Esferas e Hiperesferas

7/26/2019 Esferas e Hiperesferas

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Esferas e hiperesferas

Mam, mam! Por qu al

andar no hago ms que darvueltas? Nio si no te

callas te clavo al suelo el

otro ie

"histe negro, hacia #$%%

Una circunferencia es el lugar geomtrico de todos los puntos del

plano que se encuentran a distancia dada de un punto fijo.

Generalizando esta definicin a los espacios eucldeos de dimensin

cualquiera, llamaramos esfera general en dimensin n (o msbrevemente, n esfera! al conjunto de todos los puntos del

espacio n dimensional que se encuentran a distancia dada de un

punto fijo del espacio. "n los espacios de dimensin uno (las rectas!

la #esfera est formada por dos puntos situados a una distancia

dada, uno a cada lado de un punto central. $a %esfera no es sino la

circunferencia, & la 'esfera, la figura que ordinariamente llamamos

esfera. onforme aumenta la dimensin tenemos las )iperesferas

correspondientes a dimensin *, +, ,...

-maginemos una varilla de longitud unidad con un etremo ligado aun punto fijo. /i slo permitimos que la varilla gire sobre un plano, su

etremo libre trazar una circunferencia de radio unidad. 0ejando en

libertad la varilla para voltear en el espacio tridimensional, su

etremo describir una superficie esfrica. /upongamos a)ora que el

espacio tuviese un cuarto eje de coordenadas que cortase en ngulo

recto a los otros tres, & que la varilla tuviera libertad para girar en el

espacio tetradimensional. /u etremo libre engendrara entonces una

*esfera unitaria. "s imposible visualizar )iperesferas1 empero, sus

propiedades pueden estudiarse mediante una sencilla generalizacinde la geometra analtica, etendindola al caso de ms de tres

coordenadas.

$a ecuacin cannica de una circunferencia es

a & ' ( & ) r &

donde r representa el radio. $a ecuacin de la esfera es


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a & ' ( & ' c & ) r &

2ara la *esfera la ecuacin sera

a & ' ( & ' c & ' d & ) r &

& as sucesivamente al ir ascendiendo la escala de los )iperespacioseucldeos.$a 3superficie4 de una n esfera tiene dimensionalidad n #. $a3superficie4 de un crculo es una lnea de una dimensin, la superficieesfrica es bidimensional, & la superficie de una *esfera estridimensional. 5/era posible que el espacio tridimensional fuese enrealidad la )ipersuperficie de una gigantesca *esfera6 52odran

transmitirse mediante vibraciones de semejante )iperesfera fuerzastales como la gravedad & el electromagnetismo67uc)os matemticos & fsicos de finales del siglo pasado, tantoortodoos como iconoclastas se tomaron en serio esta conjetura. "lpropio "instein sugiri la superficie de una *esfera como modelo deluniverso, que sera de esta forma ilimitado & al mismo tiempo, finito.-maginemos que la superficie de una esfera est )abitada por3lanilandeses 4 bidimensionales. 8l viajar stos por la esfera,siguiendo la lnea 3ms recta posible4 en una direccin cualquiera,acabaran retornando al punto de partida. 8nlogamente (sugera

"instein!, si una nave espacial partiese de la 9ierra & viajase durantesuficiente tiempo, siempre en la misma direccin, al cabo retornara ala 9ierra. Unlanilands que fuese pintando la superficie de la esferaque )abita, trazando crculos concntricos cada vez ms amplios,alcanzara un punto medio a partir del cual los crculos comenzaran adecrecer, encontrndose l )acia el interior , & finalmente, el pintortendra que pintarse a s mismo, encerrado en un punto.8nlogamente, en el cosmos de "instein, si los astronautas terrestresempezasen a 3cartografiar4 el universo, pro&ectndolo sobre esferasconcntricas siempre en aumento, acabaran en :ltimo etremo

encerrados en un peque;o espacio globular, en el polo de la)iperesfera diametralmente opuesto a la 9ierra.7uc)as otras propiedades de la )iperesfera son justamente las quepodramos esperar por analoga con esferas de orden inferior. Unacircunferencia puede girar alrededor de un punto, el centro1 unaesfera, alrededor de una recta (un eje!, & una *esfera puede giraralrededor de unlano que contenga a su centro. "n general, el eje deuna n esfera giratoria es un espacio de dimensin n %. (


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punto del segmento, eceptuados los etremos, se corresponde condos puntos de la circunferencia. 2ro&ectando una esfera sobre unplano resulta un disco, siendo cada punto interior del disco pro&eccinde dos puntos de la esfera. 8l pro&ectar una *esfera sobre nuestro'espacio se obtiene una bola maciza, & cada uno de sus puntos

interiores es pro&eccin de dos puntos de la superficie de la)iperesfera. "ste resultado se generaliza a todos los espacios dedimensin superior.=tro tanto puede decirse para las secciones transversales. 8l cortaruna circunferencia con una recta, la interseccin es una #esfera, estoes, un par de puntos. 8l cortar una esfera con un plano la seccinproducida es una circunferencia. ortando una *esfera con un)iperplano (de dimensin '! la seccin resultante es una 'esfera. ("simposible dividir en dos una )iperesfera cortndola con un %plano.Una hierman*ana , pasada de parte a parte por un plano

bidimensional, permanece de una pieza!. -maginemos una *esferaque fuera atravesando lentamente nuestro espacio. $a veramosaparecer como un punto & en seguida transformarse en una bolitaque progresivamente ira engordando )asta su mima seccin, parair luego adelgazando )asta esfumarse.Una esfera de dimensin cualquiera, construida con material losuficientemente fleible, puede ser siempre vuelta del revs, deadentro a afuera, sumergindola en el espacio de dimensininmediatamente superior. 0e igual forma que nosotros podemosretorcer un delgado aro de goma )asta que su cara interior pase a ser

eterior, & recprocamente, tambin una hiercriatura podra asir unade nuestras pelotas de tenis & volverla, como un guante, del revs,manipulndola a travs del )iperespacio. > podra )acerlo de una solamaniobra o tambin comenzando por un punto de la pelota, irlavolviendo del revs a partir de l, )asta dejar toda la bola con elinterior epuesto al eterior."ntre las frmulas que es posible generalizar fcilmente a esferas dedimensin arbitraria, una de las ms elegantes es la que relaciona losradios del n:mero mimo de esferas n dimensionales mutuamentetangentes. "n el plano es imposible situar ms de cuatro

circunferencias de forma que cada una toque a las dems, siendotangente cada par en un punto diferente. ?a& dos situacionesposibles (dejando aparte casos degenerados, donde una de lascircunferencias es de radio infinito, convirtindose as en una lnearecta!@ o bien tres circunferencias rodean a una cuarta, menor,( +igura #, i*quierda !, o bien tres estn contenidas en la cuarta( +igura #, derecha !.AredericB /odd&, qumico ingls descubridor de los elementosistopos (lo que le vali el premio


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+igura # /llese el radio de la cuarta circun0erencia

Pueden (esarse los la(ios, dos a dos,sin mucho calcular, sin trigonometr1a2mas a3! no sucede igual en la 4eometr1a,ues si cuatro c1rculos tangentes quieren ser3 (esar cada uno a los otros tres,ara lograrlo ha(rn de estar los cuatroo tres dentro de uno, o algunoor otros tres a coro rodeado5e estar uno entre tres, el caso es evidente

ues tres veces son todos (esados desde a0uera6 el caso tres en uno no es quimera,al ser este uno or tres veces (esado internamente

"n la siguiente estrofa de su poema, /odd& da la sencilla frmula querelaciona los radios de los crculos. $a curvatura es la inversa delradio1 as, un crculo de radio * tiene curvatura #E*. uando uncrculo es contactado desde su interior, como le sucede al crculogrande que contiene a los otros tres, se dice que su curvatura escncava, & a tal curvatura se le atribu&e signo negativo. 8s dice/odd& en su segunda estrofa@

"uatro c1rculos llegaron a (esarse,cuanto menores tanto ms curvados,3 es su curvatura tan s7lo la inversade la distancia desde el centro8unque este enigma a 9uclides asom(rara,ninguna regla em1rica es necesaria:al ser las rectas de nula curvatura3 ser las curvas c7ncavas tomadas negativas,la suma de cuadrados de las cuatro curvaturas

es igual a un medio del cuadrado de su suma.


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0enotando a, (, c & d los recprocos de los cuatro radios, la frmulade /odd& es

%( a & ' ( & ' c & ' d & ! F ( a ' ( ' c ' d; & .

"l lector no debera &a tener dificultad en calcular el radio del cuartocirculo osculatriz de cada ilustracin. "n la tercera & :ltima estrofa delpoema de /odd&, la frmula es generalizada a cinco esferasmutuamente osculatrices@

Espiar de las esferas

los enredos amorososudirale al inquisidorrequerir clculos tediosos,

ues siendo las es0eras ms corridasa ms de un ar de aresuna quinta entra en la movida9mero, siendo signos 3 ceros como antesara (esar cada una a las otras cuatro9l cuadrado de la suma de las cinco curvaturasha de ser trile de la suma de sus cuadrados

"n el n:mero del D de enero de #D' (Hol. #'D, pg. %!, laredaccin de Natureacusaba recibo de varias cuartas estrofas que

generalizaban la frmula de /odd& a espacios n dimensionales,aunque public solamente la que sigue, debida a 9)orold Gosset,abogado ingls aficionado a las matemticas.

No de(emos emero con0inar nuestros cuidadosa los simles c1rculos, es0eras 3 lanos,sino elevarnos a n


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conocida por 0escartes, pero /odd& la redescubri &, seg:n parece,fue el primero en generalizarla para esferas.

+igura #> eis c1rculos unitarios tangentes a un stimo

Hale la pena notar que la frmula general es aplicable incluso a tres3esferas4 bipuntuales del espacio unidimensional que seanmutuamente tangentes@ dos segmentos de recta que se tocan,3dentro4 de un tercero que es la suma de ambos. 2ara los

aficionados a las matemticas recreativas, la frmula de 0escartes /odd& es un autntico don del cielo. asi todos los problemas sobrecrculos o esferas mutuamente tangentes ceden pronto frente a ella.?e aqu uno mu& bonito. 9res pomelos perfectamente esfricos, todosde ' cm de radio, descansan sobre un mostrador plano. 9ambinsobre el mostrador, pero debajo de los pomelos & tangente a ellos, setiene una peque;a naranja perfectamente esfrica. 5Ju radio tendrla naranja6"n cambio, los problemas sobre empaquetamiento de esferasunitarias no admiten generalizaciones sencillas al ir ascendiendo por

el escalafn de espacios de dimensin cada vez ma&or1 en realidad,se tornan cada vez ms difciles. 9omemos por ejemplo el problemade )allar el n:mero mimo de esferas unitarias que pueden sertangentes a otra esfera unitaria tambin. 2ara circunferencias taln:mero es seis.2ara esferas ordinarias es #%, pero no pudo probarse que as fuera)asta #K*. $a dificultad se debe a que al colocar #% esferas en tornoa una decimotercera, con sus centros en los vrtices de un icosaedroimaginario ( +igura #$ !, entre cada par de esferas queda espaciovaco.


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+igura #$ 5oce es0eras unitarias tangentes a una decimotercera

"l espacio vaco es ligeramente superior al necesario para alojar unadecimotercera admitiendo que fuera posible desplazaradecuadamente las #% primeras, manteniendo el contacto & elempaquetamiento. / el lector se toma la molestia de ba;ar de gomaarbiga #* pelotas de pingpong, ver que puede fcilmente ad)erir auna de ellas otras #%, no estando claro si se podr o no incluir una

ms sin forzarlas ni deformarlas indebidamente. ?e aqu una cuestinequivalente (5sabr el lector eplicar por qu6!@ 5podremos pegarsobre una esfera #' discos de papel, que cubra cada uno un arco deC grados de un crculo mimo, sin que se traslapen unos conotros6?. /. 7. oeter, al escribir sobre -he Pro(lem o0 Pac@ing a Num(ero0 9qual Nonoverlaing "ircles on a here (en -ransactions o0 theNeA 6or@ 8cadem3 o0 ciences . Hol. %*, enero de #D%, pp. '%C '#!, cuenta la )istoria de la que podra ser la primera discusindocumentada sobre el problema de las #' esferas. 0avid Gregor&,astrnomo en =ford & amigo de -saac


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solucin ser %*, %+ %. 9ampoco se conoce la respuesta enninguno de los espacios de dimensin superior. $o :nico que se sabees cules son los empaquetamientos ms densos para espacios dedimensiones de * a K, suponiendo que los vrtices de las )iperesferasdefinan retculas regulares. 0e tales empaquetamientos resultan las

cotas inferiores %*, *C, %, #% & %*C para los n:meros de esferas encontacto con otra dada. 0e no estar sujetos a empaquetamientos3regulares4, se )a conjeturado que las cotas superiorescorrespondientes son %, *K, K+, #* & %**. "n los espacios dedimensin ma&or que K, ni siquiera se conocen los empaquetamientosregulares de densidad mima. 8dmitiendo que los centros no formenretculos regulares, $eec) & otro tanto puededecirse para objetos de ms de una dimensin. 8s, un cubo es capazde alojar cuadrados ms grandes que su cara. Un *cubo puedeacomodar en su interior cubos tridimensionales ma&ores que su)ipercara c:bica. Un cubo del espacio de dimensin + dar cabida ensu seno a cuadrados & cubos ma&ores de los que cabran en otroscubos de igual arista pero menor dimensionalidad. Un elefante, o sise quiere, una catedral, cabe con )olgura en un cubo n dimensional

cu&as aristas no sean ma&ores que las de un terrn de az:car... contal de que nsea suficientemente grande.7as la situacin cambia de raz para las n esferas. 2or mu& grandeque sea n , jams podrn las n esferas acomodar varillas de longitudma&or que el doble de su radio. > al mismo tiempo sucede algo mu&curioso con su volumen (o )ablando propiamente, con sucontenido n dimensonal! al ir creciendo la dimensin n . $asuperficie del crculo de radio # es, evidentemente . "n el espaciotridimensional, el volumen de la esfera de radio # es

*E' r ' F *E' F #.''''' F *.#KDD


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"l )ipervolumen de la *esfera es *,D I. "n el espacio de dimensin +el volumen es a:n ma&or, +,% I. 2ero en el espacio de dimensin el)ipervolumen es de slo +,# I , & a partir de a), contin:adecreciendo sistemticamente, tanto as, que cuando n tiende a

infinito, el )ipervolumen, de la n< esfera unitaria tiende a cero./e siguen de aqu resultados que podramos calificar de3 eBtraterrestres 4. 0avid /ingmaster, escribiendo sobre 32iezasredondas en agujeros cuadrados, & piezas cuadradas en agujerosredondos4 (3 Cn Dound Pegs in quare /oles and quare Pegs inDound /oles 4, Mathematics Maga*ine , (vol. ', noviembre de #D*,pp. ''+'! lleg a la conclusin de que las piezas redondas encajanmejor en agujeros cuadrados que a la inversa, porque la razn de lasuperficie del crculo a la de su cuadrado circunscrito ( E*! esma&or que la razn del cuadrado inscrito al crculo que lo contiene

(%E !. 8nlogamente, podemos demostrar que una bola encajamejor en una caja c:bica que un cubo en un envase esfrico, si bienla diferencia de los cocientes es algo menor. /ingmaster descubrique la diferencia sigue decreciendo )asta los espacios de dimensinK1 a partir de a) se cambian las cosas, & en el espacio de dimensinD, la razn de la n bola al n cubo es menor que la relacindel n< cubo a la n< bola. 0ic)o de otra forma, la condicin necesaria &suficiente para que una n bola est mejor envasada en un n cuboque un n cubo en una n bola es que n sea menor o igual que K.

+igura &E "uatro discos que cercan a otro de radio F& < #

$a misma curiosa etravagancia del espacio de dimensin D semanifiesta en una paradoja descubierta por $eo 7oser & no publicada)asta a)ora. "n un cuadrado de lado * podemos alojar cuatro discosunitarios ( vase la +igura &E !1 en el centro entra todava un circulode radio O % #. 8nlogamente, podemos encajar oc)o esferasunitarias contra los rincones de una caja c:bica de arista * ( vase la+igura !.


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+igura Ccho es0eras unitarias deGan sitio ara otra FH


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+igura && Pro(lema del hierdamero de Ieo Moser

Aijmonos a)ora en un retculo tetradimensional de )ipercubos dearista %, cu&os cubculos supondremos alternativamente coloreadosde blanco & negro, de forma que cada uno de ellos estar rodeado

por oc)o )ipercubculos de color contrario. "n torno a cada)ipercubculo negro est circunscrita una )iperesfera. 5Ju volumentiene la regin libre de cada cubculo blanco6 $a respuesta,sorprendentemente sencilla, puede averiguarse rpidamente sinconocer siquiera el volumen de la )iperesfera.

Soluciones

"l primer problema consista en )allar los radios de dos crculos, cadauno de los cuales es tangente a tres circunferencias, mutuamentetangentes, de radios #, % & ' unidades. Halindose de la frmula

eplicada en el capitulo

% (# I #E* I #ED I...I #E % ! F (# I #E% I #E' I...I #E! %

siendo el radio del cuarto crculo, se obtienen las soluciones E%'(radio del circulo peque;o! & (para el crculo grande!."l segundo problema se refera a tres pomelos & una naranja1 todasdescansan sobre un mostrador plano & son mutuamente tangentes.$os pomelos son de igual tama;o, & de ' cm de radio. 5Ju tama;o

tiene la naranja6 "l plano sobre el que descansan las cuatro esferaspuede considerarse como una quinta esfera de radio infinito, tangentea las otras cuatro. 2or tener curvatura nula, el trminocorrespondiente a ella desaparece de la frmula que relaciona losrecprocos de los radios de cinco esferas mutuamente tangentes./eaB el radio de la naranja. 9endremos la ecuacin@

' (#E' % I #E' % I #E' % I...I #E % ! F (#E' I #E' I #E' I...I #E! %

de donde resulta queB tiene el valor de # cm."videntemente, el problema puede resolverse por otros


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procedimientos. uando fue propuesto (2roblema *, en el Pi Mu9silon Journal , noviembre de #D+%! $eon RanBoff lo resolvi comosigue, siendo D el radio de las esferas grandes & rel de la esfera mspeque;a@3$a esfera peque;a, de radio r , descansa sobre un punto de la mesa

situado a igual distancia de los puntos de contacto de cada una de lasesferas grandes con el plano del tablero. /e encuentra por tanto en elcircuncentro de un tringulo equiltero de lado % D . 2or consiguiente( D I r ! es la )ipotenusa de un tringulo rectngulo, cu&a alturamide ( D, r ! & cu&a base es de % DFHKH . 2or ello,

( D I r ! % F ( D S r ! % I * D %E'

$a solucin de la paradoja de $eo 7oser sobre el )iperdamero c:bico

del espacio tetradimensional es que las )iperesferas que engloban loscubculos negros no dejan libre ninguna porcin de los cubculos

blancos. "l radio de cada )iperesfera es O* o sea, %. omo las aristas

de las )ipercasillas miden % unidades, vernos enseguida que cada una

de las oc)o )iperesferas que cercan la celdilla blanca llegan a pasar

por el centro de la casilla. $as oc)o )iperesferas se traslapan entre s,

sin dejar ninguna porcin del cubculo blanco fuera de todas ellas.4

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