Elipse

SOLUCIN TRABAJO GRUPO 10: CNICAS

20/10/2009

Ingeniera Tcnica de Obras Pblicas (E.T.S.E.C.C.P.B.)

1.- Estudiar los elementos caractersticos de cada una de las siguientes curvas y represen-

tarlas.

(i) 10x2 + y2 + 80 = 60x (ii)x2 + y2 6x+ 2y = 0(iii) 4x2 40x+ 63 = 9y2 36y (iv) 2x2 + 21y2 = 4x+ 84y 79

SOLUCIN:

(i) 10x2 + y2 + 80 = 60x (ii) x2 + y2 6x+ 2y10(x 3)2 + y2 90 + 80 = 0 (x 3)2 + (y + 1)2 10 = 0

(x 3)2 + y2

10= 1 (x 3)2 + (y + 1)2 = 10Elipse de centro y semiejes: Circunferencia de centro y radio:

C = (3; 0) a = 1 b =p10 C = (3;1) R =

p10

(iii) 4x2 40x+ 63 = 9y2 36y (iv) 2x2 + 21y2 = 4x+ 84y 794(x 5)2 9(y 2)2 100 + 36 + 63 = 0 2(x 1)2 + 21(y 2)2 2 84 = 79

4(x 5)2 9(y 2)2 = 1 2(x 1)2 + 21(y 2)2 = 7(x 5)2

1

4

(y 2)2

1

9

= 1(x 1)2

7

2

+(y 2)2

1

3

= 1

Hiprbola con asntotas y semiejes: Elipse de centro y semiejes:

y = 2 23(x 5) a = 1

2b =

1

3C = (1; 2) a =

r7

2b =

r1

3

2.- Qu tipo de curva representa cada una de las siguientes ecuaciones?

(i) x2 + y2 + 6y 4x+ 8 = 0(ii)x2 9y2 2x+ 36y = 47(iii) 5x2 + 4y2 8y = 16

SOLUCION:

(i) (ii)

x2 + y2 + 6y 4x+ 8 = 0 x2 9y2 2x+ 36y = 44(x 2)2 + (y 3)2 4 9 + 8 = 0 (x 1)2 9(y 2)2 1 + 36 44 = 0

(x 2)2 + (y 3)2 = 5 (x 1)2

9 (y 2)2 = 1

Ecuacin de una circumferencia Ecuacin de una hiprbola

(iii)

5x2 + 4y2 8y = 165x2 + 4(y 1)2 4 = 16(x2

4+

(y 1)25

= 1

Ecuacin de una elipse

3.- Escribir las ecuaciones generales de las cnicas a partir de las grcas siguientes.

SOLUCIN:

(i)Elipse de centro y semiejes: (ii)Circunferencia de centro y radio:

C = (2; 1) a = 3 b = 2 C = (0;1) R = 2(x 2)2

9+

(y 1)24

= 1 x2 + (y + 1)2 = 4

(iii)Hiprbola con asntotas y semiejes:

y = x a = 1 b = 1x2 y2 = 1


19/10/2009


1.- Estudiar los elementos caractersticos de cada una de las siguientes curvas y repre-

sentarlas.

(i)x2 + y2 6x = x+ 34

(ii)x2 + 4y2 8y 2x 6 = 0(iii) x2 2y2 + 10x 24y 83 = 0 (iv) 15x2 + 9y2 18y 36 = 0

SOLUCIN:

(i)x2 + y2 7x 34= 0 (ii)x2 + 4y2 8y 2x 6 = 0

x 72

2 49

4+ y2 3

4= 0 (x 1)2 + 4(y 1)2 1 4 6 = 0

x 72

2+ y2 52

4= 0

(x 1)211

+(y 1)2

11

4

= 1

Circunferencia de centro y radio: Elipse de centro y semiejes:

C =

7

2; 0

R =

p13 C = (1; 1) a =

p11 b =

r11

4

(iii)x2 2y2 + 10x 24y 83 = 0 (iv) 15x2 + 9y2 18y 36 = 0(x+ 5)2 25 2(y + 6)2 + 72 83 = 0 15x2 + 9(y 1)2 9 36 = 0

(x+ 5)2 2(y + 6)2 36 = 0 x2

3+

(y 1)25

= 1

(x+ 5)2

36 (y + 6)

2

18= 1

Hiperbola de asntota y semiejes: Elipse de centro y semiejes:

y = 6p18

6(x+ 5) a = 6 b = 2

p3 C = (0; 1) a =

p3 b =

p5

2.- Qu tipo de curva representa cada una de las siguientes ecuaciones?

(i) y2 + 2y 3x = 1(ii) x2 + 3y2 6y = 5(iii) x2 3y2 4x 32 = 0

SOLUCIN:

(i) (ii) (iii)

y2 + 2y 3x = 1 x2 + 3y2 6y = 5 x2 3y2 4x 32 = 0(y 1)2 + 1 3x = 1 x2 + 3(y 1)2 = 8 (x 2)2 3y2 36 = 0

(y 1)2 = 3x x2

8+

(y 12)8

3

= 1(x 2)2

36 y

2

12= 1

Parbola Elipse Hiprbola

3.- Escribir las ecuaciones generales de las cnicas a partir de los datos siguientes.

(i) Hiprbola vertical con asntota y = 1 +

p15

3(x+ 3) y a = 3.

Teniendo en consideracin la expresin de las asntotas de una hiperbla y que a = 3obtenemos que b =

p15 y que el centro es el punto (3; 1). Por tanto, la ecuacin de lahiprbola es:

(y 1)215

(x+ 3)2

9= 1:

(ii) Circunferencia con centro (1;2) y es tangente al eje de abscisas.

(x 1)2 + (y + 2)2 = 4;

ya que al ser tangente al eje de abscisas (y = 0), la distancia entre el centro y el eje serel radio.

(iii) Elipse con centro en el origen de coordenadas, que pase por (2; 1) y semieje menorb = 4.

La ecuacin general de una elipse con b = 4 y centro (0; 0) es:x2

a2+

y2

16= 1. Si

imponemos que pase por el punto (2; 1) obtenemos:

22

a2+

12

16= 1 () 4

a2+

1

16= 1 () a =

r64

15=

8p15

:

Por tanto,

x2

6415

+y2

16= 1:


10/2009


1.- Estudiar los elementos caractersticos de cada una de las siguientes curvas y repre-

sentarlas.

(i) x2 4x+ y2 + 6y + 4 = 0 (ii) 9x2 36x+ 4y2 + 16y + 16 = 0(iii) x2 6x 2y2 + 5 = 0 (iv) 3x2 + 5y2 10y 10 = 0

SOLUCIN:

(i) x2 4x+ y2 + 6y + 4 = 0 (ii) 9x2 36x+ 4y2 + 16y + 16 = 0(x 2)2 + (y + 3)2 + 4 4 9 = 0 9((x 2)2 4) + 4(y + 2)2 = 0

(x 2)2 + (y + 3)2 = 9 (x 2)2

4+

(y + 2)2

9= 1

Circunferencia de centro y radio Elipse de centro y semiejes

C = (2;3) R = 3 C = (2;2) a = 2 b = 3

(iii) x2 6x 2y2 + 5 = 0 (iv) 3x2 + 5y2 10y 10 = 0(x 3)2 4 2y2 = 0 3x2 + 5((y 1)2 1) 10 = 0(x 3)2 2y2 = 4 3x

2

15+

5(y 1)215

= 1

(x 3)24

y2

2= 1

x2

5+

(y 1)23

= 1

Hiprbola con asntotas y semiejes Elipse de centro y semiejes

y = p2

2(x 3) a = 2 b =

p2 C = (0; 1) a =

p5 b =

p3

4.- Indicar si las siguientes armaciones son verdaderas o falsas.

(a) La hiprbola es el lugar geomtrico de los puntos del plano tales que el valorabsoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos jos, llamados focos, es igual a

una constante positiva. V

(b) La circunferencia es la curva interseccin de un cono recto con un plano paralelo ala base de ste. V

(c) La parbola es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de unpunto jo llamado foco, y de una recta llamada directriz. V

(d) La hiprbola es el lugar geomtrico de los puntos del plano tales que la suma de lasdistancias a dos puntos jos llamados focos es constante. F) Esta denicin correspondea la elipse. En la hiprbola lo que se mantiene constante es el mdulo de la diferencia de

distancias a los focos.

(e) La elipse es la curva interseccin de un cono recto con un plano perpendiculara la base de ste. F ) Si intersecamos un cono con un plano perpendicular a su baseobtendramos hiprbolas, pero nunca elipses.

3.- (i) Sabiendo que una elipse tiene como centro el punto (1; 3), que pasa por el punto(5; 2) y que el semieje mayor (a) es el doble del semieje menor (b), encontrar los valoresde dichos semiejes y escribir la ecuacin de la elipse.

Ecuacin general de la elipse:

(x x0)2a2

+(y y0)2

b2= 1

En nuestro caso tenemos

(5 1)24b2

+(2 3)2

b2=

16

4b2+

1

b2= 1 Por tanto, resulta b2 = 5,

y los entonces b =p5 y a = 2

p5, ya que valores negativos para los semiejes no tienensentido. Finalmente, la ecuacin de la elipse es

(x 1)220

+(y 3)2

5= 1

(ii) Hallar la ecuacin de una circunferencia de centro (2; 4) y longitud 8.

Sabiendo que la longitud de una circunferencia es 2r deducimos que el radio de lacircunferencia ser r = 4. Por lo que la ecuacin buscada es

(x+ 2)2 + (y 4)2 = 16

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