Esfuerzos FIRME
80
Unidad I ESFUERZO 1. ESFUERZO Sabemos que la fuerza y el momento que actúan en un punto específico sobre el área seccionada de un cuerpo, figura 4.1, representan los efectos resultantes de la distribución de fuerza verdadera que actúa sobre el área seccionada. La obtención de esta distribución de carga interna es de importancia primordial en la mecánica de materiales. Para resolver este problema es necesario establecer el concepto de esfuerzo. Consideremos el área seccionada como subdividida en pequeñas áreas, tal como el área sombreada de ∆A mostrada en la figura 4.2a. Al reducir ∆A a un tamaño cada vez más pequeño, debemos hacer dos hipótesis respecto a las propiedades del material. Consideraremos que el material es continuo, esto es, que consiste en una distribución uniforme de materia que no contiene huecos, en vez de estar compuesto de un número finito de moléculas o átomos distintos. Además, el material debe ser cohesivo, es decir, que todas sus partes están unidas entre sí, en vez de tener fracturas, grietas o separaciones. Una fuerza típica finita pero muy pequeña ∆F, actuando sobre su área asociada ∆A, se muestra en la figura 4.2a. Esta fuerza como todas las otras, tendrá una dirección única, pero para el análisis que sigue la reemplazaremos por sus tres componentes, ∆Fx, ∆Fy y ∆Fz que se toman tangente y normal al área, respectivamente. Cuando el área ∆A tiende a cero, igualmente tienden a cero la fuerza ∆F y sus componentes; sin embargo, el cociente de la fuerza y el área tenderán en general a un límite finito. Este cociente se llama esfuerzo y describe la intensidad de la fuerza interna sobre un plano específico (área) que pasa por un punto. 53
-
Upload
eder-andre-apaza-maquera -
Category
Documents
-
view
86 -
download
7
Transcript of Esfuerzos FIRME
Unidad I
ESFUERZO
1. ESFUERZO
Sabemos que la fuerza y el momento que actúan en un punto específico sobre el
área seccionada de un cuerpo, figura 4.1, representan los efectos resultantes de
la distribución de fuerza verdadera que actúa sobre el área seccionada. La
obtención de esta distribución de carga interna es de importancia primordial en la
mecánica de materiales. Para resolver este problema es necesario establecer el
concepto de esfuerzo.
Consideremos el área seccionada como subdividida en pequeñas áreas, tal como
el área sombreada de ∆A mostrada en la figura 4.2a. Al reducir ∆A a un tamaño
cada vez más pequeño, debemos hacer dos hipótesis respecto a las propiedades
del material. Consideraremos que el material es continuo, esto es, que consiste
en una distribución uniforme de materia que no contiene huecos, en vez de estar
compuesto de un número finito de moléculas o átomos distintos. Además, el
material debe ser cohesivo, es decir, que todas sus partes están unidas entre sí,
en vez de tener fracturas, grietas o separaciones. Una fuerza típica finita pero
muy pequeña ∆F, actuando sobre su área asociada ∆A, se muestra en la figura
4.2a. Esta fuerza como todas las otras, tendrá una dirección única, pero para el
análisis que sigue la reemplazaremos por sus tres componentes, ∆Fx, ∆Fy y ∆Fz
que se toman tangente y normal al área, respectivamente. Cuando el área ∆A
tiende a cero, igualmente tienden a cero la fuerza ∆F y sus componentes; sin
embargo, el cociente de la fuerza y el área tenderán en general a un límite finito.
Este cociente se llama esfuerzo y describe la intensidad de la fuerza interna
sobre un plano específico (área) que pasa por un punto.
53
Figura 4.2
1.1. ESFUERZO NORMAL
La intensidad de fuerza, o fuerza por área unitaria, actuando
normalmente a ∆A se define como el esfuerzo normal,σ(sigma). Como,
∆Fz es normal al área, entonces,
54
Figura 4.1
Si la fuerza o esfuerzo normal "jala" al elemento de área, ∆A como se
muestra en la figura 4.2a, se le llama esfuerzo de tensión, mientras que si
se “empuja" a ∆A se le llama esfuerzo de compresión.
1.2. ESFUERZO CORTANTE
La intensidad de fuerza, o fuerza por área unitaria, actuando tangente a
∆A se llama esfuerzo cortante, η (tau). Aquí tenemos las componentes de
esfuerzo cortante,
El subíndice z en ζz, se usa para indicar la dirección de la línea normal
hacia fuera, que especifica la orientación del área, ∆A, figura 4.3. Para las
componentes del esfuerzo cortante, Tzx y Tzy, se usan dos subíndices. El
eje z especifica la orientación del área, y x y y se refieren a los ejes coor-
denados en cuya dirección actúan los esfuerzos cortantes.
Figura 4.3
1.3. ESTADO GENERAL DE ESFUERZO
Si el cuerpo es adicionalmente seccionado por planos paralelos al plano
x-z, figura 4.2b, y al plano y-z, figura 4.2c, podemos entonces "separar"
un elemento cúbico de volumen de material que representa el estado de
esfuerzo que actúa alrededor del punto escogido en el cuerpo, figura 3-4.
Este estado de esfuerzo es caracterizado por tres componentes que
actúan sobre cada cara del elemento. Esas componentes de esfuerzo
describen el estado de esfuerzo en el punto sólo para el elemento
55
orientado a lo largo de los ejes x, y, z. Si el cuerpo fuese seccionado en
un cubo con otra orientación, el estado de esfuerzo se definiría usando un
conjunto diferente de componentes de esfuerzo.
Figura 4.4
1.4. UNIDADES
En el sistema SI, las magnitudes de los esfuerzos normal y cortante se
especifican en las unidades básicas de newtons por metro cuadrado
(N/m2). Esta unidad, llamada pascal (1 Pa = 1 N/m2) es algo pequeña y
en trabajos de ingeniería se usan prefijos como kilo- (103), simbolizado
por, mega- (106), simbolizado por M o giga- (109), simbolizado por G,
para representar valores mayores del esfuerzo.
*De la misma manera en el sistema inglés de unidades, los ingenieros por
lo regular expresan el esfuerzo en libras por pulgada cuadrada (psi) o en
kilo libras por pulgada cuadrada (ksi), donde 1 kilo libra (kip) = 1000 lb.
*A veces el esfuerzo se expresa en unidades de N/mm2, donde 1 mm=10-3
m. Sin embargo, en el sistema SI no se permiten prefijos en el
denominador de una fracción y por tanto es mejor usar el equivalente 1
N/mm2=1 MN/m2 = 1 MPa.
2. ESFUERZO NORMAL PROMEDIO EN UNA BARRA
CARGADA AXIALMENTE
Con frecuencia, los miembros estructurales o mecánicos se fabrican largos y
delgados. Asimismo, son sometidos a cargas axiales que normalmente se aplican
a los extremos del miembro. Miembros de armaduras, barras colgantes y pernos
son ejemplos típicos. En esta sección determinaremos la distribución del esfuerzo
promedio que actúa sobre la sección transversal de una barra cargada
axialmente como la mostrada en la figura 4.5a, que tiene una forma general.
Esta sección define el área de la sección transversal de la barra y como todas
esas secciones transversales son iguales, a la barra se le
llama barra
56
prismática. Si despreciamos el peso de la barra y la seccionamos como se
indica en la figura 4.5b, entonces, por equilibrio del segmento inferior, la fuerza
interna resultante que actúa sobre la sección transversal debe ser igual en
magnitud, opuesta en sentido y colineal con la fuerza externa que actúa en el
fondo de la barra.
Figura 4.5
2.1. SUPOSICIONES
Antes de determinar la distribución de esfuerzo promedio que actúa sobre
el área transversal de la barra, es necesario hacer dos hipótesis
simplificatorias relativas a la descripción del material y a la aplicación
específica de la carga.
1. Es necesario que la barra permanezca recta antes y después de que
se aplica la carga, y también, la sección transversal debe permanecer
plana durante la deformación, esto es, durante el tiempo que la barra
cambia de volumen y forma. Si esto ocurre, entonces las líneas
horizontales y verticales de una retícula inscrita sobre la barra se
deformarán uniformemente cuando la barra esté sometida a la carga,
figura 4.6. No consideraremos aquí regiones cercanas a los extremos
de la barra, donde la aplicación de las cargas externas puede
ocasionar distorsiones localizadas. En cambio, nos fijaremos sólo en
la distribución del esfuerzo dentro de la porción media de la barra.
57
Figura 4.6
2. Para que la barra experimente una deformación uniforme, es necesario
que P se aplique a lo largo del eje centroidal de la sección
transversal y que el material sea homogéneo e isotrópico. Un
material homogéneo tiene las mismas propiedades físicas y
mecánicas en todo su volumen, y un material isotrópico tiene esas
mismas propiedades en todas direcciones. Muchos materiales de la
ingeniería pueden considerarse homogéneos e isotrópicos. Por
ejemplo, el acero contiene miles de cristales orientados al azar en
cada milímetro cúbico de su volumen, y como en la mayoría de las
aplicaciones este material tiene un tamaño físico que es mucho
mayor que un solo cristal, la suposición anterior relativa a la
composición del material es bastante realista. Sin embargo, debe
mencionarse que el acero puede volverse anisotrópico por medio del
laminado en frío, esto es, laminado o forjado a temperaturas
subcríticas. Los materiales anisotrópicos tienen propiedades
diferentes en direcciones diferentes, y aunque éste sea el caso, si la
anisotropía se orienta a lo largo del eje de la barra, entonces la barra
se deformará uniformemente cuando sea sometida a una carga axial.
Por ejemplo, la madera, debido a sus granos o fibras, es un material
que es homogéneo y anisotrópico, por lo que es adecuado para el
siguiente análisis.
58
2.2. DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO NORMAL PROMEDIO
Suponiendo que la barra está sometida a una deformación uniforme
constante, entonces esta deformación es causada por un esfuerzo normal
ζ constante, figura 4.6d. En consecuencia, cada área ∆A sobre la sección
transversal está sometida a una fuerza ∆F = ζ ∆A, Y la suma de esas
fuerzas actuando sobre toda el área transversal debe ser equivalente a la
fuerza interna resultante P en la sección. Si hacemos que ∆A→dA y por
tanto ∆F→dF, entonces como ζ es constante, tenemos:
Figura 4.6
Donde,
ζ = esfuerzo normal promedio en cualquier punto sobre el área de la
sección transversal.
P = fuerza normal interna resultante, aplicada en el centroide del área de
la sección transversal. P se determina usando el método de las secciones
y las ecuaciones de equilibrio.
59
A = área de la sección transversal de la barra.
La carga interna P debe pasar por el centroide de la sección transversal
ya que la distribución del esfuerzo uniforme generará momentos nulos
respecto a cualquier eje x o y que pase por este punto, figura 3-5d.
Cuando esto ocurre,
Estas ecuaciones se satisfacen, ya que por definición del centroide,
2.3. EQUILIBRIO
Debería ser aparente que sólo existe un esfuerzo normal en cualquier
elemento de volumen de material localizado en cada punto sobre la
sección transversal de una barra cargada axialmente. Si consideraos el
equilibrio vertical del elemento, figura 4.7, entonces al aplicar la ecuación
de equilibrio de fuerzas,
Figura 4.7
En otras palabras, las dos componentes de esfuerzo normal sobre el ele-
mento deben ser iguales en magnitud pero opuestas en dirección. A éste
se le llama esfuerzo uniaxial.
60
El análisis previo se aplica a miembros sometidos a tensión o a
compresión, como se muestra en la figura 4.8. Como interpretación
gráfica, la magnitud de la fuerza interna resultante P es equivalente al
volumen bajo el diagrama de esfuerzo; es decir, P = ζ A (volumen =
altura X base). Además, como consecuencia del equilibrio de momentos,
esta resultante pasa por el centroide de este volumen.
Aunque hemos desarrollado este análisis para barras prismáticas, esta
suposición puede ampliarse para incluir barras que tengan un pequeño
ahusamiento. Por ejemplo, puede demostrarse, usando un análisis más
exacto de la teoría de la elasticidad, que para una barra ahusada de
sección transversal rectangular, en la cual el ángulo entre dos lados
adyacentes es de 15°, el esfuerzo normal promedio, calculado según ζ =
P/A, es sólo 2.2% menor que el valor calculado con la teoría de la
elasticidad.
Figura 3.8
2.4. ESFUERZO NORMAL PROMEDIO MÁXIMO
En el análisis anterior, tanto la fuerza interna P como el área de la sección
transversal se consideraron constantes a lo largo del eje longitudinal de la
barra y por tanto se obtuvo un esfuerzo normal ζ = P/A también
constante. Sin embargo, en ocasiones la barra puede estar sometida a
varias cargas externas a lo largo de su eje o puede presentarse un
cambio en su área de sección transversal. En consecuencia, el esfuerzo
normal dentro de la barra puede ser diferente de sección a sección, y si
debe calcularse el esfuerzo normal promedio máximo, tendrá que
determinarse la posición en que la razón P/A sea máxima. Para esto es
necesario determinar la fuerza interna P en varias secciones a lo largo de
la barra, lo que se consigue dibujando un diagrama de fuerza normal o
axial. Específicamente, este diagrama es una gráfica de la fuerza normal
P contra su posición x a lo largo de la longitud de la barra. P se
61
considerará positiva si causa tensión en el miembro y negativa si causa
compresión. Una vez conocida la carga interna en toda la barra podrá
identificarse la razón máxima de P/A.
Figura 4.9
EJEMPLO
La barra en la figura 4.10a tiene un ancho constante de 35 mm y un es-
pesor de 10 mm. Determine el esfuerzo normal promedio máximo en la
barra cuando ella está sometida a las cargas mostradas.
62
Figura 4.10
Solución
Carga interna:
Por inspección, las fuerzas axiales internas en las regiones AB, BC y CD
son todas constantes pero tienen diferentes magnitudes. Usando el
método de las secciones, esas cargas son determinadas en la figura 3-8b;
y el diagrama de fuerza normal que representa esos resultados
gráficamente se muestra en la figura 4.10c. Por inspección, la carga
máxima está en la región BC, donde PBC = 30 kN. Como el área
transversal de la barra es constante, el esfuerzo normal máximo promedio
también ocurre dentro de esta región de la barra.
Esfuerzo normal promedio:
Rpta.
La distribución de los esfuerzos que actúan sobre una sección transversal
arbitraria de la barra dentro de la región BC se muestra en la figura 4.10d.
Gráficamente el volumen (o "bloque") representado por esta
63
distribución de esfuerzos es equivalente a la carga de 30 kN; o sea, 30 kN
= (85.7 MPa)(35 mm)(10 mm).
EJEMPLO
La lámpara de 80 kg está soportada por dos barras AB y BC como se
muestra en la figura 4.11a. Si AB tiene un diámetro de 10 mm y BC tiene
un diámetro de 8 mm, determine el esfuerzo normal promedio en cada
barra.
Figura 4.11
Solución
Carga interna:
Debemos primero determinar la fuerza axial en cada barra. En la figura se
muestra un diagrama de cuerpo libre de la lámpara. Aplicando las
ecuaciones de equilibrio de fuerzas, obtenemos:
Por la tercera ley de Newton, la acción es igual pero opuesta a la
reacción, estas fuerzas someten a las barras a tensión en toda su
longitud.
64
Esfuerzo normal promedio:
VBC - FiíC
¿BC FBA .
ABA
395.2 N
= 7.86 MPa
= 8.05 MPa
17(0.004 m)2
632.4 N
ír(OJ305 m)2
Rpta.
Figura 4.12
Rpta.
La distribución del esfuerzo normal promedio que actúa sobre una sección
transversal de la barra AB se muestra en la figura 4.12c, y en punto sobre
esta sección transversal, un elemento de material está esforzado como se
muestra en la figura 4.12d.
EJEMPLO
La pieza fundida mostrada en la figura 4.13a está hecha de acero con
peso específico de γac = 490 lb/pie3. Determine el esfuerzo de compresión
promedio que actúa en los puntos A y B.
Figura 4.13
65
Solución
Carga interna:
En la figura 4.13b se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento
superior de la pieza fundida donde la sección pasa por los puntos A y B.
El peso de este segmento es Wac = γac Vac. La fuerza axial interna P en la
sección es entonces
Esfuerzo de compresión promedio:
El área transversal en la sección es A = π(0.75 pie)2, y el esfuerzo de
compresión promedio es entonces
Rpta.
El esfuerzo mostrado en el elemento de volumen de material en la figura
4.13c es representativo de las condiciones en A o B. Note que este
esfuerzo actúa hacia arriba sobre el fondo o cara sombreada del elemento
ya que esta cara forma parte del área de la superficie del fondo de la
sección cortada, y sobre esta superficie, la fuerza interna resultante P
empuja hacia arriba.
3. ESFUERZO CORTANTE PROMEDIO
El esfuerzo cortante se definió como la componente del esfuerzo que actúa en el
plano del área seccionada. Para mostrar cómo se desarrolla este esfuerzo,
consideraremos el efecto de aplicar una fuerza F a la barra mostrada en la figura
4.14a. Si los soportes se consideran rígidos y F es suficientemente grande, ésta
ocasionará que el material de la barra se deforme y falle a lo largo de los planos
AB y CD. Un diagrama de cuerpo libre del segmento central no soportado de la
barra, figura 4.14b, indica que una fuerza cortante V = F/2 debe aplicarse a
66
cada sección para mantener el segmento en equilibrio. El esfuerzo cortante
promedio distribuido sobre cada área seccionada que desarrolla esta fuerza se
define por:
Figura 4.14
Donde,
τprom = esfuerzo cortante promedio en la sección; se supone que es el mismo en
todo punto localizado sobre la sección.
V
= fuerza cortante interna resultante en la sección; se
determina con las ecuaciones de equilibrio.
A = área en la sección.
La distribución del esfuerzo cortante promedio se muestra actuando sobre la
sección derecha en la figura 4.14c. Observe que ηprom tiene la misma dirección
que V, ya que el esfuerzo cortante debe crear fuerzas asociadas que contribuyen
en conjunto a generar la fuerza interna resultante V en la sección.
Figura 4.14c
67
El caso de carga analizado en la figura 3-11 es un ejemplo de cortante simple o
cortante directo, ya que el cortante es causado por la acción directa de la carga
aplicada F. Este tipo de cortante suele ocurrir en varios tipos de conexiones
simples que usan pernos, pasadores, soldadura, etc. Una investigación más
precisa de la distribución del esfuerzo cortante sobre la sección crítica revela que
esfuerzos cortantes mucho mayores ocurren en el material que los predichos por
esta ecuación. Por ejemplo, los manuales de ingeniería permiten su uso al
considerar tamaños de diseño para sujetadores como pernos o para obtener la
resistencia por adherencia de juntas sometidas a cargas cortantes. Con respecto
a esto, ocurren en la práctica dos tipos de cortante, que merecen tratamientos
separados.
3.1. CORTANTE SIMPLE
Las juntas de acero y madera mostradas en las figuras 3-12a y 3-12c,
respectivamente, son ejemplos de conexiones en cortante simple y se
conocen como juntas traslapadas. Supondremos aquí que los miembros son
delgados y que la tuerca en la figura 3-12a no está demasiado apretada de modo
que la fricción entre los miembros puede despreciarse. Pasando una sección
entre los miembros se obtienen los diagramas de cuerpo libre mostrados en las
figuras 3-12b y 3-12d. Como los miembros son delgados, podemos despreciar el
momento generado por la fuerza F. Entonces, por equilibrio, el área de la sección
transversal del perno en la figura 3-12b y la superficie de contacto entre los
miembros en la figura 3-12d están sometidos sólo a una fuerza cortante V=F.
Fig. 3-12
3.2. CORTANTE DOBLE
Cuando la junta se construye como se muestra en la figura 3-13a o 3-13c,
deben considerarse dos superficies cortantes. Ese tipo de conexiones se
llaman juntas traslapadas dobles. Si pasamos una sección entre cada uno
de los miembros, los diagramas de cuerpo libre del miembro central son
como se muestra en las figuras 3-13b y 3-13d. Tenemos aquí una
68
condición de cortante doble. En consecuencia, una fuerza cortante V =
F/2 actúa sobre cada área seccionada y esta fuerza cortante debe
considerarse al aplicar ηperm = V/A.
Figura 4.15
3.3. EQUILIBRIO
Consideremos un elemento de volumen de material tomado en un punto
localizado sobre la superficie de cualquier área seccionada sobre la que
actúa el esfuerzo cortante promedio, figura 4.16a. Si consideramos el
equilibrio de fuerzas en la dirección y, entonces
Figura 4.16
De manera similar, el equilibrio de fuerzas en la dirección z nos da ηyz =
η´yz. Finalmente, tomando momentos respecto al eje x,
69
En otras palabras, el equilibrio de fuerzas y momentos requiere que el
esfuerzo cortante que actúa sobre la cara superior del elemento, esté
acompañado por esfuerzos cortantes actuando sobre las otras tres caras,
figura 4.16b. Aquí, todos los cuatro esfuerzos cortantes deben tener
igual magnitud y estar dirigidos hacia o alejándose uno de otro en
caras con un borde común. A esto se le llama propiedad
complementaria del cortante, y bajo las condiciones mostradas en la
figura 4.16, el material está sometido a cortante puro.
Aunque hemos considerado aquí un caso de cortante simple causado por
la acción directa de una carga, en capítulos posteriores veremos que el
esfuerzo cortante puede también generarse indirectamente por la acción
de otros tipos de cargas.
EJEMPLO
La barra mostrada en la figura 4.17a tiene una sección transversal cua-
drada de 40 mm. Si se aplica una fuerza axial de 800 N a lo largo del eje
centroidal del área transversal de la barra, determine el esfuerzo normal
promedio y el esfuerzo cortante promedio que actúan sobre el material a
lo largo (a) del plano a-a y (b) del plano b-b.
70
800 N ■* ---------------------------------------
J * 20 mm / 1
P-JH^JM 1 •
/ 60° ,„< w 20
mm
w
SUOkPa
s-¿ _________ iéi-.-~ ' 800 N ■* -------------- ----- ** í> - Büü
N Jg|3 m (el
Figura 4.17
Solución
Parte (a)
Carga interna
La barra es seccionada, figura 4.17b, y la carga interna resultante
consiste sólo en una fuerza axial P = 800 N.
Esfuerzo promedio
El esfuerzo normal promedio se determina con la ecuación:
Rpta.
No existe esfuerzo cortante sobre la sección, ya que la fuerza cortante en
la sección es cero.
Rpta.
La distribución del esfuerzo normal promedio sobre la
sección transversal se muestra en la figura 4.17c.
71
Figura 4.17d
Parte (b)
Carga interna
Si la barra es seccionada a lo largo de b-b, el diagrama de cuerpo libre del
segmento izquierdo es como se muestra en la figura 4.17d. Aquí actúan
una fuerza normal (N) y una fuerza cortante (V) sobre el área seccionada.
Usando ejes x, y, se requiere
- f S /=, = 0;
-OTO N + N sen 60° + V eos 60" = 0
V sen 60° - N eos 60° = 0
O más directamente, usando ejes x´, y´,
-\E /y = 0;
-/•2 /y = 0;
A/ - 800 N eos 30° = 0
V - 800 N sen 30° - 0
Resolviendo cualquier conjunto de ecuaciones,
¿V = 692.8 N
V - 400 N
Y el esfuerzo cortante promedio es
72
La distribución de esfuerzo se muestra en la figura 4.17e.
Figura 4.17c
EJEMPLO
El puntal de madera mostrado en la figura 4.18a está suspendido de una
barra de acero de diámetro de 10 mm, que está empotrada a la pared. Si
el puntal soporta una carga vertical de 5 kN, calcule el esfuerzo cortante
promedio en la barra en la pared y a lo largo de los dos planos
sombreados del puntal, uno de los cuales está indicado como abcd
Figura 4.18a
Solución
Cortante interno
Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre en la figura 4.18b, la
barra resiste una fuerza cortante de 5 kN donde ella está empotrada a la
pared. En la figura 4.18c se muestra un diagrama de cuerpo libre del
segmento seccionado del puntal que está en contacto con la barra. Aquí
la fuerza cortante que actúa a lo largo de cada plano sombreado es de
2.5 kN.
73
Figura 4.18b Figura 4.18c
Esfuerzo cortante promedio.
Para la barra,
V 5001) N ,„ , w„
i*™- = - = -^r7^^ = 63.7 MPa
Rpta.
Para el puntal,
Rpta.
La distribución del esfuerzo cortante promedio sobre la barra seccionada y
el segmento de puntal se muestran en las figuras 4.18d y 4.18e,
respectivamente. Se muestra también con esas figuras un elemento de
volumen típico del material en un punto localizado sobre la superficie de
cada sección. Observe cuidadosamente cómo el esfuerzo cortante debe
actuar sobre cada cara sombreada de esos elementos y sobre las caras
adyacentes de los mismos.
A TT{Ü.W5 m)2
74
Figura 4.18d Figura 4.18e
EJEMPLO
El miembro inclinado en la figura 4.19a está sometido a una fuerza de
compresión de 600 lb. Determine el esfuerzo de compresión promedio a
lo largo de las áreas lisas de contacto definidas por AB y BC, y el esfuerzo
cortante promedio a lo largo del plano horizontal definido por EDB.
Figura 4.19a
Solución
Cargas internas:
El diagrama de cuerpo libre del miembro inclinado se muestra en la figura
4.19b. Las fuerzas de compresión que actúan obre las áreas de contacto
son
■*■ £ Fx = 0; r.Wf - <5<X) lb(j!) = 0 F,,e = 360 Ib - - ^
F, = 0; F8t_ - 600 lb(í) = 0 /^ = 4SO Ib
75
Figura 4.19b
También, del diagrama de cuerpo libre del segmento superior del
miembro del fondo, figura 4.19c, la fuerza cortante que actúa sobre el
plano horizontal seccionado EDB es
Figura 4.19c
Esfuerzo promedio
Los esfuerzos de compresión promedio a lo largo de los planos horizontal
y vertical del miembro inclinado son
Rpta.
Rpta.
76
Figura 4.19d
Estas distribuciones de esfuerzo se muestran en la figura 4319d.
El esfuerzo cortante promedio que actúa sobre el plano horizontal definido
por EDB es
360 Ib
V™= (3pu!g)(l.5pulg) = «Ü lb/pulg- Rpta.
Figura 4.19e
Este esfuerzo se muestra distribuido sobre el área seccionada en la figura
4.19e.
4. ESFUERZO PERMISIBLE
Un ingeniero a cargo del diseño de un miembro estructural o elemento mecánico
debe restringir el esfuerzo en el material a un nivel que sea seguro. Además, una
estructura o máquina corrientemente en uso puede en ocasiones tener que ser
analizada para ver qué carga adicional pueden soportar sus miembros o partes.
77
Así que nuevamente es necesario efectuar cálculos usando un esfuerzo
permisible o seguro.
Para garantizar la seguridad es necesario escoger un esfuerzo permisible que
limite la carga aplicada a un valor que sea menor al que el miembro pueda
soportar plenamente. Hay varias razones para esto. Por ejemplo la carga para la
cual el miembro se diseña puede ser diferente de la carga real aplicada sobre él.
Las medidas previstas para una estructura o maquina pueden no ser exactas
debido a errores en la fabricación o en el montaje de las partes componentes.
Pueden ocurrir vibraciones desconocidas, impacto o cargas accidentales que no
se hayan tomado en cuenta durante el diseño. La corrosión atmosférica, el
decaimiento o las condiciones ambientales tienden a que los materiales se
deterioren durante el servicio. Finalmente, algunos materiales, como la madera,
el concreto o compuestos reforzados con fibras, pueden mostrar alta variabilidad
en sus propiedades mecánicas.
Una manera de especificar la carga permisible para el diseño o análisis de un
miembro es usar un número llamado factor de seguridad. El factor de seguridad
(FS) es la razón de la carga de falla, Ffalla, dividida entre la carga permisible, Fperm. La
Ffalla se determina por medio de ensayos experimentales del material y el factor
de seguridad se selecciona con base en la experiencia, de manera que las
incertidumbres mencionadas antes sean tomadas en cuenta cuando el miembro
se use en condiciones similares de carga y simetría. Expresado
matemáticamente,
Si la carga aplicada al miembro está linealmente relacionada al esfuerzo
desarrollado dentro del miembro, como en el caso de usar ζ = P/A y ηprom = V/A,
entonces podemos expresar el factor de seguridad como razón del esfuerzo de
falla ζfalla (o ηfalla) al esfuerzo permisible ζperm (o ηperm); esto es,
78
En cualquiera de esas ecuaciones, el factor de seguridad se escoge mayor que 1
para evitar una posible falla. Los valores específicos dependen de los tipos de
materiales por usarse y de la finalidad prevista para la estructura o máquina. Por
ejemplo, el FS usado en el diseño de componentes de aeronaves o vehículos
espaciales puede ser cercano a 1 para reducir el peso del vehículo. Por otra
parte, en el caso de una planta nuclear, el factor de seguridad para algunos de
sus componentes puede ser tan alto como 3, ya que puede haber incertidumbre
en el comportamiento de la carga o del material. Sin embargo, en general, los
factores de seguridad, y por tanto las cargas o esfuerzos permisibles para
elementos estructurales y mecánicos, han sido muy estandarizados, ya que sus
indeterminaciones de diseño han podido ser evaluadas razonablemente bien. Sus
valores, que pueden encontrarse en los códigos de diseño y manuales de
ingeniería, pretenden reflejar un balance de seguridad ambiental y para el
público junto con una solución económica razonable para el diseño.
4.1. DISEÑO DE CONEXIONES SIMPLES
Haciendo suposiciones simplificatorias relativas al comportamiento del
material, las ecuaciones ζ = P/A y ηprom = V/A pueden usarse para
analizar o diseñar una conexión simple o un elemento mecánico. En
particular, si un miembro está sometido a una fuerza normal en una
sección, su área requerida en la sección se determina con:
Por otra parte, si la sección está sometida a una fuerza cortante, entonces
el área requerida en la sección es:
Como vimos en la sección anterior, el esfuerzo permisible usado en cada
una de esas ecuaciones se determina aplicando un factor de seguridad a
un esfuerzo normal o cortante especificado o encontrando esos esfuerzos
directamente en un código apropiado de diseño.
Ahora discutiremos cuatro tipos comunes de problemas para las cuales las
ecuaciones pueden usarse en el diseño.
Área de la sección transversal de un miembro a tensión. El área de la
sección transversal de un miembro prismático sometido a una fuerza de
79
tensión puede determinarse si la fuerza tiene una línea de acción que
pasa por el centroide de la sección transversal.
Por ejemplo, considere la barra con perforación en sus extremos
mostrada en la figura 4.20a. En la sección intermedia a-a, la distribución
de esfuerzos es uniforme sobre toda la sección y se determina el área
sombreada A, como se muestra la figura 4.20b.
Figura 4.20
4.2. ÁREA DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL DE UN CONECTOR
SOMETIDO A CORTANTE
A menudo los pernos o pasadores se usan para conectar placas, tablones
o varios miembros entre sí. Por ejemplo, considere la junta traslapada
mostrada en la figura 4.21a. Si el perno está suelto o la fuerza de agarre
del perno es desconocida, es seguro suponer que cualquier fuerza de
fricción entre las placas es despreciable. El diagrama de cuerpo libre de
una sección que pasa entre las placas y a través del perno se muestra en
la figura 4.21b. El perno está sometido a una fuerza cortante interna
resultante de V = P en esta sección transversal. Suponiendo que el
esfuerzo cortante que causa esta fuerza está distribuido uniformemente
sobre la sección transversal, el área A de la sección transversal del perno
se determinada como se muestra en la figura 4.21c.
Figura 4.21
80
4.3. ÁREA REQUERIDA PARA RESISTIR APLASTAMIENTO
Un esfuerzo normal producido por la compresión de una superficie contra
otra se denomina Esfuerzo de aplastamiento. Si este esfuerzo es
demasiado grande, puede aplastar o deformar localmente una o ambas
superficies. Por tanto, para impedir una falla es necesario determinar el
área apropiada de apoyo para el material, usando un esfuerzo de
aplastamiento permisible. Por ejemplo, el área A de la placa B de base de
la columna mostrada en la figura 4.22 se determina a partir del esfuerzo
permisible de aplastamiento del concreto, usando la ecuación
A=P/(ζb)perm. Esto supone, desde luego, que el esfuerzo permisible de
aplastamiento para el concreto es menor que del material de la placa de
base y además que el esfuerzo está uniformemente distribuido entre la
placa y el concreto, como se muestra en la figura.
p
til
1
J
«*w 1 -\¿._ DiJriliiKióii r^-JJJ f 1 t ;
tÜ>g
■mifwmí dd - -------------------------- ̂ ^-UJ^ [^ eftfucrcu) normo] 1
'^■j 1^
<'íh>p™
Figura 4.22
4.4. ÁREA REQUERIDA PARA RESISTIR EL CORTANTE CAUSADO POR
CARGA AXIAL
Ocasionalmente las barras u otros miembros son soportados en forma tal
que puede desarrollarse un esfuerzo cortante en el miembro aun cuando
éste esté sometido a carga axial. Un ejemplo de esta situación sería una
barra de acero cuyo extremo esté empotrado en concreto y se encuentre
cargado como se muestra en la figura 4.23a. Un diagrama de cuerpo libre
de la barra, figura 4.23b, muestra que un esfuerzo cortante actúa sobre el
área de contacto de la barra con el concreto. Esta área es (πd)l, donde d
es el diámetro de la barra y l es la longitud del empotramiento. Si bien la
distribución real del esfuerzo cortante a lo largo de la barra sería difícil de
81
determinar, si suponemos que es uniforme, podemos usar A = V /ηperm
para calcular l, siempre que conozcamos d y ηperm, figura 4.23b.
Figura 4.23
PUNTOS IMPORTANTES
1. El diseño de un miembro por resistencia se basa en la selección de un
esfuerzo admisible que permita soportar con seguridad su carga
propuesta. Hay muchos factores desconocidos que pueden influir en
el esfuerzo real en un miembro y entonces, dependiendo de los usos
propuestos para el miembro, se aplica un factor de seguridad para
obtener la carga admisible que el miembro puede soportar.
2. Los cuatro casos ilustrados en esta sección representan sólo unas
pocas de las muchas aplicaciones de las fórmulas para los esfuerzos
normal y cortante promedio usadas en el diseño y análisis en
ingeniería. Sin embargo, siempre que esas ecuaciones son aplicadas,
debe ser claro que la distribución del esfuerzo se supone
uniformemente distribuida o "promediada" sobre la sección.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
Al resolver problemas usando las ecuaciones del esfuerzo normal
promedio y del esfuerzo cortante promedio, debe primero considerarse
cuidadosamente sobre qué sección está actuando el esfuerzo crítico. Una
vez identificada esta sección, el miembro debe entonces diseñarse con
suficiente área en la sección para resistir el esfuerzo que actúe sobre ella.
Para determinar esta área, se requieren los siguientes pasos.
Carga interna
• Seccione el miembro por el área y dibuje un diagrama de cuerpo libre
de un segmento del miembro. La fuerza interna resultante en la
sección se determina entonces usando las ecuaciones de equilibrio.
82
Área requerida
• Si se conoce o puede determinarse el esfuerzo permisible, el área
requerida para soportar la carga en la sección se calcula entonces con
A = P/ζperm o A = V /ηperm
EJEMPLO
La barra colgante está soportada en su extremo por un disco circular
empotrado a ella, como se muestra en la figura 4.24a. Si la barra pasa
por un agujero con diámetro de 40 mm, determine el diámetro mínimo
requerido de la barra y el espesor mínimo del disco necesario para
soportar la carga de 20 kN. El esfuerzo normal permisible para la barra es
ζperm = 60 MPa y el esfuerzo cortante permisible para el disco es ηperm =
35 MPa.
Figura 4.24
Solución
Diámetro de la barra. Por inspección, la fuerza axial en la barra es de 20
kN. El área transversal requerida para la barra es entonces:
De manera que:
83
Espesor del disco
Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre de la sección del núcleo
del disco, figura 4.24b, el material en el área seccionada debe resistir
esfuerzos cortantes para impedir el movimiento del disco a través del
agujero. Si se supone que este esfuerzo cortante está uniformemente
distribuido sobre el área seccionada, entonces, como V = 20 kN,
tenemos:
Como el área seccionada A = 2π(0.02 m)(t), el espesor requerido del
disco es:
EJEMPLO
Una carga axial sobre la flecha mostrada en la figura 4.25a es resistida
por el collarín en C que está unido a la flecha y localizado a la derecha del
cojinete en B. Determine el máximo valor de P para las dos fuerzas
axiales en E y F, de manera que el esfuerzo en el collarín no exceda un
esfuerzo de aplastamiento permisible en C de (ζb)perm = 75 MPa y que el
esfuerzo normal promedio en la flecha no exceda un esfuerzo de tensión
permisible de (ζt)perm = 55 MPa.
Figura 4.25
84
Solución
Para resolver el problema determinaremos P para cada condición posible
de falla. Luego escogeremos el valor más pequeño. ¿Por qué?
Esfuerzo normal
Usando el método de las secciones, vemos que la carga axial dentro de
la región FE de la flecha es 2P, mientras que la carga axial máxima, 3P,
ocurre dentro de la región EC, figura 4.25b. La variación de la carga
interna se ve claramente en el diagrama de fuerza normal, figura 4.25c.
Como el área transversal de toda la flecha es constante, la región EC
estará sometida al esfuerzo normal promedio máximo. Por lo tanto,
tenemos:
Esfuerzo de aplastamiento
Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre en la figura 4.25d, el
collarín en C debe resistir la carga de 3P, que actúa sobre un área de
apoyo de Ab = [π(0,.04 m)2 - π(0,.03 m)2] = 2,199(10-3) m2, entonces:
En comparación, la carga máxima que puede aplicarse a la flecha es P =
51,8 kN, ya que cualquier carga mayor que ésta ocasionará que el
esfuerzo normal permisible en la flecha se exceda.
EJEMPLO
La barra rígida AB mostrada en la figura 4.26a está soportada por una
barra de acero AC que tiene un diámetro de 20 mm y por un bloque de
aluminio que tiene un área transversal de 1800 mm2. Los pasadores de
diámetro de 18 mm en A y C están sometidos a cortante simple. Si el
esfuerzo de falla para el acero y el aluminio son (ζac)falla = 680 MPa y
85
(ζal)falla = 70 MPa, respectivamente, y el esfuerzo cortante de falla para
cada pasador es ηfalla = 900 MPa, determine la carga máxima P que puede
aplicarse a la barra. Aplique un factor de seguridad FS de 2.
Solución
Calculemos los esfuerzos permisibles:
El diagrama de cuerpo libre para la barra se muestra en la figura 4.26b. Se
tienen tres incógnitas.
Aplicaremos aquí las ecuaciones de equilibrio para expresar FAC Y FB en
términos de la carga P aplicada.
Tenemos:
i+ 2 MB = 0; P(1.25m) - FAC(2m) = O
FB{2 m) - P(0.75 m) = O
86
Determinaremos ahora cada valor de P que genera el esfuerzo permisible
en la barra, bloque y pasadores, respectivamente.
Barra AC
FAC = KcW(^c) = 34ü(106) N/m
z[7r(0m m)
¿) = 106.8 kN
Usando la ecuación 1,
Bloque B.
FB = (^ai)perm^B = 35(106) N/m
2[1800mm
2(10~
6)m
2/mm
2] =63.0kN
Usando la ecuación 2,
Pasador A o C.
V = FAC = rpeTmA = 450(106) N/m
¿[ir(0.009 m)
z] = 114.5 kN
De la ecuación 1,
114.5 kN(2m)
P = ------------------ L = 183 kN
1.25 m
Por comparación, cuando P alcanza su valor más pequeño (168 kN), se
genera el esfuerzo normal permisible en el bloque de aluminio. Por
consiguiente,
P = 168 kN Rpta.
87
5. PROBLEMAS PROPUESTOS 88
89
90
91
92
93
94
PROBLEMA
La barra esbelta mostrada en la figura 4.27 está sometida a un incremento de
temperatura a lo largo de su eje, que genera una deformación unitaria normal en
la barra de εz=40(10-3)zl/2, donde z está dada en metros. Determine (a) el
desplazamiento del extremo B de la barra debido al incremento de temperatura,
y (b) la deformación unitaria normal promedio en la barra.
Figura 4.27
Solución
Parte (a).- Como la deformación unitaria normal está dada en cada punto a lo
largo de la barra, un segmento diferencial dz, localizado en la posición z, figura
4.27, tiene una longitud deformada que puede determinarse con la siguiente
ecuación; o sea:
La suma total de esos segmentos a lo largo del eje da la longitud deformada de
la barra, esto es:
Por tanto, el desplazamiento del extremo de la barra es:
95
Parte (b).- La deformación unitaria normal promedio en la barra se determina
con la siguiente ecuación, que supone que la barra o "segmento de línea" tiene
una longitud original de 200 mm y un cambio de longitud de 2.39 mm. Por
consiguiente:
6. PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES
Una vez estudiados los conceptos básicos de esfuerzo y de deformación unitaria,
en este capítulo mostraremos cómo los esfuerzos pueden relacionarse con las
deformaciones unitarias usando métodos experimentales para determinar el
diagrama esfuerzo-deformación unitaria de un material específico. Se estudiará el
comportamiento descrito por este diagrama, para los materiales usados
comúnmente en ingeniería. Se examinarán también las propiedades mecánicas y
otras pruebas relacionadas con el desarrollo de la mecánica de materiales.
7. PRUEBAS DE TENSIÓN Y COMPRESIÓN
La resistencia de un material depende de su capacidad para soportar una carga
sin deformación excesiva o falla. Esta propiedad es inherente al material mismo y
debe determinarse por experimentación. Entre las pruebas más importantes
están las pruebas de tensión o compresión. Aunque con estas pruebas pueden
determinarse muchas propiedades mecánicas importantes de un material, se
utilizan principalmente para determinar la relación entre el esfuerzo normal
promedio y la deformación normal unitaria en muchos materiales utilizados en
ingeniería, sean de metal, cerámica, polímeros o compuestos.
Para llevar a cabo esta prueba se prepara un espécimen o probeta de forma y
tamaño "estándar". Antes de la prueba, se imprimen con un punzón a la probeta
dos marcas pequeñas a lo largo de ésta. Estas marcas se colocan lejos de los
extremos del espécimen porque la distribución del esfuerzo en los extremos es
un tanto compleja debido al agarre de las conexiones cuando se aplica una
carga. Se toman mediciones tanto del área de la sección transversal inicial del
espécimen, Ao, como de la distancia Lo de la longitud calibrada entre las marcas
del punzón. Por ejemplo, cuando se usa un espécimen de metal en una prueba
de tensión, generalmente éste tiene un diámetro inicial de do = 0.5 pulg. (13 mm)
y una longitud calibrada de Lo = 2 pulg. (50 mm), figura 4.28a. Con objeto de
aplicar una carga axial, sin que tenga lugar la flexión en el espécimen, por lo
96
regular los extremos se asientan sobre juntas de rótula. Luego se usa una
máquina de prueba similar a la mostrada en la figura 4.28b para estirar el
espécimen a un régimen constante muy lento, hasta alcanzar el punto de
ruptura. La máquina se diseña para que se pueda leer la carga requerida para
mantener este alargamiento uniforme.
Durante la prueba, y a intervalos frecuentes, se registran los datos de la carga
aplicada P, a medida que se leen en la carátula de la máquina o en un dispositivo
digital. También puede medirse el alargamiento δ = L - Lo entre las marcas que
se hicieron en el espécimen con el punzón., usando ya sea una galga o un
dispositivo óptico o mecánico llamado extensómetro. Este valor de δ se usa luego
para determinar la deformación unitaria normal promedio en el espécimen o
muestra. Sin embargo, a veces no se toma esta medición, puesto que también es
posible leer la deformación unitaria directamente usando una galga extenso
métrica de resistencia eléctrica, que se parece al mostrado en la figura 4.28c. La
operación de esta galga está basada en el cambio en la resistencia eléctrica de
un alambre muy delgado o una pieza de hoja de metal sometida a deformación.
En esencia, la galga está cementada o pegada al espécimen en una dirección
específica. Si el pegamento es muy fuerte en comparación con la galga, entonces
ésta es, en efecto, una parte integral de espécimen, de modo que cuando éste se
alargue en la dirección de la galga, el alambre y el espécimen experimentarán la
misma deformación unitaria. Midiendo la resistencia eléctrica del alambre, la
galga puede graduarse para leer los valores de la deformación unitaria normal
directamente.
Figura 4.28
97
Figura 4.29
8. EL DIAGRAMA DE ESFUERZO-DEFORMACIÓN UNITARIA
A partir de los datos de un ensayo de tensión o de compresión, es posible
calcular varios valores del esfuerzo y la correspondiente deformación unitaria en
el espécimen y luego graficar los resultados. La curva resultante se llama
diagrama de esfuerzo-deformación unitaria y hay 2 maneras de describirlo.
Diagrama convencional de esfuerzo-deformación unitaria. Usando los datos
registrados, podemos determinar el esfuerzo nominal o de ingeniería dividiendo
la carga P aplicada entre el área Ao de la sección transversal original del
espécimen. Este cálculo supone que el esfuerzo es constante en la sección
transversal y en toda la región entre los puntos calibrados. Tenemos:
De la misma manera, la deformación nominal o de ingeniería se determina
directamente leyendo el calibrador o dividiendo el cambio en la longitud calibrada
δ, entre la longitud calibrada original del espécimen Lo. Aquí se supone que la
deformación unitaria es constante en la región entre los puntos calibrados.
Entonces:
Si se grafican los valores correspondientes de ζ y ε, con los esfuerzos como
ordenadas y las deformaciones unitarias como abscisas, la curva resultante se
llama diagrama convencional de esfuerzo-deformación unitaria. Este diagrama es
muy importante en la ingeniería ya que proporciona los medios para obtener
datos sobre la resistencia a tensión (o a compresión) de un material sin
considerar el tamaño o forma geométrica del material. Sin embargo, debe ser
98
claro que nunca serán exactamente iguales dos diagramas de
esfuerzo-deformación unitaria para un material particular, ya que los resultados
dependen entre otras variables de la composición del material, de
imperfecciones microscópicas, de la manera en que esté fabricado, de la
velocidad de carga y de la temperatura durante la prueba.
Veremos ahora las características de la curva convencional esfuerzo deformación
unitaria del acero, material comúnmente usado para la fabricación de miembros
estructurales y elementos mecánicos. En la figura 4.30 se muestra el diagrama
característico de esfuerzo-deformación unitaria de una probeta de acero, usando
el método antes descrito. En esta curva podemos identificar cuatro maneras
diferentes en que el material se comporta, dependiendo de la cantidad de
deformación unitaria inducida en el material.
( <*
esfuerzo de fractura real —K.
<5 \r— esfuerzo *. eifucr¿o f de fractura
liiin'lc <lí profKjKiímíüdMl
límite eLditiío
<5v 1 { esfuerzo de y^ \ \\ fluencia_y
^^^■■H / 1
i 1
t
< < , < - * -------------------------------------- ' región fluejitij fitüuruciiiiicnU)
eilriwión -■!. ■-: -' i ¡XJÍ
ílefuritudón
comporta- (.limiíüílamiiiilio líláslicu míenlo
clástico
Diagramas esfuerwi-dcfiirmat'Lí'jn unitaria, eonveneional
y ítal. pam un miiuriu! dúciil (aceroKno a cscaJa).
Figura 4.30
8.1. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Este comportamiento elástico ocurre cuando las deformaciones unitarias
en el modelo están dentro de la región ligeramente sombreada que se
muestra en la figura 4-4. Puede verse que la curva es en realidad una
línea recta a través de toda esta región, así que el esfuerzo es
proporcional a la deformación unitaria. En otras palabras, se dice que el
material es linealmente elástico. El límite superior del esfuerzo en esta
relación lineal se llama límite de proporcionalidad, ζlp. Si el esfuerzo
99
excede un poco el límite de proporcionalidad, el material puede todavía
responder elásticamente; sin embargo, la curva tiende a aplanarse
causando un incremento mayor de la deformación unitaria con el
correspondiente incremento del esfuerzo. Esto continúa hasta que el
esfuerzo llega al límite elástico. Para determinar este punto en cualquier
espécimen, debemos aplicar, y luego retirar, una carga creciente hasta
que se detecte una deformación permanente en el mismo. Sin embargo,
en el acero rara vez se determina el límite elástico, puesto que está muy
cerca del límite de proporcionalidad y, por tanto, su detección es bastante
difícil.
8.2. FLUENCIA
Un ligero aumento en el esfuerzo más allá del límite elástico provocará un
colapso del material y causará que se deforme permanentemente. Este
comportamiento se llama fluencia, y está indicado por la región más
oscura de la curva, figura 4.30. El esfuerzo que origina la fluencia se
llama esfuerzo de fluencia o punto de fluencia, ζY, y la deformación que
ocurre se llama deformación plástica. Aunque no se muestra en la figura
4.30, en los aceros con bajo contenido de carbono o en aquellos que sean
laminados o rolados en caliente, se distinguen dos valores para el punto
de fluencia. El punto superior de fluencia ocurre primero, seguido por una
disminución súbita en la capacidad de soportar carga hasta un punto
inferior de fluencia. Sin embargo, una vez que se ha alcanzado el punto
inferior de fluencia, como se muestra en la figura 4.30, entonces la
muestra continuará alargándose sin ningún incremento de carga. Observe
que la figura 4.30 no está trazada a escala. Si lo estuviera, las
deformaciones unitarias inducidas debido a la fluencia serían de 10 a 40
veces más grandes que las producidas hasta el límite elástico. Cuando el
material está en este estado, suele decirse que es perfectamente plástico.
Endurecimiento por deformación. Cuando la fluencia ha terminado, puede
aplicarse más carga a la probeta, resultando una curva que se eleva
continuamente pero se va aplanando hasta llegar a un esfuerzo máximo,
llamado esfuerzo último, ζu. La elevación en la curva de esta manera se
llama endurecimiento por deformación, y se identifica en la figura 4.30
como la región ligeramente sombreada. A lo largo de la prueba, y
mientras el espécimen se está alargando, el área de su sección
transversal disminuirá. Esta disminución de área es bastante uniforme en
toda la longitud calibrada del espécimen, incluso hasta la deformación
unitaria que corresponde al esfuerzo último.
100
Formación del cuello o estricción. En el esfuerzo último, el área de la
sección transversal comienza a disminuir en una zona localizada de la
probeta, en lugar de hacerlo en toda su longitud. Este fenómeno es
causado por planos de deslizamiento que se forman dentro del material y
las deformaciones producidas son causadas por esfuerzos cortantes.
Como resultado, tiende a desarrollarse un "cuello" en esta zona a medida
que el espécimen se alarga cada vez más, figura 4.31a. Puesto que el
área de la sección transversal en esta zona está decreciendo
continuamente, el área más pequeña puede soportar sólo una carga
siempre decreciente. De aquí que el diagrama de esfuerzo-deformación
unitaria tienda a curvarse hacia abajo hasta que la probeta se rompe en
el punto del esfuerzo de fractura, ζf, figura 4.31b. Esta región de la curva
debida a la formación del cuello está representada con color oscuro en la
figura 4.30.
Figura 4.31
8.3. DIAGRAMA REAL DE ESFUERZO-DEFORMACIÓN UNITARIA
En lugar de usar siempre el área de la sección transversal y la longitud
originales de la muestra para calcular el esfuerzo y la deformación
unitaria (de ingeniería), podríamos haber usado el área de la sección
transversal y la longitud reales del espécimen en el instante en que la
carga se está midiendo. Los valores del esfuerzo y de la deformación
unitaria calculados a partir de esas mediciones se llaman esfuerzo real y
deformación unitaria real, y un trazo de sus valores se llama diagrama
real de esfuerzo-deformación unitaria. Cuando se traza este diagrama,
vemos que tiene la forma mostrada por la línea que forma la curva en la
figura 4.30. Advierta que ambos diagramas (el convencional y el real)
prácticamente coinciden cuando la deformación unitaria es pequeña. Las
diferencias entre los diagramas comienzan a aparecer en la zona de
101
endurecimiento por deformación, donde la magnitud de la deformación
unitaria es más significativa. En particular, note la gran divergencia dentro
de la zona de formación del cuello. Aquí podemos ver que, según el
diagrama ζ - e convencional, la probeta de ensayo en realidad soporta
una carga decreciente, puesto que Ao es constante cuando se calcula el
esfuerzo nominal, ζ = P/Ao. Sin embargo, según el diagrama ζ - ε real, el
área real A dentro de la región de formación del cuello está siempre
decreciendo hasta que ocurre la falla ζf, y así el material realmente
soporta un esfuerzo creciente, puesto que ζ = P /A.
Aunque los diagramas de esfuerzo-deformación real y convencional son
diferentes, la mayor parte del diseño en ingeniería se lleva a cabo dentro
de la zona elástica, ya que la distorsión del material en general no es
severa dentro de este intervalo. Siempre que el material sea "rígido",
como son la mayoría de los metales, la deformación unitaria hasta el
límite de elasticidad permanecerá pequeña y el error en el uso de los
valores nominales de ζ y de ε será muy pequeño (alrededor de 0.1 %)
comparado con sus valores verdaderos. Ésta es una de las razones
primordiales para usar diagramas de esfuerzo-deformación
convencionales.
Los conceptos anteriores pueden resumirse haciendo referencia a la
figura 4.32, la cual muestra un diagrama de esfuerzo-deformación
convencional de una probeta de un acero dulce. Con objeto de resaltar
los detalles, la zona elástica de la curva se presenta en una escala de
deformación exagerada. Siguiendo el comportamiento, el límite de
proporcionalidad se alcanza en ζlp = 35 klb/pulg2 (241 MPa), cuando εlp =
0.0012 pulg/pulg. Éste es seguido por un punto superior de fluencia de
(ζY)u = 38 klb/pulg2 (262 MPa), luego súbitamente por un punto inferior
de fluencia de (ζY)l = 36 klb/pulg2 (248 MPa). El final de la fluencia ocurre
con una deformación unitaria de εY = 0.030 pulg/pulg, la cual es 25 veces
más grande que la deformación unitaria en el límite de proporcionalidad.
Continuando, la probeta de ensayo se endurece hasta que alcanza un
esfuerzo último de ζu = 63 klb/pulg2 (435 MPa), y luego comienza la
estricción hasta que ocurre la falla, ζf = 47 klb/pulg2 (324 MPa). En
comparación, la deformación unitaria en el punto de falla, εf = 0.380
pulg/pulg, es 317 veces mayor que εlp.
102
ai «t -63 60 50 oy-47 ---------- ^ = 35 30 20 10
cJb/polg*) — ílpulg/pulg)
/ X
■ /
C^:¿------- / ' / / / /
/ / 1 i
1
/O-OÍO 0.10 \ 0.20 0 30 / 0.40 V-0 0TO I).»»! V 0.002 O.O0L1 / 0.1)04
r ■ í4, = 0.OOJ2
</=0.380 Dij f̂iíniú de eürjerzo-dctoriiiiicLÚri unilsria para acero dulce
Figura 4.32
9. RELACIÓN DE POISSON
Cuando un cuerpo deformable está sometido a una fuerza axial de tensión, no
sólo se alarga sino que también se contrae lateralmente. Por ejemplo, si una tira
de hule se alarga, puede notarse que el espesor y el ancho de la tira disminuyen.
Igualmente, una fuerza de compresión que actúa sobre un cuerpo ocasiona que
éste se contraiga en la dirección de la fuerza y que se expanda lateralmente.
Estos dos casos se ilustran en la figura 4.33 para una barra con radio r y longitud
L iniciales.
Cuando la carga P se aplica a la barra, la longitud de la barra cambia una
cantidad δ y su radio una cantidad δ'. Las deformaciones unitarias en la dirección
axial o longitudinal y en la dirección lateral o radial son, respectivamente:
Figura 4.33
103
hl"'^^*" *i PoniM finjt Forma origina] ^j
Ivnnj riña I
A principios del siglo XIX, el científico francés S.D. Poisson descubrió que dentro
del rango elástico, la razón de esas dos deformaciones unitarias es constante, ya
que las deformaciones δ y δ' son proporcionales.
A esta constante se le llama razón de Poisson, v (nu), y tiene un valor numérico
que es único para un material particular que sea homogéneo e isotrópico.
Expresado matemáticamente:
El signo negativo se usa aquí ya que un alargamiento longitudinal (deformación
unitaria positiva) ocasiona una contracción lateral (deformación unitaria
negativa), y viceversa. Advierta que esta deformación unitaria lateral es la misma
en todas las direcciones laterales (o radiales). Además esta deformación unitaria
es causada sólo por la fuerza axial o longitudinal; ninguna fuerza o esfuerzo
actúa en una dirección lateral que deforme el material en esa dirección.
La razón de Poisson es adimensional y para la mayoría de los sólidos no porosos
tiene un valor generalmente entre ¼ y 1/3. En particular, un material ideal sin
movimiento lateral cuando se alargue o contraiga, tendrá υ = 0. El valor máximo
posible para la razón de Poisson es 0.5.
Por tanto, 0 ≤ υ ≤0.5.
Figura 4.34
Cuando el bloque de hule es comprimido (deformación unitaria negativa) sus
lados se expanden (deformación unitaria positiva). La relación de esas
deformaciones unitarias es constante.
104
EJEMPLO
Una barra de acero A-36 tiene las dimensiones mostradas en la figura 4.35. Si se
aplica una fuerza axial P = 80 kN a la barra, determine cambio en su longitud y el
cambio en las dimensiones de su sección transversal después de aplicada la
carga. El material se comporta elásticamente.
/> = SJ>1¡N
Figura 4.35
Solución
El esfuerzo normal en la barra es:
De la tabla en la cubierta posterior para el acero A-36, Eac = 200 GPa, por lo que
la deformación unitaria en la dirección z es:
<rz _ 16.0(106) Pa
~z ~ Í7= ~ 200(10
9) Pa
= 80(10"6}mm/mm
El alargamiento axial de la barra es entonces:
5; = ezL, = [80(l(T6)](1.5m) = 120 fim
Rpta.
Usando la ecuación:
donde uac = 0.32 según l
direcciones x y y son:
fbl glo
ns e1forro posterior, las contracciones en las
ev = ev = -v.^2 = -Ü.32¡80(10-6)1 = -25.6 /iin/m
105
IIIOUIH)
Así, los cambios en las dimensiones de la sección transversal son:
Rpta.
Rpta.
9.1. EL DIAGRAMA DE ESFUERZO-DEFORMACIÓN UNITARIA
EN CORTANTE
Cuando un elemento de material está sometido a cortante puro, el
equilibrio requiere que se desarrollen esfuerzos cortantes iguales en las
cuatro caras del elemento. Estos esfuerzos deben estar dirigidos hacia o
desde las esquinas diagonalmente opuestas del elemento, figura 4.36a.
Además, si el material es homogéneo e isotrópico, entonces el esfuerzo
cortante distorsionará al elemento de manera uniforme, figura 4.36b. La
deformación unitaria cortante γxy mide la distorsión angular del elemento
con relación a los lados orientados inicialmente a lo largo de los ejes x y
y.
El comportamiento de un material sometido a cortante puro puede ser
estudiado en un laboratorio usando muestras en forma de tubos delgados
y sometiéndolos a una carga de torsión. Si se hacen mediciones del par
aplicado y del ángulo de torsión resultante, entonces, los datos pueden
usarse para determinar el esfuerzo cortante y la deformación unitaria
cortante, y puede trazarse un diagrama de esfuerzo cortante-deformación
cortante unitaria. En la figura 4.37 se muestra un ejemplo de este
diagrama para un material dúctil. Al igual que en la prueba de tensión,
este material exhibirá un comportamiento elástico lineal cuando se le
somete a corte y tendrá un límite de proporcionalidad ηlp definido.
También ocurrira un endurecimiento por deformación hasta que se llegue
al esfuerzo cortante último ηu. Finalmente, el material comenzará a perder
su resistencia al cortante hasta que se alcance un punto en que se
fracture, ηf.
En la mayoría de los materiales de ingeniería, como el que acabamos de
describir, el comportamiento elástico es lineal, de modo que la ley de
Hooke para el cortante puede escribirse como:
T = Gy
106
Figura 4.36
Figura 4.37
Aquí G se llama módulo de elasticidad por cortante o módulo de
rigidez. Su valor puede medirse por la pendiente de la línea en el
diagrama T-V, esto es, G = Tlp/Ylp. En el forro interior de la cubierta de este
libro se dan algunos valores típicos para materiales comunes de
ingeniería. Advierta que las unidades de G son las mismas que para E (Pa
o lb/pulg2), puesto que g se mide en radianes, una cantidad
adimensional. Las tres constantes del material, E, u y G están
relacionadas por la ecuación:
G - 2(1 + v)
Siempre que E y G se conozcan, el valor de υ podrá determinarse por
medio de esta ecuación en vez de tener que recurrir a mediciones expe-
rimentales. Por ejemplo, en el caso del acero A-36, Eac = 29(103)
klb/pulg2 Gac = 11.0 (103) klb/pulg2, de modo que, υac = 0.32
107
EJEMPLO
El espécimen de aluminio mostrado en la figura 4.38 tiene un diámetro
do=25 mm y una longitud calibrada Lo = 250 mm. Si una fuerza de 165 kN
alarga la longitud calibrada 1.20 mm, determine el módulo de elasticidad.
Determine también cuánto se reduce el diámetro debido a esta fuerza.
Considere Gal = 26 GPa y ζy = 440 MPa.
Figura 4.38
Solución
Módulo de elasticidad. El esfuerzo normal promedio en el espécimen es:
Y la deformación unitaria normal promedio es:
Como ζ < ζy = 440 MPa, el material se comporta elásticamente. El
módulo de elasticidad es:
Rpta.
108
Contracción del diámetro.- Primero determinamos la relación de Poisson
para el material:
La Contracción del diámetro es por lo tanto:
6' = (0.Ü0l66)(25mm)
= 0.0415 inm Rpta.
EJEMPLO
Un espécimen de una aleación de titanio se prueba en torsión y el
diagrama de esfuerzo de cortante-deformación angular unitaria que
resulta se muestra en la figura 4.39a. Determine el módulo cortante G, el
límite de proporcionalidad y el esfuerzo cortante último. Determine
también la distancia d máxima que la parte superior de un bloque de este
material, mostrado en la figura 4.39b, podría desplazarse horizontalmente
si el material se comporta elásticamente al actuar sobre él la fuerza
cortante V. ¿Cuál es la magnitud de V para causar este desplazamiento?
109
Como εlong = 0.00480 mm/mm, entonces:
Figura 4.39
Solución
Módulo cortante: Este valor representa la pendiente de la porción recta
OA del diagrama η - γ. Las coordenadas del punto A son (0.008 rad, 52
klb/pulg2). Entonces:
"-TSE*1-™»** Rpta.
La ecuación de la línea OA es por lo tanto η = 6500γ, que es la ley de
Hooke para cortante.
Límite de proporcionalidad: Por inspección, la gráfica deja de ser lineal
en el punto A. Así:
Rpta.
Esfuerzo último: Este valor representa el esfuerzo cortante máximo,
punto B. De la gráfica:
Rpta.
110
Desplazamiento elástico máximo y fuerza cortante.- Como la
deformación unitaria cortante elástica máxima es de 0.008 rad, un ángulo
muy pequeño, la parte superior del bloque en la figura 4-12b se des-
plazará horizontalmente:
Rpta.
El esfuerzo cortante promedio correspondiente en el bloque es ηlp = 52
klb/pulg2. Así, la fuerza cortante V necesaria para causar el des-
plazamiento es:
Rpta
10. DEFORMACIÓN ELÁSTICA DE UN MIEMBRO CARGADO AXIALMENTE
10.1. CARGA Y ÁREA TRANSVERSAL CONSTANTES
En muchos casos la barra tendrá un área transversal A constante y el
material será homogéneo, por lo que E será constante. Además, si una
fuerza externa constante se aplica a cada extremo, figura 4.40, entonces
la fuerza interna P a lo largo de la barra será también constante. En
consecuencia, se obtiene:
Figura 4.40
Donde:
δ = desplazamiento de un punto de la barra relativo a otro punto.
L = distancia entre los puntos.
P = fuerza axial interna en la sección.
111
A = área de la sección transversal de la barra. E
= módulo de elasticidad del material.
Si la barra está sometida a varias fuerzas axiales diferentes, o si la
sección transversal o el módulo de elasticidad cambian abruptamente de
una región de la barra a la siguiente, la ecuación anterior puede aplicarse
a cada segmento de la barra donde esas cantidades sean todas
constantes. El desplazamiento de un extremo de la barra respecto al otro
se encuentra entonces por medio de la adición vectorial de los
desplazamientos de los extremos de cada segmento. Para este caso
general:
10.2. CONVENCIÓN DE SIGNOS
Debemos desarrollar una convención de signos para la fuerza axial
interna y el desplazamiento de un extremo de la barra con respecto al
otro extremo de la misma. Para hacerlo, consideraremos que la fuerza y
el desplazamiento son positivos si causan tensión y alargamiento,
respectivamente, figura 4.41, mientras que una fuerza y un
desplazamiento negativo causarán compresión y contracción,
respectivamente.
Figura 4.41
Por ejemplo, consideremos la barra mostrada en la figura 4.41a. Las fuer-
zas axiales internas "P", calculadas por el método de las secciones en
cada segmento, son PAB = + 5 kN, PBC = - 3 kN Y PCD = -7 kN, figura
112
4.42b. Esta variación se muestra en el diagrama de fuerza axial (o
normal) para la barra, figura 4.41c. Aplicando la ecuación de carga y área
transversal constantes para obtener el desplazamiento del extremo A
respecto del extremo D, tenemos:
Figura 4.41
Si se sustituyen los otros datos y se obtiene una respuesta positiva, ello
significará que el extremo A se alejará del extremo D (la barra se alarga)
mientras que un resultado negativo indicará que el extremo A se acerca
hacia D (la barra se acorta). La notación de doble subíndice se usa para
indicar este desplazamiento relativo (δA/D); sin embargo, si el
desplazamiento va a determinarse respecto a un punto fijo, entonces, se
usará sólo un subíndice. Por ejemplo, si D se localiza en un soporte fijo
entonces el desplazamiento calculado se denotará simplemente como δA.
EJEMPLO
La barra compuesta de acero A-36 (Módulo de Elasticidad = 29(103)
klb/pulg2) mostrada en la figura 4.42a está hecha de dos segmentos AB y
BD que tienen áreas transversales de AAB = 1 pulg2 y ABD = 2 pulg2.
Determine el desplazamiento vertical del extremo A y el de B respecto a
C.
113
Figura 4.42
Solución
Fuerza interna.- Debido a la aplicación de las cargas externas, las
fuerzas axiales internas en las regiones AB, BC y CD serán todas
diferentes. Esas fuerzas se obtienen aplicando el método de las secciones
y la ecuación de equilibrio por fuerza vertical, como se muestra en la
figura 4.42b y se encuentran graficadas en la figura 4.42c.
Desplazamiento.- Usando la convención de signos, esto es, fuerzas
internas de tensión son positivas y fuerzas internas de compresión son
negativas, el desplazamiento vertical de A respecto al soporte fijo D es:
&A=^AE
[ + l5klb](2pies}(12piHg/pie)
(IpuIg^Cltfíklb/pulg3]
[-K7klb1(L-5pies)(12pulg/pi&)
<2pulg2)[2<í(l<F)klb/pulg
!]
[-9klb](lpie)(npulg/pie) + (2pul&
1)[29(10-
1)klb7pulg
!]
- +O.U127 pulg Rpta.
Como el resultado es positivo, la barra se alarga y el desplazamiento de A es
hacia arriba.
Rpta.
114
Aquí B se aleja de C, ya que el segmento se alarga.
EJEMPLO
El conjunto mostrado en la figura 4.43a consiste en un tubo AB de
.aluminio con área transversal de 400 mm2. Una barra de acero con
diámetro de 10 mm está unida a un collarín rígido y pasa a través del
tubo. Si se aplica una carga de tensión de 80 kN a la barra, determine el
desplazamiento del extremo C de la barra. Considere Eac = 200 GPa y Eal =
70 GPa.
Figura 4.43
Solución:
Fuerza interna.- El diagrama de cuerpo libre del tubo y de la barra, figura
4.43b, muestra que la barra está sometida a una tensión de 80 kN y el
tubo a una compresión de 80 kN.
Desplazamiento.- Determinaremos primero el desplazamiento del extremo
C con respecto al extremo B. Trabajando en unidades de newtons y
metros, tenemos:
El signo positivo indica que el extremo C se mueve hacia la derecha con
respecto al extremo B, ya que la barra se alarga.
El desplazamiento del extremo B con respecto al extremo fijo A es:
115
El signo menos indica aquí que el tubo se acorta, por lo que B se mueve
hacia la derecha respecto a A.
Puesto que ambos desplazamientos son hacia la
derecha, el desplazamiento resultante de C respecto a A es entonces:
ñc = S6 + $C/B = n.fWll 143 m + Q-fXWtfíí m
= 000420 m = 4.20 mm -* Rpta.
EJEMPLO
Una viga rígida AB descansa sobre los dos postes cortos mostrados en la
figura 4.44a. AC está hecho de acero y tiene un diámetro de 20 mm; BD
está hecho de aluminio y tiene un diámetro de 40 mm. Determine el
desplazamiento del punto F situado en AB cuando se aplica una carga
vertical de 90 kN sobre este punto. Considere Eac = 200 GPa y Eal = 70
GPa.
Figura 4.44
Solución
Fuerza interna.- Las fuerzas de compresión que actúan en la parte
superior de cada poste se determinan a partir del equilibrio del miembro
AB, figura 4.44b. Esas fuerzas son iguales a las fuerzas internas en cada
poste, figura 4.44c.
116
Desplazamiento.- El desplazamiento de la parte superior de cada poste
es:
Poste AC:
&A =
Poste BD:
= -2SÉ(]0-*)m
En la figura 4-18d se muestra un diagrama de los desplazamientos de los
puntos A, B y F situados en el eje de la viga. Por proporciones en el
triángulo sombreado, el desplazamiento del punto F es entonces:
Rpta.
EJEMPLO
Un miembro está hecho de un material que tiene un peso específico γ y
un módulo de elasticidad E. El miembro tiene la forma de un cono con las
dimensiones mostradas en la figura 4.45a. Determine el desplazamiento
de su extremo inferior bajo el efecto de su propio peso.
Figura 4.45
117
Solución
Fuerza interna. La fuerza axial interna varía a lo largo del miembro que
depende del peso W(y) de un segmento del miembro situado debajo de
cualquier sección, figura 4.45b. Por tanto, para calcular el
desplazamiento, debemos usar la ecuación:
-i
LP{x) dx
A(x)E
En la sección localizada a una distancia y del fondo, el radio x del cono
como función de y se determina por proporción; esto es:
El volumen de un cono con base de radio x y altura y es:
*-§*-S'
Como W = γV la fuerza interna en la sección es:
Desplazamiento.- El área de la sección transversal es también una función
de la posición y, figura 4-19b. Tenemos:
¿(,) = „1 = ^
Aplicando la ecuación:g =
obtiene:
LP{x) dx
Entre los límites y = 0 Y y = L se
Rpta.
118
Como verificación parcial de este resultado, note cómo las unidades de
los términos, al cancelarse, dan la deflexión en unidades de longitud
c-omo era de esperarse.
11. PROBLEMAS PROPUESTOS
4-1. El conjunto consia de una barra de ¡tcer^ CB y una barra de aluminio /Ji4, teniendo cada una un diámetro de 12 mm, Si La twra. se somete a las cargas piales en A y en el copie ü, dele f mine el desplazamiento Jet copie B y del extremo A. La longitud de catín sementó sin eslirar se mucura en La figura, Desprecia d [amailo de las conesio-nes t-n B y C, y suponga que son rígidas,. Ex = 200 GPa, Et\ = TOüPa,
4-2. La flecha compuesl a, que- consiste en secciones Je al
jminiíj,cobre y acero,csiá sometida a las cargas musira-IJÍLS
en La ÍL^ura. Determine el desplazamiento del extremo A
con respecto al extremo D y el esfuerzo normal en cada
sección. En la figura se muestran el ;irc:i tic i* setuó]i
LIÍIIIS-versal y el modulo de cLaslLcidad para cada sección,
Desprecie el tamaño de Los coIlHnne* en B y en C.
H8kN
119
L4-4. Una flecha de cobre está sometida a las cargas asía-
les que se muestran en la figura. Determine d
J^pLi-zamicnio del estremü A cotí respecto al extremo />
si los diámetros de cstda segmento son d¿fl = 0.T5 pul&,
dK -1 pu]g.y rfC£) = OJ pulg. Tome £„ = 16(10^
kLb/puLg-.
120
