Est Semana13

Ecuaciones Diferenciales

Catalina DomnguezRicardo Prato

Universidad del Norte

Departamento de matematicas y estadstica

Semana 13

27.04-30.04.2015

Pagina 1 Semana 13 27.04-30.04.2015 C. Domnguez -R. Prato

Sistema Masa-Resorte

l

Masa

l

s

Masa

F

x

l

ss

Movimiento libre No amortiguado

d2x

dt2+ 2x = 0, =

k

m

x(0) = x0, x(0) = v0

Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)

Posicion de equilibrio:masa m produce unaelongacion s

mg ks = 0

.Fuerza externa FProduce undesplazamiento x

ma = k(x+ s) +mgma = kxks+mg

md2x

dt2= kx

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.

En equilibrio estatico:

Hallar k

Fresorte = W

k 12m = 50N

k = 100

Hallar m. Si g 10m/s2

W = mg, m = 10N10m/s2

= 1Kg

En equilibrio estatico:

Mov. libre no amortiguado

x(t) +k

mx(t) = 0

x(t) +100

1x(t) = 0

x(t) + 100x(t) = 0

x(0) =0.5, x(0) = 10

r2+100 = 0, r = 10ix(t) = c1 cos(10t) + c2 sin(10t)

x(t) =1

2cos(10t) + 1 sin(10t)

... continuacion ...

Movimiento libre no amortiguado

x + 2x = 0, =

k

m

x(0) = x0, x(0) = v0

x(t) = c1 cos(t) + c2 sin(t)

C

C =c21+ c2

2

x(t) =(c1 cos(t) + c2 sin(t)

)CC

= C(c1C

cos(t) +c2C

sin(t))

= C(cos() cos(t) + sin() sin(t)

)= C cos(t ) C = Amplitud

c2

c1

C

cos() =c1C

sin() =c2C



Masa

F

x

l + s

Movimiento libre amortiguado

Fuerza amortiguamiento:

famort. = dx

dt

ma = mg (k + s)x dxdt

md2x

dt2= kx dx

dtd2x

dt2+

k

mx+

m

dx

dt= 0

d2x

dt2+ 2

dx

dt+ 2x = 0

2 =

m2 =

k

mEcuacion caracterstica:

m2 + 2m+ 2 = 0 m1,2 = 2 2


Caso I: 2 2 > 0 (Sobre-amortiguamiento)En este caso > k y las soluciones vienen dadas por

x(t) = et(C1e

22t + C2e

22t

)

1

2

3

0.5 1.0 1.5 2.00.5

C1e22t + C2e

22tet

x(t)

Observe que la masa NO lograpasar por el punto de equilibrio


Caso II: 2 2 = 0 (Crticamente amortiguamiento)En este caso las soluciones vienen dadas por

x(t) = et(C1 + C2t

)

1

2

3

0.5 1.0 1.5 2.0 2.50.51.0

C1 + C2tet

x(t)

Observe que la masa pasa por elpunto de equilibrio por lo menosuna vez.


Caso III: := 2 2 < 0 (Sub-amortiguamiento)En este caso < k y las soluciones vienen dadas por

x(t) = et(C1 cos

t+ C2 sin

t

)

2

4

2

4

1 2 3 4 5 6

C1 cos t+ C2 sin

t

etx(t)


Masa

F

x

l + s

F

Movimiento forzado

En este caso

d2x

dt2+ 2

dx

dt+ 2x =

Fm

2 =

m2 =

k

m

dondex(t) = xc(t) + xp(t)

1 xc(t) se dice solucion transitoria(xc(t) 0 cuando t)

2 xp(t) se dice solucion de estado estacionario

Movimiento Libre Forzado mx(t) + x(t) + kx = F (t)

x(t) = xc(t) + xp(t)

1

1

2

1 2 3 4 5 6 7 8

Solucion transitoria xc

Solucion estable xp

Solucion estable x(t) = xc(t) + xp(t)


Ejemplo

La solucion de

d2x

dt2+ 2x = F0 sin t

x(0) = 0 x(0) = 0

donde 6= viene dada por

x(t) =F0

(2 2)( sint+ sin t)

Pregunta

lim

x(t)?


Mov. Forzado sin amortiguamientox(t) + 2x = F0 sin(t) x(0) = x

(0) = 0

x(t) = c1 cos(t) + c2 sin(t) +F0

2 2 sin(t)

Al resolver el PVI

x(t) =F0

(2 2)( sin(t) + sin(t)

)

Si

lim

sin(t) + sin(t)(2 2) = lim

dd

( sin(t) + sin(t)

)dd

((2 2)

)

= lim

sin(t) + t cos(t)2 =

sin(t) + t cos(t)22


Ejemplo: Resonancia

lim

x(t) =F022

sin(t) F02

t cos(t)

2

4

6

8

2

4

6

2 4 6 8 10 12 14 16 18 202


Resonancia

Si no ve el video consulte:

http://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnw

Ejemplo

1 Una masa de 3Kg esta fija al extremo de un resorte quese estira20 cm por una fuerza de 15N . Se pone en movimiento con la posicioninicial de x0 = 0 y la velocidad inicial de v0 = 10m/s. Encuentre laamplitud, el periodo y la frecuencia del movimiento resultante.

2 Una masa que pesa 100K esta sujeta al extremos de un resorte que seha estirado 1m mediante una fuerza de 100K. Otra fuerza F0 cos(t)actua sobre la masa. A que frecuencia (en hertzios) ocurriran lasoscilaciones de resonancia? Haga casa omiso del amortiguamiento.

3 A mass of 1 slug, when attached to a spring, stretches it 2 feet andthen comes to rest in the equilibrium position. Starting at t = 0, anexternal force equal to f(t) = 8 sin 4t is applied to the system. Findthe equation of motion if the surrounding medium offers a dampingforce numerically equal to 8 times the instantaneous velocity.


.Circuitos RLC

E

R

L

C

Carga: q(t)

Voltaje: V (t)

Corriente: i(t)

Resistencia: R

Fuente: E

Capacitancia: C

Inductancia: L

Cada de voltaje en el condensador:q(t)

CCada de voltaje en la resistencia: Ri

Cada de voltaje en el inductor: Ldi(t)

dtUsando la segunda ley de Kirchhoff

Ldi(t)

dt+Ri(t) +

1

Cq(t) = E(t)

Ld2q(t)

dt2+R

dq(t)

dt+

1

Cq(t) = E(t)

Si E(t) = 0

Ld2q(t)

dt2+R

dq(t)

dt+

1

Cq(t) = 0

las vibraciones electricas del circuito se dice que son libres.La ecuacion caracterstica para esta dada por

Lm2 +Rm+1

C= 0 m1,2 =

RR2 4L

C

2L

Lo anterior define 3 estados del circuito dependiendo del valor deldiscriminante:

Estadoamorti-guado

Discriminante

:= R2 4LC

Solucion

sobre R2 4LC> 0, q(t) = e

R

2Lt(C1e

t + C2e

t)

crtico R2 4LC= 0 q(t) = e

R

2Lt(C1 + C2t)

sub R2 4LC< O q(t) = e

R

2Lt(C1 cos

t+ C2 sint)


Cuando E(t) = 0 y R = 0, el circuito se dice no amortiguado y lasvibraciones electricas no tienden a cero cuando t crece sin lmite, larespuesta del circuito es armonica simple.

En cada uno de estos tres casos la solucion general de q(t) contiene el

factor eR

2Lt, y as

q(t) 0 cuando tEn el caso subamortiguado cuando q(0) = q0, la carga en elcondensador oscila a medida que decae, en otras palabras, elcondensador se carga y descarga cuando t.Cuando el voltaje aplicado en el circuito E(t) 6= 0 , las vibracioneselectricas se dicen que estan forzadas. En el caso en que R 6= 0, lasolucion de la homogenea asociada qc(t), se denomina una soluciontransciente o remanente (transient solution).

Si E(t) es periodica o una constante, entonces la solucion particularqp(t) de se dice solucion de estado estacionario (steady-statesolution).


Ejemplo

1 Find the charge on the capacitor in an RLC series circuit when L = 12

h, R = 10 , C = 0.01 f, E(t) = 150 V, q(0) = 1 C, and i(0) = 0 A.What is the charge on the capacitor after a long time?

2 Encuentre la carga y la corriente de estado estable en un circuito LRCen serie cuando L = 1h, R = 2, C = 1/4 y E(t) = 50 cos(t)V .


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