SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR MÉTODO DE FOURIER
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SOLUCION DE ECUACIONES
DIFERENCIALES POR MÉTODO DE
FOURIER
Hallar 𝑦g usando las series de Fourier
’’𝑦 + =𝑦Solución:
• Con la homogénea:
+1=0 r=i donde : Yg = Yh + Yp
= + • Hallar siendo:
=
• Usando las derivadas:=-2n =-4• Reemplazando en la ecuación
diferencial ’’𝑦 + =𝑦 -4 =(1-4) = • Despejamos
=
Remplazamos el valor de en la ecuación (1) para determinar Yp
Así obtenemos que
Yp =
Finalmente la solución general es : Yh +Yp
Yg= + +
Resolver
’’𝑦 + =𝑦 • Con la homogénea: +1=0 r=i = + • Para n=1;se tiene en el lado derecho• Desarrollando la suma se tiene:
’’𝑦 + =𝑦 +Hallemos :
• Método de coeficientes indeterminados para hallar :
’’𝑦 + =𝑦 ………….(*)
• Sacando sus derivadas
• Reemplazando en (*) + =
A=-1/2 ;B=0• Se tiene:
• Hallando en:
’’𝑦 + =𝑦 ………….(**)
• Sea para n2• Sus derivadas : = =-• Reemplazando en (**)
-+==
• Siendo: =
• La solución particular será := +
• La solución del ejercicio es:
=+
• = + + +
EJEMPLO:X´´ + X = t ; Se tiene en cuenta: -1 ≤ t < 1
Sea la solución:
Reemplazando en la ecuación: X´´ + X = t
EJEMPLO:
Hallar la solución de fourier de la siguiente ecuación:
X´´ + 4X = 4t ; 0 ≤ t < 1 x(0)=0 , x(1)=0Solucion:Entonces para :
Sea la solución:
Reemplazando en la ecuación: X´´ + 4X = 4t