Equilibrio Con Fuerzas No Paralelas

Equilibrio de sólidos Rígidos con Fuerzas Coplanares No-Paralelas

2.2.-EQUILIBRIO DE SÓLIDOS RIGIDOS CON FUERZAS COPLANARES NO PARALELAS.

Para el estudio de los cuerpos en equilibrio, es importante recordar que las fuerzas coplanares son aquellas que se encuentran en un mismo plano, las cuales son analizadas bajo un marco de referencia de dos dimensiones, “ X; Y “.Un sistema de fuerzas coplanares no paralelas, es aquel que se presenta cuando concurren en un punto en común, además, las siguientes leyes de Newton son fundamentales para el estudio de la estática.

PRIMERA LEY DE NEWTONTodo cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, a menos que sea obligado a cambiar ese estado por una fuerza no equilibrada aplicada sobre él.

TERCERA LEY DE NEWTONA toda acción corresponde una reacción de igual magnitud pero de sentido contrario, la acción mutua entre dos cuerpos en contacto siempre es igual y dirigida a puntos contrarios.

Se debe de tener en cuenta que los elementos analizados dentro de esta unidad se encuentran sujetos a dos esfuerzos principales: Tensión y Compresión, por lo cual se debe tener mucho cuidado al analizar los diagramas de equilibrio para entender el efecto causado sobre cada elemento en su momento.

Tensión es el efecto de dos fuerzas iguales y opuestas que se apartan entre sí; esta fuerza puede actuar en cualquier punto del elemento, ya que causa el mismo efecto en cualquier parte del elemento, siempre y cuando su aceleración sea nula o constante.

Compresión es el efecto de dos fuerzas iguales y opuestas que se acercan entre sí; esta fuerza se puede presentar en cualquier punto del elemento, en forma semejante al de la fuerza de tensión.

Las fuerzas de tensión y de compresión se presentan principalmente dentro de los elementos que se encuentran uniendo dos cuerpos o soportando un cuerpo, como ejemplo tenemos: los cables que soportan la estructura de los puentes, las estructuras que sostienen un anuncio colgante, las columnas que soportan una estructura de la losa de un puente o un edificio, etc.


cables a tensiónW W

Columnas trabajando a compresión

En la losa que soporta los objetos, las columnas, son los elementos que se encuentran trabajando a compresión, debido a que sus fuerzas interiores tienden a mantener unidas cada una de sus moléculas. Mientras que en los cables que soportan la estructura de un puente se encuentran trabajando a Tensión, ya que las fuerzas interiores del cable tienden a separar las partículas del mismo.

Los ejemplos de Tensión los podemos observar en aquellos elementos que tienden a mantener unidos a dos cuerpos.

Los cables del puente se encuentran a tensión.

Cada una de las columnas que soportan las losas de un edificio están sujetas a Compresión.


2.2.1.- CONDICIONES DE EQUILIBRIO

Cuando todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son concurrentes y la suma vectorial es cero, se dice que el cuerpo se encuentra en equilibrio, tal y como lo muestra la siguiente figura, donde una piñata se sujeta por un lazo el cual forma dos tramos de cuerda al colgarla en un punto medio.

F1 F2

W

En el estudio de los cuerpos rígidos en equilibrio bajo la acción de fuerzas coplanares no paralelas, se aplica la primera condición de equilibrio.

La cual establece que:

Para el caso de fuerzas coplanares, una representación equivalente de esta condición se cumple con la suma vectorial de sus componentes, que es igual a cero; es decir:

FR = F = 0

Fx = 0

Fy = 0


2.2.2.-EQUILIBRIO BAJO LA ACCIÓN DE TRES FUERZAS NO PARALELAS (CONCURRENTES)

Para resolver ejercicios de sólidos rígidos en equilibrio con fuerzas coplanares no paralelas, es conveniente considerar los siguientes puntos:

Leer y comprender la situación presentada Elaborar un diagrama de cuerpo libre

Descomponer las fuerzas que participan Aplicar la primera condición de equilibrio:

Recordando que:

Fx = 0

Fy = 0

Fx = F cos Fy = F sen

T1


Ejercicios resueltos:

1.- Un objeto de 10 N, está suspendido por medio de dos cuerdas tal y como se muestra en la figura, ¿Cuál es la tensión en cada una de las cuerdas que lo sostienen?

30ª T2 T2

=60° T1

W W= 10 N

figura Diagrama de C. libre

La tensión es una fuerza y se presenta en la cuerda.

Datos: Fórmulas:W = 10 N Fx = F cos T1 =? Fy = F sen T2 =? Fx =0

Fy = 0 Desarrollo:Fx =0; T1 - T2cos 60° = 0; T1 = 0.5 T2 . . . . . . (1)

Fy = 0; T2 sen 60° - W = 0; (0.866)T2 = W. . . . (2)

sustituyendo en (1) T1 = (0.5) 11.55 N


Respuesta: Resolviendo para la Ec. (2), se tiene.

T2 = = 11.547 N sustituyendo T2 en Ec. (1)

T1 = 0.5 T2 =

T1 = 5.774 NT2 = 11.547 N

2.- Un cuadro está sostenido por medio de dos cuerdas, tal y como se muestra en la figura, Si la tensión máxima de la cuerda 2, es de10 lb. ¿Cuál debe ser el peso máximo del cuadro para que lo sostengan las cuerdas?

60° 45° T2 T1 T2 T1

60° 45°

W

figura Diagrama de Cuerpo Libre

Datos: Fórmulas:

T2 = 10 lb Fx = F cos T1 =? Fy = F sen W =? Fx = 0

Fy = 0

Desarrollo:

Fx = 0; T1cos 45 - T2 cos 60° = 0

T1(0.7071) - T2(0.5) = 0 . . . . (1)

Fy = 0; T1sen 45° + T2 sen 60° - W = 0

T1(0.7071) + T2(0.866) = W. . . . . (2)

despejando T2 en función de T1


T2 =T1 = T1 (1.4142)

T1 = = 7.071 lb

Sustituyendo valores en (2) se obtiene el peso máximo del cuadro.

W = (7.071 lb)(0.7071) + (10 lb)(0.8660)

Respuesta: W = 13.660 lb.3.- Se aplican dos fuerzas a una partícula tal y como se muestra en la siguiente figura, ¿Dé qué magnitud es la fuerza equilibrante necesaria y en que dirección debe actuar, para mantener el sistema en equilibrio?

Figura Diagrama de Cuerpo libre

Datos: Formulas:

F1 = 4 lb; 1 = 30º Fx = F cos

F2 = 6 lb; 2 = 120º Fy = F sen

FE =? FE = - FR

FR2 = Fx2 + Fy2

Fx = Fx1 + Fx2

Fx = F1 cos 1 + F2 cos 2 = (4 lb)(cos 30º) + (6 lb)(cos 120º)

Fx = (4 lb)(0.866) + (6 lb)(-0.5) = 3.4641 lb - 3.00 lb = 0.464 lb

Fy = Fy1 + Fy2


Fy = F1 sen 1 + F2 sen 2 = (4 lb)(sen 30º) + (6 lb)(sen 120º)

Fy = (4 lb)(0.5) + (6 lb)(0.866) = 2 lb + 5.196 lb = 7.196 lb


FR = (0.464 lb)2 + (7.196 lb)2 = 0.215 lb2 + 51.782 lb2

FR = 7.211 lb

Respuesta: FR = 7.211 lb; = 86.31º = 86º18’38”

FE = 7.211 lb; = - 86.31º = 266º 18’ 38”


4.- Las vigas A y B de la figura, se usan para soportar un peso de 400 N. Sin considerar sus pesos, encuentra el valor de las fuerzas que actúan en cada una de las vigas e indica si se encuentran sometidas a tensión o compresión.

Datos :W = 400 N.

W B A = ?A B = ?

60° 30°

FiguraFormulas:

A Fx = F cos Fy = F sen Fx = 0

60° Fy = 0

30° B

W= 400 N.

Diagrama de Cuerpo Libre

Desarrollo: Fx = 0; Fx = B cos 30° - A cos 60° = 0

Fx = B (0.866) - A (0.5) = 0;

Fx = 0.866 B - 0.500 A = 0

A = 0.866 B / 0.50 = 1.732 B . . . (1)

Fy = 0; Fy = A sen 60° - B sen 30° -W = 0; sustituyendo valores:

Fy = 1.732(0.866)B - (0.5) B - 400 N = 0

B =

Respuesta: B = 400.0 N (Tensión)

Sustituyendo en. .(1) A = 692.8 N (Compresión)


5.- Si el peso del bloque mostrado en la siguiente figura, es de 80 N; ¿Cuales son las tensiones que se presentan en cada una de las cuerdas A y B?

40° B

B 40° A

A

W w = 80 N

figura Diagrama de Cuerpo libre

Datos: Fórmulas:

W = 80 N Fx = F cos

A = ? Fy = F sen

B = ? Fx = 0

Fy = 0

Desarrollo:

a) Suma de componentes :

Fx = 0; Fx = B cos 40° - A cos 0° = 0; B(0.766) = A . . . . (1)

Fy = 0; Fy = B sen 40 - W = 0; B(0.6428) = 80 N

Despejando B de (2) y sustituyendo en (1) se tiene:

B =

Respuesta: B = 124.458 N

A = 124.458 N (0.766) A = 95.335 N.

2.2.3.- TEOREMA DE VARIGNÓN


“ El momento de torsión de la resultante de un sistema de fuerzas con respecto a un punto de referencia, es igual a la suma de los momentos de torsión de cada una de las fuerzas respecto a dicho punto”

Ejercicios resueltos:

1.- Si consideramos el siguiente arreglo de fuerzas coplanares, se puede obtener que:

20 cm 50°

F1 = 60 N A r1

30 cm r2

70° F2= 80 N

r1 = (20 cm) sen 50º = 15.321 cmr2 = (30 cm) sen 70º = 28.191 cm

Considerando el punto A como el eje de rotación, el momento de torsión de F1 es negativo debido al giro que se produce, mientras que la fuerza F2 produce un momento positivo, por lo cual el momento de torsión resultante será:

MR = M = M1 + M2 + M3 + . . . . .( 1 )


MR = - (60 N)(15.321 cm) + (80 N)(28.191cm) = - 919.26 N cm + 2,255.28 N cm = 1,336.02 N cm

Respuesta: MR = 1,336.02 N cm2.- ¿Cuál es el momento de torsión resultante respecto al punto C, de acuerdo a la figura siguiente?

F1 = 20 lb

4’ F2 =40 lb

40°

C 6’

F1

r1=4’ Fy2= F2 sen 40°Diagrama de fuerzas.

r X 2= 0 C r Y 2=6’ Fx2=F cos 40°

Desarrollo:

MC = - F1 r1 + Fy2 r2 + Fx2 r3

MC = -(20 lb)(4ft) + (40 lb)(sen 40°)(4 ft) + (40 lb)(cos 40°)(0)

MC = -80 lb ft + 102.846 lb ft +0 = 22.846 lb ft

Respuesta: MR = 22.846 lb ft.

MR = M1 + M2 = - F1 r1 + F2 r2


Ejercicios propuestos:

1. ¿Qué es Equilibrio de cuerpo sólido?

2. ¿Cuáles son los pasos que se siguen para elaborar un diagrama de cuerpo libre?

3. ¿Qué son fuerzas concurrentes?

4. ¿Qué es una fuerza equilibrante, y como se determina?

5. En un cuerpo sostenido por dos cuerdas, ¿Cuál de las dos cuerdas, tendrá mayor tensión, la de mayor ángulo o la de menor ángulo?

6. Si la cuerda B de la fig. A, se rompe con tensiones mayores que 200 lb. ¿Cuál es el peso máximo W que se puede soportar por el sistema?

W= 128.56 lb.

7. Determina la compresión en el soporte B y la tensión en el cable A de la fig. B, en donde se coloca un peso de 600 N. (no considere el peso del soporte).

A= 519.60 NB= 300.00 N


8. Una piñata de 400 N se suspende de dos postes con cuerdas que forman ángulos como se muestra en la fig. C. ¿Determina el valor de las tensiones en cada sección de la cuerda?

A= 442.60 NB= 423.00 N

9. Dos paredes se encuentran separadas a una distancia de 5.0 m. Una cuerda entre ambas paredes soporta un semáforo de 345 N, en el centro, provocando que la cuerda baje 1.50 m. Desde la horizontal. Según fig. D. Calcula: a).- El valor de cada uno de los ángulos que se forma con la horizontal y b).- El valor de las tensiones de cada lado de la cuerda.

= 30.9637° = 30º 57’ 49” A = B = 335.28 N

10.Determina la compresión en el montante B y la tensión en la cuerda A para la situación descrita en la fig. E.

A= 342.00 NB= 500.00 N

40°

B

A W

30ª A

B

W

Figura A

Figura B


a= 30° b=25°A B

5.00 m

1 2 1.50 m

A B

W

A B W

20° 50°

Figura D

Figura C

Figura E

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