ERRORES EN LA SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ngel N. Menndez Jefe del Departamento de Modelos Matemticos y Estudios Especiales INSTITUTO NACIONAL DE CIENCIA Y TCNICA HIDRICAS Laboratorio de Hidrulica Aplicada Informe LHA - 064-004-88 Ezeiza, mayo de 1987 1 Reedicin, junio de 2010 RESUMEN En este apunte se desarrollan los conceptos fundamentales sobre el anlisis de los errores presentesenlassolucionesnumricasdeecuacionesdiferenciales.Sedescribenlas principales fuentes de los errores y se discute sobre la consistencia de las aproximaciones en diferencias y la convergencia, estabilidad y precisin de las soluciones numricas Descriptores temticos: Simulacin Numrica, modelacin matemtica, diferencias finitas, errores. PROLOGO Este apunte es una continuacin del titulado Introduccin a la simulacin numrica de problemashidrulicos(InformeLHA064-003-87),enelcualseintrodujeronnociones elementalessobrelosmtodosdesimulacinnumrica.Aqusedesarrollauntpico fundamental del anlisis numrico: la estimacin y control de los errores en los resultados delprocesodeclculo.Enparticularseestudiaestetemaenrelacinalaresolucin numrica de ecuaciones diferenciales. El profesional que trabaja en simulacin numrica tiene una percepcin dramtica de este problemacuandosetopaconcasosdeinestabilidadnumricaquesemanifiestan explosivamente,produciendoresultadosintermediosofinalesquesuperanelrangode punto flotante de la computadora. Sin embargo, esas inestabilidades no siempre se hacen evidentes: a veces, es necesario desentraarlas. En rigor, lo que debe comprenderse es que un resultado no es un valor (o una serie de valores) sino un intervalo que hay que estimar y controlar. En el apunte se tratan de exponer las nociones fundamentales para lograr ese cometido. Ezeiza, mayo de 1988 Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales IV NDICE 1Errores en el Clculo Numrico ....................................................................... 6 1.1Tipos de Errores ........................................................................................ 6 1.2Propagacin de errores inherentes y de redondeo...................................... 7 1.3Estimacin de los errores de truncamiento ................................................ 8 1.4Estabilidad de algorimtos ........................................................................ 10 2Consistencia de una Aproximacin en Diferencias ........................................ 12 2.1Error de discretizacin ............................................................................. 12 2.2Definicin de consistencia ........................................................................ 18 2.3Orden de precisin de un esquema numrico .......................................... 19 3Convergencia de una Solucin Numrica ....................................................... 21 3.1Definicin de convergencia ...................................................................... 21 3.2Anlisis de la convergencia ...................................................................... 23 4Estabilidad de Problemas de Valores Iniciales .............................................. 25 4.1Definicin de estabilidad .......................................................................... 25 4.2Mtodo de von Neumann ........................................................................ 27 4.3Mtodo de acotamiento ........................................................................... 31 4.4Mtodo de Hirt ........................................................................................ 34 4.5Estabilidad de esquemas implcitos ......................................................... 35 4.6Estabilidad de sistemas acoplados ........................................................... 38 4.7Aproximacin de problemas inestables .................................................... 41 4.8Condiciones suficientes de estabilidad ..................................................... 43 5Estabilidad de Problemas ms Complejos ..................................................... 44 5.1Problemas lineales de coeficientes variables ............................................ 44 Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales V 5.2Problemas no lineales .............................................................................. 45 5.3Problemas mixtos de valores iniciales y de contorno .............................. 49 5.4Problemas de valores de contorno ........................................................... 49 6Precisin de una Solucin Numrica .............................................................. 51 6.1Definicin de precisin ............................................................................. 51 6.2Difusin y dispersin numricas .............................................................. 51 6.3Factor de propagacin ............................................................................. 53 Referencias ............................................................................................................ 57 Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 6 1Errores en el Clculo Numrico 1.1Tipos de Errores En un proceso de clculo el error de los resultados proviene de una diversidad de fuentes.Paraestimarloesnecesarioanalizarsucomposicinremitindoloaesas fuentes.Deestamanerapuedendistinguirsedistintostiposdeerrores,paracuya estimacin se requieren, en general, tratamientos diferentes. Los tres tipos principales de error son: los inherentes, los de truncamiento y los de redondeo. Los errores inherentes son los asociados a los datos de entrada del proceso de clculo. Puede tratarse de errores de medicin. Tambin se refiere a los que resulten de representar un nmero por una secuencia finita de dgitos (como hace necesariamente una computadoradigital),aunqueaqulseaconocido,tericamente,conunaprecisin infinita.Adems,tambindebenserconsideradoscomoinherentesloserroresenlos resultados de un clculo, cuando stos constituyen datos de entrada de un nuevo proceso de clculo. Loserroresdetruncamientosonlosqueseproducenportruncarunproceso matemticamente infinito (es decir, un proceso que involucra, en algn sentido, un paso al lmite). Tal es lo que sucede al evaluar series por medio de sumas finitas, integrales por frmulas de cuadratura, derivadas por aproximaciones en diferencias finitas, etc. Los errores de redondeo, finalmente, son los que se producen al conservar solo un nmerofinitodedgitosdurantelasoperacionesaritmticas(locualestaligado, nuevamente, a la escencia de la computadora digital). EnlaFigura1.1serepresentaesquematicamentecomointervienecadaunode estos tres tipos de errores en la afectacin de los resultados de un proceso de clculo. Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 7 Figura 1.1. Errores presentes en un proceso de clculo. 1.2Propagacin de errores inherentes y de redondeo Cuando la influencia de los errores de redondeo es despreciable, la propagacin de errores inherentes (es decir, la estimacin de los errores en los resultados como fruto de loserroresenlosdatosdeentrada)sellevaacaboporlaconocidafrmulade propagacin(Ec.[1.1]).Estaestablecequesilavariabley esfuncindelasvariables 1 2, ,...,nx x x .delascualesseconocenestimaciones(enrigor,cotassuperiores)desus errores inherentes 1 2, ,...,nx x x , una estimacin del error en y puede obtenerse como = = 1 niiiyy xx [1.1] A partir de la Ec. [1.1] es fcil deducir las conocidas reglas para propagacin del error en las cuatro operaciones elementales (suma, resta, multiplicacin y divisin). Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 8 Cuando la influencia de los errores de redondeo es significativa (lo cual sucede, por ejemplo, cuando la cantidad de operaciones involucradas es el proceso de clculo es muy grande),elanlisisdelapropagacinsehacemscomplicado.Enestecaso,una posibilidadconsisteenhacerleunseguimientodeldetalledelprocesodeclculo, desglosndolo en pequeos subprocesos que involucren solo a las operaciones elementales (por ejemplo, la funcin seno debera representarse por su desarrollo en serie de Taylor). Elerrordelosdatosdeentradadecadasubprocesopodrapropagarsedeacuerdoala frmula, pero antes de utilizar el resultado como dato de entrada de un nuevo subproceso habraqueadicionarleelerrorderedondeo.Unaformasistemtica,aunquetediosa,de llevaracaboesteprocedimientosedescribeenMcCracken,D,D.&DornW.S.,1982, bajoladenominacindegrficadeprocesos.Alternativamente,puederecurrirseala tcnicadeanlisisretrospectivodeerrores(Dahlquist,G.&Bjorck,A.,1974),que consiste en representar el error de redondeo cometida en cada subproceso como un error inherenteextraenlosdatosdeentradadeesesubproceso,sistefuerarealizadocon precisin infinita. Procediendo sucesivamente de atrs hacia delante, el problema original se reduce a otro con los datos de entrada afectados de nuevos errores inherentes, por lo cualelerrorenlosresultadospuedeestimarseutilizandolafrmulageneralde propagacin, Ec. [1.1]. Estos tratamientos de propagacin de errores adolecen de una limitacin bsica, a saber, solo son tiles para acotar el error. Si bien esto puede ser adecuado cuando el error predominanteesdetiposistemtico,resultaengruesassobrestimacionescuandola naturalezadeloserroresesestocstica(lareferencia,enestecaso,esaloserrores inherentes,yaquelosderedondeosonsiempredetipoaleatorio).Enestaltima situacin es conveniente introducir un tratamiento estadstico, y caracterizar el error, por ejemplo, por medio de la desviacin estndar (Dahlquist, G. & Bjorck, A., 1974).Todoslosprocedimientosdepropagacindeerroresinherentesyderedondeo mencionadoshastaaqudescansansobreelsupuestodequeelprocesodeclculo,o algoritmo,puedeseranalizadocompletamente.Enalgoritmoscomplejos,yestohoyen da se refiere a la mayora de los involucrados en estudios de ingeniera, es prcticamente imposiblellevaracabountalanlisis.Enconsecuencia,serecurreaunatcnicade perturbaciones experimentales, consistente en efectuar varios clculos variando los valores de los datos de entrada, y estudiando la sensibilidad de los resultados a esas variaciones (Dahlquist, G. & Bjorck, A., 1974). Para sopesar la influencia de los errores de redondeo, puede repetirse un clculo con los mismos valores de los datos de entrada pero variando la precisin de la mquina (por ejemplo, de simple a doble). 1.3Estimacin de los errores de truncamiento Paraestimarloserroresenlosresultadosdeunprocesodeclculodebidosal truncamiento, es necesario disponer de una mejor estimacin de los resultados del proceso Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 9 infinitodelcualelalgoritmoencuestinesunaaproximacin.Cuandoloserroresde truncamientosondominates,estaestimacinpuedellevarseacaborecalculandolos resultadosconeltruncamientoefectuadoenunnivelsuperior(porejemplo,incluyendo mstrminosenlaevaluacindeunaserie).Enciertoscasospuedendesarrollarse frmulasquedencuanta,amenos,deladependenciadeloserroresdetruncamiento respecto de los parmetros del problema (por ejemplo, el nmero de trminos utilizado en la evaluacin de una serie). Cuandoelnmerodeoperacionesinvolucradasenelalgoritmoesmuygrande(o cuandoelprocesoesinestable)entranatallarloserroresderedondeo.Unejemplo simple, pero muy ilustrativo, se presenta en la Figura 1.2, tomada de McCracken, D, D. &DornW.S.,1982.Allsemuestra,paraelproblemadelaevaluacindeunaintegral mediante frmulas de cuadratura, como el error de los resultados disminuye, al aumentar el nmero de intervalos, mientras domina el error de truncamiento. En cambio, comienza a aumentar en cuanto los errores de redondeo se hacen dominantes. Figura 1.2. Grficos del error total (por truncamiento y redondeo) al integrar( ) sen x en el intervalo 0 a mediante la regla trapecial y mediante la regla de Simpson. Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 10 1.4Estabilidad de algorimtos El problema de estabilidad de un algoritmo consiste en analizar la sensibilidad de losresultadosapequeasvariacionesenlosdatosdeentrada.Entrminoslaxos,se denomina estable a aqul cuyos resultados muestran poca sensibilidad a esas variaciones y viceversa. Obviamente, todas estas consideraciones requieren ser expresadas con mayor rigor matemtico, lo cual se har en lo que sigue. En primer lugar, es obvio que se necesita alguna unidad de medida para cuantificar lasvariaciones.Launidadelementalu esladenominadaunidaddemquinaode redondeo,queeselmximoerrorrelativoconquelamquinapuederepresentara cualquiernmeroreal,dentrodesurangodepuntoflotante(pararedondeosimtrico +=10.5tu B ,dondeB eslabaseyt lacantidaddedgitosdelamantisa;para redondeo truncado u vale el doble que en el caso anterior). En segundo lugar, hay que determinar la causa de la inestabilidad, cuando sta se presenta.Existendosposibilidades.Unaesqueesaseaunacaractersticadelproblema (puedereflejar,porejemplo,unainestabilidadfsica),encuyocasosetratadeun problemamalcondicionadoomatemticamenteinestable.Laotraposibilidad,ms comnquelaanterior,esqueelalgoritmoestpobrementeconstruido;sehabla, entonces, de un algoritmo mal condicionado o numricamente inestable. Hay que tener en cuenta,detodosmodos,quelainestabilidadnosemanifiestanecesariamentepara cualquier juego de valores de los datos de entrada.Seplantea,entonces,lacuestindequehacerenelcasodetenerunalgoritmo inestable. La respuesta obvia es que ste debe ser reemplazado por un algoritmo mejor. En general, existe ms de una manera de plantear un proceso de clculo, Esto conduce al concepto de algoritmos matemticamente equivalantes, que son aquellos quedaranresultadosidnticos,apartirdelosmismosdatosdeentrada,silas operaciones se efectuaran con precisin infinita (es decir, sin errores de redondeo). En la mayora de los casos, un algoritmo puede ser derivado a partir de otro matemticamente equivalente mediante manipulaciones algebraicas. Ahora bien, debido a la introduccin de erroresderedondeodurantelosclculos,algoritmosmatemticamenteequivalentesno dan, en general, los mismos resultados. Si las diferencias entre resultados son pequeas, se tratadealgoritmosnumricamenteequivalentes.Msprecisamente,sedicequedos algoritmossonnumricamenteequivalentescuandosusresultados,usandolosmismos datos de entrada, no difieren entre si en mas delo que los resultados exactos (es decir, calculados con precisin infinita) lo haran entre si, para dos clculos efectuados con los datos originales uno y con los datos perturbados en unospocos u el otro (esta ltima diferenciadeberaserevaluada,enprincipio,pormediodelafrmulageneralde propagacindeerrores,Ec.[1.1]).Amenudosedaelcasodequedosalgoritmos matemticamenteequivalentesnosonnumricamenteequivalentes.Precisamente,enel Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 11 casodetenerunalgoritmonumricamenteinestable(paraunproblemabien condicionado),stedeberaserreemplazadoporunalgoritmomatemticamente equivalente, pero estable. Enalgoritmositerativoslapresenciadeinestabilidadessehacerpidamente evidente, ya que, en general, los resultaods tienden a crecer en valor absoluto (ya sea en forma montona u oscilatoria) con una tendencia exponencial, llegando a superar el rango de la mquina. Esto no sucede, en general, con los algoritmos directos. Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 12 2Consistencia de una Aproximacin en Diferencias 2.1Error de discretizacin Alaproximarunaecuacindiferencialpormediodeunaecuacinendiferencias (utilizando cualquier mtodo de discretizacin) se comete cierto error de truncamiento. Se denominaerrordediscretizacinalresiduoqueresultaalreemplazarenlaecuacinen diferencias la solucin de la ecuacin diferencial (que se denominar, en adelante, solucin analtica). Este error indica, obviamente, en qu medida la solucin analtica satisface la ecuacinendiferencias.Larelacinentreelerrordediscretizacinyelerrorde truncamientodelasolucindelaecuacinendiferencias(quesedenominarsolucin numrica) se explicar ms abajo.La estimacin del error de discretizacin se lleva a cabo mediante un procedimiento queseintroducirpormediodeunejemplo.Seaelsiguienteproblemadevalores iniciales, que es el problema ms simple de difusin 220,u xt xt x = < < [2.1] donde( , ) u x t eslafuncinincgnitadelasvariablesindependientesx yt ,quese supondrrepresentanelespacioyeltiempo,respectivamente,y esunaconstante positiva(querepresentaunaviscosidadcinemtica).Unadelasaproximacionesen diferencias ms simples de la Ec. [2.1] consiste en utilizar el siguiente esquema explcito centrado: 11 122n n n n nj j j j ju u u u ut x++ += [2.2] dondeelsubndicej identificaelnodoespacial,elsuprandicen indicaelpasode clculotemporal,yt y x sonlosintervalostemporalyespacialdediscretizacin, Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 13 respectivamente.ReemplazandoenlaEc.[2.2]lasolucinnumrica nju porlaanaltica ( , )nju x t ,donde jx eslacoordenadax delnodoj y nt eltiempocorrespondienteal nivel n , se obtiene el error de discretizacin: 11 12( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )n n n n nj j j j j nju x t u x t u x t u x t u x tt x++ + = [2.3] Ahora, como los intervalos de discretizacinty x son pequeos, es posible efectuar desarrollos en serie de Taylor de la solucin analtica (suponindola diferenciable hasta el orden que se necesite) alrededor del punto ( , )njx t . De esta manera se tiene que12 232( , ) ( , ) ( )2n nn nj jj ju u tu x t u x t t O tt t+ = + + + [2.4] = + + + 2 21 23 3 4 453 4( , ) ( , )2( )6 24n nn nj jj jn nj ju u xu x t u x t xx xu x u xO xx x [2.5] dondeelsmbolo( )mO k significadeordenm(osuperior)enelincrementok . Reemplazando las Ecs. [2.4] y [2.5] en la Ec. [2.3] se obtiene = + 2 4 22 42 4( , )2 12n nnjj ju t u xO t xt x[2.6] Unaestimacindelerrordediscretizacinestardada,engeneralporlosdosprimeros trminos de la Ec. [2.6]. Una primera interpretacin del error de discretizacin como error de truncamiento delasolucinnumricapuedehacerseapartirdelaintroduccindelconceptode solucin analtica local. Esta se define, para cada niveln , como la solucin de la ecuacin diferencialparant t ,cuandosetomacomocondicininicialelvalordelasolucin Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 14 numricaen=nt t .Esdecir,denominando ( , )nu x t alasolucinanalticalocal,la condicin inicial es = ( , )nn nj ju x t u [2.7] para todos los nodosj(ntese que al no estar definidas las condiciones iniciales fuera de los puntos nodales, la solucinnuno es nica). Por su parte, la solucin numrica local exacta ( )n mjupara cada nivelnes la solucin exacta (es decir, con precisin infinita) de la ecuacin en diferencias cuando se parte de las mismas condiciones iniciales, es decir = ( )n n nj ju u[2.8] La diferencia entre la solucin analtica local y la solucin umrica local exacta en el nivel de tiempos+ 1 nes el error de truncamiento local: + += 1 1( , ) ( )n n n n nj j je u x t u[2.9] queserepresentaesquemticamenteenlaFigura2.1.Lasolucinanalticapuedeser desarrollada en serie de Taylor: + = + + + 2 21 32( , ) ( )2n nn nn n nj jj ju u tu x t x t O tt t[2.10] donde se ha utilizado la Ec. [2.7]. Por su parte, la solucin numrica satisface la Ec. [2.2], es decir ++ (= + + 11 1 2( ) ( ) ( ) 2( ) ( )n n n n n n n n n nj j j j jtu u u u ux[2.11] o, de acuerdo a la Ec. [2.8], Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 15 ( )++ = + +11 1 2( ) 2n n n n n nj j j j jtu u u u ux[2.12] Figura 2.1. representacin de las soluciones anlitica y numrica (para un jxfijo) Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 16 Pero,atendiendoalaEc.[2.7],losvaloresnumricosenelniveln puedenser reemplazadosporlasolucinanalticalocal.Entonces,desarrollandostaenseriede Taylor, la Ec. [2.12] conduce a+

= + + + + +

+ + + +

+ + 2 2 3 312 2 34 4 5 564 52 2 3 3 42 3 4( )2 6( ) 224 120 2 6n n nn n nn n n nj j jj j jn n nn n nnj jj j jn nn n nj jt u u x u xu u u xx x x xu x u x uO x u u xx x xu x u x ux x x} + ( ((+ = + + + ( ( 4 5 552 4 26 42 424 120( ) ( )12n nnj jn nn nnjj jx u xxu u xO x u t O xx x [2.13] IntroduciendolasEcs.[2.10]y[2.13]enlaEc.[2.9],yteniendoencuantaquenusatisface la Ec. [2.1], se obtiene ( (= + ( ( 2 4 22 42 4( , )2 12n nn nnjj ju t u xe t O t xt x [2.14] Finalmente,admitiendoqueladiferenciaentrelasolucinanalticaglobal( , ) u x t yla local ( , )nu x tes de primer orden, y comparando las Ecs. [2.6] y [2.14], se tiene que n nj je t E[2.15] esdecirqueelerrordediscretizacinyelerrirdetruncamientolocaldifieren, esencialmente, en un factort . En otras palabras, el primero es una medida del segundo. Unasegundainterpretacindelerrordediscretizacinloligaalerrorde truncamiento global (ver figura 2.1), definido como Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 17 = , ( )n n nj j jjE u x t u[2.16] dondenju eslasolucinnumricaexacta,esdecir,laquesatisfacelaEc.[2.2]sise calcula con precisin infinita. Restando la Ec. [2.2]a la [2.3], y utilizando la definicin [2.16], se obtiene ++ = + + + 11 1(1 2 ) ( )n n n n nj j j j jE r E r E E t[2.17] donde = 2/ r t x . De la Ec. [2.17] surge que ( )+ + + 11 2 2 max maxn n nj k kk kE r r E t[2.18] Entonces, si 1 / 2 r , la Ec. [2.18] conduce a + + 1max maxn n nj k kk kE E t[2.19] La Ec. [2.19] puede utilizarse recurrentemente hacia atrs en el tiempo, obtenidose += 10maxnn mj kkmE t [2.20] donde se ha tenido en cuenta que=00jE . De la Ec. [2.20]surge que + + + = 1 10 0( 1) max maxn m n mj k kk kmn mnE n t t[2.21] LaEc.[2.21]muestraqueelerrordediscretizacin(enrigorsumagnitudmxima)es una medida del error de truncamiento global, con un factor de proporcionalidad dado por eltiempotranscurrido.Sibien,comoseviomsarriba,estarelacinestsujetaala condicin 1 / 2 r ,semostrarmsadelantequeestarestriccines,detodosmodos, necesaria para que el clculo permanezca estable. Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 18 2.2Definicin de consistencia Se dice que un esquema numrico es consistente con una ecuacin diferencial, si el error de discretizacin tiende a anularse cuando disminuyen continuamente los intervalos de discretizacin, es decir, 000njtx [2.22] De acuerdo a la interpretacin dada (en la seccin anterior) al error de discretizacin en trminosdelerrordetruncamientoglobal,lacondicindeconsistenciaesnecesaria (aunquenosuficiente)paraquelasolucinnumricaconverjaalasolucinanaltica cuando se afina la malla de clculo. Para el ejemplo desarrollado en la seccin anterior, la Ec. [2.6] muestra claramente que la ecuacin en diferencias [2.2] es consistente con la ecuacin diferencial [2.1]. Pero no siempreeltemaesasdesencillo.SialaEc.[2.1]selaaproximaporelesquemade DuFort-Frankel + + + += 1 1 1 11 122n n n n n nj j j j j ju u u u u ut x[2.23] el error de discretizacin es (| | | | ( = + || (\ . \ . 2 222 2 22, ,nnjjt u tO t x tx x t [2.24] La Ec. [2.24] muestra que hay consistencia solo si | | |\ .000txtx [2.25] Es decir que, por ejemplo, se puede tomar 2t x . En cambio, si el lmite se realiza manteniendoelcociente = / t x constante,elesquema[2.23]resultaconsistente con la ecuacin diferencial Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 19 + = 2 22 20u u ut x t[2.26] 2.3Orden de precisin de un esquema numrico Sedenominaordendeprecisindeunesquemanumricoencadaunadelas variablesindependientes,alaspotenciasdominantesdelosintervalosdediscretizacin correspondientesa cada variable, tal cual aparecen en el error de discretizacin. El orden deprecisinmideconqueritmoseanulaelerrordediscretizacincuandoseafinala malla. Por ejemplo, el esquema [2.2] es, de acuerdo a la Ec. [2.6], de orden de precisin 1 en el tiempo y 2 en el espacio. Nteseque, deacuerdo alaEc.[2.21],elordendeprecisindelesquemaestambinel orden de precisin de la solucin numrica respecto de la analtica. En el caso del esquema de DuFort-Frankel, Ec. [2.23], y tomando 2t xpara quehayaconsistencia,elordendeprecisinresulta,deacuerdoalaEc.[2.24],2enel espacio y en el tiempo. Esto significa, obviamente, que este esquema debera resultar ms preciso que el anterior. Es interesante mostrar que podra realizarse un subterfugio para hacer ms preciso alesquema[2.2].Enefecto,diferenciandolaEc.[2.1]puedenobtenerselassiguientes relaciones = 2 32 2u ut x t[2.27] = 3 42 4u ux t x[2.28] Combinando las Ecs. [2.27] y [2.28] resulta que Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 20 = 2 422 4u ut x[2.29] Introduciendo la Ec. [2.29] en la Ec. [2.6] se obtiene ( )| | = + |\ .4 22 44,2 6nnjju xt O t xt[2.30] Entonces, eligiendo = 2/ 6 t x , la Ec. [2.30] muestra que los trminos dominantes del error de discretizacin se anulan, quedando un esquema de orden 2 en el tiempo y 4 en el espacio. Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 21 3Convergencia de una Solucin Numrica 3.1Definicin de convergencia Sedicequeunasolucinnumricaconvergealasolucinanalticacuando,para cada punto (en el espacio de 1as variables independientes), la primera tiende a la segunda al refinar la grilla de clculo, es decir 00fijo fijo( , )jnn nj jtxxtu u x t[3.1] Ntese que al efectuar el paso al lmite indicado en la Ec. [3.1] los ndicesj yndeben variar(especficamente, , j n )paraque jx y nt permanezcanfijos(porejemplo, = jx j x y= nt nt ).Para ilustrar el concepto se estudiar el problema [2.1]. Su solucin analtica puede ser expresada en trminos de una serie de Fourier (Richtmyer, R., Morton, K.W., 1967). == 2( , )m t imxmmu x t A e e [3.2] donde los coeficientes mApueden calcularse a partir de las condiciones iniciales. Ahora, para la ecuacin en diferencias [2.2] puede proponerse un desarrollo similar == n n imj xj m mmu A e [3.3] (loscoeficientes mA sonlosmismosqueantespuesdebensatisfacerselasmismas condiciones iniciales). Introduciendo la Ec. [3.3] en la [2.2] se obtiene que Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 22 = 1 2 (1 cos )mr mx [3.4] donde,comoantes, = 2/ r t x .ComparandolasEcs.[3.2]y[3.3],yteniendoen cuenta [3.1], se concluye que la solucin numrica converger a la analtica solo si = 200 fijo fijon m tjtxj xt nte[3.5] Unarestriccinparaqueseverifiquelarelacin[3.5]surgedereconocerqueel miembrodeladerechadisminuyecuandot aumenta,cualquieraseaelvalordem, mientras que el de la izquierda puede crecer indefinidamente conna menos que 1m [3.6] para todo valor dem. La Ec. [3.4] muestra que 1m siempre, de modo que la relacin [3.6]solo requiere que 1m, lo cual conduce a 11 cosrmx[3.7] Coma la relacin [3.7] debe verificarse para todos los valores posibles dem, se concluye quer debesermenoroigualqueelmnimovalorquepuedetomarelmiembrodela derecha, es decir, 12r [3.8] La restriccin [3.8] ya haba sido hallada por otro camino en la seccin 2.1. Ahorapuededemostrarsequelarelacin[3.5]efectivamenteseverifica.Teniendo en cuenta que 2/ / n t t t r x = = se tiene Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 23 2ln 1 2 (1 cos )lnnmr mxtr x ( = [3.9] SienlaEc.[3.9]setomaellmitepara0 x usandolaregladeL'Hospital,yse considera que r permanece constante, se obtiene 2( ) 1ln1 2 (1 cos )nmsen mxm t m tx r mx ( [3.10] que es lo que se quera demostrar. 3.2Anlisis de la convergencia Paradatosdeentradadeterminados(esdecirhaciendaabstraccindeerrores inherentes), la solucin numrica de un problema (calculada con la computadora) diferir delasolucinanalticadebidoadoscausas:elerrordetruncamientoyloserroresde redondeo.Quelasolucinnumricaseaconvergentesignificaque,alafinarlamallade clculo el error de truncamiento disminuye, mientras los errores de redondeo permanecen bajo control. Est claro que el procedimiento utilizado en la seccin anterior para demostrar la convergencianoesaplicableengeneral,yaqueellodemandaraconocerlassoluciones analticaynumricaexacta(locualnosolonoesposibleengeneral,sinoquetornara ociosohallarlasolucinnumrica).Enconsecuencia,esnecesariodisponerdeotros medios de anlisis de la convergencia. Laconsistenciadelesquemanumricoesnecesariaparaqueelerrorde truncamientoefectivamentedisminuyaalrefinarlamalla.Sibiencomocriterioresulta, entonces,incompleto,tienelaventajadequesudeterminacinesautomtica.Para complementarelanlisisesnecesariodemostrarqueelproblemaundiferencias permaneceestable.EstosconceptosseexpresanenelteoremadeequivalenciadeLax, vlidoparaecuacionesdiferencialeslinealesconcoeficientesconstantes.Elteorema expresa que (Richtmyer, R., Morton, K.W., 1967): Dadounproblemadevaloresinicialesbienplanteadoyunaaproximacinen diferencias finitas que satisface la condicin de consistencia, la estabilidad es una condicin necesaria y suficiente para la convergencia. Senecesita,entonces,desarrollarmtodosdeanlisisdelaestabilidadde ecuacionesendiferencias,locualconstituyeeltpicocentraldelosprximosdos Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 24 captulos.Allseverquelarestriccin[3.8]es,efectivamente,unacondicinparala estabilidad del esquema numrico en cuestin. Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 25 4Estabilidad de Problemas de Valores Iniciales "....Lo que haba en la mente de Arqumedes era diferente de lo que haba en la de Newton, y esto, a su vez, difera de lo que haba en la de Gauss. No es solo una cuestin de 'ms', es decir que Gauss saba ms matemticas que Newtonquien,asuvez,sabamsqueArqumedes. Tambinesunacuestinde'diferente'.Elestadoactual deconocimientosestentrelazadoenunaredde motivacionesyaspiracionesdiferentesyde interpretaciones y potencialidades tambin diferentes...." P.J. Davis, R. Hersh "The Mathematical Experience" Birkhauser Boston, 1981 4.1Definicin de estabilidad El concepto de estabilidad se discuti, en trminos generales, en el captulo 1. Aqu sepresentarnconceptosymetodologasparaestudiarlaestabilidaddelproblemaen diferencias (la estabilidad de algoritmos particulares solo se discutir donde se considere pertinente).Enelcasodeproblemasdiferenciales,esnecesariodistinguirentrela estabilidad de la solucin analtica, la estabilidad de la solucin numrica y la estabilidad delasolucinnumricarespectodelaanaltica.Obviamente,cuandoelproblema diferencial es estable, el esquema numrico que lo aproxima tambin debe serlo, en cuyo caso la estabilidad del segundo respecto del primero est asegurada. Sin embargo, aunque enlaprcticaesmenos comn,puedeplantearselacuestindesimular numricamente problemasinestables.Enestecasolorelevanteesasegurarlaestabilidaddelasolucin numrica respecto de la analtica, que resulta ser, entonces, el criterio ms general. Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 26 Hablar de la estabilidad de la solucin numrica respecto de la analtica, significa acotar de alguna manera la diferencia( , )n nj ju x t u . En problemas de valores iniciales (queresultanenalgoritmositerativos)puedeadoptarselasiguientedefinicin (Richtmyer, R., Morton, K.W., 1967): es estable si .fijo( , )n nj jnx tu x t u < [4.1] esdecir,ladiferenciaentrelasolucinanalticaynumrica(paracadanododeleje espacial) permanece acotada cuando se avanza indefinidamente el clculo (en la direccin temporal), manteniendo fijos los intervalos de discretizacin. Una restriccin de este tipo solo puede proveer, en principio, condiciones necesarias para la estabilidad. En el caso de estar considerando un problema con solucin (analtica) acotada, es decir fijo( , )txu x t< [4.2] el criterio [4.1] se reduce a .fijonjnx tu< [4.2a] es decir que la solucin numrica tambin debe permanecer acotada. Es fcil ver que, en el caso de ecuaciones lineales y homogneas, las condiciones [4.2] y [4.2a] son necesarias para la estabilidad de las soluciones analtica y numrica, respectivamente. En efecto, si ( , ) ux t es una solucin perturbada respecto de( , ) u x t(por ejemplo debido a un pequeo cambio en las condiciones iniciales), es necesario que .fijo( , ) ( , )nx tux t u x t < [4.2b] paraqueu seaestable.Perou u satisfacelamismaecuacindiferencialqueu (por ser lineal y homognea), por lo cual ella misma debe verificar esa condicin, es decir, debe cumplir con [4.2]. La situacin es idntica con la solucin numrica. En la prctica, las inestabilidades se manifiestan, en general, en forma "explosiva", enelsentidodequelasolucincrecerpidamenteenvalorabsoluto(yaseaenforma Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 27 montonauoscilatoria)hastasuperarelrangodepuntoflotantedelacomputadora (produciendo un "overflow"). Obviamente, es vital disponer de mtodos de anlisis de la estabilidad de esquemas numricos, de modo de poder detectar las eventuales fuentes de inestabilidades y, de ser posible, producir correcciones. 4.2Mtodo de von Neumann Enelcasodeecuacionesendiferenciaslinealesyhomogneas,essiempreposible plantear soluciones en trminos de su serie de Fourier, tal coma la de la Ec. [3.3]. En este caso, para que se verifique la condicin [4.2a] es necesario que ninguno de los armnicos crezca en forma no acotada con n. Esto se verifica siempre que 1m [4.3] para todo valor de m. La condicin [4.3] coincide con la [3.6] y conduce, en el caso de la Ec. [2.2], a la restriccin [3.8], que se repite a continuacin 212trx= [4.4] La condicin [4.4] se interpreta, en general, como una restriccin sobre el valor mximo permisible det para un dadox , para que el clculo permanezca estable. La Fig. 4.1, tomadadeRichtmyer,R.,Morton,K.W.,1967,muestracomosemanifiestala inestabilidadcuandosetoma1 / 2 r > ,enelcasodelproblema[2.1]perosometidoa condiciones de contorno de Dirichlet homogneas en los bordes, y con una forma inicial triangular. Este mtodo de anlisis fue introducido por von Neumann, y puede ser extendido a ecuaciones no lineales e inhomogneas (ver prximo captulo), Es interesante estudiar un problema algo ms general que el [2.1], a saber Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 28 220,u u xU t xt x x + = < < [4.5] dondeU esunaconstantepositiva(querepresentaunavelocidaddeconveccin).Se discretizarlaEc.[4.5]medianteelsiguienteesquemaexplcitodesegundoordenenel espacio: 11 1 1 1222n n n n n n nj j j j j j ju u u u u u uUt x x++ + ++ = [4.6] Tratndose,nuevamente,deunaecuacinlinealyhomognea,puedeplantearseuna solucin armnica aunque ms general que la Ec. [3.3]: mik j x n nj m mmu A e == [4.7] donde mk eselnmerodeondas(nonecesariamenteentero,comoenelcasodel problema [2.1]). Introduciendo la Ec. [4.7] en la [4.6] se obtiene 1 2 (1 cos )sen( )m m mr k x ip k x = [4.8] donde/ p Ut x = .Ntesequeel"factordeamplificacin" m resultacomplejo.Su mdulo est dado por 22 21 4 (1 cos ) 1 (1 cos )sen ( )m m m mr k x r k x p k x ( = + [4.9] La condicin [4.3] impone que 2 2 sen ( ) 4 (1 cos ) 1 (1 cos )m m mp k x r k x r k x( [4.10] Una primera restriccin surge a partir de [4.10] notando que el miembro de la izquierda nopuedesernegativo.Entoncessedebecumplirqueelfactorentrecorchetesdel miembro de la derecha no deba ser negativo, lo cual conduce (como antes) a Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 29 12r [4.11] Figura 4.1. manifestacin de la inestabilidad numrica para el problema [2.1] cuando 5 / 9 ( 1 / 2) r = > Ahora retornando a la Ec. [4.10], y definiendo la variable Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 30 1 cosmk x [4.12] esta puede reescribirse como 24 ( ) p r f [4.13] donde 1( )2rf=[4.14] Como ( )21 2( )2rf = [4.15] la funcinfes montonamente creciente, de acuerdo a la Ec. [4.11]. Entonces, su valor mnimo lo toma en 0 = , y la Ec. [4.13] implica que 22 p r [4.16] o 22tU [4.17] queesunanuevarestriccinsobreelpasotemporalparaqueelesquemapermanezca estable. Es interesante hacer un comentario sobre el esquema [4.6]. En problemas donde la conveccin es dominante0 , la restriccin [4.17] puede tornar imprctico el clculo, yaquelasescalasdemovimientotemporalespuedenserrdenesdemagnitudms grandesqueelpasotemporalrequerido.Msan,enausenciadedifusin( 0 = ),la condicin[4.17]nosepuedecumplir,esdecir,elesquemasetornaincondicionalmente inestable. En la prxima seccin se ver una manera de corregir esta deficiencia. Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 31 4.3Mtodo de acotamiento En el caso de mtodos explcitos, se puede intentar obtener condiciones para acotar elcrecimientodelasolucin,locualsiempreesposibleenecuacioneslinealesy homogneas.Elprocedimientoesanlogoalutilizadoenlaseccin2.1.Porejemplo,la Ec. [4.6] puede reescribirse como 11 1(1 2 )2 2n n n nj j j jp pu r u r u r u+ +| | | |= + + + ||\ . \ . [4.18] De la Ec. [4.18] surge que 11 11 22 2 1 2 max2 2n n n nj j j jnkkp pu r u r u r up pr r r u+ +| |= + + + |\ .| | | | + + + || |\ . \ . [4.19] para todo valor dej . Entonces, si 1 2 0 r [4.20] y 02pr [4.21] la Ec. [4.19] se reduce a 1maxn nj kku u+ [4.22] esdecir,lasolucinse"achata"amedidaqueavanzaelclculo,porlocualpermanece acotada. La condicin [4.20] es equivalente a la [4.11]. En cambio, la [4.21] conduce a Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 32 2xU [4.23] Para compararla con la [4.17], la [4.23] puede reescribirse como 24rtU[4.24] que, salvopara= 1 / 2 r (enquecoincideconlaanterior),resultaalgamsrestrictiva quela[4.17].Sibien,entonces,estemtodopuederesultarencondicionesms restrictivas que el de von Neumann, es mucho ms simple de aplicar. Enlaseccinanteriorsediscutisobreunadeficienciabsicadelesquema[4.6] paraproblemasenloscualeslaconveccinesdominante.Elremediomssimplepara corregirla consiste en descentrar el trmino convectivo, tomando para / u xpositivo o negativo,respectivamente.Comoestosignifica"traer"elvalordeladerivadadesdela zonadedondeapuntalavelocidad,estaformadediscretizarsedenominadeaguas arriba(upwinding).Ntesequeelprecioquesepagaeseldeunadisminucindel orden de precisin espacial del esquema (de 2 a 1). Se mostrar que esta tcnica corrige, efectivamente,ladeficienciaapuntada,utilizandoelmtodo deacotamientointroducido ms arriba. Admitiendo que Ues positivo, un esquema de aguas arriba para el problema [4.5] es + + ++ = 11 1 122n n n n n n nj j j j j j ju u u u u u uUt x x [4.25] que puede reescribirse como + += + + +11 1(1 2 ) ( )n n n nj j j ju p r u r p u ru [4.26] De la Ec. [4.26] surge que Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 33 ( )+= + +11 2 2 maxn nj kku p r p r u [4.27] para todo valor dej . Entonces, si 1 2 0 p r , la Ec. [4.27] se reduce a la [4.22], y se verifica el criterio de estabilidad. La nica restriccin es +2xtUx [4.28] que no limita inaceptablemente el valor detcuando 0 , ya que, en este caso, la Ec. [4.28] se reduce a xtU[4.29] que es la denominada condicin de Courant para problemas hiperblicos. Esta condicin puedeinterpretarseentrminosdeuncriteriogeneral,quesedenominaracriteriode Courant,yqueestablecequeeldominiodeinfluencia(respectodeunpunto)dela solucin analtica debe de estar contenido en el de la solucin numrica, tal cual se ilustra en la Figura. 4.2. La violacin de este criterio produce inestabilidades de tipo oscilatorio. Figura 4.2. Criterio de Courant para la estabilidad de una ecuacin en diferencias. Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 34 4.4Mtodo de Hirt La idea bsica del mtodo de Hirt (Hirt, C.W:, 1968) parte de reconocer que, en el caso de un problema diferencial matemticamente estable, la inestabilidad del problema endiferenciassedebealainfluenciadelerrordetruncamiento.Enconsecuencia,sta puede explicarse analizando ese error. El detalle del procedimiento se introducir con un ejemplo. Seaelproblema[4.5]ysuaproximacinmedianteelesquema[4.6].Para determinar cul es la verdadera ecuacin diferencial que satisface la solucin numrica, puede hacerse un desarrollo formal en serie de Taylor, con el resultado ( ) + + = 2 2 2 3 2 42 42 2 3 4t+ + ,2 3 12u u u u x u x uU U O t x Ot x x t x x[4.30] Ntesequelostrminosextra,quecuantificanelerrordetruncamiento,son formalmenteanlogosalosdelerrordediscretizacin.Ahorabien,aprimerorden(es decir, despreciando trminos de orden mayor o igual a 2) la Ec. [4.30] es hiperblica. Sus dosfamiliasdecurvascaractersticastienenpendientesdadaspor(Menndez,A-N., 1987) | |= |\ .1/22 dxdt t[4.31] Dadoqueeldominiodeinfluenciadelasolucinnumricaeselsegmentocomprendido entre las rectas / t x , la aplicacin del criterio de Courant conduce a la condicin | | | \ .1/22 xt t[4.32] queesequivalenteala[4.11].Suviolacinproduce,entonces,inestabilidadesdetipo oscilatorio. Msinformacinsobreelefectodelerrordetruncamientopuedeobtenerse expresndolosoloentrminosdederivadasespaciales,lascualespuedeninterpretarse como mecanismos de atenuacin o amplificacin. Este tipo de tcnica ya se utiliz en la seccin 2.3. De la Ec. [4.30] surge que: Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 35 ( ) + + = 2 2 322 2,u u uU O t x Oxt t x t[4.33] ( ) + + = 2 2 322 3,u u uU O t x Oxt x x[4.34] ( ) + + = 3 3 422 3 4,u u uU O t x Ox t x x[4.35] Combinando las Ecs, [4.33] a [4.35] se llega a ( ) = + + 2 2 3 42 2 22 2 3 42 ,u u u uU U O t xt x x x[4.36] Introduciendo la Ec. [4.36] en la [4.30] se obtiene ( ) | | + = + + | \ .2 2 3 2 42 22 3 4,2 2u u U t u u t uU Ut O t xt x x x x [4.37] quesedenominaecuacinmodificada(Warming,R.F..&Hyett,B.J.,1974).Elprimer trmino del segundo miembro de la Ec. [4.37] representa un mecanismo de difusin. Para queelcoeficienteseapositivodebeverificarselacondicin[4.17].Encasocontrariose producir un crecimiento montono de la solucin. Seobserva,entonces,queconelmtododeHirtpudieronobtenerselasmismas condiciones de estabilidad que con el mtodo de von Neumann. Sin embargo, no siempre es as. Sucede a menudo que el primero da menos condiciones que el segundo, ya que el mtodo de Hirt, al considerar solo las derivadas de orden menor, limita su bsqueda a las mayoresescalasespacialesytemporales.Comocompensacin,elmtododeHirtpuede detectar inestabilidades provenientes de mecanismos no lineales, lo cual es imposible por principio por el mtodo de von Neumann (ver prximo captulo). 4.5Estabilidad de esquemas implcitos Hastaahora,todaslasejemplificacionessehicieronsobreesquemasnumricos explcitos.Estos,engeneral,requierenmenosoperacionesporpasodetiempoquelos Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 36 implcitos.Porsuparte,losimplcitossuelenestarlibresdealgunostiposde inestabilidades que afectan a los explcitos. Sea el problema [2.1] y el siguiente mtodo numrico implcito ponderado: ( )( )( ) + + +++ + ( + + (= + ( 1 1 111 1 1 12 22 21n n n n n nn nj j j j j jj ju u u u u uu ut x x [4.38] donde es un coeficiente tal que 0 1. Utilizando el mtodo de von Neumann se obtiene el siguiente factor de amplificacin (Richtmyer, R., Morton, K.W., 1967): ( ) =+ 1 2 1 (1 cos )1 2 (1 cos )mr mxr mx[4.39] que, obviamente, se reduce a [3.4] cuando0 = . La Figura. 4.3 muestra la variacin de m(que es un nmero real) con la variable 2 (1 cos ) y r mx = , para distintos valores de .Seobservaqueparatodovalordem,si1 / 2 .Esdecirqueelesquema resultaincondicionalmenteestablepara1 / 2 .Encasocontrario,esdecirpara 0 1 / 2 ,siempredecreceporabajodelvalor-1paravaloresgrandesdey .Esto conduce a la restriccin 11 2r[4.40] que, obviamente, se reduce a [4.11] para0 = . Debetenerseencuentaquelosanlisisefectuadossedirigenadeterminarla estabilidaddelproblemaendiferencias.Aellodebeagregarse,an,eltemadela estabilidad del algoritmo particular mediante el cual se implementa la resolucin de ese problema.Estacuestinesespecialmenterelevanteenelcasodeesquemasnumricos implcitos,queconducenasistemas deecuacionesacopladas.Engeneral,enestoscasos resultan matrices de coeficientes del tipo banda, que pueden ser resueltas eficientemente porelmtododeeliminacindeGauss.Lascondicionesparaqueestealgoritmo permanezcaestablepuedeconsultarseenlabibliografa(Dahlquist,G.&Bjorck,A., 1974). Errores en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales 37 Figura 4.3. Factor de amplificacin para el esquema implcito [4.38]. L=2r Elejemploanteriormuestraquepuedenconstruirseesquemasimplcitos incondicionalmente estables. Si bien esto puede resultar "cmodo desde el punto de vista prctico,alnotenerquelimitarelvalordet ,esnecesarioreconocerquecondiciones del tipo de la [4.40] tambin resultan necesarias para garantizar la precisin de la solucin numrica.Enefecto,enelproblemadedifusinqueseestconsiderando,losefectos difusivosse"sienten"(esdecir,sehacensignificativos)sobreunadistanciax en tiempos del orden de 2/ x , lo cual significa querdebe ser del orden de 1 para seguir conprecisinlamarchadelasolucin.Estosignificaquenopuedeelegirseunpaso temporalt demasiadodistintoalqueresultaraparaunesquemaexplcito,locual cuestionalaaparenteventajadelmtodoimplcito,yaquesterequiere,engeneral, muchas ms operaciones por paso de tiempo. Laventajamanifiestadelosesquemasimplcitossobrelosexplcitosesen problemasqueinvolucranescalasdetiempodismiles,cuandoestnactivadassololas escalas mayores. En efecto, en esta situacin mantener la precisin requiere calcular con unpasotemporalpequeofrentealasescalasactivas.Encambio,paramantenerla estabilidad de un esquema explcito se necesita restringir el paso en relacin a las escalas menores,aunquenoestnactivas.Unejemploclsicoeselproblemadetras1acinde ondas en ros, que se describe por medio de las Ecuaciones de Saint Venant (Henderson, F.M.,1966-Pujol,A.&Menndez,A.N.,1987).Eneseproblemaconvivenescalas rpidas,caracterizadasporlaceleridaddeLagrange 1/2( ) gh ( g eslagravedadyh la profundidad) con escalas lentas, caracterizadas por la velocidad del aguau . Su relacin 1/2/ ( ) F u gh = eselnmerodeFroudedelescurrimiento.Lasondasdeinundacin provocadasporcrecidasnaturalesestnasociadasaescalaslentas.CuandoF