Estabilidad estructural.bifurcaciones

7/25/2019 Estabilidad estructural.bifurcaciones

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Tarea N6 - Estabilidad Estructural.

Bifurcaciones Locales y Globales.

lvarez Exequiel, Lpez Ricardo, Vega Joel

Santiago de Chile 2016

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ndice

I Introduccin 4

1. Defina estabilidad estructural. Bajo qu condiciones un sistema es es-

tructuralmente inestable? 5

2. Defina parmetro de un sistema o modelo 8

3. Defina valor de Bifurcacin, para la situacin en que se vara un solo

parmetro del sistema. 9

4. Defina punto de Bifurcacin, para la situacin en que se vara un conjunto

de parmetros del sistema. 11

5. Defina el fenmeno de Bifurcacin. 15

6. Explique, la diferencia entre una Bifurcacin local y una Bifurcacin glo-

bal. 18

7. Articulo Sistema Discreto. 19

8. Articulo tipo particular de Bifurcacin, local o global. 23

II Conclusin 25

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ndice de figuras

1. Modelo estable Holling - Tanner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Modelo inestable Lotka y Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Interseccin der xy ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94. Desplazamiento der x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105. Comportamiento cuando 0inestable am-

bos para un = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6. Comportamiento cuando 0inestable am-

bos para un = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7. Sistema en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

8. Sistema estable e inestable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

9. Tipo silla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

10. Ciclo lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

11. Atractor catico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

12. Grfica de mapa logstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

13. Mapa de bifurcaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

14. Bifurcacin de duplicacin de periodo al caos . . . . . . . . . . . . . . 22

15. Retrato de estado para distintos valores del parmetroc. . . . . . . . . 23

16. Comportamiento de la Bifurcacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

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Parte I

IntroduccinEl anlisis de los sistemas dinmicos no lineales es de profundo y enriquecedor

conocimiento para modelar el comportamiento de la naturaleza, por ejemplo el siste-

ma econmico, sistema biolgicos, sistemas qumicos, sistemas elctricos / electr-

nicos, sistemas demogrficos, etc.

En conjunto con este desarrollo es de importancia conocer el tipo es estabilidad

estructural que caracteriza un modelo, como y en que grado puede afectar la variacinde parmetros de un sistema, se analiza el comportamiento de estas variaciones

iniciando el concepto de Bifurcaciones.

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1. Defina estabilidad estructural. Bajo qu condicio-

nes un sistema es estructuralmente inestable?Se define la estabilidad estructural cuando, si bajo un campo vectorialf R2, con

diferenciales continuas, entonces es llamado estructuralmente estable, si interactu

una perturbacin en el sistema x = f(x) dejan un comportamiento cualitativo sin

cambios.

Para complementar an ms si fes continuamente diferenciable, entonces fes

estructuralmente estable si cumple con:

El nmero de puntos crticos y ciclos limites es finito y cada uno es hiperblica.

No existen trayectorias que conecten puntos silla a puntos silla

Como un ejemplo podemos citar al modelo de Holling-Tanner el cual es estructural-

mente estable [Braza, 2003] , dado por:

x= x

1 x7

6xy

7 + 7x

y= 0,2 y

1 N yx

DondeNes una constante, se analiza paraN= 2,5y paraN= 0,5, se entiende

que:

El trminox

1 x

7, representa la lgica de crecimiento en ausencia de preda-

dores.

El trmino 6xy7+7x

, representa el efecto de predadores sujeto a una tasa de de-

predacin mxima.

El trmino0,2y

1 Nyx

, denota el crecimiento de predadores tasa cuando un

mximo de xn

predadores es soportado porxpresa.

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Figura 1: Modelo estable Holling - Tanner

Ahora por ejemplo analizaremos un ejemplo de comportamiento inestable anali-

zando el modelo de Lotka - Volterra [Lynch, 2009], el cual se expresa mediante:

x= x ( cy)

y= y (x )

Donde , , , cson constantes positivas y:

y: Nmero de predadores.

x: Nmero de presas.

: Tasa de crecimiento por presa

xy : Interaccin entre ambas especies.

xy : Crecimiento de los depredadores.

x: Muerte natural de los depredadores.

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Figura 2: Modelo inestable Lotka y Volterra

Se puede indicar que el modelo es muy inestable ya que en algunos casos produce

fluctuaciones cclicas.

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2. Defina parmetro de un sistema o modelo

El parmetro de un sistema o modelo representa en la mayora de los casos con-diciones fsicas, dichas condiciones fsicas son analizadas y estudiadas con el fin de

entender cual es el valor que representan en la formulacin de un modelo, variaciones

de estos parmetros pueden realizar cambios cualitativos en la dinmica del sistema,

por ejemplo:

La ecuacin de Duffing [Lynch, 2009] la cual esta dada por:

x+kx+ (x3 x) = cos (t)

donde se considera a k como coeficiente de amortiguamiento, representa el

factor de amplitud, y es la frecuencia de la fuerza externa al sistema, en variables

de estado podemos expresar la ecuacin como:

x= y

y= x ky x3 + cos (t)

en este casok,y son parmetros del sistema.

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3. Defina valor de Bifurcacin, para la situacin en que

se vara un solo parmetro del sistema.El valor de bifurcacin representa, en este caso cuando se vara un solo parme-

tro, al punto en xdel plano, cuando se produce la Bifurcacin, es decir el valor de

Bifurcacin [Strogatz, 2014] , a modo de ejemplo podemos citar:

El siguiente sistema dado por :

x= r x ex

El cual sufre una bifurcacin del tipo silla-nodo cuando el parmetror es variado.

Los puntos crticos son:

0 =r x ex

mediante la grfica de:

r x= ex

Figura 3: Interseccin de r xyex

Las intersecciones corresponden a los puntos fijos del sistema. La direccin del

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flujo es a la derecha cuando la lnea esta sobre la curva, ya que r x > ex y asx >0, de esta forma se sabe que el punto fijo estable es el de la derecha y el inestable

es el de la izquierda. Ahora, al disminuir el parmetro r, la lnearxse desliza haciaabajo y los puntos fijos se empiezan a juntar. En algn lugar la lnea ser tangente a

la curva y este punto se convierte en una Bifurcacin silla nodo.

Figura 4: Desplazamiento de r x

El valor de Bifurcacin se logra cuando:

r x= ex

y al mismo tiempo son tangentes entre s, de tal forma que derivando ambos tr-

minos se obtiene:

ex = 1

al despejarxllegamos a:

x= 0

Por lo tanto el valor de la Bifurcacin es en x = 0.

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4. Defina punto de Bifurcacin, para la situacin en

que se vara un conjunto de parmetros del siste-ma.

El punto de Bifurcacin corresponde al valor del parmetro del sistema el cual

vara, generando un cambio el retrato de fase del sistema, estos cambios cualitativos

en la dinmica del sistema se llaman Bifurcaciones.

A modo de ejemplo podemos citar a una Bifurcacin Hopf de dos dimensiones la

cual tiene un estado estable [Strogatz, 2014]:

r= r r3

= +br2

En la cuales el control de estabilidad del punto fijo en el origen, entrega la fre-

cuencia de oscilaciones infinitesimales y bdetermina la dependencia de la frecuenciade la amplitud de las oscilaciones.

Para analizar este sistema durante la Bifurcacin, lo escribiremos en coordenadas

cartesianas mediante:

x= r cos ()

y= r sen ()

entonces tenemos:

x= r cos () r sen ()

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y= r sen () +r cos ()

Reemplazando:

x= x x3 xy2 y byx2 by3

y= y x2

y y3

+x+bx3

+bxy2

Un punto de equilibrio es para el par ordenado (0, 0), mediante el primer mtodo

de Lyapunov, tenemos:

X=G (x)

Donde

G (x) =

f1x f1y

f2x

f2y

x=y=eq=0,0

G (x) =

Y los autovalores son:

det

=2 2+2 +2

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Donde

1,2 =

j

En este caso nos damos cuenta que para el anlisis local de Lyapunov se prescin-

de del parmetrob, como el anlisis se realizo en torno al punto de equilibrio y usando

el primer mtodo de Lyapunov, entonces si >0 el sistema es inestable, si 0 inestable ambos

para un = 1

Figura 6: Comportamiento cuando < 0estable y cuando > 0 inestable ambospara un = 5

Entonces se puede desprender que, cuando hablamos de punto de bifurcacin

para sistemas que vara ms de un parmetro se puede vincular el anlisis del primer

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mtodo de Lyapunov y mediante el estudio de los autovalores los cuales estn en fun-

cin de los parmetros del sistema, es posible confirmar que el punto de Bifurcacin

ocurre cuando los autovalores estn en el semiplano derecho.

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5. Defina el fenmeno de Bifurcacin.

Las bifurcaciones son fenmenos crticos en sistemas dinmicos, en los que secrean, destruyen, o cambian de estabilidad los puntos fijos, al cambiar un parmetro

llamado parmetro de control. En dos o ms dimensiones, adems, pueden observar-

se fenmenos similares en rbitas cclicas (en lugar de puntos fijos). Es decir, con un

parmetro se puede, por ejemplo, encender y apagar las oscilaciones de un sistema

[Abramson, 2013].

Estticos, en equilibrio, estables como los nodo o focos [Lynch, 2009], [Strogatz,

2014].

Figura 7: Sistema en equilibrio

Estticos, en equilibrio, inestable, estables [Lynch, 2009], [Strogatz, 2014].

Figura 8: Sistema estable e inestable

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Esttico, en equilibrio, tipo silla [Lynch, 2009], [Strogatz, 2014].

Figura 9: Tipo silla

Peridicos [Lynch, 2009], [Strogatz, 2014].

Figura 10: Ciclo lmite

Atractor extrao [Lynch, 2009], [Strogatz, 2014]

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Figura 11: Atractor catico

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6. Explique, la diferencia entre una Bifurcacin local y

una Bifurcacin global.

Local: Las Bifurcaciones locales son aquellas que pueden ser analizadas com-

pletamente mediante cambios en las propiedades de la estabilidad local, primer

mtodo de Lyapunov, bien sean stas de puntos de equilibrio, rbitas locales u

otros conjuntos invariantes conforme los parmetros atraviesan umbrales crti-

cos [Abramson, 2013],[Strogatz, 2014].

Global: Las Bifurcaciones globales ocurren normalmente en mayores conjuntos

invariantes del sistema, los cuales "colisionan" entre ellos o con los puntos de

equilibrio del sistema. Por tanto, no pueden ser detectados de forma exclusiva

mediante un anlisis de los puntos de equilibrio, anlisis de Lyapunov [Abram-

son, 2013],[Strogatz, 2014]..

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7. Articulo Sistema Discreto.

El articulo propuesto se encuentra en el libro [Lynch, 2009], consiste en un sistemade una dimensin el cual se presenta a continuacin

Xn+1= f(xn)

Donde

f(x) =x(1

x)

El intervalo dees[0, 4], la grfica def(x)es:

Figura 12: Grfica de mapa logstico

Para encontrar los puntos, es necesario resolver la ecuacin:

f(x) =x(1

x) =x

Hay dos soluciones dadas, las cuales son:

x1,1= 0y x1,2 = 1 1

Para determinar la estabilidad se utiliza el siguiente teorema:

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TEOREMA: Supone que la funcinf(x), es un punto fijo dex

Entonces el punto fijo es estable si:

d f(x)

dx

1

Se aplica el TEOREMA:

d f(0)dx =

es estable para0 < 1

d f(x1,2)

dx

= 2

este punto fijo es estable para1 < 3, Luego

para encontrar los puntos de periodo dos, es necesario resolver la siguiente ecuacin:

f2(x) =(x(1 x)(1 (x(1 x))) =x

Esta da los puntos que satisfacen la condicinxn+2= xn, para todon. Como dos

soluciones ya son conocidas, se calculan las dems de la siguiente factorizacin de

lo anterior:

x

x

1 1

3x2 +

2 +3

x

2 +

la ecuacin(3x2 + (2 +3) x (2 +))tiene races como:

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x2,1= + 1 +

( 3) (+ 1)2

yx2,2= + 1

( 3) (+ 1)2

As, se tiene dos puntos de periodo de dos, cuando >3.

Luegob1= 3, corresponde al punto de la primera bifurcacin.

Ahora:

d

dxf2(x2,1) = 43x3 + 63x2 2

2 +3

x+2

y ddx

f2(x2,1) = 1,

cuando = b2= 1 +

6. El valorb2corresponde al segundo punto de bifurcacin.

La grfica de bifurcacin en trminos deb1y b2, se puede ver a continuacin:

Figura 13: Mapa de bifurcaciones

Luego se presenta la grfica de la simulacin elaborada en MATLAB:

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Figura 14: Bifurcacin de duplicacin de periodo al caos

El caso representa el ciclo de vida de las moscas azules, donde es la tasade reproduccin y xla poblacin de estas, la ventaja que tiene el estudio de estas

moscas, es que su ciclo de vida es muy corto, lo que permite realizar estudios de

laboratorio.

La bifurcacin de duplicacin de periodo, representa que al aumentar, se llega a

un punto de bifurcacin, de este salen dos ramas, luego de esas dos ramas, se des-

prenden dos ramas mas y as sucesivamente, hasta alcanzar un limite determinado

por el tipo de sistema.Tal es el caso que se muestra en la simulacin, donde la secuencia termina cerca

de = 3,569945.... desde este valor, el sistema se vuelve catico.

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8. Articulo tipo particular de Bifurcacin, local o glo-

bal.Considerar el sistema no lineal de dimensin 1:

x= c+x x3

La variacin del parmetro de bifurcacinccorresponde a un desplazamiento ver-

tical del eje de ordenadas x en la representacin de f(x, c)en funcin de x, como

puede verse en la figura siguiente:

Figura 15: Retrato de estado para distintos valores del parmetro c.

Para el valor c < 233

el flujo del sistema presenta una estructura de rbitas

estables que se corresponden con un equilibrio estable .

Para el valor c = 233

el sistema tiene un punto de bifurcacin, manteniendo el

punto de equilibrio estable y apareciendo uno no hiperblico.

Para el valor 233

< c < 233el sistema tiene estructura de rbitas estables, con

un punto de equilibrio inestable y dos estables.

Para el valorc = 233se presenta un punto de bifurcacin.

Parac > 233tiene un punto de equilibrio estable.

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El comportamiento de la Bifurcacin se grfica en la figura siguiente:

Figura 16: Comportamiento de la Bifurcacin

En la Figura 16 se muestra como cambia el comportamiento del sistema en la

medida que aumentaco disminuye, este comportamiento es llamado histeresis.

Tambin puede interpretarse como dos bifurcaciones silla-nodo de equilibrios una

parac = 233yc = 2

33[Aracil et al., 2007].

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Parte II

ConclusinPara concluir el trabajo de investigacin, se infiere que la estabilidad estructural, la

cual puede ser estable o inestable, analizando pequeas variaciones en los parme-

tros del sistema, el estudio del comportamiento en los puntos puntos de equilibrios, el

anlisis de los eigenvalores los cuales nos indican el punto en el cual inicia la bifurca-

cin.

Se considera mediante la simulacin de Bifurcaciones Globales, el concepto deciertas Bifurcaciones las cuales conllevan a un desarrollo matemtico de mayor com-

plejidad, el estudio de las colisiones y creacin o destruccin de ciclos limites invo-

lucran un rea de fortalecimiento para el planteamiento de sistemas dinmicos no

lineales.

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Referencias

Guillermo Abramson. Osciladores biolgicos. 2013.

JA Aracil, FG Salas, and FA Gordillo. Notas del curso anlisis de sistemas no lineales.

Universidad de Sevilla, 2007.

Peter A Braza. The bifurcation structure of the hollingtanner model for predator-prey

interactions using two-timing. SIAM Journal on Applied Mathematics, 63(3):889

904, 2003.

Stephen Lynch.Dynamical systems with applications using MapleTM. Springer Scien-

ce & Business Media, 2009.

Steven H Strogatz. Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, bio-

logy, chemistry, and engineering. Westview press, 2014.

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