CURSO: Habilidades Cuantitativas I DOCENTE: Mg. Vctor M. Chung Alva

ESPACIO VECTORIAL

1. ESPACIO VECTORIAL

1.1. Definicin

Es importante darse cuenta de que un espacio vectorial se compone de cuatro entidades: un

conjunto de vectores, un conjunto de escalares, y dos operaciones. Cuando se refiere a un

espacio vectorial se debe estar seguro que las cuatro entidades estn claramente definidas o

comprendidas. A menos que se indique lo contrario, se asume que el conjunto de escalares es el

conjunto de los nmeros reales.

Los dos primeros ejemplos de espacios vectoriales no son sorprendentes. Ellos son, de hecho,

los modelos utilizados para formar los diez axiomas del espacio vectorial.

Teorema 1: Propiedades de la Multiplicacin Escalar

Sea v cualquier elemento de un espacio vectorial V y sea c cualquier escalar. Entonces son ciertas

las propiedades siguientes:

1.

2.

3. Si , entonces o

Sea V un conjunto en el que se define dos operaciones (suma de vectores y la

multiplicacin escalar). Si los axiomas listados a continuacin estn satisfechos por u, v y w

en V y por todos los escalares (nmero real) c y d, entonces V es llamado espacio vectorial.

Suma:

1. u + v est en V Cerrado bajo adicin

2. u + v = v + u Propiedad conmutativa

3. u + (v + w) = (u + v) + w Propiedad asociativa

4. V tiene un vector 0 tal que para todo Propiedad identidad

u en V, u + 0 = u.

5. Para todo u en V, hay un vector en V Propiedad identidad

denotado por -u tal que u + (-u) = 0

Multiplicacin Escalar:

6. cu est en V Cerrado baja multiplicacin

por escalar

7. c(u + v) = cu + cv Propiedad distributiva

8. (c + d)u = cu + du Propiedad distributiva

9. c(du) = (cd)u Propiedad asociativa

10. 1(u) = u Propiedad identidad escalar

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2. SUBESPACIOS DE LOS ESPACIOS VECTORIALES

En la mayora de las aplicaciones importantes en lgebra lineal, los espacios vectoriales ocurren como

subespacios de espacios ms grandes. Por ejemplo, veremos que el conjunto solucin de un sistema

homogneo de ecuaciones lineales en n variables es un subespacio de .

Se dice que un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio si en s mismo es un espacio

vectorial (con las mismas operaciones), como se indica en la siguiente definicin.

2.1. Definicin

Teorema 2: Prueba para un Subespacio

Teorema 3: Interseccin de dos subespacios es un subespacio

3. Conjuntos Generadores e Independencia Lineal

En esta seccin se comienza a desarrollar los procedimientos para la representacin de cada vector

en un espacio vectorial como una combinacin lineal de un selecto nmero de vectores en el

espacio.

3.1.Definicin de una Combinacin Lineal de Vectores

A menudo, uno o ms de los vectores en un conjunto se puede escribir como combinacin lineal

de otros vectores en el conjunto.

Un vector v en un espacio vectorial V es llamado Combinacin Lineal de los vectores

en V si v puede ser escrito en la forma:

donde son escalares.

Si V y W son subespacios de un espacio vectorial U, entonces la interseccin de V y W (denotado

por ) es tambin un subespacio de U.

Si W es un subconjunto no vaco de un espacio vectorial V, entonces W es un subespacio de V si y

slo si las siguientes condiciones se cumplen.

1. Si u y v estn en W, entonces u + v estn en W.

2. Si u est en W y c es un escalar cualquiera, entonces cu est en W.

Un subconjunto no vaco W de un espacio vectorial V es llamado un subespacio de V si W es un

espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacin escalar definidas en V.

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Conjunto Generador

Si cada vector en un espacio vectorial se puede escribir como una combinacin lineal de vectores en

un conjunto S, entonces S es llamado un conjunto generador del espacio vectorial.

3.2.Definicin de un Conjunto Generador de un Espacio Vectorial

TEOREMA 4: Gen(S) es un subespacio de V

Dependencia Lineal e Independencia Lineal

Para un conjunto de vectores { } en un espacio vectorial V, la ecuacin vectorial

Siempre tiene la solucin trivial

A menudo, sin embargo, tambin hay soluciones no triviales. Por ejemplo, en ejemplo 1 se vio en el

conjunto

v1 v2 v3

{( ) ( ) ( )}

El vector v1 puede ser escrito como una combinacin lineal de los otros dos vectores.

La ecuacin vectorial

tiene una solucin no trivial en la cual no todos los coeficientes son ceros.

Esta caracterstica es descrita para decir que el conjunto es linealmente dependiente. Si la nica

solucin fuera una trivial ( ), entonces el conjunto S habra sido linealmente

independiente. Esta nocin es esencial para el estudio del lgebra lineal y se declara formalmente

en la siguiente definicin

Si { } es un conjunto de vectores en un espacio vectorial V, entonces

Gen(S) es un subespacio de V. Adems, Gen(S) es el subespacio ms pequeo de V que

contiene S, en el sentido que todos los otros subespacios de V que contienen S deben

contener a Gen(S).

Sea { } un subconjunto de un espacio vectorial V. el conjunto S es

llamado conjunto generador de V si cada vector en V puede ser escrito como una

combinacin lineal de vectores en S. en tales casos se dice que S genera a V.

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3.3.Definicin de Dependencia e Independencia Lineal

Comprobacin para la Independencia y Dependencia Lineal.

4. BASE Y DIMENSION

En esta seccin se contina el estudio de los conjuntos generadores. En particular, que se

considerarn conjuntos generadores (en un espacio vectorial) que sean linealmente independientes

y que generen todo el espacio. Este tipo de conjuntos forma una base para el espacio vectorial.

4.1.Definicin de Base

Observacin: Esta definicin establece que una base tiene dos caractersticas. Una base S debe

tener suficientes vectores para generar a V, pero no tantos vectores de modo que uno de

ellos puede ser escrito como una combinacin lineal de los otros vectores en S.

La definicin anterior no implica que todo espacio vectorial tiene una base formada por un

nmero finito de vectores. Sin embargo, en este texto, el anlisis de las bases se limita a

aquellas que constan de un nmero finito de vectores. Por otra parte, si un espacio vectorial

tiene una base formada por un nmero finito de vectores, entonces V es de dimensin finita. De

lo contrario, V se denomina de dimensin infinita. (El espacio vectorial P de todos los

polinomios es de dimensin infinita, como es el espacio vectorial ( ) de todas las

Un conjunto de vectores { } en un espacio vectorial V es llamado Base

para V si las siguientes condiciones son verdaderas.

1. S genera a V.

2. S es linealmente independiente.

Sea { } un conjunto de vectores en un espacio vectorial V. Para

determinar si S es linealmente independiente o dependiente, se efectan los pasos

siguientes:

1. A partir de la ecuacin vectorial , escriba un

sistema homogneo de ecuaciones lineales en las variables .

2. Use la eliminacin de Gauss-Jordan para resolver el sistema para

.

3. Si el sistema tiene slo la solucin trivial ,

entonces el conjunto S es linealmente independiente. Si el sistema tiene

soluciones no triviales, entonces S es linealmente dependiente.

Un conjunto de vectores { } en un espacio vectorial V es llamado

linealmente independiente si la ecuacin vectorial

tiene slo la solucin trivial, . Si tambin hay soluciones no

triviales, entonces S es llamada linealmente dependiente.

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funciones continuas definidas sobre la recta real). El espacio vectorial { }, formado slo

por el vector cero, es de dimensin finita.

Teorema 5: Unicidad de la Representacin de la Base

Teorema 6: Bases y Dependencia Lineal

Teorema 7: Nmero de Vectores en una Base

La Dimensin de un Espacio Vectorial

La discusin de conjuntos generadores, independencia lineal y bases conduce a un concepto

importante en el estudio de los espacios vectoriales. Por el teorema 7, se sabe que si un espacio

vectorial V tiene una base formada por n vectores, entonces toda otra base del espacio tambin

consta de n vectores. El nmero n se denomina dimensin de V.

4.2.Definicin de Dimensin de un Espacio Vectorial

Esta definicin permite observar las caractersticas de las dimensiones de los espacios

vectoriales familiares que se enumeran a continuacin. En cada caso, la dimensin se determina

simplemente contando el nmero de vectores de la base estndar o normal.

1. La dimensin de con las operaciones normales es n.

2. La dimensin de con las operaciones normales es .

3. La dimensin de con las operaciones normales es .

Si W es un subespacio de un espacio vectorial n-dimensional, entonces se puede demostrar que

W es de dimensin finita y la dimensin de W es menor o igual que n. En los tres ejemplos

siguientes se ver una tcnica para determinar la dimensin de un subespacio. Bsicamente, la

dimensin se determina al hallar un conjunto de vectores linealmente independientes que genere

el subespacio. Este conjunto es una base del subespacio, y la dimensin del subespacio es el

nmero de vectores que hay en la base.

Si un espacio vectorial V tiene una base que consta de n vectores, entonces el nmero n

se denomina dimensin de V y se denota por dim(V)=n. Si V consta solamente del vector

cero, entonces la dimensin de V se define como cero.

Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores, entonces toda base de V tiene n

vectores.

Si { } es una base de un espacio vectorial V, entonces todo conjunto que

contiene ms de n vectores en V es linealmente dependiente.

Si { } es una base de un espacio vectorial V, entonces todo vector en V

puede escribirse de una y slo una forma como combinacin lineal de los vectores en S.

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Teorema 8: Comprobacin de Base en un Espacio n-Dimensional

Sea un espacio vectorial V de dimensin n.

1. Si { } es un conjunto de vectores linealmente independientes en V,

entonces S es una base de V.

2. Si { } genera a V, entonces S es una base de V.