Solucion de ecuaciones diferenciales y matrices con excel

8/16/2019 Solucion de ecuaciones diferenciales y matrices con excel

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METODOS NUMERICOS CON EXCEL Ing. Gonzalo Fano Miranda

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MÉTODOS NUMÉRICOS CON EXCEL

Una pregunta muy natural que surge al introducirse en el estudio de los métodosnuméricos, es la siguiente:

Por que sucedió todo esto?

Para introducir la forma de trabajar con métodos numéricos en la solución deproblemas, veremos el siguiente:

PROBLEMA.

Calcular la velocidad instantánea de un cuerpo en caída libre cerca de la superficieterrestre, suponiendo que la velocidad inicial del cuerpo es igual a 0 y que lasúnicas fuerzas que actúan sobre el cuerpo son la fuerza de gravedad y la fuerza deresistencia del aire, la cual suponemos que es linealmente proporcional a la

velocidad del cuerpo.

Solución Analítica.

Usamos la segunda ley de Newton, que establece:

F = m a

La cual podemos escribir en la forma:

Las hipótesis sobre las fuerzas que actúan sobre elcuerpo nos indican que:

donde (g-constante de gravedad) es la fuerza de gravedad y

(c-coeficiente de arrastre) es la fuerza de resistencia del aire.

Sustituyendo esto último obtenemos:

Equivalentemente:


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Que es nuestro modelo matemático del problema. En este caso identificamosnuestro modelo como una ecuación diferencial de primer orden de variablesseparables.

Procedemos a separar las variables:

Integramos ambos miembros de la ecuación:

De lo cual

obtenemos:

, (k-cte de integración)

Para calcular la constante de integración, usamos la hipótesis de que la velocidadinicial del cuerpo es 0. Esto es, si . Sustituyendo estos valores en laecuación de arriba, obtenemos:

Con lo cual obtenemos:

en función de :Finalmente, despejamos

La cual resuelve el problema de forma exacta.

Para fijar un ejemplo particular, supongamos que tenemos los siguientes datos:

Calculemos los valores .


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Lo único que tenemos que hacer es sustituir los valores de m, c y g:

Finalmente sustituimos los valores del tiempodesde hasta y escribimos los resultados en la siguiente tabla:

t (s) v (cm/s)

0 0

1 854.7569

2 1500.76828

3 1989.01317

4 2358.02072

5 2636.91063

Esta tabla de valores, representa los valores exactos de las velocidades indicadasque se han obtenido por un método analítico.

A continuación veremos como podemos aproximar estos datos usando un métodonumérico.

Solución Numérica.

Primero que nada, recordemos que el modelo matemático del problema esta dadopor:

Para usar un método numérico, recordemos cómo se define la derivada de unafunción:

Tenemos:


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Cuando es cercano a , podemos quitar el límite y obtener la siguiente

aproximación :

Lo cual, al sustituirlo en nuestro modelo matemático nos da:

De aquí podemos despejar y obtener lo siguiente:

Esta última fórmula, la cual es una fórmula recursiva, nos permite calcular la

velocidad si conocemos la velocidad en el tiempo anterior . Nuestro

punto de partida es que la velocidad inicial es 0, es decir, , y de aquípodemos calcular, con la ayuda de nuestra fórmula recursiva, la velocidad en

tiempos subsecuentes. Evidentemente éstos cálculos son aproximaciones, y entremás cercanos sean los tiempos, mejores serán dichas aproximaciones.

Por ejemplo, retomando los datos que fijamos arriba, tenemos la fórmula:

Como dijimos arriba, comenzamos con . Para aproximar , tenemosdos opciones: podemos aproximarla directo, saltando del tiempo al tiempo

, o bien podemos usar intervalos más pequeños de tiempo, digamos delongitud 0.2 s, para obtener una mejor aproximación.

La primera opción nos da , mientras que la segunda opción arroja lossiguientes resultados:


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t (s) v (cm/s)

0 0

0.2 196

0.4 381.024

0.6 555.686656

0.8 720.5682033

1 876.2163839

Evidentemente, con la segunda opción obtenemos una mejor aproximación para

, ya que los intervalos de tiempo son más pequeños, y lógicamente, siredujéramos aún más estos intervalos de tiempo, obtendríamos mejoresaproximaciones. El precio que hay que pagar es el de cálculos cada vez más largosy tediosos y aquí es donde hace acto de presencia la poderosa herramientacomputacional, que nos permite hacer cálculos largos y tediosos en poco tiempo ycon mayor exactitud que si los hiciéramos a mano. Esta gran herramienta hacefactible el camino de los métodos numéricos pues de otra forma, serían muy lentoslos procesos y con mucho riesgo de cometer errores en cada paso.

Por otro lado, cabe mencionar que para poder elaborar un buen programa decomputación, aparte de manejar un lenguaje determinado, debemos saber realizarel proceso "a mano", ya que esto nos permitirá implementar un mejor programa quecontemple todas las posibles piedras en el camino.

Para obtener mejores aproximaciones obviamente elegimos la segunda opción, conintervalos de tiempo de 0.2 s. Esto nos arroja los siguientes resultados:

t (s) v (cm/s)

0 0

1 876.2163839

2 1533.074153

3 2025.489197

4 2394.629346

5 2671.356168


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Donde hemos omitido los datos intermedios para no hacer más larga la tabla.

Si hacemos una comparación entre la tabla de valores exactos y esta última devalores aproximados, vemos que hay diferencias entre los datos obtenidos, esdecir, en la segunda tabla se han cometido ciertos errores que deben ser medidos

y lo que es más importante, debemos tener alguna forma de poder afirmar: "elresultado que obtuve es lo suficientemente bueno".

ERRORES

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representarcantidades y/o operaciones. Esto da lugar a dos tipos de errores:

truncamiento

Errores

redondeo

Los errores de truncamiento, resultan de representar aproximadamente unprocedimiento matemático exacto. Por ejemplo, en la solución numérica alproblema del objeto en caída libre, usamos una aproximación al proceso dederivación, el cual es un procedimiento matemáticoexacto.

Esto genera errores de truncamiento durante elprocedimiento.

Los errores de redondeo resultan de representar aproximadamente números queson exactos. Por ejemplo, aún en la "solución exacta" al problema del objeto encaída libre, los resultados impresos en la tabla de velocidades no son totalmenteexactos puesto que el numero e es un número irracional y por lo tanto su extensióndecimal es infinita y no periódica lo que nos impide escribirlo de formacompletamente exacta. Usando 5 decimales, tenemos:

Esto genera errores de redondeo durante los cálculos.

En ambos casos tenemos que:

valor verdadero = valor aproximado + error

Definición. Definimos el error absoluto como:

= valor verdadero - valor aproximado

Esta definición de error tiene un pequeño defecto, como veremos en el siguiente:

Ejemplo.


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Al medir la longitud de una varilla para construcción se obtiene el resultadoaproximado de 19,999 cms. mientras que al medir la longitud de un clavo, seobtiene el resultado de 9 cms. Suponiendo que los valores verdaderos de la varillay el clavo son de 20,000 cms. y 10 cms. respectivamente, calcular el error absolutoen ambos casos.

Solución. Tenemos los siguientes resultados:

Para el caso de la varilla, el error absoluto se calcula como:

Para el caso del clavo, el error absoluto se calcula como:

En ambos casos, el error absoluto es igual!, pero obviamente tiene mayortrascendencia el error en el caso del clavo que en el caso de la varilla, es decir,necesitamos comparar el error absoluto contra el valor verdadero y esto da lugar alas siguiente definición.

Definición. Definimos el error relativo como sigue:

Esto es,

Y también se define el error relativo porcentual, como sigue:

Es decir,

De hecho el error que más usamos es este último, ya que nos da una idea en tantopor ciento del error que se está cometiendo.

Por ejemplo, en el caso de la varilla el error relativo porcentual es:


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Mientras que en el caso del clavo, el error relativo porcentual es:

Podemos observar, que el error relativo porcentual refleja mejor la gravedad o nogravedad del error que se está cometiendo. Es claro, que en el caso de la varilla noes trascendente ya que representa solamente un 0.005% con respecto al valorverdadero, mientras que en el caso del clavo, el error si es representativo ya que esdel 10% del valor verdadero.

Finalmente, mencionaremos que un proceso de aproximación puede detenerse

cuando el valor absoluto del error relativo porcentual es menor que una cierta cota,fijada de antemano.

Sin embargo, todavía tenemos un pequeño defecto en nuestro análisis del error.Los métodos numéricos se aplican en realidad, a problemas que no se puedenresolver analíticamente; en nuestro ejemplo del cuerpo en caída libre, en realidadno es necesario aplicar ningún método numérico, puesto que conocemos lasolución exacta del problema. Por lo tanto, en una situación real, desconoceremosel valor verdadero de la solución al problema; luego entonces estaremosimposibilitados de calcular el error relativo porcentual.

La forma de resolver este problema es pensar que para obtener una ciertaaproximación a un valor, tuvimos que haber obtenido una aproximación anterior almismo valor. Una vez calculada la nueva aproximación procedemos a calcular otraaproximación al mismo valor y así sucesivamente. Si el método realmenteconverge a un resultado (que esperamos sea a la solución del problema), todasestas

aproximaciones se estarán aproximando entre sí y al valor al cual convergen.

Definición. Definimos el error aproximado porcentual, como sigue:

Como mencionamos anteriormente, el proceso se detiene cuando se ha logradodisminuir el valor absoluto del error aproximado porcentual hasta un cierto rangofijado de antemano. Esto es, cuando


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Se puede probar que si tomamos entonces podemos tener laseguridad de que la aproximación ó resultado tiene al menos cifras significativas,es decir, posee al menos dígitos confiables.

Ejemplo.

Usar el siguiente resultado de series,

para aproximar el numero irracional hasta 4 cifras significativas.

Solución. Primero calculamos el valor de como sigue:

En seguida, usamos la serie, agregando un término cada vez, para obtener nuevas

aproximaciones hasta que se logre que .

En el primer paso, tenemos simplemente un término:

En el segundo paso, tenemos la suma de dos términos:

Aquí, podemos calcular el primer error aproximado:

Seguimos agregando términos de la serie puesto que no se ha cumplido elobjetivo:

Tenemos que,

Y calculamos el error aproximado correspondiente:


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El proceso se continua hasta lograr la meta. Resumimos los resultados en lasiguiente tabla:

#términos

Aprox. alvalor e

Erroraproximado

1 1

2 2 50%

3 2.5 20%

4 2.666666667 6.25%

5 2.708333333 1.54%

6 2.716666667 0.307%

7 2.718055556 0.051%

8 2.718253968 0.007%

9 2.718278770 0.0009%

Así pues, el resultado que se obtiene es:

Que en realidad tiene 8 cifras significativas. La cota impuesta por , nos aseguraque tendremos al menos n cifras significativas; en este ejemplo, obtuvimos 4 cifrassignificativas más.


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SOLUCIONES DE ECUACIONES NO LINEALES

Una raíz de una función )( x f es un número 0 x tal que 0)( 0 x f . También se

dice que 0 x es una raíz de la ecuación 0)( 0 x f . En este curso, consideraremos

solamente raíces reales.Geométricamente, una raíz de una función representa un punto donde la gráfica de)( x f cruza al eje x ,

En esta gráfica, vemos que la raíz es 1 x .

Ejemplos.

1. Las raíces de 9)( 2 x x f son 3 x y 3 x .

1. 2. La función 1)( 24

x x x f no tiene raíces.2. 3. La función senx x f 5)( no tiene raíces.

3. 4. Las raíces de )7)(3)(1()( x x x x f son ,1 x 3 x y 7 x .

Estudiaremos varios métodos numéricos para aproximar raíces de ecuaciones.

MÉTODO GRÁFICO

Este método básicamente se usa para localizar un intervalo donde la función tienealguna raíz.

Ejemplo 1

Localizar un intervalo donde la función xe x f x ln)( tenga una raíz.

Solución

Para calcular la raíz de )( x f hacemos 0)( x f , de donde xe x ln . Por lo

tanto, el problema equivale a encontrar el punto de intersección de las funciones x

e x g

)( y x xh ln)( .


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Conocemos bien estas gráficas:

De lo cual, concluimos que un intervalo donde se encuentra la única raíz es 5.1,1 .

En realidad, no nos interesa ser más finos en la búsqueda del intervalo, ya queposteriormente aplicaremos métodos más sistemáticos para aproximar mejor laraíz. Digamos que la utilidad del método gráfico radica en proveernos de unintervalo con el cual comencemos a trabajar.

Ejemplo 2

Localizar un intervalo donde la función 1arctan)( x x x f tenga una raíz.

Solución

Nuevamente, para calcular la raíz de )( x f hacemos 01arctan x x , de donde

tenemos x x 1arctan . Así, el problema equivale a encontrar el punto deintersección de las gráficas de las funciones x x g arctan)( y x xh 1)( .

Conocemos bien las gráficas de estas funciones:

De donde vemos claramente que un intervalo donde se encuentra la única raíz esel intervalo 1,0 .


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MÉTODO DE LA BISECCIÓN

El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo:

Teorema del Valor Intermedio

Sea )( x f continua en un intervalo ba, y supongamos que )()( b f a f .

Entonces para cada z tal que )()( b f z a f , existe un ba x ,0 tal que z x f )( 0 . La misma conclusión se obtiene para el caso que )()( b f a f .

Básicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función continuaen un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos delintervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.

En particular, si )(a f y )(b f tienen signos opuestos, entonces un valor

intermedio es precisamente 0 z , y por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio

nos asegura que debe existir ba x ,0 tal que 0)( 0 x f , es decir, debe haber por

lo menos una raíz de )( x f en el intervalo ),( ba .

El método de bisección sigue los siguientes pasos:

Sea )( x f continua,

i) Encontrar valores iniciales a x , b x tales que )( a x f y )( b x f tienen Sea )( x f contínua,

i) i) Encontrar valores iniciales a x , b x tales que )( a x f y )( b x f tienensignos opuestos, es decir,


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ii) ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre a x

y b x :

iii) iii) Evaluar )( r x f . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientescasos:

En este caso, tenemos que )( a x f y )( r x f tienen signos opuestos, y por lo

tanto la raíz se encuentra en el intervalo r a x x , .

En este caso, tenemos que )( a x f y )( r x f tienen el mismo signo, y de aquí que

)( r x f y )( b x f tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el

intervalo br x x , .

En este caso se tiene que 0)( r x f y por lo tanto ya localizamos la raíz.

El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

es decir,


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Ejemplo 1

Aproximar la raíz de xe x f x ln)( hasta que %1a .

Solución Sabemos por lo visto en el ejemplo 1 de la sección anterior, que la única raíz de

)( x f se localiza en el intervalo 5.1,1 . Así que este intervalo es nuestro punto departida; sin embargo, para poder aplicar el método de bisección debemos checar

que )1( f y )5.1( f tengan signos opuestos.

En efecto, tenemos que

mientras que

Cabe mencionar que la función )( x f sí es contínua en el intervalo 5.1,1 . Asípues, tenemos todos los requisitos satisfechos para poder aplicar el método debisección. Comenzamos:

i) Calculamos el punto medio (que es de hecho nuestra primera aproximación a laraíz):

ii) Evaluamos 00636.0)25.1ln()25.1( 25.1 e f

iii) Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raíz, hacemos lasiguiente tabla:

Por lo tanto, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo 5.1,25.1 .

En este punto, vemos que todavía no podemos calcular ningún error aproximado,puesto que solamente tenemos la primera aproximación. Así, repetimos el proceso

con el nuevo intervalo 5.1,25.1 .


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Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximación a la raíz):

Aquí podemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos ya con laaproximación actual y la aproximación previa:

Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso.

Evaluamos 006561.0)375.1ln()375.1( 375.1

e f , y hacemos la tabla:

Así, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo 375.1,25.1 .

Calculamos el punto medio,

Y calculamos el nuevo error aproximado:

El proceso debe seguirse hasta cumplir el objetivo.

Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Erroraprox.

1.251.375 9.09%1.3125 4.76%1.28125 2.43%1.296875 1.20%

1.3046875 0.59% Así, obtenemos como aproximación a la raíz


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Ejemplo 2

Aproximar la raíz de 1arctan)( x x x f hasta que %1a .

Solución

Como vimos en el ejemplo 2 de la sección anterior, la única raíz de )( x f se

localiza en el intervalo 1,0 . Para poder aplicar el método de bisección, es

importante checar que sí se cumplen las hipótesis requeridas.

Sabemos que )( x f es contínua en el intervalo 1,0 , y checamos que )0( f y )1( f tengan signos opuestos.

En efecto,

Mientras que,

Por lo tanto, sí podemos aplicar el método de bisección.

Calculamos el punto medio del intervalo 1,0 ,

Que es la primera aproximación a la raíz de )( x f .

Evaluamos 00363.015.0)5.0arctan()5.0( f .

Y hacemos nuestra tabla de signos,


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Puesto que )5.0( f y )1( f tienen signos opuestos, entonces la raíz se localiza en

el intervalo 1,5.0 .

En este punto, solo contamos con una aproximación, a saber,5.0

1r x , que es

el primer punto medio calculado.Repetimos el proceso, es decir, calculamos el punto medio ahora del intervalo 1,5.0 ,

Que es la nueva aproximación a la raíz de )( x f .

Aquí podemos calcular el primer error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo, continuamos con el proceso.

Evaluamos 03935.0175.0)75.0arctan()75.0( f .

Y hacemos la tabla de signos:

Puesto que )5.0( f y )75.0( f tienen signos opuestos, entonces la raíz se localiza

en el intervalo 75.0,5.0 .

Calculamos el punto medio,

Y el nuevo error aproximado:

El proceso se debe continuar hasta que se logre el objetivo.


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Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:


0.5

0.75 33.33%0.625 20%0.5625 11.11%0.53125 5.88%0.515625 3.03%0.5234375 1.49%0.51953125 0.75%

De lo cual, vemos que la aproximación buscada es51953125.0

8

r

x

El método de bisección por lo general es lento, y en casos como el de la siguientegráfica, puede ser demasiado lento.

En un caso como éste, el proceso de bisección comienza a acercarse a la raíz deforma muy lenta, ya que el método solamente toma en cuenta que la raíz seencuentra dentro del intervalo, sin importar si se encuentra más cerca de alguno de

los extremos del intervalo. Sería bueno implementar un método que tome encuenta este detalle.

Esto da lugar al siguiente método de aproximación de raíces.


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MÉTODO DE LA REGLA FALSA

Como mencionamos anteriormente, sería bueno considerar si la raíz de unaecuación está localizada más cerca de alguno de los extremos del intervalo.

Consideremos nuevamente una gráfica como la anterior,

Donde hemos agregado la línea recta que une los puntos extremos de la gráfica en

el intervalo ba, .

Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos elpunto donde cruza al eje x esta recta, nos aproximaremos mucho más rápido a laraíz; ésta es en sí, la idea central del método de la regla falsa y ésta es realmentela única diferencia con el método de bisección, puesto que en todo lo demás losdos métodos son prácticamente idénticos.

Supongamos que tenemos una función )( x f que es contínua en el intervalo ba x x , y además, )( a x f y )( b x f tienen signos opuestos.

Calculemos la ecuación de la línea recta que une los puntos ))(,( aa x f x ,))(,( bb x f x

. Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por:


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Por lo tanto la ecuación de la recta es:

Para obtener el cruce con el eje x , hacemos 0 y :

Multiplicando por ab x x nos da:

Finalmente, de aquí despejamos x :

Este punto es el que toma el papel de r x en lugar del punto medio del método debisección.

Así pues, el método de la regla falsa sigue los siguientes pasos:

Sea )( x f contínua,

i) i) Encontrar valores iniciales a x , b x tales que )( a x f y )( b x f tienensignos opuestos, es decir,

ii) ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual a:

iii) iii) Evaluar )( r x f . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes

casos:


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En este caso, tenemos que )( a x f y )( r x f tienen signos opuestos, y porlo tanto la raíz se encuentra en el intervalo r a x x , .

En este caso, tenemos que )( a x f y )( r x f tienen el mismo signo, y de

aquí que )( r x f y )( b x f tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se

encuentra en el intervalo br x x , .

En este caso se tiene que 0)( r x f y por lo tanto ya localizamos la raíz.

El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

Ejemplo 1

Usar el método de la regla falsa para aproximar la raíz de xe x f x ln)( ,

comenzando en el intervalo 2,1 y hasta que %1a .

SoluciónEste es el mismo ejemplo 1 del método de la bisección. Así pues, ya sabemos que

)( x f es contínua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en losextremos de dicho intervalo. Por lo tanto podemos aplicar el método de la reglafalsa.

Calculamos laprimera aproximación:

Puesto que solamente tenemos una aproximación, debemos seguir con el proceso.


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Así pues, evaluamos

Y hacemos nuestra tabla de signos:

De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo 397410482.1,1 .Con este nuevo intervalo, calculamos la nueva aproximación:

En este momento, podemos calcular el primer error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso.

Evaluamos 0011654346.0)321130513.1()( 2 f x f r , y hacemos la tabla designos:

De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo 321130513.1.1 , con elcual, podemos calcular la nueva aproximación:

Y el error aproximado:


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Como se ha cumplido el objetivo, concluímos que la aproximación buscada es:

Observe la rapidez con la cual converge el método de la regla falsa a la raíz, adiferencia de la lentitud del método de la bisección.

Ejemplo 2

Usar el método de la regla falsa para aproximar la raíz de 1arctan)( x x x f ,

comenzando en el intervalo 1,0 y hasta que %1a .

Solución Este es el mismo ejemplo 2 del método de la bisección. Así pues, ya sabemos quese cumplen las hipótesis necesarias para poder aplicar el método, es decir, que

)( x f sea contínua en el intervalo dado y que )( x f tome signos opuestos en losextremos de dicho intervalo.

Calculamos pues, la primera aproximación:

Como solamente tenemos una aproximación, debemos avanzar en el proceso.

Evaluamos0070662953.05600991535.0)5600991535.0arctan()(

1r x f


De lo cual vemos que la raíz se localiza en el intervalo 5600991535.0,0 .

Así pues, calculamos la nueva aproximación:

Y calculamos el error aproximado:


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Puesto que no se cumple el objetivo, seguimos avanzando en el proceso.

Evaluamos 000511533.015231330281.0)5231330281.0arctan()( 2 r x f .


De los cual vemos que la raíz se localiza en el intervalo 5231330281.0,0

, con elcual podemos calcular al siguiente aproximación:

Y el siguiente error aproximado:

Como se ha cumplido el objetivo, concluímos que la aproximación buscada es:

Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del método de la regla falsacontra la lentitud del método de la bisección.

Por supuesto que puede darse el caso en el que el método de la regla falsa

encuentre la aproximación a la raíz de forma más lenta que el método de labisección. Como ejercicio, el estudiante puede aplicar ambos métodos a la función

1)( 6 x x f , comenzando en el intervalo 5.1,0 , donde notará que mientras que el

método de bisección requiere de 8 aproximaciones para lograr que %1a , elmétodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones.


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MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos.

A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabajasobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.

Supongamos que tenemos la aproximación i x a la raíz r x de )( x f ,


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Trazamos la recta tangente a la curva en el punto )(, ii x f x ; ésta cruza al eje x

en un punto 1i x que será nuestra siguiente aproximación a la raíz r x .

Para calcular el punto 1i x , calculamos primero la ecuación de la recta tangente.Sabemos que tiene pendiente

Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:

Hacemos 0 y :

Y despejamos x :

Que es la fómula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguienteaproximación:

,si

Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nosasegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía deque nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde estemétodo no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin

embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidezimpresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia.


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También observe que en el caso de que 0)( i x f , el método no se puede aplicar.De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente eshorizontal y por lo tanto no intersecta al eje x en ningún punto, a menos que

coincida con éste, en cuyo caso i x mismo es una raíz de )( x f !

Ejemplo 1

Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de xe x f x ln)( ,

comenzando con 10 x y hasta que %1a .

Solución En este caso, tenemos que

De aquí tenemos que:

Comenzamos con

10 x

y obtenemos:

En este caso, el error aproximado es,

Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió.

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:


11.268941421 21.19%1.309108403 3.06%1.309799389 0.052%

De lo cual concluímos que la aproximación obtenida es:


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Ejemplo 2 Usar el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de

1arctan)( x x x f , comenzando con 00 x y hasta que %1a .

Solución En este caso, tenemos que

La cual sustituímos en la fórmula de Newton-Raphson para obtener:

Comenzamos sustituyendo 00 x para obtener:

En este caso tenemos un error aproximado de%100%100

5.0

05.0

a

Continuamos con el proceso hasta lograr el objetivo. Resumimos los resultado enla siguiente tabla:


00.5 100%0.5201957728 3.88%0.5202689918 0.01%

De lo cual concluímos que la aproximación obtenida es:


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Ejemplo 3Usar el método de Newton-Raphson para aproximar raíces cuadradas de númerosreales positivos.

Solución

Sea 0 R . Queremos calcular x tal que R x ; elevando al cuadrado R x 2 , obien:

02 R x

Esto nos sugiere definir la función R x x f 2)( de donde x x f 2)( . Al sustituir

estos datos en la fórmula de Newton-Raphson nos da:

i

iii

x

R x x x

2

2

1

La cual simplificada nos da:

i

ii x

R x x

2

11

Esta fórmula era conocida por los antiguos griegos (Herón).

Para fijar un ejemplo de su uso, pongamos 26 R y apliquemos la fórmula

obtenida, comenzando con 50 x . Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error aprox.55.1 1.96%5.099019608 0.019%5.099019514 0.0000018%

De lo cual concluímos que 099019514.526 , la cual es correcta en todos susdígitos!

La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raíces n -ésimas de números reales positivos.

Observe que cuando el método de Newton-Raphson converge a la raíz, lo hace deuna forma muy rápida y de hecho, observamos que el error aproximado disminuyea pasos agigantados en cada paso del proceso. Aunque no es nuestro objetivoestablecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los métodos quehemos estudiado, cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor

precisión la rapidez ó lentitud del método en estudio.


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MÉTODO DE LA SECANTE

Este método se basa en la fórmula de Newton-Raphson, pero evita el cálculo de laderivada usando la siguiente aproximación:

(Recuérdese la solución numérica al problema del cuerpo en caída libre).

Sustituyendo en la fórmula de Newton-Raphson, obtenemos:

Que es la fórmula del método de la secante. Nótese que para poder calcular elvalor de

, necesitamos conocer los dos valores anteriores y .


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Obsérvese tambien, el gran parecido con la fórmula del método de la regla falsa. Ladiferencia entre una y otra es que mientras el método de la regla falsa trabaja sobreintervalos cerrados, el método de la secante es un proceso iterativo y por lo mismo,encuentra la aproximación casi con la misma rapidez que el método de Newton-Raphson. Claro, corre el mismo riesgo de éste último de no converger a la raíz,

mientras que el método de la regla falsa va a la segura.

Ejemplo 1

Usar el método de la secante para aproximar la raíz de ,

comenzando con , y hasta que .

Solución Tenemos que y , que sustituimos en la fórmula de

la secante para calcular la aproximación :

Con un error aproximado de:

Como todavía no se logra el objetivo, continuamos con el proceso. Resumimos losresultados en la siguiente tabla:


01 100%0.612699837 63.2%0.653442133 6.23%0.652917265 0.08%

De lo cual concluímos que la aproximación a la raíz es:

Ejemplo 2Usar el método de la secante para aproximar la raíz de ,

comenzando con y , y hasta que .

Solución Tenemos los valores y , que sustituímos en la

fórmula de la secante para obtener la aproximación :


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Con un error aproximado de:

Como todavía no se logra el objetivo, continuamos con el proceso. Resumimos losresultados en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error aprox.01 100%

0.823315073 21.4%0.852330280 3.40%0.853169121 0.09%

De lo cual concluímos que la aproximación a la raíz es:

MÉTODO DEL PUNTO FIJO (ITERACIÓN)

Este método se aplica para resolver ecuaciones de la forma

Si la ecuación es , entonces puede despejarse ó bien sumar enambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada.

Ejemplos:1) La ecuación se puede transformar en .2) La ecuación se puede transformar en .

Dada la aproximación , la siguiente iteración se calcula con la fórmula:


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Supongamos que la raíz verdadera es , es decir,

Restando las últimas ecuaciones obtenemos:

Por el Teorema del Valor Medio para derivadas, sabemos que si es contínua

en y diferenciable en entonces existe tal que

.

En nuestro caso, existe en el intervalo determinado por y tal que:

De aquí tenemos que:

O bien,

Tomando valor absoluto en ambos lados,

Observe que el término es precisamente el error absoluto en la

ésima iteración, mientras que el término corresponde al error absoluto en

la ésima iteración.

Por lo tanto, solamente si , entonces se disminuirá el error en la siguiente

iteración. En caso contrario, el error irá en aumento.

En resumen, el método de iteración del punto fijo converge a la raíz si

para en un intervalo que contiene a la raíz y donde es contínua y

diferenciable, pero diverge si en dicho intervalo.

Analicemos nuestros ejemplos anteriores:


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En el ejemplo 1, y claramente se cumple la condición de que

. Por lo tanto el método sí converge a la raíz.

En el ejemplo 2, y en este caso,

. Por lo tanto, el método no converge a la raíz.

Para aclarar el uso de la fórmula veamos dos ejemplos:

Ejemplo 1 Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de ,

comenzando con y hasta que .

Solución Como ya aclaramos anteriormente, el método sí converge a la raíz.

Aplicando la fórmula iterativa tenemos,

Con un error aproximado de

Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos,

Y un error aproximado de .

Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muy lentamente. En efecto, senecesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%.El resultado final que se obtiene es:

Con un error aproximado igual al .

Ejemplo 2 Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de, comenzando con y hasta que .

Solución Si despejamos la del término lineal, vemos que la ecuación equivale a

de donde,


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En este caso, tenemos que . Un vistazo a la gráfica,

nos convence que , para , lo que es suficiente para deducir que el

método sí converge a la raíz buscada.

Aplicando la fórmula iterativa, tenemos:

Con un error aproximado del 100%.

Aplicando nuevamente la fórmula iterativa, tenemos:

Con un error aproximado igual al 28.41%.

En este ejemplo, el método solo necesita de 5 iteraciones para reducir el errormenor al 1%. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error aprox.0-0.2 100%-0.1557461506 28.41%-0.1663039075 6.34%-0.163826372 1.51%-0.164410064 0.35%

De donde vemos que la aproximación buscada es:


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EJERCICIOS

NOTA: Usa todos los dígitos en tu calculadora para que la aproximación sea lomás exacta posible.

1. Usa el método de bisección para aproximar la raíz de

comenzando en el intervalo y hasta que .

Solución: .

2. Usa el método de bisección para aproximar la raíz de


Solución: .

3. Usa el método de la regla falsa para aproximar la raíz de


Solución: .

4. Usa el método de la regla falsa para aproximar la raíz de


Solución: .

5. Usa el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de


Solución: .

6. Usa el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de ,


Solución: .

7. Usa el método de la secante para aproximar la raíz de comenzando con y hasta que

.


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Solución: .

8. Usa el método de la secante para aproximar la raíz de comenzando con y hasta que .

Solución: .

9. Usa el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz decomenzando con y hasta que .

Solución: .

10. Usa el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz decomenzando con y hasta que .

Solución: .


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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Estudiaremos sistemas de ecuaciones de la forma :

nnnnnn

nn

nn

b xa xa xa

b xa xa xa

b xa xa xa

2211

22222121

11212111

donde ija , jb son constantes y j x son las incógnitas. Se dice que el sistematiene n ecuaciones con n incógnitas o simplemente que es de nn .

En la notación ija , i se refiere al renglón, y j se refiere a la columna donde estáubicado el elemento correspondiente.

MATRICES

El sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial sidefinimos:

i ) La matriz de coeficientes:

i i ) La matriz de incógnitas:

i i i ) La matriz de términos independientes o resultados:

Entonces el sistema es equivalente a la ecuación matricial:


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donde el producto indicado es el producto de matrices.

OPERACIONES ELEMENTALES

Para una matriz A se definen tres operaciones elementales por renglones ( ocolumnas ); nos remitiremos a las operaciones por renglones. Cuando se efectúanlas operaciones elementales se obtiene una matriz equivalente, y se utiliza elsímbolo de equivalencia.

I .- Intercambiar dos renglones

Ejemplo: Si intercambiamos el renglón 1 y 3:

~

II .- Multiplicar un renglón por una constante distinta de cero

Ejemplo: Si multiplicamos el renglón 3 por 2:

III .- Sumar un renglón a otro renglón

Ejemplo: Si sumamos el renglón 3 al renglón 2:

~

Las operaciones II y III se combinan para sumar un múltiplo de un renglón a otrorenglón.

Ejemplo:

(i) Comenzamos con la matriz:


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(ii) Multiplicamos el renglón 1 por 2:

~

(iii) Sumamos el renglón 1 al renglón 2:

~

(iv) Finalmente multiplicamos por 2

1

el renglón 1 ( lo cual anula el paso

(ii) ):

~

Ahorrando pasos podemos escribir simplemente:

~

Finalmente, las operaciones elementales se utilizan para “hacer ceros” debajo de

algún elemento 0ija .

Ejemplo: Hacer ceros debajo del elemento 11a en la siguiente matriz:


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Solución. Vemos que para lograr el objetivo, podemos multiplicar el renglón 1por 2 , y sumarlo al renglón 2. Tambien podemos multiplicar el mismo renglón 1por –3, y sumárselo al renglón 3:

~

El objetivo final es transformar una matriz A en una matriz escalonada .

Definición. Una matriz se llama escalonada si el primer elemento no cero en cadarenglón está más a la derecha que el del renglón anterior.

Ejemplos:

1) La matriz

sí es escalonada.

2) La matriz

no es escalonada.

Obviamente el escalonamiento de una matriz se logra “haciendo ceros” debajo delos elementos adecuados.

Ejercicios:

1) Usando operaciones elementales, escalonar la siguiente matriz:


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Solución. La notación se explica por sí sola:

2) Escalonar la siguiente matriz:

Solución . Procedemos como en el ejercicio anterior:

Tenemos ahora todas las herramientas para estudiar nuestros dos primerosmétodos numéricos de solución a sistemas de ecuaciones lineales.


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METODOS DE SOLUCION

METODO DE GAUSS

Este método se aplica para resolver sistemas lineales de la forma:

El método de eliminación Gaussiana (simple), consiste en escalonar la matriz

aumentada del sistema:

para obtener un sistema equivalente :

donde la notación ija' se usa simplemente para denotar que el elemento ija cambió. Se despejan las incógnitas comenzando con la última ecuación y haciaarriba. Por esta razón, muchas veces se dice que el método de eliminaciónGaussiana consiste en la eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás.

Ejemplo:

1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

usando el método de eliminación Gaussiana (simple).

Solución . Escalonamos la matriz aumentada del sistema:


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Y dividiendo el segundo renglón entre –3 , tenemos la matriz equivalente:

Por lo tanto, el sistema equivale a:

De la última ecuación tenemos 103 x ; sustituímos este valor en la

ecuación de arriba para obtener 182 x ; sustituímos estos valores en la

ecuación de arriba para obtener 71 x .

Por lo tanto, la solución del sistema es:

2) Resolver:

usando eliminación Gaussiana (simple).

Solución. Escalonando la matriz aumentada del sistema:

Por lo tanto, el sistema equivale a:


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De la ecuación ( 3 ) obtenemos 23 x ; sustituímos arriba para obtener 42 x ;

sustituímos arriba para obtener 41 x .

Por lo tanto la solución del sistema es:

El método de eliminación Gaussiana (simple) puede presentar un problemacuando uno de los elementos que se usan para hacer ceros, es cero.

Por ejemplo, supóngase que en algún paso del proceso de hacer cerostenemos la siguiente matriz:

Es claro que el elemento 022 a no puede usarse para hacer ceros!

Este problema se puede resolver fácilmente intercambiando los renglones 2y 3 . De hecho, el resultado que obtenemos es la matriz escalonada :

Sin embargo, el problema puede presentarse también si el elemento aquel es muycercano a cero.

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema, usando eliminación Gaussiana (simple)

Solución . Usando eliminación Gaussiana (simple) obtenemos:


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Que nos da el sistema equivalente:

De donde, 3

22 x

; sustituímos arriba y obtenemos:

El resultado cambia drásticamente de acuerdo al número de cifrassignificativas que se usen. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

#Cifras

Significativas

(*)Error relativo porcentual

3 0.667 -33 10,000 %

4 0.0067 -3 1,000 %

5 0.00067 0 100 %6 0.000067 .3 10 %

7 0.6666667 0.33 1 %

(*) Para calcular este error se tomó el valor verdadero de 3

11 x

.

Ahora resolvemos el mismo sistema pero intercambiando los renglones 1 y 2

Lo cual nos da el sistema equivalente:

De donde obtenemos 3

2

2

x ; sustituyendo arriba nos da:


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Nuevamente tomamos distintas cifras significativas y resumimos los resultados enla siguiente tabla:

#CifrasSignifi cativa

s

(*) Error

RelativoPorcentual

3 0.667 0.333 0.1 %

4 0.6667 0.3333 0.01 %5 0.66667 0.33333 0.001 %6 0.666667 0.333333 0.0001 %7 0.6666667 0.3333333 0.00001 %

En este último caso, vemos que el error relativo porcentual no varía drásticamentecomo en la solución anterior.

Así, vemos que los elementos que son cercanos a cero, son elementos malos parahacer ceros. En general, para evitar este problema se elige como elemento parahacer ceros (el cual recibe el nombre de elemento pivotal o simplemente pivote)

como el elemento mayor en valor absoluto de entre todos los candidatos. A este procedimiento se le llama pivoteo parcial y aplicado a la eliminaciónGaussiana, nos dá el llamado método de eliminación Gaussiana con pivoteo(parcial).

Podemos resumir el pivoteo (parcial) como sigue:

·Para elegir el elemento pivote en la primer columna se escoge el elementomayor (con valor absoluto) de toda la primer columna.

·Para elegir el elemento pivote en la segunda columna, se escoge el elemento

mayor (con valor absoluto ) de toda la segunda columna exceptuando elelemento 12a .

·Para la tercer columna se exceptúan los elementos 13a y 23a , etc.

En un diagrama matricial, tenemos que los elementos pivotes de cada columna seescogen de entre los siguientes:


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Ejemplo 1:

Usar eliminación Gaussiana con pivoteo para resolver el siguiente sistema:

Solución. Escribimos la matriz aumentada del sistema:

Para escoger el primer elemento pivote en la columna 1, tomamos el elementomayor con valor absoluto entre -1 , -2 y -0.2 , el cual obviamente es el -2 ; por lo

tanto intercambiamos el renglón 1 y 2 (éste es el primer pivoteo realizado):

Y procedemos a hacer ceros debajo del pivote. Para ello, multiplicamos el renglón

1 por 2

1

y se lo sumamos al renglón 2. También, multiplicamos el renglón 1

por 22.0

y lo sumamos al renglón 3. Esto nos da la matriz:

Olvidándonos del renglón 1 y de la columna 1, procedemos a escoger el pivotede la columna 2, pero unicamente entre 0.5 y 1.25 , el cual obviamente resulta ser

1.25. Por lo tanto intercambiamos los renglones 2 y 3 (éste es el segundo pivoteo realizado):


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Y procedemos a hacer ceros debajo del elemento pivote. Para ello multiplicamos el

renglón 2 por 25.1

05.

y lo sumamos al renglón 3 para obtener:

La cual es una matriz escalonada. El sistema equivalente es:

Y con la sustitución hacia arriba, obtenemos la solución del sistema:

Ejemplo 2.

Usar eliminación Gaussiana con pivoteo para resolver el siguiente sistema deecuaciones:

Solución . La matriz aumentada del sistema es :

El elemento pivote en la columna 1 es el 10 , lo que nos obliga a intercambiarlos renglones 1 y 3:


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Haciendo ceros debajo del pivote, obtenemos:

Ahora el elemento pivote en la columna 2 es el -14.55, el cual está bien colocado,y no hay necesidad de intercambiar renglones. Procedemos a hacer cerosdebajo del pivote, lo cual nos da la siguiente matriz escalonada:

Escribiendo el sistema equivalente, y resolviendo con la sustitución hacia arriba,obtenemos la solución del sistema:


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METODO DE GAUSS - JORDAN

Este método utiliza las mismas técnicas de eliminación Gaussiana (incluyendo elpivoteo), pero con el objetivo de finalizar con una matriz de la siguiente forma:

donde n I es la matriz identidad de nxn .

Para lograr esto, se usa la técnica del pivoteo con la única diferencia que el pivotese usa para hacer ceros hacia abajo y hacia arriba.

Ejemplo 1: Usar el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema:

Soluc ión. Comenzamos con la matriz aumentada:


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Procedemos a hacer el primer pivoteo, y para ello, intercambiamos los renglones 1y 2:

y haciendo ceros debajo del pivote, obtenemos:

~

Ahora, para colocar adecuadamente el segundo pivote intercambiamos losrenglones 2 y 3:

Para hacer ceros arriba del pivote 1.25, multiplicamos el renglón 2 por 25.15

y selo sumamos al renglón 1; para hacer ceros debajo del mismo pivote, multiplicamos

al mismo renglón 2 por 25.15.0

y se lo sumamos al renglón 3 . Todo esto nos da:

Ahora procedemos a hacer ceros arriba del pivote 0.09 . Para ello, multiplicamos

el renglón 3 por 09.085.0

y se lo sumamos al renglón 2; igualmente multiplicamos el

renglón 3 por 09.09.1

y se lo sumamos al renglón 1. Todo esto nos da:


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Finalmente para hacer los 1’s ( unos ) en la diagonal principal, multiplicamos los

renglones 1 , 2, y 3 por 25.1

1,

2

1

y 09.0

1

, respectivamente. Obtenemos entoncesla matriz final:

La cual nos da la solución del sistema de ecuaciones:

Ejemplo 2. Usar el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema:

Solución . Escribimos la matriz aumentada del sistema:

Observamos que el primer elemento pivote está bien colocado y por lo tanto no haynecesidad de intercambiar renglones. Por lo tanto hacemos ceros debajo del pivote

111 a ; para ello, multiplicamos el renglón 1 por 0.4 y se lo sumamos al renglón 2,y también multiplicamos el mismo renglón 1 por –0.5 y se lo sumamos al renglón

3. Esto nos da la siguiente matriz:

Para elegir el segundo elemento pivote, debemos escoger el elemento mayor (con

valor absoluto) entre 8.222 a y 432 a , el cual obviamente es éste último. Por lotanto, debemos intercambiar el renglón 2 y el renglón 3. Tenemos entonces:


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Procedemos a hacer ceros arriba y abajo de nuestro segundo elemento pivote;para ello, multiplicamos el renglón 2 por 0.5 y lo sumamos al renglón 1, y también

multiplicamos el mismo renglón 2 por 48.2

y lo sumamos al renglón 3. Esto nos da:

Nuestro tercer elemento pivote es 15.033

a . Para hacer ceros arriba de esteelemento, multiplicamos el renglón 3 por 15.0

5.0 y lo sumamos al renglón 2, y

también multiplicamos el mismo renglón 3 por 15.075.2

y lo sumamos al renglón 1. Éstonos da:

Finalmente, hacemos los 1’s (unos) en la diagonal, multiplicando el renglón 2 por

41 y el renglón 3 por 15.0

1 . Ésto nos da la matrix final:

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:

MATRIZ INVERSA

Una de las aplicaciones del método de Gauss-Jordan, es el cálculo de matricesinversas. Recordamos primero la definición de matriz inversa.


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Definición. Sea A una matriz de nxn . La matriz inversa de A es una matriz B de nxn tal que:

Se escribe 1 A B para denotar la matriz inversa. Cuando la matriz inversa existe,es única, pro no siempre existe la matriz inversa.

Un resultado de algebra lineal prueba que la matriz inversa 1 A existe si y solosi el determinante de A es distinto de cero.El método de Gauss-Jordan procede como sigue:

Es decir, en una matriz comenzamos por escribir la matriz A, y a su derecha

agregamos la matriz identidad n I del mismo orden que la matriz A; enseguidaaplicamos el método de Gauss-Jordan para hacer los ceros y unos y obtener del

lado izquierdo la matriz identidad n I . Del lado derecho lo que obtendremos será lamatriz inversa de A.

Ejemplo 1. Usar el método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de lasiguiente matriz:

Solución . En una matriz, colocamos la matriz A y a su derecha agregamos la

matriz identidad 2 I :

El primer elemento pivote 411 a está bien colocado y procedemos a hacer ceros

debajo de este elemento. Para ello, multiplicamos el renglón 1 por 41 y lo

sumamos al renglón 2. Esto nos da:


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Nuestro segundo elemento pivote es 25.022 a . Para hacer ceros arriba de este

elemento, multiplicamos el renglón 2 por 25.011 y lo sumamos al renglón 1. Esto nos

da:

Finalmente, hacemos los 1’s en la diagonal principal. Para ello, multiplicamos el

renglón 1 por 41

y el renglón 2 por 25.01

. Esto nos da la matriz final:

Por lo tanto, concluímos que la matriz inversa de A es:

Ejemplo 2. Usar el método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de:

Solución . En una matriz, colocamos la matriz A y a su derecha agregamos lamatriz identidad:

Vemos que el primer elemento pivote 211 a está bien colocado y procedemos a

hacer ceros debajo de este elemento. Para ello multiplicamos el renglón 1 por 25.0

y

lo sumamos al renglón 2; también, multiplicamos el mismo renglón 1 por 23125.0

y losumamos al renglón 3. Esto nos da:


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Para elegir el segundo elemento pivote, debemos escoger el elemento mayor (con

valor absoluto) entre 2.022 a y 25.132 a , el cual obviamente es éste último.Por lo tanto, debemos intercambiar el renglón 2 y el renglón 3. Tenemos entonces:

Procedemos a hacer ceros arriba y abajo de nuestro segundo elemento pivote;

para ello, multiplicamos el renglón 2 por 25.14 y lo sumamos al renglón 1, y

también multiplicamos el mismo renglón 2 por 25.12.0

y lo sumamos al renglón 3. Estonos da:

Nuestro tercer elemento pivote es 4.033 a . Para hacer ceros arriba de este

elemento, multiplicamos el renglón 3 por 4.0125.3 y lo sumamos al renglón 2, y

también multiplicamos el mismo renglón 3 por 4.010

y lo sumamos al renglón 1. Estonos da:

Finalmente, hacemos los 1’s en la diagonal principal. Para ello multiplicamos el

renglón 1, 2 y 3 por 21

, 25.11 y 4.0

1

, respectivamente. Esto nos da la matriz final:

Por lo tanto, concluímos que la matriz inversa de A es:


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Enseguida, sustituímos este valor de 1 x en la ecuación 2, y las variables

n x x ,,3 siguen teniendo el valor de cero. Esto nos da el siguiente valor para 2 x :

Estos últimos valores de 1 x y 2 x , los sustituímos en la ecuación 3, mientras que

n x x ,,4 siguen teniendo el valor de cero; y así sucesivamente hasta llegar a la

última ecuación. Todo este paso, nos arrojará una lista de primeros valores paranuestras incógnitas, la cual conforma nuestro primer paso en el proceso iterativo.Digamos que tenemos:

Volvemos a repetir el proceso, pero ahora sustituyendo estos últimos datos envez de ceros como al inicio, obtendremos una segunda lista de valores para cadauna de las incógnitas. Digamos que ahora tenemos:

En este momento, podemos calcular los errores aproximados relativos, respecto acada una de las incógnitas. Así, tenemos la lista de errores como sigue:


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El proceso se vuelve a repetir hasta que:

donde s es una cota suficiente prefijada.

Ejemplo 1

Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema:

hasta que %1a .

Solución

Primero despejamos las incógnitas 1 x , 2 x y 3 x de las ecuaciones 1, 2 y 3respectivamente. Tenemos:

Estas últimas, son nuestro juego de fórmulas iterativas.

Comenzamos el proceso iterativo, sustituyendo los valores de 032 x x en la

primera ecuación, para calcular el primer valor de 1 x :

Ahora, sustituimos 66667.21 x y 03 x en la segunda ecuación, para obtener

2 x :

Ahora sustituimos 66667.21 x y 82381.22 x en la tercera ecuación, para

obtener 3 x :


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Así, tenemos nuestra primera aproximación a la solución del sistema:

Puesto que todavía no podemos calcular ningún error aproximado, repetimos elproceso pero ahora con los últimos datos obtenidos para las incógnitas:

Sustituyendo 82381.22 x y 1051.73 x en la ecuación 1 obtenemos

6626.31 x . Sustituyendo 6626.31 x y 1051.73 x en la ecuación 2 obtenemos

24404.32 x ; finalmente, sustituyendo 6626.31 x y 24404.32 x en la ecuación

3 obtenemos 06106.73 x . Así, tenemos la segunda lista de valores deaproximación a la solución del sistema:

Ahora si podemos calcular los errores absolutos para cada una de las incógnitas.Tenemos:

Puesto que no se ha logrado el objetivo, debemos repetir el mismo proceso con losúltimos valores obtenidos de cada una de las incógnitas. Nótese que aunque el

error aproximado 3,a ya cumple con ser menor al 1%, esto se debe de cumplirpara los tres errores aproximados!

Por lo tanto repetimos el mismo proceso. Omitiendo los pasos intermedios,obtenemos:


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Y en este caso tenemos los siguientes errores aproximados:

Vemos que ahora si se ha cumplido el objetivo para cada uno de los erroresaproximados. Por lo tanto, concluímos que la solución aproximada es:

Observación. Es lógico preguntarse si siempre el método de Gauss-Seidelconverge a la solución del sistema de ecuaciones y también es lógico esperar quela respuesta es NO.

Un resultado de Análisis Numérico nos da una condición suficiente para laconvergencia del método.

Teorema . El método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema si secumple la condición de que la matriz de coeficientes del sistema sea una matrizdiagonalmente dominante, es decir, si se cumple la siguiente condición:

,paracada

La condición de ser una matriz diagonalmente dominante simple mente significaque los elementos de la diagonal son mayores (en valor absoluto) que la suma delos valores absolutos de los demás elementos del mismo renglón. Nótese que en elejemplo anterior, la matriz si es diagonalmente dominante y por lo tanto, el métodode Gauss-Seidel si converge a la solución del sistema.

Sin embargo, la condición de la matriz diagonalmente dominante, solamente es una

condición suficiente pero no necesaria, es decir, existen sistemas de ecuacionesque no cumplen con la condición y que si convergen a la solución y también existensistemas de ecuaciones que no cumplen con la condición y que no convergen a lasolución.

Finalmente, obsérvese que aunque un sistema no cumpla con la condición de serdiagonalmente dominante, es posible a veces, lograr que si se cumpla con estacondición mediante un intercambio de renglones, como veremos en el siguienteejemplo.

Ejemplo 2

Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema:


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hasta que %1a .

Solución

En este caso, vemos que la matriz de coeficientes del sistema no es diagonalmentedominante (¿por qué?). Pero tambien vemos que si intercambiamos los renglones2 y 3 entonces si es diagonalmente dominante. Así, primero hacemos elintercambio de renglones y nuestro sistema es:

Procedemos entonces, a despejar 21, x x y 3 x de las ecuaciones 1, 2 y 3respectivamente. Tenemos:

Comenzamos entonces el proceso iterativo sustituyendo los valores de 02 x y03 x en la ecuación 1 para obtener 1 x :

Ahora sustituímos 84.181 x y 03 x en la ecuación 2 para obtener 2 x :

Para terminar la primera iteración, sustituímos 84.181 x y 152.32 x en la

ecuación 3 para obtener 3 x :

Por lo tanto los valores obtenidos en la primera iteración son:


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Puesto que solo tenemos la primera aproximación de la solución del sistema,debemos seguir avanzando en el proceso iterativo. Sustituyendo 152.32 x y

04613.03 x en la ecuación 1, obtenemos 69765.191 x ; sustituyendo

69765.191 x y 04613.03 x en la ecuación 2, obtenemos 42775.32 x ;

sustituyendo 69765.191 x y 42775.32 x en la ecuación 3, obtenemos05207.03 x . Por lo tanto, nuestra segunda aproximación es:

Y ahora si podemos calcular los errores aproximados para cada una de lasincógnitas. Tenemos:

Puesto que no se ha cumplido el objetivo, debemos seguir avanzando en elproceso iterativo. Resumimos los resultados como sigue:

Tercera iteración:

Cuarta Iteración:


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Así, el objetivo se ha logrado hasta la cuarta iteración y tenemos que los valoresaproximados de la solución del sistema son:

EJERCICIOS

NOTA: En todos los ejercicios, redondea tus resultados a cinco decimales.

1. Usa el método de Gauss con pivoteo para resolver el siguiente sistema:

Solución:

2. Usa el método de Gauss con pivoteo para resolver el siguiente sistema:

Solución:

3. Usa el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema:

Solución:

4. Usa el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema:


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Solución:

5. Calcula la matriz inversa de las siguientes matrices usando el método de Gauss-Jordan:

i) ii)

Soluciones:

i)

ii)

6. Usa el método de Gauss-Seidel hasta que %1a para aproximar la solucióndel siguiente sistema de ecuaciones:

Solución:

7. Usa el método de Gauss-Seidel hasta que %1a para aproximar la solucióndel siguiente sistema de ecuaciones:


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Solución:


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INTERPOLACIÓN

En este capítulo estudiaremos el importantísimo tema de la interpolación de datos.Veremos dos tipos de interpolación: la interpolación polinomial y la interpolaciónsegmentaria (splines).

Comencemos dando la definición general.

Definición. Dados 1n puntos que corresponden a los datos:

y los cuales se representan gráficamente como puntos en el plano cartesiano,

Si existe una función )( x f definida en el intervalo n x x ,0 (donde suponemos que

n x x x 10 ), tal que ii y x f )( para ni ,,2,1,0 , entonces a )( x f se lellama una función de interpolación de los datos, cuando es usada para aproximar

valores dentro del intervalo n x x ,0 , y se le llama función de extrapolación de losdatos, cuando está definida y es usada para aproximar valores fuera del intervalo.

Evidentemente pueden existir varios tipos de funciones que interpolen los mismosdatos; por ejemplo,funciones trigonométricas, funcionesexponenciales, funciones polinomiales, combinaciones de éstas, etc.

El tipo de interpolación que uno elige, depende generalmente de la naturaleza delos datos que se están manejando, así como de los valores intermedios que seestán esperando.


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Un tipo muy importante es la interpolación por funciones polinomiales. Puesto queevidentemente pueden existir una infinidad de funciones polinomiales deinterpolación para una misma tabla de datos, se hace una petición extra para que el

polinomio de interpolación , sea único.

Definición. Un polinomio de interpolación es una función polinomial que ademásde interpolar los datos, es el de menor grado posible.

Caso n=0

Tenemos los datos:

En este caso, tenemos que 0)( y x f (polinomio constante) es el polinomio de

menor grado tal que 00)( y x f , por lo tanto, es el polinomio de interpolación.

Caso n=1

Tenemos los datos:

En este caso, el polinomio de interpolación es la función lineal que une a los dos puntos dados. Por lo tanto, tenemos que

)()( 001

010 x x

x x

y y y x f

es el polinomio de interpolación.

La siguiente gráfica representa este caso:


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Observación.

Vemos que en el polinomio de interpolación del caso n=1 se encuentra como

primer término, 0 y , que es el polinomio de interpolación del caso n=0.

Continuemos:

Caso n=2

Tenemos los datos:

Para este caso, el polinomio de interpolación va a ser un polinomio de grado 2.Tomando en cuenta la observación anterior, intuímos que el polinomio deinterpolación será como sigue:

término cuadrático

Por lo tanto, planteamos el polinomio de interpolación como sigue:

))(()()( 102010 x x x xb x xbb x f

Si asignamos 0 x x , se anulan los valores de 1b y 2b , quedándonos elresultado:

00)( b x f

Como se debe cumplir que 00)( y x f , entonces:


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00 b y

Si asignamos1 x x , el valor de

2b

queda anulado, resultando lo siguiente:

)()( 01101 x xbb x f

Como se debe cumplir que 11)( y x f y ya sabemos que 00 b y , entonces

)( 01101 x xbb y , de lo cual obtenemos el valor para 1b :

1

01

01 b x x

y y

Asignando 2 x x , vamos a obtener :

))(()()( 1202202102 x x x xb x xbb x f

Como se debe cumplir que 22)( y x f , y ya sabemos que 00 b y y

1

01

01 b x x

y y

, sustituímos estos datos para después despejar el valor de 2b :

))(()( 120220201

0102 x x x xb x x

x x

y y y y

De lo cual podemos hacer un despeje parcial para lograr la siguiente igualdad :

)(

)(

022

12

02

01

0102

x xb x x

x x x x

y y y y

Ahora en el numerador del miembro izquierdo de la igualdad, le sumamos un cero 11 y y , de tal manera que no se altere la igualdad:

A continuación, aplicamos un poco de álgebra para así obtener los siguientesresultados:


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Y finalmente despejando a 2b vamos a obtener :

02

01

01

12

12

2 x x

x x

y y

x x

y y

b

Por lo tanto, el polinomio de interpolación para este caso es:

Observación.

Vemos que efectivamente el polinomio de interpolación contiene al del casoanterior, más un término extra que es de un grado mayor, pero además vemos quecada uno de los coeficientes del polinomio de interpolación, se forman a base decocientes de diferencias de cocientes de diferencias, etc. Esto da lugar a ladefinición de diferencias divididas finitas de Newton, como sigue:

DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS DE NEWTON

Las diferencias divididas finitas de Newton, se define de la siguiente manera:

ji

ji

ji x x

x f x f x x f

)()(],[

k i

k j ji

k ji x x

x x f x x f x x x f

],[],[],,[


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0

011011

],,[],,[],,,,[ x x

x x f x x f x x x x f n

nnnn

A manera de ejemplo citemos el siguiente caso específico :

03

0121230123

],,[],,[],,,[

x x

x x x f x x x f x x x x f

dond e a su v ez:

13

1223123

],[],[],,[

x x

x x f x x f x x x f

y

012

0112012

],[],[],,[

x x

x x f x x f x x x f

Y donde a su vez:

23

2323

)()(],[

x x

x f x f x x f

etc.

Podemos ahora definir nuestro primer tipo de polinomio de interpolación.

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON CON DIFERENCIASDIVIDIDAS

Dados 1n datos:

El polinomio de interpolación de Newton se define de la siguiente manera:


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110102010 nn x x x x x xb x x x xb x xbb x f

dond e :

00 x f b

],[ 011 x x f b

0122 ,, x x x f b

0,, x x f b nn

Para calcular los coeficientes nbbb ,,, 10 , es conveniente construir una tabla dediferencias divididas como la siguiente :

Obsérvese que los coeficientes del polinomio de interpolación de Newton, seencuentran en la parte superior de la tabla de diferencias divididas.

Ejemplo 1. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos:


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Y utilizar la información de dicha tabla, para construir el polinomio de interpolaciónde Newton.

Solución.

Procedemos como s igue:

Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton es :

)2)(1)(2(3.0)1)(2(25.0)2(24)( x x x x x x x f

Ejemplo 2. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos:

Y usar la información en la tabla, para construir el polinomio de interpolación deNewton.

Solución. Procedemos com o s igue:


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0 iiininin y y x g x f xh para todo ni ,2,1,0

Por lo tanto, xhn tiene 1n raíces distintas, y es un polinomio de grado a lomás n, esto solamente es posible si 0 xhn .

x g x f nn

Que es lo qu e qu eríamos p rob ar.

Sin embargo, aunque el polinomio de interpolación es único, pueden existir

diversas formas de encontrarlo. Una, es mediante el polinomio de Newton, otramediante el polinomio de Lagrange.

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE

Nuevamente tenemos los datos :

El polinomio de interpolación de Lagrange se plantea como sigue:

)()()()( 1100 xl y xl y xl y x P nn

Donde los polinomios )( xl i se llaman los polinomios de Lagrange,correspondientes a la tabla de datos.

Como se debe satisfacer que 00)( y x P , esto se cumple si 1)( 00 xl y 0)( 0 xl i

para toda 0i .


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Como se debe satisfacer que 11)( y x P , esto se cumple si 1)( 11 xl y 0)( 1 xl i

para toda 1i .

Y así sucesivamente, veremos finalmente que la condición nnn y x P se cumple si

1nn xl y 0ni xl para toda ni .

Esto nos sugiere como plantear los polinomios de Lagrange. Para ser más claros,

analicemos detenidamente el polinomio )(0 xl . De acuerdo al análisis anterior

vemos que deben cumplirse las siguientes condiciones para )(0 xl :

1)( 00 xl y 0)(0 j xl , para toda 0 j

Por lo tanto, planteamos)(

0

xl

como sigue:

no x x x x x xc xl 21

Con esto se cumple la segunda condición sobre )(0 xl . La constante c sedeterminará para hacer que se cumpla la primera condición:

n x x x x x xc xl 0201000 11

n x x x x x xc

02010

1

Por lo tanto el polinomio )(0 xl queda definido como:

n

n

x x x x x x

x x x x x x xl

02010

210

Análogamente se puede deducir que:

ji

i j

ji

i

j

x x

x x

xl

)(

)(

, para n j ,,1


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Ejemplo 1

Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos:

Solución . Tenemos que:

)()()()()( 3321100 xl y xl y xl y xl y x f

)(3)(2)()(2)( 3210 xl xl xl xl x f

donde:

48

)7)(5)(3(

)6)(4)(2(

)7)(5)(3()(0

x x x x x x xl

16

)7)(5)(1(

)4)(2)(2(

)7)(5)(1()(1

x x x x x x xl

16

)7)(3)(1(

)2)(2)(4(

)7)(3)(1()(2

x x x x x x xl

48

)5)(3)(1(

)2)(4)(6(

)5)(3)(1()(3

x x x x x x xl

Sustituyendo arriba, el polinomio de Lagrange queda definido como sigue:

16

)5)(3)(1(

8

)7)(3)(1(

16

)7)(5)(1(

24

)7)(5)(3(

)(

x x x x x x x x x x x x

x f


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Ejemplo 2.

Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos:

Solución . Tenemos que:

)()()()()( 3321100 xl y xl y xl y xl y x f

)(2)(3)()()( 3210 xl xl xl xl x f

donde:

48

)4)(2(

)6)(4)(2(

)4)(2)(0()(0

x x x x x x xl

16

)4)(2)(2(

)4)(2)(2(

)4)(2)(2()(1

x x x x x x xl

16

)4)(2(

)2)(2)(4(

)4)(0)(2()(2

x x x x x x xl

48

)2)(2(

)2)(4)(6(

)2)(0)(2()(3

x x x x x x xl

Sustituyendo arriba, el polinomio de Lagrange queda como sigue:


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24

)2)(2(

16

)4)(2(3

16

)4)(2)(2(

48

)4)(2()(

x x x x x x x x x x x x x f

En el capítulo de integración numérica, usaremos nuevamente a los polinomiosde Lagrange.

Solucion de ecuaciones diferenciales y matrices con excel

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