelianas como lasiguiente:

Afirmacion 33. Sea D un divisor en una curva X (proyectiva, regular) de genero g tal quedeg(D) = 0. Entonces para todo punto p0 en un abierto denso UD de X existen puntos q1, . . . , qgtales que

D ∼rat

g∑

i=1

[qi]− g[p0].

Proof. Ver [5] cap. II.2 Lemma 5.

Ejercicios

1. DadaX curva algebraica proyectiva regular. Tomemos dos bases distintas β y β′ deH1(X,Z),y dos bases distintas Ω y Ω′ de Ω1[X]. Mostrar que los cambios de base entre las matrices deperıodos Πβ,Ω y Πβ′,Ω′ definen un isomorfismo de variedades holomorfas entre Cg/Λ y C

g/Λ′,donde Λ = Πβ,Ω · Z2g y Λ′ = Πβ′,Ω′ · Z2g. A esta variedad la llamamos variedad Jacobianade X y la denotamos Jac(X).

2. (Descomposicion de Hodge en curvas) Dada una superficie de Riemann compacta seaAi(X) el R-espacio vectorial de formas C∞ sobre X, considerada como superficie diferencial.Sea δ la diferencial de de Rham usual y

0 → A0(X)δ−→ A1(X)

δ−→ A2(X) → 0 (5.5)

el complejo de de Rham diferencial, cuya homologıa es Hi(X,R).

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(a) Mostrar que si tomamos AiC(X) = Ai(X)⊗R C y la sucesion exacta

0 → A0C(X)

δ⊗R1−−−→ A1C(X)

δ⊗R1−−−→ A2C(X) → 0

la cohomologıa de esta sucesion es Hi(X,R)⊗ C = Hi(X,C).

(b) Sea X (X) el modulo de campos de vectores tangentes (diferenciales) sobre X, observarque homC(A1

C(X),C) ∼= X (X)⊗ C

(c) Sea U ⊆ X un abierto coordenado y (x, y) : U → R2 una carta. Probar que dz :=

dx+ idy y dz := dx− idy forman una base de A1C(U) como C∞(U)-modulo.

(d) En particular si z : U → C es una carta holomorfa, tomamos x = ℜ(z), y = ℑ(z).Ahora formamos dz y dz como en el punto anterior. Llamemos ∂

∂zy ∂

∂z∈ X (X)⊗ C a

la base dual de dz, dz. Probar que si f ∈ C∞(U) ⊗ C es una funcion diferencial quetoma valores en C, la expresion ∂f

∂z= 0 tiene sentido y es equivalente a que f cumpla

las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

(e) Sea ω ∈ Ω1[X] una 1-forma holomorfa, en particular ω ∈ A1C(X). Probar que ω es

cerrada (i.e.: δ(ω) = 0), y que, si es exacta (i.e: si existe f tal que δ(f) = ω), entoncesω = 0. En particular Ω1[X] ⊂ H1(X,C).

(f) Si ω ∈ Ω1[X] se expresa localmente como f(z)dz definimos ω localmente como f(z)dz.Mostrar que esto define una forma global ω ∈ A1

C(X). Mas aun esta construccion nos

da que Ω1[X]⊕ Ω1[X] ⊆ H1(X,C).

Afirmacion:(Teorema de Hodge para curvas)

H1(X,C) = Ω1[X]⊕ Ω1[X].

3. Usando el teorema de Hodge para curvas probar la afirmacion 25.

4. Sea X una curva algebraica proyectiva, f y g ∈ K(X) funciones racionales. Demostrar:

(a) (fg) = (f) + (g).

(b) ( fg) = (f)− (g).

(c) ( 1f) = −(f).

5. Sean p, q ∈ P1(C), entonces [p] ∼rat [q].

6. Interpretar la afirmacion 33 en terminos de sumas de funciones abelianas∑

i ξ(zi).

4 El teorema de Riemann-Roch

A lo largo de esta seccion X siempre va a ser una curva algebraica proyectiva regular e irreducible.

Definicion 34. Decimos que un divisor D =∑

i ni[pi] ∈ Div(X) es positivo (lo notamos D > 0)si ni ∈ N, para todo i. Esto define una relacion de orden parcial, decimos que D > D′ si y solo siD −D′ > 0.

Observacion 35. Notar que para cualquier par de funciones racionales f, g ∈ K(X) vale ordp(f +g) ≥ minordp(f), ordp(g). Luego, si (f) ≥ D y g ≥ D, vale (f + g) ≥ D.

Definicion 36. Dado un divisorD ∈ Div(X) definimos el espacio L(D) como el C-espacio vectorial

L(D) := f ∈ K(X) : (f) +D ≥ 0.

Observacion 37. Notar que, dado el divisor D =∑

i ni[pi] −∑

j mj [qj ], mj , ni ∈ N; el espacioL(D) no es otra cosa que el espacio de funciones racionales con un cero de orden al menos mj encada qj y un polo de orden a lo sumo ni en cada punto pi. En particular L(0) = C.

Observacion 38. Si D ≤ D′ entonces L(D) ⊆ L(D′).

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Lema 39. Sea D ∈ Div(X) y p ∈ X. Entonces L(D − [p]) = L(D) o L(D − [p]) es un subespaciode codimension 1 de L(D).

Proof. Elijamos una coordenada local z alrededor de p. Si np ∈ Z es el coeficiente que multiplicaa [p] en D entonces definimos un funcional α : L(D) → C de la siguiente manera: a f una funcionracional le asignamos el coeficiente cnp

en su desarrollo en serie de Laurent en coordenada z. Siα ≡ 0 entonces L(D − [p]) = L(D). Si α 6= 0 entonces L(D − [p]) = ker(α) es un subespacio decodimension 1.

Proposicion 40. Sea D ∈ Div(X). El espacio L(D) es de dimension finita sobre C. De hecho,si escribimos D = D+ − D− con D+ y D− divisores positivos (mayores que 0) soportados ensubconjuntos disjuntos de puntos, tenemos que dim(L(D)) ≤ 1 + deg(D+).

Proof. Si deg(D+) = 0 entonces D+ = 0 por lo que dim(L(D+)) = 1. Como D ≤ D+ entoncesL(D) ⊆ L(D+), en particular dim(L(D)) ≤ 1 + deg(D+).

Ahora procedemos por induccion en el grado de D+. Supongamos entonces que la proposiciones cierta para deg(D+) ≤ k − 1. Sea ahora D tal que deg(D+) = k. Tomemos un punto p delsoporte de D+ y consideremos el divisor D − [p], su parte positiva es D+ − [p]. Por hipotesisinductiva dim(L(D − [p])) ≤ 1 + deg(D+ − [p]). Por el lema anterior L(D − [p]) es igual a L(D) oes un hiperplano en L(D), lo que prueba la proposicion.

Observacion 41. Notemos que por la demostracion del lema 39 y por la proposicion anteriorpodemos mas precisamente decir que, dado D, existen finitos puntos q1, . . . , qr tal que si p ∈X \ q1, . . . , qr entonces L(D − [p]) es una hipersuperficie de L(D). En los otros casos, tenemosL(D − [qi]) = L(D).

Notamos con ℓ(D) la dimension del espacio L(D).

Definicion 42. Dado un divisor D ∈ Div(X) definimos el espacio KX(D) como el C-espaciovectorial

KX(D) := η ∈ Ω1(X) : (η) +D ≥ 0.

Similarmente a las demostraciones anteriores se pueden demostrar:

Lema 43. Sea D ∈ Div(X) y p ∈ X. Entonces KX(D − [p]) = KX(D) o KX(D − [p]) es unsubespacio de codimension 1 de KX(D).

Proposicion 44. Sea D ∈ Div(X). El espacio KX(D) es de dimension finita sobre C.

Notamos con δ(D) a la dimension de KX(D).

Ahora podemos enunciar el teorema Riemann-Roch, vagamente es un resultado acerca de larelacion entre la cantidad de funciones racionales con polos y ceros prescripto y la cantidad de1-formas con polos y ceros prescriptos. Mas precisamente:

Teorema 45 (Riemann-Roch). Sea X una curva regular y proyectiva, de genero g = dimΩ1[X].Para todo divisor D sobre X se tiene

ℓ(D)− δ(−D) = deg(D)− g + 1.

Proof. Ver [7] capitulo 7C.

Corolario 46. Dados puntos distintos p1, . . . , pn ∈ X y numeros complejos r1, . . . , rn ∈ C talesque

∑

i ri = 0 existe una ω ∈ Ω1(X) tal que ω es regular en X \ p1, . . . , pn, ordpi(ω) = −1 para

todo 1 ≤ i ≤ n, y respi(ω) = ri.

Proof. Dados puntos distintos p, q ∈ X existe ω ∈ Ω1(X) regular en X \p, q y tal que resp(ω) = 1y resq(ω) = 0. Para ver esto, tenemos por Riemann-Roch que δ([p]+[q]) = ℓ(−[p]−[q])+2+g−1 =g+1 y por el teorema de los residuos toda η ∈ KX(p+ q) cumple resp(η) + resq(η) = 0. Tomandouna η ∈ KX(p+ q) \ Ω1[X] y tomando ω = η/resp(η) se tiene lo afirmado.

Ahora elijamos un punto q ∈ X \ p1, . . . , pn y tomemos ωi como arriba, regular en X \ q, piy tal que respi

(ωi) = ri y resq(ωi) = −ri. Entonces ω =∑n

i=1 ωi responde a la cuestion.

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Definicion 47. En el espacio Ω1(X) definimos tres sub-espacios vectoriales (sobre C):

1. I = I(X) = Ω1[X] el conjunto de 1-fromas holomorfas, que tambien llamamos (siguiendo laterminologıa clasica) formas diferenciales de primera especie.

2. II = II(X) = ω ∈ Ω1(X) : resp(ω) = 0, ∀p ∈ X el espacio de formas diferenciales desegunda especie.

3. III = III(X) = ω ∈ Ω1(X) : ordp(ω) ≥ −1 ∀p ∈ X el espacio de formas diferenciales detercera especie.

Observacion 48. Notar que la condicion ω ∈ III(X) significa que el desarrollo en serie de Laurentde ω alrededor un punto cualquiera es de tipo rdz/z con r ∈ C.

Proposicion 49. Con la notacion anterior, tenemos las siguientes relaciones:

• II ∩ III = I.

• df ∈ II, para toda f ∈ K(X).

• d(K(X)) ∩ I = 0.

• d(K(X)) ∩ III = 0.

Proof. Ejercicio.

Proposicion 50. Ω1(X) = II + III.

Proof. Sea η ∈ Ω1(X). Como el numero de polos de η es finito, por el corolario 46, existe ω ∈ IIItal que resp(ω) = resp(η) para todo p ∈ X. Entonces η − ω ∈ II y por lo tanto la descomposicionη = (η − ω) + ω satiface lo requerido.

Esta descomposicion nos da una forma de expresar integrales abelianas. En efecto si ξ(p) =∫ p

p0ω, con ω ∈ Ω1(X), podemos escribir a ω como una suma ω = df + ω2 + ω3 con ω2 ∈ II y

ω3 ∈ III (ojo, como II y III no estan en suma directa esta escritura no es unica). Con lo que,localmente alrededor de p0, ξ(p) = f(p) + ξ2(p) + log(g(p)), con f y g algebraicas en X.

Ejercicios

1. Dado el siguiente teorema:

Teorema (Riemann). Sea X una curva algebraica irreducible proyectiva y regular y M(X)el cuerpo de funciones meromorfas en X, entonces K(X) =M(X).

Mostrar que para todo par de formas η y ω existe f ∈ K(X) tal que η = fω.

2. Mostrar que, si D ∼ D′ entonces L(D) ∼= L(D′).

3. Probar que existe un divisor K tal que KX(D) ∼= L(K −D) para todo D ∈ Div(X).

4. Probar que si ω ∈ III entonces ω = rdg/g con g ∈ K(X), r ∈ C.

Referencias

[1] T. Apostol, Calculus, Wiley Vol.1 (1967).

[2] F. Cukierman, Notas sobre Integrales Abelianas, Sociedad Matematica Peruana (2008).

[3] P. Griffiths, J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley Classics Library Edition (1994).

[4] S. Kleiman The Picard scheme, ICTP Lecture notes.

[5] S. Lang Abelian Varieties, Interscience tracts in pure and applied mathematics Vol. 7 (1958).

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[6] R. Miranda, Algebraic Curves and Riemann Surfaces , Graduate Studies in Mathematics Vol.5 (1995).

[7] D. Mumford, Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties, Grundlehren dermathematischen Wissenschaften Vol. 221 (1995).

[8] H. Weyl, Die Idee der Riemannsche Flache, Mathematische Vorlesungen an der UniversitatGottingen Vol. 5 (1923).

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22 Problemas para pensar

Problemas para pensar

Propuesto por Carlos Borches

Sea n ≥ 3 un numero entero. Sobre una circunferencia se marcan n + 1 puntos igualmenteespaciados. Cada punto se etiqueta con uno de los numeros 0, 1, . . . , n de manera que cada numerose usa exactamente una vez.

Dos distribuciones de etiquetas se consideran la misma si una se puede obtener de la otra por unarotacion de la circunferencia. Una distribucion de etiquetas se llama bonita si, para cualesquieracuatro-etiquetas a < b < c < d con a + d = b + c, la cuerda que une los puntos etiquetados a y dno corta a la cuerda que los puntos etiquetados b y c.

Sea M el numero de distribuciones bonitas y N el numero de pares ordenados (x, y) de enterospositivos tales que x+ y ≤ n y mcd(x, y) = 1. Demostrar que M = N + 1.

Propuestos por el Dr. Daniel Prelat

Problema 1. Sea E un espacio euclıdeo no completo (por lo tanto, necesariamente de dimensioninfinita). Probar que existe al menos un hiperplano (es decir, un subespacio de codimension 1)cerrado H en E tal que H⊥ = 0, donde H⊥ = x ∈ E/〈x, h〉 = 0, ∀ h ∈ H

Observacion. El subespacio H⊥ es siempre cerrado, pues

H⊥ =⋂

h∈H

Ker〈., h〉

donde cada una de las formas lineales x 7→ 〈x, h〉 es continua. Si E es de dimension infinita, puedeocurrir que H ⊕H⊥ 6= E, por ejemplo si H⊥ = 0.

Agradecimiento. Este problema me lo paso Hector Perez, que en sus ratos de ocio se dedica apensar en problemas interesantes que suele pasarle gentilmente a sus amigos. Este problema, enparticular, aparecio en su lista cuando se dedicaba a estudiar los recıprocos de los teoremas clasicosdel analisis.

Problema 2. Sea V un espacio vectorial de dimension finita n > 2 sobre un cuerpo k decaracterıstica 0 y sea S un subespacio de Endk(V ) de dimension n + 1. Probar que existe almenos un endomorfismo f ∈ S de rango ≥ 2.

Agradecimiento. Este problema me lo comento Manu Puebla, en uno de nuestros habitualesencuentros en los pasillos de la Facultad de Ingenierıa de la UBA.

Problema 3. Dado un anillo R, conmutativo con 1, y un entero positivo n, sea Mn(R) el algebraasociativa de matrices de n× n con componentes en R. La traza tr : Mn(R) → R permite definirla forma bilineal β :Mn(R) → R tal que β(x, y) = tr(xy). Observese que esta forma es simetrica,pues tr(xy) = tr(yx) para todos x e y. El problema consiste en probar que para todo automorfismoσ :Mn(R) →Mn(R) y todo par de elementos x e y en Mn(R), se verifica β(σ(x), σ(y)) = β(x, y).

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Observacion. Por definicion, los automorfismos σ :Mn(R) →Mn(R) son isomorfismos R-linealestales que para todo par de elementos x e y en Mn(R), σ(xy) = σ(x)σ(y). Es muy sencilloprobar que la R-linealidad y la biyectividad de una funcion σ : Mn(R) → Mn(R) implican queσ(I) = I (la biyectividad es esencial). Estos automorfismos forman un grupo (con la composicion)que se indica Aut(Mn(R)). Ejemplos muy importantes de automorfismos son los automorfismosdenominados ”interiores”: dada una matriz inversible a ∈ Gln(R), la aplicacion σa : Mn(R) →Mn(R) tal que σa(x) = axa−1 es evidentemente un automorfismo (su inverso es σa−1). Observeseque dadas dos matrices inversibles a, b ∈ Gln(R): σb σa = σab, lo que implica trivialmenteque los automorfismos interiores forman un subgrupo de Aut(Mn(R)). Este subgrupo se indicaInn(Mn(R)) y la aplicacion a 7→ σa es un epimorfismo de grupos. Para los automorfismosinteriores, la invariancia de la forma bilineal β :Mn(R) → R es trivial:

β(axa−1, aya−1) = tr(axa−1aya−1) = tr(axya−1) = tr(xy) = β(x, y)

Por lo tanto, en los casos en que Aut(Mn(R)) = Inn(Mn(R)), no hay nada que demostrar.Pero determinar en que casos vale esta igualdad es un problema nada trivial (un resultado clasicoen este sentido es el Teorema de Skolem-Noether). Pero existe (al menos una) prueba elementalde la invariancia de la forma bilineal β, que ignora toda informacion sobre la estructura del anilloR y del grupo Aut(Mn(R)). Si bien la ignorancia no es una virtud, una prueba elemental dela invariancia de β tiene la ventaja, en este caso, de su generalidad: vale para cualquier anilloconmutativo con 1.

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24 Prof. Marcelo Grippo, Profa. Monica Lordi

Brazo Robotico de UCAECE

Prof. Marcelo Grippo, Profa. Monica Lordi

Diseno del Labo de Robotica y el Departamento de Matematicas

Corrıa el ano 2015 y el Laboratorio de Robotica lograba incorporar nuevas tecnologıas a lacomponente academica, la cual nos recibıa con gran expectativa.

Estas tecnologıas, se desarrollaron en la universidad muy fuertemente durante 2016 y en el marcode la union de conocimientos que ya se vislumbraba entre el departamento de matematicas y ellaboratorio de robotica. El laboratorio encontro en matematicas, un crisol de conocimientos sobreel cual forjar sus mas recientes e innovadoras ideas.

Se logro pasar del uso de robots de fabricacion masiva para la educacion secundaria, a los automatasmas complejos pensados y disenados en el ambito del laboratorio de Robotica; todo ello en base aplacas de uso especıfico como ser las de Arduino y Raspberry PI.

La profesora Monica Lordi (que entre otras materias, dicta Algebra I), tuvo una brillante idea quepermitio desarrollar un nuevo paradigma en el ambito del Laboratorio.

El objetivo de la profesora, fue el de desarrollar un brazo robotico de 6 grados de libertad, utilizandoconocimientos algebraicos utilizados en la NASA, tal cual nos los detalla a continuacion:

Los contenidos que se estudian en Algebra en la Universidad CAECE, son entreotros, definicion matematica de matriz y operaciones entre matrices, clasificacion dematrices, espacios vectoriales y transformaciones lineales. Para que los alumnos pudieranintegrar dichos conceptos y operaciones, y tuvieran una vision mas enriquecedora delos mismos, estuvimos trabajando con su aplicacion en robotica en lo que denominamos“Brazo Robotico Algebraico”. La idea surgio de una investigacion que hicimos acercade como funciona el sistema manipulador remoto que llevo el transbordador espacialestadounidense Columbia en su mision de 1981 y en sus posteriores misiones. Estebrazo robotico, llamado Canadarm, proporcionaba una manipulacion firme, y a la vez,precisa y delicada, de su carga. Se utilizo para poner satelites en orbita, reparacionesdel mismo transbordador y del ensamblado de la Estacion Espacial Internacional.

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Un brazo robotico se mueve con rotaciones de las articulaciones de sus vastagos ytraslaciones de estos. Matematicamente hablando, el brazo se mueve por composicionde rotaciones y traslaciones. Estas transformaciones se pueden representar en R

3

mediante matrices de rotaciones y traslaciones como la siguiente:

Ti =

cos(θi) − sin(θi) ai−1

sin(θi) cos(θi) 00 0 1

,

donde ai−1 es la longitud del vastago Ai−1 y θi es el angulo de rotacion del vastago Ai.

De esta manera, los alumnos pudieron modelizar el problema de la construccion delbrazo robotico algebraico utilizando varios de los conceptos, propiedades y operacionestrabajadas en clase. Para lograr los movimientos del brazo, debıan utilizar matricesde rotacion y traslacion en el espacio, de modo de poder encontrar las coordenadasde la mano y para ello, tuvieron que multiplicar dichas matrices porque necesitabanla “composicion” de movimientos y, por otra parte, trabajaron con el concepto de“transformacion lineal” y “matriz asociada a una transformacion lineal” en R

3.

En el Laboratorio, pudimos recepcionar su vision y aprovechamos el marco de la materia PPS(dentro de la carrera de Sistemas) para bajarla a la realidad. Con un grupo de muy capacesalumnos, se desarrollo el Brazo Robotico propuesto, el cual fue un verdadero exito.

El brazo fue impreso por el alumno Joaquın Serra, quien actualmente se desempena en el Laboratoriode la universidad y el Soft para la App que lo maneja desde Android por Agustın Gandara, quetambien incursiona proyectos en el LABO y trabaja arduamente en la faz academica.

Se utilizo material PLA y fue impreso en la impresora 3D de la Universidad y como electronicase utilizo una placa Arduino UNO y un modulo DHC05 Bluetooth para entablar la comunicacioncon el telefono.

Dentro de la placa, corrıa el programa disenado en el marco de la materia Algebra por el alumnoMauro Tundis Cocca, interpretando las ordenes del celular y traduciendo las mismas a coordenadascalculadas como la profesora explico mas arriba.

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26 Prof. Marcelo Grippo, Profa. Monica Lordi

El brazo se presento en el Whorkshop de la Universidad y en la rural de Palermo en 2016, en elmarco del evento de Universidades. El mismo fue un verdadero exito y la gente podıa no solo veruna rutina preestablecida en el mismo, sino que podıa manejarlo cualquier persona que participarade la expo.

Esta experiencia, fue una de las que mas enriquecio al LABO, ya que no solo fue una magnıficacreacion, sino que abrio un camino para poder pensar nuevos desafıos interdisciplinares entre lasdistintas carreras y ciencias, permitiendo que un grupo de trabajo compuesto por actores de cadauna de ellas, aporte lo mejor de si logrando un producto o prototipo, mucho mas rico (y de maneramucho mas veloz), que si se tratara del realizado por un solo investigador.

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El azar en la vida cotidiana

Dra. Ferrari, Dra. Kuna, Dr. Martinez, Lic. Pedersen

Este artıculo intenta introducir al lector en las tecnicas basicas de conteo y sus dificultadescaracterısticas; familiarizarlo con las ideas basicas de probabilidad y cuestionar su intuicion natural;proveerle herramientas para la comprension y simulacion de fenomenos azarosos.

Probabilidades: una pequena introduccion

La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realizaun experimento. El experimento debe ser aleatorio, es decir, que pueden presentarse diversosresultados no previsibles, dentro de un conjunto posible de soluciones. Por lo tanto, a priori no seconoce cual de los resultados se va a presentar. Pero, ¿como se calcula una probabilidad?

La definicion clasica dice que la probabilidad de un evento es el cociente entre casos favorablesy casos totales:

P (A) =numero de casos en el que ocurre el evento A

numero total de casosVeamos algunos ejemplos:

1. Probabilidad de que al lanzar una moneda salga cara: tenemos un solo caso favorable (quesalga cara), mientras que tenemos dos casos posibles (al arrojar la moneda podemos obtenercara o ceca). Por lo tanto:

P (cara) =1

2

2. Probabilidad de que al lanzar un dado salga el numero 2: el caso favorable es tan solo uno(que salga el dos), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier numero deluno al seis). Por lo tanto:

P (A) =1

6

3. Probabilidad de que al lanzar una moneda dos veces salgan dos caras: los lanzamientos dela moneda son independientes, es decir, el resultado del primer lanzamiento no influye en elresultado del segundo. Por lo tanto podemos multiplicar las probabilidades:

P (cara-cara) = P (cara).P (cara) =1

2.1

2=

1

4

4. Probabilidad de que al lanzar una moneda dos veces salga al menos una cara: podemosseparar los casos favorables en la union disjunta de tres eventos:

• cara-cara

• cara-ceca

• ceca-cara

Y entonces calcular la probabilidad de cada uno de estos eventos, y luego sumarlas:

P (cara-cara ∪ cara-ceca ∪ ceca-cara) =

= P (cara-cara) + P (cara-ceca) + P (ceca-cara) =1

4+

1

4+

1

4=

3

4

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A tener en cuenta: Para poder aplicar la anterior definicion clasica de probabilidad cada unode los resultados del experimento debe tener igual chance de darse. Por ejemplo en el caso delanzar un dado, cada una de las caras tiene igual chance de salir, y entonces esta definicion clasicase aplica sin inconvenientes.

El problema del cumpleanos

En una reunion de 30 personas, surge la siguiente pregunta:

¿Sera una gran casualidad que al menos dos cumplan anos el mismo dıa?

Solucion: Si p es la probabilidad de que dos personas de 30 cumplan anos el mismo dıa, y qes la probabilidad de lo contrario (todas las personas cumplan anos en dıas diferentes), entoncesp = 1− q. Para calcular q hacemos el cociente entre casos favorables y casos totales:

q =365× 364× 363× · · · × (365− 29)

365× · · · × 365∼= 0, 294

Y entonces obtenemos que p = 1− q ∼= 0, 706.

Conclusion: Es bastante mas probable que, entre 30 personas, haya fechas de cumpleanosrepetidas, a que todas cumplan anos en dıas diferentes. La siguiente tabla ilustra diferentessituaciones:

Cant. de personas Prob. dos cumplan el mismo dıa20 0,41122 0,47623 0,50724 0,53825 0,56940 0,891

El auto y las cabras

Este problema, tambien llamado El Problema de Monty Hall, esta inspirado por el concursotelevisivo estadounidense Let’s Make a Deal (Hagamos un trato), famoso entre 1963 y 1986. Sunombre proviene del presentador, Monty Hall.

En este concurso, el concursante escoge una puerta entre tres, y su premio consiste en lo que seencuentra detras. Una de ellas oculta un coche, y tras las otras dos hay una cabra. Sin embargo,antes de abrirla, el presentador, que sabe donde esta el premio, abre una de las otras dos puertasy muestra que detras de ella hay una cabra. Ahora el concursante tiene una ultima oportunidadde cambiar la puerta escogida. Surgen las siguientes preguntas:

¿Debe el concursante mantener su eleccion original o escoger la otra puerta? ¿Hay algunadiferencia?

Solucion: La solucion se basa en tres suposiciones basicas que estan implıcitas en el enunciado:

• que el presentador siempre abre una puerta,

• que la escoge entre las restantes despues de que el concursante escoja la suya,

• que tras ella siempre hay una cabra.

Desarrollamos todas las posibilidades, para poder contar los casos favorables sobre los casostotales:

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Si miramos las posibilidades de exito de cambiar o no cambiar, vemos que si no cambiamostenemos 1/3 y si cambiamos tenemos 2/3.

Conclusion: ¡Al concursante le conviene cambiar su eleccion original de puerta!

Juguemos al truco

Supongamos que estamos jugando al truco. Un maso de cartas de truco tiene en total 40 cartasde 4 palos distintos. Recordemos que obtener 33 de envido significa tener un 6 y un 7 del mismopalo, y que las cuatro mejores cartas son el 1 de espada, el 1 de basto, el 7 de espada y el 7 de oro.Surge la siguiente pregunta:

¿Que es mas probable: obtener 33 de envido u obtener 2 de las mejores 4 cartas?Para responder a esta pregunta necesitaremos una herramienta matematica para el calculo de

los casos favorables y de los casos totales: el calculo de combinaciones, o numero combinatorio.Este numero determina la cantidad de subgrupos de k elementos que se pueden formar con los nelementos de una muestra. Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen,sin que influya el orden. Para calcular el numero de combinaciones se aplica la siguiente formula:

(nk

)

=n!

k!(n− k)!

En el caso del truco, el numero total de casos es el numero total de manos que podrıan tocarlea un jugador. Dicho de otro modo, es la cantidad de subconjuntos de tres elementos del maso de40 cartas, es decir:

(403

)

= 9880

Contemos la cantidad de casos favorables para obtener 33 de envido. Podemos pensar que en las40 cartas, tenemos cuatro combos de 6 y 7 del mismo palo, un combo por cada palo. Ası, tenemosque elegir uno de esos 4 combos (que equivale a elegir el palo) para las primeras 2 cartas y para latercera carta de la mano, tenemos que elegir 1 las 38 cartas restantes, esto nos da:

(41

)

.

(381

)

= 152

Por lo tanto, la probabilidad de 33 de envido es:

P (33 de envido) =152

9880

Ahora, contemos la cantidad de casos favorables para obtener 2 de las mejores 4 cartas deljuego. Una aclaracion importantes es que nos referimos a tener solo dos de las 4 mejores, es decir,excluimos el caso de tener en la mano 3 de las mejores 4 cartas del maso. Podemos pensar quedividimos el maso en las 4 mejores y en las 36 restantes, ası, tenemos que elegir un subconjunto de

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dos elementos del conjunto de 4 cartas, y para la tercera carta de la mano, tenemos 1 de 36 cartasrestantes antes. Es decir,

(42

)

.

(361

)

= 216

Por lo tanto, la probabilidad de tener solo 2 de las mejores 4 cartas es:

P (solo 2 cartas buenas) =216

9880

Conclusion: ¡tenemos mas probabilidad de tener 2 cartas buenas que 33 de envido!

La cantidad de numeros 6: el problema Pepys-Newton

En 1693 Samuel Pepys le planteo a Isaac Newton el siguiente problema en relacion a una apuestaque estaba por realizar:

1. Un dado se lanza seis veces, y aparece al menos un 6 ;

2. Un dado se lanza doce veces, y aparecen al menos dos 6.

¿Cual de las dos situaciones tiene mas chances de ocurrir?

Solucion del primer caso: un dado se lanza seis veces, y aparece al menos un 6. Realicemosel clasico analisis de casos totales y casos favorables, para luego calcular la probabilidad. Veamos

• Un dado se lanza seis veces︸︷︷︸

casos totales

, y aparece al menos un 6︸︷︷︸

casos favorables

Dado que una tirada del dado consta de seis posibles resultados, es facil entonces ver que en seistiradas los casos totales son 66. Por ejemplo, para fijar ideas, si analizamos el caso en que tiramosel dado dos veces, los posibles resultados son:

1

1 2 3 4 5 6

2

1 2 3 4 5 6

y lo mismo para el 3,4,5 y 6. En total

1

6+

2

6+

3

6+

4

6+

5

6+

6

6︸︷︷︸

seis veces

= 6.6 = 62 casos.

En cuanto a los casos favorables (que aparezca al menos un 6) lo podemos calcular pensandoque

• (casos al menos un 6)︸︷︷︸

favorables

= (casos totales) menos (casos ningun 6)︸︷︷︸

no favorables

Y entonces los casos en donde no aparece ningun 6 es similar a los casos totales pero pero excluyendoal 6: 56 casos. Es decir que la cantidad de casos favorables son 66 − 56 casos.

Por lo tanto la probabilidad para el primer caso es

(casos favorables)

(casos totales)=

66 − 56

66= 1−

(5

6

)6

∼= 0,6651

Solucion del segundo caso: un dado se lanza doce veces, y aparecen al menos dos 6. En estecaso tenemos que

• Un dado se lanza doce veces︸︷︷︸

casos totales

, y aparecen al menos dos 6︸︷︷︸

casos favorables

Y por lo tanto, analogamente al primer caso, la cantidad de casos totales es 612 casos.Para los casos favorables nuevamente podemos realizar un analisis similar, y obtener que

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• (

favorables︷︸︸︷

al menos dos 6) = (totales612

)

no favorables︷︸︸︷

- (ningun 6

512

) - (exact. un 612.511

)

El unico detalle a tener en cuenta es que para calcular la cantidad de casos en donde apacereexactamente un 6, se puede pensar en doce casos disjuntos dependiendo de en cual tirada salio el6.

Por lo tanto la cantidad de casos favorables es: 612 − 512 − 12.511 casos. Es decir que laprobabilidad para el segundo caso es

favorables︷︸︸︷

612 − 512 − 12.511

612︸︷︷︸

totales

= 1−(5

6

)12

− 12.1

6

(5

6

)11

∼= 0,6187

Conclusion: ¿Cual de los dos casos tiene mas chances?

1. Se lanza seis veces, y aparece al menos un 6 tiene probabilidad 0,6651;

2. Se lanza doce veces, y aparecen al menos dos 6 tiene probabilidad 0,6187.

Probablemente antiintuitivo, el primer caso tiene mayor probabilidad que el segundo.

Generalizacion: En general ocurre que

1. Seis veces, y al menos un 6: 0,6651;

2. Doce veces, y al menos dos 6: 0,6187;

3. Dieciocho veces, y al menos tres 6: 0,5973;

4. Veinticuatro veces, y al menos cuatro 6: 0,5845; etc.

Resultado: siempre es decreciente y tiende a 0,5. El siguiente grafico ilustra la situacion:

El padre y su hijo tenista: el problema del premio

Para alentar la carrera tenıstica de su hijo Guillermo, su padre Jose Roque le ofrece un premiosi es que logra ganar al menos dos sets consecutivos de un total de tres, jugando alternadamentecontra el y contra el campeon del Buenos Aires Lawn Tennis Club. Guillermo sabe que es masprobable vencer al padre que al campeon, y queda a su eleccion si jugar:

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1. padre-campeon-padre; o

2. campeon-padre-campeon.

¿Cual de las dos opciones le conviene elegir a Guillermo?

Solucion: Primero explicitemos los escenarios favorables a Guillermo

casos favorables a Guillermo

ganar dos sets consecutivos

ganar-ganar-ganar ganar-ganar-perder perder-ganar-ganar

Para fijar ideas supongamos que

• P (Guillermo le gane al padre) = 0,7

• P (Guillermo le gane al campeon) = 0,25

Luego usando la independencia de los sets tenemos que:

Si Guillermo juega. . .campeon-padre-campeon padre-campeon-padre

1. P (ganar-ganar-ganar) 0,25.0,7.0,25 = 0,04375 0,7.0,25.0,7 = 0,12252. P (ganar-ganar-perder) 0,25.0,7.(1-0,25) = 0,13125 0,7.0,25.(1-0,7) = 0,05253. P (perder-ganar-ganar) (1-0,25).0,7.0,25 = 0,13125 (1-0,7).0,25.0,7 = 0,0525

Total 1+2+3 0,30625 0,2275

Conclusion: a Guillermo le conviene jugar campeon-padre-campeon.

Generalizacion: consideremos el caso general en que

• P (Guillermo le gane al padre) = p

• P (Guillermo le gane al campeon) = c

• p > c (es mas probable que Guillermo le gane al padre que al campeon)

Y realicemos el mismo analisis que antes. Es decir tenemos que

Si Guillermo juega. . .campeon-padre-campeon padre-campeon-padre

1. P(ganar-ganar-ganar) c.p.c = c2.p p.c.p = p2.c2. P(ganar-ganar-perder) c.p.(1− c) p.c.(1− p)3. P(perder-ganar-ganar) (1− c).p.c (1− p).c.p

Total 1+2+3 c2.p+ 2c.p.(1− c) p2.c+ 2c.p.(1− p)

Haciendo un pequeno calculo es facil ver que

c2.p+ 2c.p.(1− c) > p2.c+ 2c.p.(1− p)

es equivalente ap > c

Y por lo tanto nuevamente la conclusion es que a Guillermo le conviene jugar campeon-padre-campeon.

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La ruina del jugador

Imaginemos que heredamos una fortuna de 200.000 pesos. Producto de dicha sorpresa, creemosfuertemente en nuestra suerte y decidimos jugar dicha herencia en la ruleta. Nuestra ambicion esgrande. . . sin embargo, si llegaramos a ganar 100.000 serıa suficiente para comprar la casa rodanteque tanto deseamos y dejarıamos de jugar.

Por alguna razon que desconocemos, dicha fortuna nos fue entregada en practicas monedas de1 peso, las cuales iremos jugando de a una. Surge entonces la siguiente pregunta:

¿Que probabilidad tenemos de llegar a la ganancia deseada sin antes perderlo todo?

Atencion: Obviamente en cada jugada puede suceder tanto ganar un peso como perderlo. Lasituacion tiene tres posibles desenlaces:

• Finalmente ganamos los 100.000 pesos deseados.

• Perdemos toda la fortuna heredada.

• Estar jugando toda la vida sin ganar ni perder.

Es decir:P (Ganar) + P (Perder) + P (No terminar) = 1

Antes de intentar resolver el problema, calculemos que probabilidad tenemos de ganar en laruleta en cada una de las jugadas. Una ruleta consta de 37 casilleros:

• El 0 que tiene color verde,

• 18 numeros rojos,

• 18 numeros negros.

Por lo tanto, si mi apuesta consiste en jugar a color rojo o negro la probabilidad de ganar un pesoes p = 18

37 .

Cambiando numeros por letras: Ahora escribimos una version general del problema planteadoanteriormente. Los ingredientes del mismo son:

• Un monto inicial n (en el caso anterior la herencia).

• Un objetivo final K (en el caso anterior los 300000 pesos deseados para comprar la casarodante).

• Un juego que se repite cada vez, en el cual podemos ganar una moneda mas con probabilidadp o perder con probabilidad q (en el caso anterior p = 18

37 ).

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Finalmente, lo que buscamos calcular es

gn = P (Llegar a las K monedas cuando nuestro monto inicial es n.)

¿Como calculamos dicha probabilidad?

Las siguientes dos observaciones resultan cruciales para resolver el problema:

1. Pensemos en la primera jugada de todas. Luego de jugar pueden suceder dos cosas:

• ganamos, en cuyo caso nuestro monto se vuelve n+ 1,

• o perdemos, en cuyo caso nuestro monto se vuelve n− 1.

Es decir, luego de la primer jugada nuestro monto cambia. De ahı en adelante podemospensar que el problema es el mismo que antes solo que con un monto inicial diferente. Enotras palabras, la situacion es la misma que antes, siendo la fortuna inicial diferente.

2. Cada jugada es independiente de las restantes. Es decir, lo que sucede en la primer jugadano cambia la suerte de las siguientes.

Pongamos estas dos observaciones en practica.

gn = P(Conseguir la fortuna K cuandose comienza con una fortuna n

)

= P(Ganar en la primer

partida,Conseguir la fortuna K cuando se

comienza con una fortuna n+ 1

)

+ P(Perder en la primer

partida,Conseguir la fortuna K cuando se

comienza con una fortuna n− 1

)

= p.gn+1 + q.gn−1.

Es decir, lo que finalmente obtenemos es una relacion entre la probabilidad de ganar cuandonuestra fortuna incial es n y las probabilidades de ganar cuando la fortuna incial es n+ 1 y n− 1respectivamente. Dicha ecuacion se conoce como una ecuacion en diferencias y puede reescribirseconvenientemente de la siguiente manera:

gn+1 − gn = qp(gn − gn−1), n = 1, . . . ,K − 1

g0 = 0, gK = 1.

Observemos que g0 es empezar con 0 pesos con lo cual nunca llegaremos a la fortuna deseada, ygK es comenzar con la fortuna deseada por lo tanto no es necesario seguir apostando.

Luego de algunas cuentas obtenemos una expresion explıcita para gn:

gn =1−

(qp

)n

1−(qp

)K.

Ahora estamos en condiciones de responder la pregunta incial, reemplazando en la formula anteriorcon

n = 200.000, K = 200.000 + 100.000 = 300.000, p = 1837 , q =

1937 ,

cuyo numero da g200.000 = 0.0000000 · · · < 10−24. Es decir extremadamente chico. Por lo tanto,aunque el juego no parezca tan injusto (p ∼= 0.49, q ∼= 0.51) no es una buena opcion apostar nuestrafortuna.

Pregunta: ¿Que pasa con las ruletas con doble cero?

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Algunos casos interesantes: Si el juego es justo, es decir p = q = 12 , entonces se puede ver que

la expresion quedagn = n

K

lo cual es una notable mejora al caso en que p < q. La siguiente tabla ilustra tal diferencia paradiferentes valores de n y K cuando la ruleta tiene doble cero:

n K gn, p =12 gn, p =

1838

100 200 0, 5 < 0, 00003500 600 0, 83 < 0, 00003900 1000 0, 9 < 0, 000039.900 10.000 0, 9 < 0, 0000399.900 100.000 0, 999 < 0, 00003

Observar que, en el caso del juego justo, mientras mayor es la fortuna inicial mas grandesson las chances de conseguir ganar 100 pesos mas. Sin embargo en el juego injusto (p = 18

38 ) laprobabilidad de ganar esos 100 pesos extra se mantiene siempre menor a 0, 00003.La explicacion de dicho comportamiento puede encontrarse en las expresiones para gn dadas conanterioridad tomando lımite en n cuando la diferencia K−n se mantiene constante. Dicho calculopuede encontrarse con detalle en [1].

El siguiente grafico fue obtenido mediante una simulacion del juego en el lenguaje computacionalR (ver [5]):

0 100 200 300 400

20

40

60

80

10

0

Index

Ju

ga

do

r(n

, K

, p,

l)

Puede verse simulaciones en Geogebra ([6]) de la ruina del jugador en:

• http://tube.geogebra.org/m/23945

• http://www.geogebra.org/m/1104967

Para mas detalles y referencias ver [1] y [4].

Metodo de Montecarlo para aproximar a π

El objetivo de esta actividad es obtener aproximaciones del numero π experimentalmente, mediantemetodos que involucran el azar.

El metodo Montecarlo es un metodo numerico que permite resolver problemas fısicos y matematicosmediante la simulacion de variables aleatorias. Lo vamos a considerar aquı desde un punto de vistadidactico para resolver un problema del que conocemos su solucion. El metodo Montecarlo fuebautizado ası por su clara analogıa con los juegos de ruleta de los casinos, el mas celebre de loscuales es el de Montecarlo, casino cuya construccion fue propuesta en 1856 por el prıncipe CarlosIII de Monaco, siendo inaugurado en 1861.

El metodo de Montecarlo proporciona soluciones aproximadas a una gran variedad de problemasmatematicos posibilitando la realizacion de experimentos con muestreos de numeros aleatorios. El

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http://tube.geogebra.org/m/23945

http://www.geogebra.org/m/1104967


metodo es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocastico o determinista. Este metodomejora la aproximacion cuando se aumenta la cantidad de simulaciones.

Si deseamos reproducir, mediante numeros aleatorios, la tirada sucesiva de una moneda, debemospreviamente asignarle un intervalo de numeros aleatorios a CARA y otro a CRUZ, de manera depoder interpretar el resultado de la simulacion. Tales intervalos se asignan en funcion de lasprobabilidades de ocurrencia de cada cara de la moneda. Tenemos ası:

• CARA. Probabilidad: 0,50. Numeros aleatorios: 0,000 al 0,499;

• CRUZ. Probabilidad: 0,50. Numeros aleatorios: 0,500 al 0,999.

Despues, al generar un numero aleatorio obtenemos el resultado simulado. Ası, si obtenemos elnumero aleatorio 0,385, observamos que esta incluido en el intervalo asignado a CARA.

Si tiramos un dado muchas veces, la proporcion de veces que saquemos un 5 sobre el total delanzamientos va a ser aproximadamente igual a 1/6.

Existe la posibilidad de que tiremos el dado 20 veces y salga el 5 solo una vez. En tal caso, laproporcion sera

casos favorables

casos totales=

1

20= 0,05.

¡que no se parece a 1/6 = 0, 1666 . . . ! Pero la Teorıa de las Probabilidades asegura que el azar seencargara de poner las cosas en su lugar: si repetimos el experimento muchas veces mas (cientos,miles), esa proporcion sı se va a parecer a 1/6.

Recurriendo al azar, podemos tambien obtener aproximaciones para π. Veamos dos ejemplos:

Cırculos y cuadrados: Una de las propiedades mas famosas que tiene el numero π es lasiguiente:

El area de un cırculo de radio R es igual a π.R2.

Inscribimos un cırculo en un cuadrado:

Entonces el cırculo tiene area igual a π.R2, mientras que el cuadrado tiene area igual a 4.R2.Por lo tanto la proporcion entre el area del cırculo y el area del cuadrado en el que esta inscriptoes

π.R2

4.R2=π

4.

Es notable que dicha proporcion no depende de R, es decir, de la longitud del lado del cuadrado.El metodo de Montecarlo nos asegura que si tiramos repetidas veces al aire una mostacilla sobre

la figura de arriba, y contamos como exito que caiga dentro del cırculo, entonces la proporcionentre exitos y cantidad de lanzamientos sera aproximadamente igual a π

4 . Es decir,

exitos

lanzamientos∼ π

4, o sea, 4.

exitos

lanzamientos∼ π.

Puede verse una simulacion en Geogebra ([6]) de este experimento en:


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La aguja de Buffon: Este experimento fue disenado por Buffon (Frances, de fines del sigloXVIII). Consiste en tirar un escarbadiente de longitud h sobre un tablero como este:

Las lıneas son paralelas, y estan a distancia h una de la otra. Contamos como exito a que elescarbadiente toque alguna de las lıneas, y repetimos el experimento muchas veces.

En este experimento, al no haber cırculos involucrados, no es para nada evidente que laproporcion entre exitos y lanzamientos tenga algo que ver con π. La relacion viene por el lado dela trigonometrıa, como explicamos a continuacion.

Supongamos para simplificar que la longitud del escarbadiente es igual a 1. Llamamos d a ladistancia entre el centro del escabardiente y la recta mas cercana, y llamamos α al angulo queforman el escarbadiente y la recta. Ası, α es un numero que esta entre 0 y π. Tenemos la siguientesituacion:

Entonces, estaremos ante un exito si d ≤ 12 sin(α). Podemos ubicar el resultado de nuestro

experimento en el siguiente dibujo:

Vemos entonces que la proporcion entre exitos y lanzamientos es como la proporcion entreel area sombreada y el cuadrado. El area del cuadrado es igual a π. 12 . El area sombreada lacalculamos mediante integrales, en nuestro caso, es igual a 1.

En limpio, tenemos que

exitos

lanzamientos∼ 1

π. 12=

2

π, o sea, 2.

lanzamientos

exitos∼ π.

Puede verse una simulacion en Geogebra ([6]) de la aguja de Buffon en:


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Referencias

[1] De la Cal Aguado, Jesus,El problema de la ruina del jugador,Sigma: revista de matematicas = matematika aldizkaria, (29):109–120, 2006.

[2] Feller, William,An Introduction to Probability Theory and Its Applications,vol. I, 3ra. ed., Wiley, 1968.

[3] Mosteller, Frederick,Fifty Challenging Problems in Probability with Solutions,Dover, 1987.

[4] Santos, Jesus Basulto; Camunez Ruiz, Jose Antonio; Perez Hidalgo, Ma Dolores,El problema de la ruina del jugador,Suma: Revista sobre Ensenanza y Aprendizaje de las Matematicas, (59):23–30, 2008.

[5] El lenguaje R para Estadıstica: http://www.r-project.org/.

[6] Geogebra: http://geogebra.org/.

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http://www.r-project.org/

http://geogebra.org/

.

www.ucaece.edu.ar

[email protected]

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ELEMENTOS DE MATEMATICA´ - Universidad CAECE · segundo lugar, porque la historia de la Revista...

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