UNIDAD 5.- Solucin de ecuaciones diferenciales.

5.1 Mtodos de un paso.

5.1.1 Mtodo de Euler y Euler mejorado.Mtodo de EulerSe llama mtodo de Euler al mtodo numrico consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada.La primera derivada proporciona una estimacin directa de la pendiente en Xi (ver Grfico N01). [1]Donde f (Xi, Yi) es la ecuacin diferencial evaluada en Xi y Yi, Tal estimacin podr substituirse en la ecuacin [2] nos queda que:[2]Esta frmula es conocida como el mtodo de Euler (punto medio). Se predice un nuevo valor de Y por medio de la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original de X).

Error para el mtodo de EulerLa solucin numrica de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) involucra dos tipos de error.1) Errores de Truncamiento, o discretizacion, causados por la naturaleza de las tcnicas empleadas para aproximar los valores de y.2) Errores de Redondeo, que son el resultado del nmero limite de cifras significativas que pueden retener una computadora. Mtodo de Euler MejoradoEste mtodo se basa en la misma idea del mtodo anterior, pero hace un refinamiento en la aproximacin, tomando un promedio entre ciertas pendientes. La frmula es la siguiente:

Donde

Para entender esta frmula, analicemos el primer paso de la aproximacin, con base en la siguiente grfica:

En la grfica, vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condicin inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto donde es la aproximacin obtenida con la primera frmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condicin inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto como la aproximacin de Euler mejorada.

5.1.2 Mtodo de Runge-Kutta.Introduccin: La computadora, es la herramienta mas poderosa hasta ahora conocida, para la solucin de problemas en el campo de las ciencias exactas, en este caso los mtodos numricos, como punto principal por sus aplicaciones en la ingeniera. Los mtodos numricos son tcnicas, donde es posible resolver los problemas por medio de operaciones aritmticas, estos mtodos implementan un buen numero de clculos que son por dems demasiado lentos si se hacen manualmente, gastando mucha energa en la tcnica misma de solucin en vez de aplicarla sobre la definicin del problema y su interpretacin. El trabajo montono que se hacia anteriormente al uso de la computadora, hace de importancia, el dominio de los mtodos numricos, los cuales se deben llevar a cabo en combinacin con las capacidades y potencialidades de la programacin de computadoras para de esa forma resolver los problemas de ingeniera mucho mas fcilmente y eficientemente.

Objetivo de los mtodos de Runge-Kutta:

El objetivo de los mtodos numricos de runge-kutta, es el anlisis y solucin de los problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), estos son una extensin del mtodo de euler para resolver las (EDOS), pero con un orden de exactitud mas alto que este.

Modelos matemticos:

Los conocimientos cientficos se usan rutinariamente por los ingenieros en el diseo de elementos tales como maquinas, circuitos elctricos, estructuras etc. Estos conocimientos son muy tiles cuando se expresan en forma de un modelo matemtico, el cual se puede definir como una ecuacin que expresa las caractersticas fundamentales de un sistema o proceso fsico en trminos matemticos, siendo clasificados estos modelos, desde simples relaciones algebraicas hasta grandes y complicados sistemas de ecuaciones diferenciales. Anlisis de un modelo matemtico: Un modelo matemtico: es una expresin matemtica como veremos en el siguiente ejemplo: Formula de la segunda ley de newton: F= ma donde : F es la fuerza neta que acta sobre el cuerpo. m es la masa del objeto. Utilizando esta ley, vamos a determinar la velocidad de un paracaidista en cada libre. Para este caso puede crearse un nuevo modelo, expresando la aceleracin como la razn de cambio de la velocidad con respecto al tiempo (dv/dt) . Y sustituir en la ecuacin de nueva forma: F=m(dv/dt) As la masa, multiplicada por la razn de cambio de la velocidad es igual a la suma de fuerzas que actan sobre el cuerpo. Si la fuerza total cuando el objeto cae es positiva el objeto acelera, pero si es negativa desacelera, pero si la fuerza neta es cero la velocidad permanecer a un nivel constante. Para un cuerpo que cae la fuerza , la fuerza total esta compuesta por dos fuerzas contrarias, la atraccin debida a la gravedad Fd, y la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire Fu. Por lo tanto: F= Fd + Fu La fuerza debida a la gravedad Fd se puede reescribir: Fd=mg donde g es la constante de gravitacin que equivale a 980 cm por segundo cuadrado. La resistencia del aire se puede formular como una aproximacin sencilla linealmente proporcional a la velocidad: Fv = -cv donde c es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de arrastre. Entonces la fuerza total es la diferencia de las fuerzas hacia abajo y hacia arriba, as que combinando las ecuaciones anteriores: M(dv/dt)= mg cv o dividiendo cada lado entre m:

esta es la ecuacin de un cuerpo que cae a las fuerzas que actan sobre el y es una ecuacin diferencial porque esta escrita en trminos de la razn diferencial dv/dt. Usando el calculo y resolviendo esta ecuacin diferencial se puede llegar a la siguiente formula que expresa la velocidad del paracaidista en funcin del tiempo.

Ec(principal).A continuacin se observara la diferencia existente entre tres tipos de soluciones para el problema del paracaidista analizando las ventajas de cada uno de ellos con respecto a los dems: Enunciado del problema de un paracaidista que cae:

MTODO ANALTICO:

Un paracaidista con una masa de 55500 g salta de un aeroplano apliquese la ecuacin principal para calcular la velocidad antes de abrir el paracadas. El cociente de arrastre c es aproximadamente igual a 10500 g/s. Solucin : Al sustituir los valores de los parmetros en la ecuacin principal se obtiene

Al dar varios valores de t se obtienen las velocidades se obtienen las velocidades para el tiempo, los resultados se presentan a continuacin: TABLA DE RESULTADOSTiempo en segundosVelocidad en cm/s.

00

21631.7

42749.5

63515.1

84039.6

104398.8

124644.9

Al infinito5180.0

Nota: La escala de la velocidad en la grfica es de 1=1000. Si lo has notado para sacar el resultado de tus clculos de la tabla y grfica anteriores necesitas estar sustituyendo en la formula de v(t) esto hace el mtodo analtico cansado y repetitivo, pero es una solucin analtica exacta porque satisface la ecuacin diferencial original.

SOLUCIN NUMRICA:

La aproximacin de la razn de cambio de la velocidad con respecto al tiempo puede representarse de la siguiente forma

Y llegamos a ordenar esta ecuacin de la siguiente manera

la cual puede emplearse para extender el calculo , as que aplicandola directamente se dir Nuevo valor = valor anterior + valor estimulado x incremento del tiempo. de v. de v de la pendiente As pues efectuando el mismo calculo para el problema se procede como sigue: Sustituyendo en la ecuacin, nuevamente vemos que necesitamos aplicar las matemticas sin el auxilio de una computadora, y nos vamos a tardar un buen rato .

v(4)= 2330.8 cm/s. Y as sucesivamente se continua con el calculo para obtener los valores en la siguiente tabla Tiempo en seg.Vel. En cm/s.

0

2

4

6

8

10

12

al infinito.

Puede verse por el resultado en la tabla anterior que la solucin por un mtodo numrico se aproxima bastante bien a la solucin exacta, pero debido al empleo de rectas para aproximar la funcin que es continuamente curva, existe discrepancia entre los resultados de la tabla del mtodo analtico y la de este mtodo , una manera de minimizar el error es utilizando intervalos menores de tiempo en el muestreo de la ecuacin, y as los segmentos de recta seguirn mas de cerca a la solucin verdadera. Calculando manualmente el esfuerzo al usar incrementos cada vez mas pequeos har poco practicas las soluciones numricas, es por eso que a continuacin se presentara un mtodo con el cual se har uso de un programa de computadora para la solucin del problema.

SOLUCIN POR EL MTODO DE EULER DEL PROBLEMA DEL PARACAIDISTA.

Los mtodos de euler son procedimientos para resolver EDOS de primer orden y se pueden programar en una computadora para no hacer los clculos manualmente. Una desventaja importante de los mtodos de euler es que el orden de exactitud es bajo comparado con los de RUNGE- KUTTA .Y aunque para uno y otro existen versiones diferentes nosotros solamente nos basaremos en su potencialidad de aplicacin dentro de la programacin por computadora para la solucin del problemas.

PROGRAMA PARA LA SOLUCIN DEL PROBLEMA DEL PARACAIDISTA.

clear, clf, hold off t=0; n=0; v=0; C=10.5; M=55.5; g=9.8; h=.1; t_rec(1)=t; v_rec(1)=v; while t