UNIVERSIDAD DE CUENCA

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN N° 2

TEMA:

“OPERACIONES ENTRE SUBESPACIOS VECTORIALES”

PERTENECIENTE A:

CINTHYA CAMPOVERDE A.

MATERIA:

ÁLGEBRA LINEAL

DOCENTE:

ING.HERNÁN PESANTEZ

CICLO:

1°

INTRODUCCIÓN

SUBESPACIO VECTORIALSea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V. Si W es un espacio vectorial con respecto a las operaciones en V, entonces W es un subespacio de V.

Espacio vectorial V

CONDICIONES DE EXISTENCIA DE UN SUBESPACIO:Si V es un espacio vectorial se define W como subespacio vectorial sólo si:

1. W no es un conjunto vacío2. W es igual o está incluido en V3. La suma es Ley de Composición Interna:

Si se suman dos vectores cualesquiera en el subespacio, x+ y está en el subespacio.

4. El producto es Ley de Composición Externa:Si cualquier vector x en el subespacio se multiplica por cualquier escalar c, cx está en el

subespacio.

Si estas cuatro condiciones se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.

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WW W W W O, u, v

u + v, tu, tv

OPERACIONES ENTRE SUBESPACIOS

Sean W 1 ,W 2, subespacios vectoriales de un espacio vectorial V, en donde x, y, z, ∈ V se pueden realizar las siguientes operaciones entre subespacios:

Intersección W 1∩W 2= {x∈V /x∈W 1∧x∈W 2}

Suma W 1+W 2={z∈V / z=x+ y , x∈W 1∧ y∈W 2}

Unión W 1∪W 2= {x∈V /x∈W 1∨x∈W 2}

INTERSECCIÓN Espacio Vectorial V

TEOREMA:“Sea V un espacio vectorial y W1, W2, dos subespacios vectoriales de V.

Entonces W 1∩W 2, también es un subespacio vectorial de V”DEMOSTRACIÓN:

Para su demostración W 1∩W 2 debe cumplir las condiciones de existencia de un subespacio:

Sea P = W 1∩W 2

1. Si P = W 1∩W 2= {x∈V /x∈W 1∧x∈W 2}, entonces, P≠ {0 }

2. P≤V

3. La suma es Ley de Composición Interna:

3

0, u, v tu, u + v kv

∀ x , y∈P ; ( x+ y )∈P

x∈ P ; x ∈ W1, x ∈ W2

y∈P; y ∈ W1, y ∈ W2

x, y ∈ W1 x + y ∈ W1

x, y ∈ W2 x + y ∈ W2

∴ x+ y∈P

4. El producto es Ley de Composición Externa:

∀ x∈P ,α∈ R ;(α∗x)∈P

x∈ P , x ∈ W1, x ∈ W2

∀ x∈ W1, α∗x∈ W1

∀ x∈ W2, α∗x∈ W2

∴α∗x∈P

∴W 1∩W 2 es un subespacio vectorial de V.

EJEMPLO:

*Pruebe que la intersección de los siguientes subespacios vectoriales, también es un subespacio

W1= {( x , y , z )2 x− y+z=0} W2={( x , y , z ) x+ y−z=0}

2x - y + z= 0 [2−11011−10 ] = |1−12 12 011−10 | = |1−12 12 0032−320| = |1−12 12 001−10 |

x + y – z= 0z = t y = t x = 0

W= W 1∩W 2= {(0 , t ,t )t ∈R }

1. Si P = W 1∩W 2= {x∈V /x∈W 1∧x∈W 2}, entonces, P≠ {0 }

2. P≤V

3. La suma es Ley de Composición Interna:

u= (0,2,2 ) ∈ W v= (0,4,4 ) ∈ W

4

s = u + v = (0,6,6 ) ∈ W

4. El producto es Ley de Composición Externa:

t = n*ut = n(0,2,2 ) = (0,2n ,2n ) ∈ W

∴W 1∩W 2 es un subespacio vectorial

SUMA

Espacio vectorial V

TEOREMA:“Sea V un espacio vectorial y W1, W2, dos subespacios vectoriales de V.

Entonces W 1+W 2 , también es un subespacio vectorial de V”

DEMOSTRACIÓN:

Para su demostraciónW 1+W 2 debe cumplir las condiciones de existencia de un subespacio:

Sea P = W 1+W 2

1. Si P = W 1+W 2={z∈V / z=x+ y , x∈W 1∧ y∈W 2} , entonces, P≠ {0 }

2. P≤V

3. La suma es Ley de Composición Interna:

P = W 1+W 2={z∈V / z=x+ y , x∈W 1∧ y∈W 2}

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u, v, tu, u + v, 0,

kv

u, v, tu, u + v, 0,

kv

∀ z1 , z2∈P ; (z1+z2 )∈H

z1∈P⇒ z1=x1+ y1 , x1∈W 1∧ y1∈W 2

z2∈P⇒ z2=x2+ y2 , x2∈W 1∧ y2∈W 2

z1+z2=( x1+x2 )+( y1+ y2)

x1∈W 1∧x2∈W 1⇒ x1+x2∈W 1

y1∈W 2∧ y2∈W 2⇒ y1+ y2∈W 2

∴ x+ y∈P

4. El producto es Ley de Composición Externa:

∀ z∈P ,α∈ R;α∗z∈ P

z∈ P⇒ z=( x+ y ), x∈W 1∧ y∈Walignl¿ 2 ¿¿ ¿α∗z=α∗( x+ y ) ¿ x∈W 1∧ y∈W 2⇒α∗(x+ y )=α∗x+α∗ y ¿¿∴α∗z∈P

∴ W 1+W 2 es un subespacio vectorial de V

EJEMPLO:

*Pruebe que la suma de los siguientes subespacios vectoriales, también es un subespacio:

W1 = {( x , y ) x+2 y=0 } W2 = {( x , y )−2 x+3 y=0}W1 = {(2 y , y ) x , y∈R2 } W2 = {( x ,2x /3 ) x , y∈R2 } W1+W2={(2 y+x , y+2 x /3 ) x , y∈ R2 }Sea P = W1+W2={(2 y+x , y+2 x /3 ) x , y∈ R2 }

1. Si P = W1+W2 , entonces, P≠ {0 }

2. P≤V

3. La suma es Ley de Composición Interna:

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u= ( 7,4) ∈R2 v= (8,5) ∈R2

s = u + v = (15,9) ∈R2

4. El producto es Ley de Composición Externa:

t = ku ∈R2

t= k(7,4) t= (7k, 4k) ∈R2

∴ W 1+W 2 es un subespacio vectorial

UNIÓN

No siempre se cumple que la unión entre subespacios de V es un subespacio vectorial de V.

Espacio vectorial V

TEOREMA

Sean W 1 ,W 2 dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. W 1∪W 2 es

un subespacio vectorial de V si y solo si W 1⊆W 2 ó W 2⊆W 1

DEMOSTRACIÓN

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u, v. u + v, tu, ku, 0

Para su demostración W 1∪W 2 debe cumplir las condiciones de existencia de un subespacio:

1. Si W 1∪W 2= {x∈V /x∈W 1∨x∈W 2} , W 1∪W 2 ≠ {0 }

2. W 1∪W 2≤V

3. Sea W 1⊄W 2 . Se debe demostrar que W 2⊆W 1 siempre que W 1∪W 2 sean subespacio vectorial de V

Si W 2⊆W 1 , entonces existe por lo menos un elemento x / x∈W 1∧x∉W 2 . Pero W 1⊆ (W 1∪W 2 )∧x∈W 1⇒ x∈W 1∪W 2

y∈W 2∧(W 2⊆W 1∪W 2 )∧(W 1∪W 2 ) es subespacio vectorial ⇒ y∈ (W 1∪W 2 )

⇒ x+ y∈ (W 1∪W 2 )⇒ x+ y∈W 1∨x+ y∈W 2

Al suponer las proposiciones anteriores:

x+ y∈W 2⇒ ( x+ y )+− y∈W 2⇒ x∈W 2≡0x+ y∈W 1⇒ (x+ y )+−x∈W 1⇒ y∈W 1∴W 2⊆W 1

EJEMPLO:

*Pruebe que la unión de los siguientes subespacios vectoriales, también es un subespacio:

W1 = {( x , y ) x+ y=0} W2 = {( x , y ) x− y=0 }W 1∪W 2={( x , y ) x= y∪ x=− y }

Sea P = W 1∪W 2={( x , y ) x= y∪ x=− y }

1. Si P = W 1∪W 2, entonces, P≠ {0 }

2. P≤R2

3. La suma es Ley de Composición Interna:

u = (2,2) ∈R2 v= (2,-2) ∈R2

s = u + v = (4,9) ∄R2

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5. El producto es Ley de Composición Externa:

- t = ku ∈R2

t = k(2,2) t= (2k, 2k) ∈R2

- t = kv ∈R2

t = k(2,-2) t= (2k, -2k) ∈R2

∴ W 1∪W 2 no es un subespacio vectorial

CONCLUSIONES

Luego de haber estudiado detenidamente el tema puedo concluir que este trabajo me ha brindado una gran cantidad de conocimiento ya que el mismo está enfocado de forma ilustrada con varios ejemplos para la mejor comprensión de este tema tan importante como son los espacios y subespacios vectoriales.

BIBLIOGRAFÍA: FÍSICA Y VIRTUAL

- Kolman, Hill, Álgebra lineal, octava edición, México, 2006.- Rada, Juan, Introducción al Álgebra lineal, primera edición, Venezuela,

2011.- Larson, Hostleter, Introducción al Álgebra lineal, México, 2004.- Lay, D., Matrices, Álgebra lineal y sus aplicaciones Cuarta edición, (2012)- Nela, María, Operaciones entre subespacios, Escuela Superior Politécnica

del Litoral- www.uam.es , Álgebra, ejercicios capitulo 1

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