EM1_511_2003_Cap_4_EJES_Apuntes

RBOLES Y EJES

1 Introduccin

2 Proyecto de ejes en cuanto a resistencia

a. Proyecto de ejes segn cdigo ASME

b. Proyecto de ejes segn Fatiga

c. Proyecto de ejes segn ANSI/ASME

3 Proyecto de ejes segn deformacin torsional

4 Proyecto de ejes segn deformacin transversal

5 Velocidades crticas de los ejes

a. Masa nica sobre el eje

b. Eje con varias masas

Daniel Milovic S REGRESAR

1

1 INTRODUCCIN

Un rbol es un elemen-to estacionario o giratorio, usualmente de seccin trans-versal circular, que lleva montado sobre l, elementos para transmitir potencia, tales como engranajes, poleas, vo-lantes, etc. Los rboles pue-den estar sometido a cargas axiales (Traccin, compresin ), cargas torsionales, cargas flexionantes, actuando indivi-dualmente o en combinacin unas con otras.

Un eje es un rbol, ya sea estacionario o giratorio que no es sometido a cargas de torsin

Un husillo es un rbol rotatorio corto

En general se despre-cian el peso de los elementos que van montados sobre el eje, como tambin su propio peso.

El diseo se realiza considerando su resistencia y deformacin. Cuando sea po-sible, los elementos de trans-misin de potencia deben ubi-carse lo ms cerca posible de los soportes, de este modo se reduce el momento flector , y en consecuencia, las deflexiones y esfuerzos de flexin.

Figura 1 rbol con engranajes

Superficie fija

FT

Figura 2 Eje

Figura 3

Ejes Daniel Milovic Solis 30 Julio 1997 Impreso : septiembre 28, aa

2

2 PROYECTO DE EJES EN CUANTO A RESISTENCIA

El dimetro del eje, o el dimetro de cada seccin, depender de los esfuerzos combinados debido a las cargas que actan sobre el eje. Para ello es necesario conocer la distribucin de torques y momento flector a lo largo del eje; de este modo se deter-mina la seccin en que el momento flector es mximo y la seccin en que el momento torsor es mximo.

El eje puede ser de dimetro constante o de dimetro variable; en cualquier ca-so, las secciones del eje deben estar sometidas a esfuerzos de seguridad, teniendo en cuenta los enlaces, chaveteros y otros concentradores de esfuerzos.

El diseo de ejes sometidos a cargas fluctuantes puede hacerse por la teora del mximo esfuerzo cortante o por la teora de la energa de distorsin (Von Mises).

Considere un eje de seccin circular, sometido a una carga axial P, un momento flector M y un torque T. Generalmente el momento torsor y la carga axial son estacio-narios y los esfuerzos de flexin son variables.

= PA

P

=max M d 2 I

M

= T d

2 Jmax

T

Figura 4 Tipos de carga y esfuerzos aplicados sobre eje

Para un eje macizo, los esfuerzos mximos son:

D M32 = a

D T 16 = m

D P 4 = m

332 Para un eje hueco con dimetro interior d y exterior D, con una razn entre di-

metros B = d / D , los esfuerzos mximos son:

)B-(1D M32 = a

)B-(1D T 16 = m

)B-(1D P 4 = m

434322

donde el subndice m y a indican que los esfuerzos son medios o alternos.


3 2.1.- PROYECTO DE EJES SEGN CDIGO ASME

Es un mtodo emprico de diseo que no considera las propiedades de fatiga del material ni la cantidad de concentracin de esfuerzos. Se basa en la teora del mximo esfuerzo cortante, y en consecuencia, es aplicable a materiales dctiles. Considera fac-tores de fatiga y choque combinados como factores multiplicativos del momento flec-tor y del momento torsor.

El cdigo define un esfuerzo cortante de diseo que es el valor ms pequeo de los que se indican:

Ssd = 0,30 Sy Ssd = 0,18 Su Si existe chavetero en la seccin que se proyecta, estos valores deben multipli-

carse por 0,75 (Considera una reduccin del 25%) Considere un eje sometido a carga axial P, Torque T y momento flector M . Los

sfuerzos aplicados s n: e o Tipo de Carga Esfuerzo

donde

Carga Axial Momento flector Torque

Ks) B - 1 ( D

T16 = t

Km) B - 1 ( D

M32 = f

) B - 1 ( DP4 = a

43

43

22

Factor de pandeo Km Factor de impacto y fatiga

en flexin Ks Factor de impacto y fatiga

en torsin.

Tipo de Carga Factor de pandeo Traccin Compresin Esbeltez (L/k) mayor que 120 Compresin. Esbeltez (L/k) menor que 120 y mayor que 30

E4nkLSy

-1

1=

EnkLSy

=

1=

2

2

2

2

k radio de giro n = 1 Extremos articulados n = 2 Extremos fijos n = 1,41 Extremos restringidos parcialmente.


4

Factor combinado de impacto y fatiga aplicable al momento flector y/o al mo-

mento torsor. Tipo de carga

Km

Ks

Ejes Fijos (Esfuerzo de flexin sin inversin). Carga aplicada gradualmente. Carga aplicada repentinamente.

1

1,5 - 2

1

1,5 - 2 Ejes Giratorios Carga constante o aplicada gradualmente Carga aplicada bruscamente con choque ligero Carga aplicada bruscamente con choque fuerte.

1,5 1,5 - 2 2 - 3

1

1- 1,5 1,5 - 3

La teora del esfuerzo cortante mximo establece que el esfuerzo de diseo ad-

misible es igual al esfuerzo cortante mximo:

)B-(1DT Ks 16 +

41

)B-(1D MKm 32 +

) B -(1DP 4 = Ssd

+ 2

= Ssd

43

2

4322

2

22

32 2

24

MKm + 8

) B + (1 D P + ) T (Ks ) B-(1 Ssd

16 = D

Se extrae raz y se asla el dimetro, para obtener : 2.2.- PROYECTO DE EJES SEGN FATIGA

El cdigo de diseo de ejes de transmisin ASME (ASA-B17C-1927) fue reti-rado en 1954 debido a que se encontr conservativo en algunos casos y incompleto en otros casos. El enfoque mediante fatiga de materiales de Soderberg, para materiales dctiles, es de carcter lineal y emplea datos provenientes de tensin simple y es com-pletamente conservador.


5 Criterio de Soderberg. Frmula bsica : 1 =

Sym n +

Sna n

Si se considera el criterio de fatiga de Soderberg y la teora de falla del esfuerzo cor-tante mximo, la ecuacin de diseo es:

donde los esfuerzos equivalentes normal y en corte son:

1 = nsSe N +

nSe N

22

El significado de los smbolos es:

a Kfs + Sys

nsSm = e a Kf + Sy

nSm = e

S=n Cr Cs Cf Sn Lmite a la fatiga del material considerando Confiabilidad, tamao y acabado superficial.

S=ns Lmite de fatiga del material en corte. Sn Lmite de fatiga del material. Sy Esfuerzo de fluencia del material Sys Esfuerzo de fluencia al corte del material. Segn teora del esfuerzo cor-

tante mximo su valor es Sys = 0,5 Sy. Si se aplica la teora de Von Mi-ses, es Sys = 1 / 3 Sy = 0,577 Sy

m Esfuerzo normal aplicado. Componente media a Esfuerzo normal aplicado. Componente alterna m Esfuerzo cortante aplicado. Componente media a Esfuerzo cortante aplicado. Componente media

Considerando de la Carga axial (P) y del Torque (T) su componente media y del Momento flector(M) su componete alterna, y reemplazando en la expresin anterior se obtiene la ecuacin de diseo para ejes :

1 Sys1

)B-(1D16T

N + nSKf

)B-(1D32M +

Sy1

)B-(1DP4

N 43

22

4322

22

donde N Factor de seguridad Kf Coeficiente concentracin de esfuerzos a la fatiga para esfuerzos norma-

les. Deben considerarse los cambios de dimetros de la seccin, ubica-cin de los chaveteros o ajustes de apriete.

D Dimetro del eje en la seccin de anlisis. Para relacionar los esfuerzos admisibles normales y cortantes es ampliamente


6

utilizada la teora de energa de distorsin mxima donde Sy23 = Sys

Utilizando mtodos iterativos para resolver en forma no explcita, el dimetro es:

3

22 2

4 Sys2T +

nSMKf +

Sy8) B + (1 D P

) B-(1 32N = D

2.3.- PROYECTO DE EJES SEGN ANSI/ASME La norma actual ANSI/ASME de USA ADesign of Transmission Shafting@, correspon-de al ao 1985 y establece mediante informacin basada en experimentos, que la falla ante combinaciones de flexin, torsin y carga axial para materiales dctiles se utiliza la ecuacin elptica :

Observe que se han separados las componentes de las cargas provenientes por cargas estticas (Subndice m ) y las cargas dinmicas (Subndices a).

1 = Sy

m N+nS

a N22

Los esfuerzos alternos, considerando Torsin, Flexin y carga axial son:

Para relacionar los lmites de fatiga normal y cortante, utilizar la teora de Von Mises, u otra. Para los esfuerzos medios, el material dctil distribuye esfuerzo ate-nuando los concentradores de esfuerzos. Por este motivo, no se consideran en la si-guiente relacin.

nsSTaKfs +

nSMaKf +

nS8)B+(1DPaKf

)B-(1DN32 =

nSaN 22p

2

43

Reemplazando en la ecuacin del cdigo ANSI/ASME y despejando el dime-tro, se obtiene:

SysTm +

SyMm +

Sy8)B+(1DPm

)B-(1DN32 =

SymN

22 2

43

Prefiera los dimetros normalizados de ejes, que son: 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 125, 140, 160, 180, 200 (aumentando de 20 en 20 hasta los 500 mm)

34 B-(1

32N = D 222 2

nSMKf +

Sys2T +

Sy8) B + (1 D P

)


.rehacer ecuacion desde el Norton

7

EJEMPLO 1

Un eje de acero ANSI 1040 estirado en fro transmite un torque de 1000 N.m y en el punto de anlisis tiene un momento flector alterno de 1100 N.m y una carga axial de 20000 N. El factor de concentracin de esfuerzos a la fatiga vale 1,88 ; factor de tamao para dimetro superior a 2 pulga-das Cs = 0,81 , el factor de confiabilidad para 99% de sobre vivencia Cr = 0,81 y acabado superficial mecanizado Cf = 0,90 . Calcular la seccin del eje para un factor de seguridad de 1,6 . El material tiene un esfuerzo ltimo de Su = 690 Mpa, Esfuerzo de fluencia Sy = 580 Mpa . El lmite de fatiga se estima en Sn = 0,5 Su = 345 Mpa. El lmite de fatiga para la pieza es : S=n = Cs Cr Cf Sn = 214 Mpa a) Clculo segn Criterio de Soderberg mediante la teora de falla de Esfuerzo cortante mxi-

mo. Segn la teora de falla: Sys = 0,5 Sy = 290 MPa Para la primera iteracin se toma D = 0

5,42cm=2902

1000+214

11001,881,632=D

Sys2T +

nSMKf +

Sy8) B + (1 D P

) B-(1 32N = D

3

22

3

22 2

4

En la siguiente iteracin, se obtiene 5,473 cm b) Clculo segn Criterio de Soderberg mediante la teora de falla de Von Mises. Segn la teora de falla: Sys = 1/3 Sy = 0,577 Sy = 334,86 Mpa Con la ecuacin anterior, se obtiene D = 5,466 cm

c) Segn el cdigo ANSI/ASME, mediante la teora de falla de Von Mises :

21411001,88+

334,8621000+

58080.05420000

nSMKf +

Sys2T +

Sy8) B + (1 D P

) B-

22

22 2

4

1,632=D

(1 32N = D

3

3

D = 5,670 cm


8 3 PROYECTOS DE EJES SEGN DEFORMACIN TORSIONAL

Para grandes longitudes de rbol, frecuentemente no debe rebasarse un determi-nado ngulo de torsin, de modo que ste llega a ser decisivo para la eleccin del di-metro del rbol. Los criterios para limitar la desviacin por torsin varan desde 0,25 1 por metro para rboles de maquinaria hasta 3,21 por metro para rboles de transmisin. (Faires). El ngulo por unidad de longitud se calcula por:

JG T =

L

donde : ngulo girado (radianes)

L Longitud del eje (cm) T Torque (kgf / cm2 ) G Mdulo de rigidez ( kgf / cm2 ) J Momento polar de inercia ( cm4)

4 PROYECTOS DE EJES SEGN DEFORMACIN TRANSVERSAL

Los datos sobre valores admisibles de las deformaciones son raros, debido a que el intervalo de valores sera grande y cada situacin tiene sus caractersticas. Una anti-gua regla emprica segn Faires, para rboles de transmisin, es que la deformacin no debe exceder 0,83 mm por metro entre apoyos. Para ejes de maquinaria, la deforma-cin admisible puede acercarse a 0,16 mm por metro entre apoyos. Para engranajes cnicos, las ruedas dentadas no deben elevarse o descender ms de 0,076 mm. En en-granajes cilndricos, la deformacin mutua relativa debe ser menor que 0,127 mm y la pendiente relativa entre ejes, cuando estos estn engranados, esta limitada a 0.0005 rad.

Las deformaciones transversales se deben al efecto de viga en ejes largos. Para encontrar la flecha mxima, debe resolverse la ecuacin :

I EM =

xdyd2

2

donde M Momento aplicado en el eje o rbol ( N.m)

E Mdulo de elasticidad (Pa) I Momento de inercia (cm4)


9 5 VELOCIDADES CRITICAS DE LOS EJES 5.1 Masa nica sobre el eje

Generalmente el centro de gravedad de un cuerpo giratorio simtrico no coinci-de con el centro de rotacin debido a que es prcticamente imposible conseguir que la masa este uniformemente distribuida alrededo a deflexin esttica causada por los pesos de lo a separacin entre centros de masa y el centro d

Cuando el eje aumenta su velocidad de r e las masas montadas sobre el eje. Cuando la en -cial producida por la deflexin esttica de las m -tamente. Esto se debe a que la fuerza centrfuga -plazado es igual a la fuerza de deformacin estde sentido, se produce una vibracin violenAvelocidad crtica@ y la deformacin del eje pvelocidad mayor que la crtica, se vuelve a alccionamiento normal uniforme.

Considere un disco de peso W montado sobre un eje de peso despreciable comparado con el disco. Suponga que el peso W se des-plaza de su posicin neutra por medio de una fuerza de desplazamiento una cantidad y si no se excede el lmite elstico del eje, ste tende-r a recuperarse por medio de una fuerza res-tauradora ky, que depende de la rigidez flexional del eje. Si se quita la fuerza de des-plazamiento, y despreciando la amortigua-cin, el peso W se desplaza la distancia y en la direccin opuesta. Al hacer esto, la accin restauradora del eje ejerce una fuerza de ace-leracin sobre el peso, la que es igual y opuesta a la fuerza de desplazamiento. Luego:

0 = dt

yd g

W +ky

-ma=yk

2

2

Ejes Daniel Milovic Solis 30 Julio 1997 Impreso : septiembre 28, aa r del centro geomtrico del cuerpo, y ls componentes sobre el eje causan une rotacin. otacin, aumenta la energa cintica derga cintica alcanza la energa poten

asas, el eje comienza a vibrar violen que acta sobre el centro de masa des

tica y como la fuerza centrfuga vara ta. A esta velocidad se le denomina

resenta sus valores mximos. Para una anzar un estado de equilibrio con fun-

y

ky

ma

Figura 6

W

yPosicin desplazada

Posicin inicial

Figura 5

10

Esta ecuacin diferencial tiene como solucin general :

t

Wkg senC + tW

kg C =y 21 cos

Seleccionando el origen del tiempo para t = 0 y = ymax dy/dt = 0 se obtienen los valores de las constantes de integracin. Reemplazando stos se obtiene la ecuacin de la elstica:

t Wkg y =y cosmax

que corresponde al movimiento armnico simple con frecuencia W

k g = Considere el caso de un disco de peso W montado sobre un eje de peso despre-

ciable cuyo centro geomtrico no coincide con el centro de gravedad del disco, como se observa en la figura 7.

Donde S Centro del eje en el disco

W

yPosicin desplazada

Posicin inicial

Centro de gravedad

r

e

t SG

Figura 7 Representacin del volante con centro de gravedad G

G Centro de gravedad del disco e Excentricidad del disco. r Deflexin del eje (Cuanto se flexta el eje por la fuerza aplicada. m Masa del disco

Si el eje gira a una velocidad de [rad / s], sobre la masa del disco actuan la fuerza restauradora del eje, y que es proporcional a su deflexin , y la fuerza centrfu-ga, dirigida desde el centro de rotacin hacia afuera.

La fuerza centrfuga, que hace que el eje se flecte una distancia r esta dada por:

La fuerza restauradora que trata llevar al eje a su posicin original es: ) e + r ( m = a m = Fc 2c

r k = Fr


11

Ambas fuerzas estan en equilibrio, por lo cual:

Observe que aunque la excentricidad e sea extremadamente pequea, el desplazamien-to r de la posicin de equilibrio ser de una magnitud importante si la expresin del denominador es cercana a cero. A la frecuencia que ocurre esto se le llama frecuencia natural del sistema, o velocidad crtica.

e -

mk

= r ) e + r ( m = kr2

22

s

rad mk = n

Reemplazando la velocidad crtica en la ecuacin del desplazamiento,

Cuando la frecuencia de rotacin del eje es igual a la frecuencia natural, se produce resonancia y la deformacin del eje es alta. Para velocidades de rotacin bajas, la deformacin del eje (r) es prcticamente nula. A medida que se incrementa la velocidad, se incrementa la deformacin, hasta llegar a valores muy elevados para la frecuencia natural. Para velocidades sobre la crtica, disminu-ye la deformacin, hasta llegar a coincidir el centro de rotacin con el centro de gra-vedad G. De este modo, a altas velocidades, el centro de gravedad permanece en repo-so. A velocidades bajo la crtica, el A lado pesado @ viaja afuera, mientras que a velo-cidades sobre la crtica, el lado liviano viaja afuera.

) n / ( - 1)n / ( e = r 2

2

r n

e

r

S

G

Para un eje de seccin transversal constante, sin otra masa que la de su propio peso, la velocidad critica es:

(rpm) yg30 = ) s/ rad(

yg =

Wg k =

y k = W pero mk = c

Cmaxmax

max


12

Para el eje macizo de seccin transversal constante, se modifica el valor aumen-tndolo en un 25 %

donde ymax es la flecha mxima producida por una carga distribuida uniformemente sobre el eje igual a su propio peso.

yg

45 30 = C

max

3.5.2 Eje con varias masas

Considere un eje de peso desprecia-ble con varios discos montados sobre l. Debido al peso, los elementos de peso W1, W2, W3, , , se deforma las distancias y1, y2, y3. Se asume que la forma de la deformacin del eje durante la vibracin es la misma que la curva de deformacin es-ttica. Despreciando la amortiguacin del sistema, no existir perdida de energa en el sistema:

y2y1

W2 W3W1

y3

En la posicin de flexin mxima, toda la energa es potencial, puesto que el eje esta momentaneamente en reposo. Luego:

2x k = dx x k = Fdx = Ep Potencial Energa

2vm = dv v m = Ec cintica Energa

2

2

En la posicin media, el centro de gravedad coincide con el eje de rotacin, por cuanto el eje no esta flexionado, luego la energa cintica es:

y k 21 = ...+ y k2

1 + y k21 + y k2

1 = Ep 2nnn

=1n

233

222

211

Reemplazando la masa por el peso, e igualando las energas cintica y potencial, ya que la suma de energa se conserva, se obtiene:

y m21 = ...+ )y (

2m + )y (

2m + )y (

2m = Ec 2nn

n

=1n

223

322

221

1

y W g

21 = y k 2

1 2nn

22nn

y g

W

y k = 2n

n

2nn2

C


13

-

Se asume que la forma de deformacin del eje durante la vibracin es la misma de la curva de deformacin esttica y que se encuentra en el rango de proporcionalidad de deformaciones. Como W1 = k1 y1, reemplazando en la ecuacin anterior, se obtie-ne la ecuacin de Rayleigh - Ritz :

donde : c Velocidad crtica ms baja del sistema

(rpm) y W y W g 30 = (rad/s)

y W y W g = 2

nn

nn2nn

nnC

Wn Peso de cada elemento del eje yn Flecha del eje en los puntos

de aplicacin, debido al peso de todas las masas actuando simultneamente en forma es-ttica.

La ecuacin de Rayleigh-Ritz determina la velocidad crtica ms baja del sistema, es decir, aquella en que la elstica del eje no presenta cambio de curvatura. Adems es aquella que tiene mayor amplitud.

Primera velocidad crtica

W2 W3W1

Segunda velocidad crtica

W2

W3

W1

Tercera velocidad crticaW2

W3W1

Otra aproximacin para determinar la velo-

cidad crtica es la proporcionada por la ecuacin de Dunkerley.

Donde i es la velocidad crtica que existira con la presencia aislada de la masa mi

.... + 1 + 1 + 1 = 1 23

22

21

2C

Bibliografa Diseo de elementos de mquinas ; Robert L. Mott 20 edicin 1992 Prentice Hall

Hipanoamericana, S.A. Standard Handbook of Machine Design; J. E Shigley & C. R. Mischke ; 1986 ; McGraw-Hill Inc. Diseo de ingeniera mecnica ; C.R. Mischke & J.E. Shigley ; 50 edicin 1992 ; McGRAW-HILL Fundamentals of Machine Component Design ; Robert C. Juvinall 1983 John Wiley

& Sons, inc. Diseo de elementos de mquinas ; V M Faires 1982 UTEHA


14 3.- ARBOLES Y EJES..........................................................................................1

3.1 introduccin ...............................................................................................1 3.2 proyecto de ejes en cuanto a resistencia ....................................................2

3.2.1.- proyecto de ejes segn cdigo asme.................................3 3.2.2.- proyecto de ejes segn fatiga............................................4 3.2.3.- proyecto de ejes segn ansi/asme .....................................6

3.3 proyectos de ejes segn deformacin torsional ....................................8 3.4 proyectos de ejes segn deformacin transversal 8 3.5 velocidades criticas de los ejes .............................................................9

3.5.1 masa nica sobre el eje.................................................................9 3.5.2 eje con varias masas ...................................................................12


1 INTRODUCCIN2 PROYECTO DE EJES EN CUANTO A RESISTENCIA2.1.- PROYECTO DE EJES SEGN CDIGO ASME2.2.- PROYECTO DE EJES SEGN FATIGA2.3.- PROYECTO DE EJES SEGN ANSI/ASME3 PROYECTOS DE EJES SEGN DEFORMACIN TORSIONAL4 PROYECTOS DE EJES SEGN DEFORMACIN TRANSVERSAL5.1 Masa nica sobre el eje3.5.2 Eje con varias masas

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