Erika Riveros Morán

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LOS NÚMEROS COMPLEJOS

OBJETIVO: Expresar la raíz cuadrada de números negativos y sus productos en términos de i.

Los Números Complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que

.

En el conjunto de los números reales, los números negativos no tienen raíces cuadradas.

Ecuaciones como no tienen solución. Los números imaginarios se crearon para

que los números negativos tuviesen raíces cuadradas y ciertas ecuaciones tuviesen

solución.

Estos números se concibieron por medio de una unidad imaginaria llamada i, con la

convención de que o √

Ejemplos

Expresar los siguientes números en términos de

a) √ √ √ √ √ √

b) √ √ √ √ √

Esta unidad imaginaria es de hecho la que permite definir las operaciones con esos

números, puesto que para efectuarlas hay que tener presente que cada lado de esa unidad

imaginaria debe trabajarse en forma independiente.

Para construir un sistema numérico completo, se debe definir lo que se entiende por la suma de

un número real con un número imaginario. A éstos los llamamos números complejos.

Definición Los números imaginarios son todos los números de la forma 𝑏𝑖, donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, con la propiedad de que 𝑖

Definición Un número complejo es de la forma 𝑧 𝑎 + 𝑏𝑖, donde 𝑎 y 𝑏 son números reales e 𝑖 es la unidad imaginaria. 𝑎: Es la parte real del número complejo 𝑧, y 𝑏: Es su parte imaginaria. Esto se expresa así: 𝑎 𝑅𝑒 𝑧 , 𝑏 𝐼𝑚 𝑧

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Parte_real&action=edithttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Parte_imaginaria&action=edit

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Todo número real a es un número complejo, pues + de este modo, los números

complejos son una extensión del sistema de los números reales. Todos los números

imaginarios también son números complejos, pues +

OBJETIVO: Sumar, restar, multiplicar números complejos

OPERACIONES CON COMPLEJOS

Los números complejos, en su forma canónica se operan como si fueran polinomios, pero

además, en el caso de la multiplicación, se debe aplicar el que

Ejemplos

1) Calcule el valor de z donde:

+ + + + +

Solución

Para simplificar esta expresión usamos algebra elemental.

+ + + + + + +

+

2) Calcule el valor de z donde:

+ +

Solución

+ + + +

+

Ejercicios

1) Efectuar las siguientes operaciones con los números complejos:

NÚMEROS COMPLEJOS

NÚMEROS REALES NÚMEROS IMAGINARIOS

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3

a) + + + +

b) + +

c) 3 13 1 8 10 6

.5 5 20 5 20 5

i i i

2) En cada caso, hallar un número complejo Z con la condición dada:

a) + + +

b) + +

c) +

+

√

OBJETIVO: Determinar conjugados de números complejos.

El conjugado de z:

Definición: Si + es un número complejo, entonces el Conjugado de ,

denotado por ̅ , es otro número complejo definido por:

̅

Ejemplos:

1) Si + , su conjugado es ̅

2) Si , su conjugado es ̅

División de números complejos

NOTA: Para dividir números complejos en la forma canónica, se debe amplificar la fracción por el

conjugado del denominador.

Ejemplo:

1) Dividir + por +

Solución:

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4

z

z

i

i

i

i

i

i

i i i

i

i

i

1

2

2

2

3 4

10 4

3 4

10 4

10 4

10 4

30 12 40 16

100 16

14 52

116

7

58

13

29

=

( )

( )

( )

( )

+

2) Expresar

en la forma +

Solución

ii

i

i

i

i

i

w

z

11

1

11

18

11

18

32

89126

32

32

32

43

22

+

+

PROPIEDADES DE LOS CONJUGADOS

Dados: z, z1, z2 C, entonces

1) El conjugado del conjugado de z: ̅̅

2) El conjugado de una suma es igual a las suma de los conjugados z z z z1 2 1 2

3) El conjugado de un producto es igual al producto de los conjugados de los factores

1 2 1 2z z z z

4) El conjugado de un cuociente es igual al cuociente de los conjugados

z

z

z

z

1

2

1

2

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5) La suma de un complejo con su conjugado es igual a dos veces la parte real del complejo

z z z 2 Re( )

6) La diferencia de un complejo con su conjugado es igual a dos veces la parte imaginaria del

complejo z z z i 2 Im( )

Ejercicios

1) Dados los números complejos: + , + , , = 2

3

1

2 i .

Obtener:

1 4

1 2

2 3

)

)

)

a z z

b z z

c z z

2 3 4 1

2 1

1 2 4

) 2 Re( ) Im( )

) 3 5

f) 3

d z z z i z

e z z

z z z

El Módulo de

Definición: Si + es un número complejo, el módulo de z es el número real:

| | √ + √ +

Y corresponde al módulo o magnitud del número complejo z.

Ejemplo:

Sea + , entonces | | √ +

Objetivo

Resolver ecuaciones con números complejos

La igualdad de números complejos es la misma que para los números reales. Un enunciado como

+ + dice que + representan el mismo número. Para que esto sea

cierto, a y d deben ser iguales, b y d también deben ser iguales entre sí. Por lo tanto,

+ +

Ejemplo.

1) Suponiendo que + + + . Determinar

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Solución

Igualamos partes reales y partes imaginarias por separado.

+

Respuesta:

2) Despejar z, + + +

Solución

Se comienza por agrupar todos los términos en de un mismo lado de la igualdad.

+ + +

+ +

+

+

+

+

Respuesta:

+

INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE UN COMPLEJO

Los números reales se representan gráficamente sobre una recta. Los números complejos +

se representan gráficamente de la misma manera que los pares ordenados de los números reales

. En el lugar del eje X se tendrá un eje real, y en lugar del eje Y se tendrá un eje imaginario.

Sea + . El módulo del complejo z mide la longitud del segmento que une el

origen de coordenadas con punto del plano correspondiente al número complejo

Ejemplo: Representar gráficamente los complejos

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a) + , b) + c) d)

Ejercicio:

Graficar los siguientes complejos y determina su módulo:

b) , b) c) + d)

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA Y TRIGONOMÉTRICA DE UN COMPLEJO

Algunas veces, la representación de números complejos en la forma + ("coordenadas rectangulares") es menos conveniente que otra representación, usando coordenadas polares.

Representamos el número complejo z en el plano de números complejos como un punto con coordenadas (a, b).

Trazamos la distancia desde el punto (0,0) hasta (a, b), a la que llamaremos r, y, que como se ha visto antes, es igual al módulo de z, expresado | z |.

Esta distancia forma, con respecto al eje real positivo, un ángulo, denominado .

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares

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La representación trigonométrica permite expresar este número complejo en función de r y del ángulo :

Veamos cómo obtenemos esa expresión:

Formamos un triángulo rectángulo, con r como hipotenusa, y con catetos a y b.

Vemos que

| | ,

| | ,

,

es llamado argumento de z, se denota

Despejamos y en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:

+ | | + | | | | +

La forma trigonométrica de un complejo corresponde a:

+ | | +

Ejemplo

Expresar el complejo + √ en la forma trigonométrica .

Solución

Vamos a calcular el módulo y argumento del número + √

El complejo tiene por módulo | | √ + √ √ +

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Para obtener el argumento de z, obtenemos primeramente el ángulo en base a funciones trigonométricas, usando triángulo rectángulo.

√

(√ )

Según representación gráfica del complejo, el ángulo yace en el II cuadrante, por lo que

El complejo z escrito en forma trigonométrica corresponde a: +

REPRESENTACIÓN POLAR DE UN COMPLEJO

Es la representación de un número complejo de forma simple, usando el módulo y argumento, pero escrito en forma de potencia

+ | | +

La siguiente forma representa la presentación de un complejo en forma polar

La expresión es llamada forma exponencial de un complejo

Ejemplo

Expresar los siguientes complejos de la forma polar a la binómica.

a) b)

Solución

| | +

a) En este caso y

+ (

) + (

√

) + √

b) En este caso y

+ +

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Multiplicación y división de números complejos en forma trigonométrica

Si queremos multiplicar dos números complejos en forma trigonométrica tal que

| | + y | | +

| | + | | +

| || | + +

| || | + + +

En forma similar se puede obtener

| |

| | +

Potencia de un número complejo

Si el complejo se encuentra en la forma + y el exponente es menor que cuatro puede resolverlos usando las fórmulas del cuadrado o cubo de un binomio.

Pero si el exponente es mayor el cálculo se complica, por lo cual una forma rápida de su cálculo es transformando el complejo a su forma trigonométrica y aplicar la fórmula

Si | | + , | | + siendo n un número entero

Ejemplo

1) Efectuar + : + Solución + : +

+

+

+

2) Desarrollar la siguiente operación en forma trigonométrica y expresar resultado de

manera binomial.

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(

+

) :

+

)].6 +

Solución

(

+

) :

+

)].6 +

(

+

)].6 +

(

+

)].6 +

( + + + ) +

Transformamos a forma binomial +

+

+

√

(

+

) :

+

)].6 +

+

√

3) Obtener , si z + √ Solución Expresamos el complejo en su forma trigonométrica

z + √ , ya resuelto anteriormente

+ √ +

+ √ + +

+ √ + √

Distintas formas de expresar un número complejo

Par ordenado 𝑧 𝑎 𝑏

Forma binómica 𝑧 𝑎 + 𝑏𝑖

Forma polar 𝑧 𝑟𝜃

Forma exponencial 𝑧 𝑟𝑒𝑖𝜃

Forma trigonométrica 𝑧 |𝑟| 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃

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Ejercicio

Expresar los siguientes números complejos a las restantes formas:

a) b) c) + d)

Valores de las funciones trigonometricas

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