Material Instruccional

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ESTADSTICA IICaracas, agosto 2006

Repblica Bolivariana de Venezuela

Ministerio de Educacin Superior

Fundacin Misin Sucre

Ministro de Educacin Superior

Samuel Moncada Acosta

Viceministra de Polticas Acadmicas

Maruja Romero YpezAsesor de Contenido

Prof. Susana CovesDiseadora Instruccional

Prof. Luisa MrquezUNIDADES CURRICULARES ESPECIALIZADAS

ESTADSTICA II

horas

Trabajo Acompaado3

Trabajo Independiente3

Horas por semana6

Total horas por trimestre42

Competencias a desarrollarCOMPETENCIAS

UNIDAD TEMTICAConocimientosHabilidades y DestrezasActitudes y valores

Grales. del proceso administrativoElaboracin de normas o procedimientosMarco Legal y fiscal para la administracinTcnicas y principios de mercadeoDesarrollo econmico y socialTcnicas y procedimientos contablesIdentificar problemas o necesidadesElab informes. AdministElab edos financ.Formular

proyectos

Elaborar normas y procedmientosRelaciones asertiva.sCompromiso socialParticipacin en desarrollo endgeno

1. Probabilidad

2. Estimacin Puntual

3. Prueba de Hiptesis

4. Regresin y Correlacin

Tabla de ContenidosPg.

Programa instruccional4

Introduccin6

Contenidos de Repaso. Teora de conjuntos7

UNIDAD 1 PROBABILIDAD13

Experimento, Resultado y Evento16

Distribuciones de probabilidad18

Probabilidad binomial19

Probabilidad normal23

Aproximacin de la distribucin normal a la binomial29

UNIDAD 2 ESTIMACIN PUNTUAL30

Poblacin y muestra32

Mtodos de muestreo32

Teorema del lmite central34

Estimadores35

Estimador puntual35

Intervalos de confianza36

Determinacin de parmetros para la media y la proporcin37

Caractersticas de un buen estimador39

Clculo del tamao de la muestra41

UNIDAD 3 PRUEBA DE HIPTESIS44

Qu es una hiptesis?46

Qu es una prueba de hiptesis?46

Procedimiento para probar una hiptesis46

Prueba para una o dos colas50

Pruebas para media y proporcin51

UNIDAD 4 REGRESIN Y CORRELACIN59

Variable dependiente e independiente61

Diagrama de dispersin62

Coeficiente de correlacin62

Respuestas

Bibliografa

Anexos

PROGRAMA INSTRUCCIONALObjetivo General:

Analizar situaciones organizacionales a travs de estadsticos idneos que permitan considerar el efecto y la interaccin entre los diferentes factores que intervienen en la toma de decisiones administrativas.

Sinopsis de Contenidos:

UNIDAD 1. PROBABILIDADObjetivo: Aplicar los conceptos de probabilidad que permitan reducir los riesgos en la toma de decisiones Conceptos bsicos: Probabilidad Experimento, resultado y evento

Espacio muestral

Punto muestral

Sucesos y sus probabilidades

Distribuciones de probabilidad

Variable aleatoria

Valor esperado

Probabilidad binomial

Probabilidad normal

Concepto, propiedades e importancia

Funcin de probabilidad

reas bajo la curva

Tablas

Ajuste de la distribucin normal a la distribucin experimental y a la binomial

UNIDAD 2. ESTIMACIN PUNTUALObjetivo: Calcular los intervalos de confianza de los estimadores para la toma de decisin

Poblacin y muestra

Mtodos de muestreo

Muestro aleatorio simple

Muestreo aleatorio sistemtico

Muestreo aleatorio estratificado

Muestreo por conglomerados

Estimadores

Caractersticas de los estimadores

Intervalos de confianza para la media y la proporcin

Determinacin del tamao de la muestra

UNIDAD 3. PRUEBA DE HIPTESISObjetivo: Aplicar con propiedad y de forma pertinente a situaciones administrativas la prueba de hiptesis

Qu es una hiptesis

Qu es una prueba de hiptesis

Contraste de hiptesis

Paramtricas (Media aritmtica y proporcin)

Para una poblacin

Para dos poblaciones

UNIDAD 4. REGRESIN Y CORRELACINObjetivo: Aplicar e interpretar el coeficiente de correlacin y determinacin con el propsito de obtener la relacin o variacin entre dos variables

Variables dependiente e independientes

Grfico de dispersin

Coeficiente de correlacin

Correlacin lineal

Coeficiente de determinacin

Modelo de anlisis de regresin lineal

Recta de mnimos cuadrados

Error estndar de estimacin

INTRODUCCINLa Estadstica es la ciencia que se preocupa de la recoleccin de datos, su organizacin y anlisis, as como de las predicciones que, a partir de estos datos, pueden hacerse. Esas predicciones se realizan a travs de la estadstica inferencial cuyo objetivo es sacar conclusiones generales para toda la poblacin a partir del estudio de una muestra.La Inferencia Estadstica es la parte de la estadstica matemtica que se encarga del estudio de los mtodos para la obtencin del modelo de probabilidad (forma funcional y parmetros que determinan la funcin de distribucin) que sigue una variable aleatoria de una determinada poblacin, a travs de una muestra (parte de la poblacin) obtenida de la misma.

Los dos problemas fundamentales que estudia la inferencia estadstica son el "Problema de la estimacin" y el "Problema del contraste de hiptesis" Cuando se conoce la forma funcional de la funcin de distribucin que sigue la variable aleatoria objeto de estudio y slo tenemos que estimar los parmetros que la determinan, estamos en un problema de inferencia estadstica paramtrica, este tipo de problemas son las que abordaremos en este material, el cual est conformado por cuatro unidades sobre: Probabilidad, estimacin puntual, prueba de hiptesis y por ltimo correlacin y regresin.

Contenidos de Repaso

Uniones, Intersecciones y Relaciones entre EventosUn conjunto es toda reunin de objetos. Con frecuencia es de utilidad identificar cmo pueden relacionarse los conjuntos entre s.. Se asume que se han identificado dos conjuntos A y B. Cada uno contiene numerosos elementos. . Es completamente posible que algunos elementos estn en ambos conjuntos. Por ejemplo, se asume que el conjunto A consta de todos los estudiantes de la clase de estadstica, y el conjunto B consta de todos los estudiantes de la universidad que estn especializndose en economa. Aquellos elementos (estudiantes) que estn en ambos conjuntos son los especialistas en economa de la clase de estadstica. Tales estudiantes constituyen la interseccin entre A y B, que se escribe y se lee como A interseccin B, consta de los elementos que son comunes tanto a A como a B. Un diagrama de Venn es una herramienta til para mostrar la relacin entre conjuntos, observemos:

Notacin

Por lo regular se usan letras maysculas para representar a los conjuntos, y letras minsculas para representar a los elementos de un conjunto dado. Si es un conjunto, y todos sus elementos, es comn escribir:

para definir a tal conjunto . La notacin empleada para definir al conjunto se llama notacin por extensin. Para representar que un elemento pertenece a un conjunto , escribimos (lase en ). La negacin de se escribe .

Si todos los elementos de un conjunto satisfacen alguna propiedad, misma que pueda ser expresada como una proposicin , con la indeterminada , usamos la notacin por comprensin, y se puede definir

donde el smbolo se lee "tal que", y puede ser remplazado por una barra . Por ejemplo, el conjunto puede definirse por

.

El smbolo representa al conjunto de los nmeros naturales.

Complemento de un conjunto

Dado un conjunto , se representa por al complemento de , el cual es un conjunto que verifica la proposicin para cualquiera que sea el elemento . As pues, est formado por todos los elementos que no son del conjunto .

Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos

Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos y se dicen iguales, lo que se escribe si constan de los mismos elementos. Es decir, siempre que para cualquiera que sea el elemento , se verifique

Subconjuntos y Superconjuntos

Un conjunto se dice subconjunto de otro , si todo elemento de es tambin elemento de , es decir, cuando se verifique

,

sea cual sea el elemento . En tal caso, se escribe .

Cabe sealar que, por definicin, no se excluye la posibilidad de que si , se cumpla A = B. Si tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto , pero si todo elemento de es elemento de , entonces decimos que es un subconjunto propio de , lo que se representa por .

Si es un subconjunto de , decimos tambin que es un superconjunto de , lo que se escribe . As pues

,

y tambin

,

significando que es superconjunto propio de .

Por el principio de identidad, es siempre cierto , para todo elemento , por lo que todo conjunto es subconjunto (y tambin superconjunto) de s mismo.

Vemos que es una relacin de orden sobre un conjunto de conjuntos, pues

para todo , y es reflexiva.

, y es antisimtrica

, y es transitiva

Operaciones con conjuntos: Unin, Interseccin, Diferencia y Diferencia Simtrica.

Sean y dos conjuntos.

Unin

Los elementos que pertenecen a o a o a ambos y , forman otro conjunto, llamado unin de y , escrito . As pues, se tiene

.

Interseccin

Los elementos comunes entre y forman un conjunto denominado interseccin de y , representado por :

.

Si dos conjuntos y son tales que , entonces y se dicen conjuntos disjuntos.

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/e/5/0/e5078c10109bbde369bd1b0129e5f3f6.png" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/f/e/b/feb798dc13f0581ff9a4748b49a28e40.png" \* MERGEFORMATINET Entonces:

INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/1/3/8/138d2e20a7e51401b9fc5540d928b9fd.png" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/c/e/b/ceb633bb25639b2b5ab69c8530f50dbc.png" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/2/9/d/29d4eb602148c8cbd588434a3b864e5f.png" \* MERGEFORMATINET Diferencia

Los elementos de un conjunto que no se encuentran en otro conjunto , forman otro conjunto llamado diferencia de y , representado por, :

.

Vemos que

,

de manera que

. Pero tambin

,

de modo que

Diferencia simtrica

Se define la diferencia simtrica de dos conjuntos por

Cuantificadores

Los cuantificadores sirven para indicar cuantos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Tales cuantificadores son:El cuantificador universal, representado por . Este cuantificador se emplea para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada propiedad. Se escribe

.La proposicin anterior suele usarse como la equivalente deEl cuantificador existencial se usa para indicar que al menos un elemento de un conjunto cumple con una propiedad. Se escribe:

La proposicin del cuantificador existencial suele interpretarse como la equivalente de la proposicin

Se definen

Aplicaciones

Sean y dos conjuntos. Un subconjunto , se dice aplicacin de en , lo que se representa por

siempre que se verifiquen

Si , el elemento se dice imagen de por , y el elemento se llama antecedente de por .

Sea una aplicacin . Se emplea la notacin para representar a la imagen de por , y por tanto .

Sean las aplicaciones y . Se define

,

y se dice que es el producto de composicin de las aplicaciones y .

Vemos que y por lo que Unidad I

Probabilidad

Objetivo:

Conocer los conceptos de probabilidad a fin de establecer las posibles relaciones entre eventos que permitirn reducir riesgos en la toma de decisiones en la practica profesional

Contenidos:

Probabilidad normalConceptos Bsicos

Probabilidades

Experimentos, resultados y evento

Espacio muestral

Punto muestral

Sucesos y sus probabilidades

Distribuciones de probabilidad

Variable aleatoria

Valor esperado

Probabilidad binomial

Probabilidad normal

Probabilidad

Probabilidad es un concepto que en administracin nos permite trabajar en funcin de nuestras expectativas con la ocurrencia algn resultado, esto significa que hacemos proyecciones sobre la posibilidad de xito o fracaso de un suceso, lo que a su vez genera una reduccin de riesgos y de incertidumbre en la toma de decisiones.

Probabilidad es una palabra que empleamos de forma cotidiana, y, efectivamente cuando preguntamos Qu probabilidad hay de que est listo para hoy? Suponemos que la persona que va a contestar nos dar una respuesta que nos permitir proyectarnos y predecir eventos a futuro; si la respuesta es no creo por que tienes varias personas por delante eso nos va programando para dos acciones que impedirn que ese evento interrumpa nuestro accionar. As mismo pasa en administracin, pues un administrador debe considerar todos los escenarios posibles a la hora de decidir las acciones que debe emprender una organizacin, a fin de minimizar la incertidumbre y reducir riesgos.

El propsito de esta unidad es ofrecer en una primera parte los conceptos bsicos sobre probabilidad y luego la aplicacin de dichos conceptos en la construccin de las distribuciones de probabilidad, que es una lista que contiene todos los resultados de un experimento y la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos.

UNIDAD I. PROBABILIDAD

ProbabilidadEs la posibilidad de que algo va a ocurrir, es medida entre 1 y 0. Mientras mayor sea la probabilidad de que el evento ocurra, la probabilidad asignada estar ms cerca de uno, si hay certeza del que el evento va a ocurrir la probabilidad es de 1, y por el contrario la posibilidad de que no ocurra es de 0.

Existen tres formas de enfocar la probabilidad: el modelo de frecuencia relativa, el modelo subjetivo y el modelo clsico. El modelo de frecuencia relativa utiliza datos que se han observado empricamente, registra la frecuencia con que ha ocurrido algn evento en el pasado y estima la probabilidad de que el evento ocurra nuevamente con base en estos datos histricos. La probabilidad de un evento con base en el modelo de frecuencia relativa se determina mediante:

P (E)= Si por ejemplo durante el ao pasado hubo 200 nacimientos en un hospital local, de los cuales 122 fueron varones el modelo de frecuencia relativa revela que la probabilidad de que el prximo nacimiento o un nacimiento seleccionado al azar sea una nia se obtiene dividiendo el nmero de nias que naci el ao anterior dividido entre le nmero total de nacimientos:

Si consideramos en el concepto anterior de probabilidad, en el cual es establece que la si la probabilidad es cercana a uno es tiene mayores oportunidades de ocurrencia, en nacimiento de una nia en ese hospital es un evento poco probable.El modelo subjetivo se utiliza cuando se desea asignar probabilidad a un evento que nunca ha ocurrido, por ejemplo la probabilidad de que una mujer sea elegida como Presidente de Venezuela, como no hay datos confiables se analizan las opiniones y las tendencias para obtener una estimacin subjetiva.El ltimo y tercer modelo de probabilidad es el clsico relacionado con mayor frecuencia a las apuestas y juegos de azar. La probabilidad clsica se basa en la suposicin de que los resultados de un experimento sean igualmente probables. La probabilidad de un evento por medio de este modelo se determina mediante.

P(E)=

Para ejemplificar observemos la aplicacin de la ecuacinP(cara)= Nmero de formas en las que el evento puede ocurrir / Nmero total de posibles resultados

En este ejemplo slo hay una posibilidad de que salga cara, y dos posibles resultados, que salga cara o que salga sello. Segn el resultado de la ecuacin existen iguales posibilidades de que salga cara o sello, pues la probabilidad se halla en medio de 0 y 1.Aun sin conocer a fondo la probabilidad clsica, se puede estar consciente de que la probabilidad de obtener una cara en el lanzamiento de una moneda es de la mitad.

Experimento

Seguramente asocias la palabra experimento a las ciencias fsicas donde nos imaginamos a alguien mezclando qumicos y manipulando tubos de ensayos, sin embargo, en administracin se realizan experimentos para conocer los posibles resultados de una accin. Se dice que experimento es toda accin definida que conlleva a un resultado nico bien definido que tiene dos o ms posibles resultados y no se sabe cul va a ocurrir. Resultado

Una consecuencia particular de un experimento.

Evento

Una coleccin de uno o ms resultados. De acuerdo a como se relacionan los eventos de un experimento se pueden clasificar en: mutuamente excluyentes, colectivamente exhaustivos, independientes o complementarios.Mutuamente excluyente: la ocurrencia de cualquiera de los eventos implica que ninguno de los otros eventos puede ocurrir al mismo tiempo. Como ejemplo tenemos el lanzamiento de una moneda en la cual si sale cara garantiza que no puede salir sello.Colectivamente exhaustivo: por lo menos uno de los eventos tiene que ocurrir, un ejemplo es el lanzamiento de un dado, los resultados posibles son 1,2,3,4,5 y 6 y existe la certeza que uno de ellos va a ocurrir.Independientes: son eventos en los que la ocurrencia de uno no tiene nada que ver con la ocurrencia del otro, por ejemplo lanzar un dado y una moneda a la vez, el resultado del lanzamiento del dado no afecta al de la moneda.Complementarios: son los eventos en los que si un evento no ocurre debe ocurrir el otro. Una buena representacin de estos eventos la podemos apreciar al lanzar un dado podemos decir que un evento A es sacar un nmero par, pero si esto no ocurre, el complemento es sacar un nmero impar. En estos casos los eventos se denominan A y no A.Existe una ltima categora que son los eventos compuestos consiste en la co-ocurrencia de dos o ms eventos aislados. Las operaciones de conjuntos de interseccin y unin implican eventos compuestos. De esta manera si se lanza una moneda y un dado a la vez el resultado es un evento compuesto y se puede calcular la probabilidad de tal evento. Los eventos compuestos son ms interesantes e incluso ms tiles en la administracin ya que por medio de ellos pueden estudiarse las relaciones entre dos sucesos que ocurren de forma paralela. Para que visualicemos mejor las definiciones de experimento, resultado y evento, observemos el siguiente cuadro:

Experimento: Tirar un dado

Todos los resultados posibles Obtener un 1

Obtener un 2

Obtener un 3

Obtener un 4

Obtener un 5

Obtener un 6

Algunos eventos posiblesObtener un nmero par

Obtener un nmero mayor que 4

Obtener el nmero 3 o uno menor

En el experimento del lanzamiento de un dado hay seis posibles resultados, pero hay muchos eventos posibles.

Ejercicio 1:Clasifica los siguientes eventos:

El lanzamiento de dos monedas a la vez ___________________________________Que un vuelo de avin salga retrasado ____________________________________Que un beb sea varn ________________________________________________Que la comida de hoy no quede salada ____________________________________

Que en la prxima temporada de bisbol Magallanes sea el campen____________

Espacio de Muestras y EventosLos elementos de bsicos de la teora de probabilidades son los resultados del proceso o fenmenos bajo estudio. Cada tipo posible de ocurrencia se denomina un evento. Un evento simple puede describirse mediante una caracterstica sencilla. La complicacin de todos los eventos posibles se llama espacio muestral. Un evento conjunto es un evento que tiene dos o ms caractersticas.

Para calcular la probabilidad de cualquier resultado es necesario primero determinar el nmero total de resultados posibles; en un dado, por ejemplo, los resultados posibles son 1,2,3,4,5,6. Llamemos a este conjunto U, ya que es el espacio muestral o universo de posibles resultados. El espacio muestral incluye todos los posibles resultados en un experimento que son de inters para el experimentador. Los elementos primarios de U son llamados elementos o puntos mustrales. Se escribe, entonces, U = {1,2,3,4,5,6}

Vemoslo representado en un diagrama de Venn:

Aclarando la imagen anterior decimos que un evento es un subconjunto de U; cualquier elemento de un conjunto es tambin un subconjunto del conjunto. Algunas veces puede ser complicado determinar un espacio muestral, sin embargo para ello nos apoyamos en la teora de conjuntos. Los conjuntos pueden definirse listando todos los miembros de conjunto y estableciendo una regla de inclusin de los elementos en l. Distribuciones de Probabilidad

Una distribucin de probabilidad aporta el rango completo de valores susceptibles de ocurrir con base en un experimento. Una distribucin de probabilidad es similar a una distribucin de frecuencia, con la diferencia que no describe el pasado sino muestra que tan probable es que ocurra un evento. Dado que esta clase de distribuciones se ocupan de las expectativas son modelos de gran utilidad para hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre.

Variable Aleatoria.

Una variable aleatoria es aquella que asume diferentes valores, a consecuencia de los resultados de un experimento aleatorio, cada uno de los cuales tiene una determinada probabilidad. Por ejemplo si contamos la cantidad de alumnos inasistentes a las clases de estadstica II durante un mes, el nmero de ausencias es la variable aleatoria. Si esa variable toma slo valores enteros, se dice que es de tipo discreto, tal es el caso del ejemplo anterior, sera imposible decir que faltaron 3,5 estudiantes. Pero si por el contrario la variable puede tomar valores fraccionarios se dice que es de tipo continuo. Un ejemplo de una variable aleatoria discreta es el peso de los perros que recibe un veterinario en su consulta, 50.5 Kg, 25.6 Kg, etc.

Supongamos que tenemos una variable aleatoria x, y que esta puede tomar los valores que pueden ser discretos o continuos; cada uno de estos valores tiene cierta probabilidad que en la prctica se desconoce; sin embargo, a travs de planteamientos tericos podemos obtener dichas probabilidades, a las cuales designamos por f(x); al desarrollo que toman estos valores de f(x), es lo que se llama distribuciones de probabilidad de la variable aleatoria x. Estas distribuciones de probabilidad toman diferentes formas o tipos, sin embargo, las ms importantes son la distribucin binomial y la distribucin normal. Valor Esperado.

El valor esperado es un concepto fundamental en el estudio de las distribuciones de probabilidad. Desde hace muchos aos este concepto ha sido aplicado ampliamente en el negocio de seguros y en los ltimos veinte aos ha sido aplicado por otros profesionales que casi siempre toman decisiones en condiciones de incertidumbre. Para obtener el valor esperado de una variable aleatoria discreta, multiplicamos cada valor que sta puede asumir por la probabilidad de ocurrencia de ese valor y luego sumamos los productos. Es un promedio ponderado de los resultados que se esperan en el futuro.

Probabilidad BinomialEs una distribucin de probabilidad que emplea las variables aleatorias discretas, su principal caracterstica es que slo existen dos resultados posibles para cada experimento, gracias a ello su nombre binomial; adems posee las siguientes propiedades: 1. Slo debe haber dos resultados posibles. Uno se identifica como xito y el otro como fracaso, pero este resultado no trae una connotacin de bueno o malo, es decir, un xito no significa que el resultado sea deseable.2. La probabilidad de que una observacin se clasifique como xito, p, es constante de observacin a observacin. Por tanto, la probabilidad de que una observacin se clasifique como fracaso, q= 1-p, es constante sobre todas las observaciones.

3. Cada observacin puede clasificarse en una o dos categoras mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivas. El resultado de cualquier observacin es independiente del resultado de cualquier observacin.

4. El experimento puede repetirse muchas veces, pues un experimento no afecta al otro. Como ya se mencion el smbolo p representa la probabilidad de un xito y el smbolo q ( 1- p ) representa la probabilidad de un fracaso. Para representar cierto nmero de xitos, utilizaremos el smbolo r y para simbolizar el nmero total de ensayos emplearemos el smbolo n.

Entonces tenemos que:

PProbabilidad de xito.

QProbabilidad de fracaso.

rNmero de xitos deseados.

nNmero de ensayos efectuados.

Calcular la probabilidad de r xitos en n ensayos segn la formula binomial se calcula as:

Cmo se construye una Distribucin de Probabilidad Binomial

Para elaborar una distribucin de probabilidad binomial es necesario conocer el nmero de ensayos y la probabilidad xito de cada ensayo, por ejemplo si un estudiante presenta una prueba de seleccin conformada por 20 preguntas y cada una tiene 5 opciones de respuestas, se dice que habrn 20 ensayos (las preguntas); y si dentro de las 5 opciones de respuesta slo una es la correcta, podemos decir que del 100% de posibilidades cada estudiante tiene 20% de posibilidad de responder sin saber, es decir, una persona sin conocimientos tiene una probabilidad de 0,20 de aprobar la prueba acertando las respuestas. Ejemplo:

La Lnea rea Conviasa tiene 5 vuelos diarios a Barquisimeto. Supongamos que la probabilidad de que alguno de los vuelos salga retrasado es de 0.20 Cul es la probabilidad de que ninguno de los vuelos hoy salga retrasado?

Utilicemos la frmula , considerando que n=5 vuelos, y p=0,20

La probabilidad de que ninguno de los vuelos salga retrasado es de 0,32; si retomamos que el concepto de probabilidad, el cual se mide dentro del rango 0-1 podemos afirmar que es baja la probabilidad de que ningn vuelo salga retrasado. Ahora bien si queremos tener una estimacin de cuantos vuelos saldrn retrasados entonces construimos la distribucin de probabilidad binomial, para ello sustituiremos r por los valores 1,2,3,4,y 5. Como ya sustituimos la ecuacin con el valor r=0, a continuacin se muestra el desarrollo del ejercicio con r=1 y r=5.

Ejercicio 2:

Ahora realiza t la ecuacin sustituyendo r por los valores 2, 3 y 4. En la tabla de la Distribucin Binomial, que se te presenta a continuacin, se muestran los resultados para que verifiques tu ejercicio:Distribucin Binomial para n=5, p=0,20Nmero de Vuelos con RetrasoProbabilidad

00.3277

10.4096

20.2048

30.0512

40.0064

50.0003

Total1.0000

La distribucin binomial tambin se puede expresar de forma grfica

Ejercicio 3:

Imaginemos una escuela primaria donde los alumnos llegan tarde a menudo. Cinco alumnos estn en el jardn de nios. La directora lleva tiempo estudiando el problema, habiendo llegado a la conclusin de que hay una probabilidad de 0.4 de que un alumno llegue tarde y de que los alumnos lleguen independientemente uno de otro Cmo trazamos una distribucin binomial de probabilidad que ilustre las probabilidades de que 0,1,2,3,4 5 estudiantes lleguen tarde simultneamente?

Medidas de tendencia central y de dispersin para la distribucin binomial.

La distribucin binomial tiene un valor esperado o media ( ( ) y una desviacin estndar que nos permite determinar que tan alejados estn los datos de la media o promedio ((). Podemos representar la media de una distribucin binomial de la siguiente forma:

( = n p

donde :

n= nmero de ensayos.

p= probabilidad de xitos.

Y la desviacin estndar de la siguiente forma:

donde :

n= nmero de ensayos.

p= probabilidad de xito.

q= probabilidad de fracaso.

Ejemplo:

Una mquina empaquetadora que produce 20% de paquetes defectuosos. Si se extrae una muestra aleatoria de 10 paquetes, podremos calcular la media y la desviacin estndar de la distribucin binomial de ese proceso en la forma que sigue:

( = np = 10*0.2 = 2 Media.

( = ( npq = ( (10) (0.2) (0.8) = ( 1.6 = 1.265 Desviacin estndar.Probabilidad normalDe todas las distribuciones de probabilidad la normal es la ms importante. Esta distribucin es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadsticas; su propio nombre indica su extendida utilizacin, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenmenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucin. Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcin de densidad cuya grfica tiene forma de campana. En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polgonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana".

La distribucin normal de probabilidad es una distribucin de probabilidad continua tanto simtrica como mesocrtica. La curva de probabilidad de probabilidad que representa a la distribucin normal de probabilidad tiene forma de campana

Propiedades de la Distribucin Normal

La distribucin normal tiene varias propiedades tericas importantes, entre las cuales estn:

1. Tiene forma de campana, es simtrica en apariencia y posee un solo pico en el centro de la distribucin.2. Sus mediciones de tendencia central (media, mediana, moda) son iguales y se ubican en el pico.

3. Su dispersin media es igual a 1.33 desviaciones estndar. El valor de su alcance intercuartil puede diferir ligeramente de 1.33 desviaciones estndar.

4. La curva normal desciende suavemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es asinttica, lo que significa que la curva se acerca cada vez ms al eje de las X pero jams llega a tocarlo. Es decir, las colas de la curva se extienden de manera indefinida en ambas direcciones.

Para saber si una distribucin es simtrica, hay que precisar con respecto a qu. Un buen candidato es la mediana, ya que para variables continuas, divide al histograma de frecuencias en dos partes de igual rea. Podemos basarnos en ella para, de forma natural, decir que una distribucin es simtrica si el lado derecho de la grfica (a partir de la mediana) es la imagen por un espejo del lado izquierdo

Cuando la variable es discreta, decimos que es simtrica, si lo es con respecto a la media. Se podra pensar que definir la simetra con usando la mediana para variables continuas y usando la media para variables discretas es una eleccin arbitraria. En realidad esto no es as, pues si una variable es continua, coinciden los ambos criterios de simetra (con respecto a la media y a la mediana). Es ms, se tiene que media y mediana coinciden para distribuciones continuas simtricas. Por otro lado, en el caso de variables discretas, la distribucin es simtrica si el lado derecho del diagrama se obtiene por imagen especular desde la media. En este caso coincide la media con la mediana si el nmero de observaciones es impar.

Si la variable es continua simtrica y unimodal, coinciden la media, la mediana y la moda.

Dentro de los tipos de asimetra posible, vamos a destacar los dos fundamentales

Asimetra positiva:

Si las frecuencias ms altas se encuentran en el lado izquierdo de la media, mientras que en derecho hay frecuencias ms pequeas (cola).

Asimetra negativa:

Cuando la cola est en el lado izquierdo.

Simetra y Asimetra en la Curva Normal

La importancia de la distribucin normal viene dada por tres razones:

1. Numerosos fenmenos continuos parecen seguirla o pueden aproximarse mediante sta.

2. podemos usarla para aproximar diversas distribuciones de probabilidad discreta y evitar as pesados clculos

3. Proporciona la base de la inferencia estadstica clsica debido a su relacin con el teorema del lmite central.Cmo se construye una Distribucin de Probabilidad Normal

Construir una distribucin de probabilidad, tal y como lo hicimos con la binomial sera imposible debido a que la probabilidad normal est determinada por la media () y la desviacin estndar (). Lo bueno es que podemos utilizar un solo dato de la familia de distribuciones normales para dar respuestas a todos los problemas que decidamos resolver con este tipo de distribucin. La que tiene una media de 0 y una desviacin estndar de 1 se le conoce como distribucin normal estndar. Todas las distribuciones normales pueden convertirse a distribucin normal estndar restando la media de cada observacin y dividiendo por la desviacin estndar, utilizando un valor z.

reas bajo la curva normal.

La primera aplicacin de la distribucin normal supone encontrar el rea bajo la curva normal entre una media y un valor seleccionado designado como x. No importa cules sean los valores de y para una distribucin de probabilidad normal, el rea bajo la curva es 1,00; de manera que podemos pensar en reas bajo la curva como si fueran probabilidades. Matemticamente:

Aproximadamente el 68% de todos los valores de una poblacin normalmente distribuida se encuentran dentro + 1 desviacin estndar de la media.

Aproximadamente 95,5% de todos los valores de una poblacin normalmente distribuida se encuentran dentro de + 2 desviaciones estndar de la media.

Aproximadamente 99,7% de todos los valores de una poblacin normalmente distribuida se encuentran dentro de + 3 desviaciones estndar de la media.

Las tablas estadsticas indican porciones del rea bajo la curva normal que estn contenidas dentro de cualquier nmero de desviaciones estndar (ms, menos) a partir de la media.

No es posible ni necesario tener una tabla distinta para cada curva normal posible. En lugar de ello, podemos utilizar una distribucin de probabilidad normal estndar para encontrar reas bajo cualquier curva normal. Con esta tabla podemos determinar el rea o la probabilidad de que la variable aleatoria distribuida normalmente est dentro de ciertas distancias a partir de la media. Estas distancias estn definidas en trminos de desviaciones estndar.

Para cualquier distribucin normal de probabilidad, todos los intervalos que contienen el mismo nmero de desviaciones estndar a partir de la media contendrn la misma fraccin del rea total bajo la curva para cualquier distribucin de probabilidad normal.

Ejemplo (Tomado de http://www.monografias.com/trabajos26/distribucion-continua/distribucion-continua.shtml)El Instituto Especializado Materno Perinatal desea conocer la probabilidad de que al hacer una prueba de hemoglobina en gestantes adolescentes que acuden a la institucin en el tercer trimestre del embarazo, se obtenga un resultado menor a 11 mg/dl; para lo cual toma una muestra al azar de 30 gestantes menores de 19 aos, cuya edad gestacional este comprendida entre 28 40 semanas.

Datos:

n = 30 x =10.547 = 0.718

Base de datos: Nivel de Hemoglobina en gestaciones de adolescentes en el 3er. Trimestre del embarazo. n = 30

10.911.29.811.69.910.011.210.210.89.510.010.911.510.410.9

10.311.711.29.810.411.411.310.510.211.110.69.98.910.89.5

Prueba estadstica : Distribucin Normal Estndar o ZSi sabemos que:

Media: 10.55

Desviacin Estndar: 0.71

Clculo del estadstico z :

X - m 11- 10.55 0.45 = 3.75

z = Sx = 0,71/ 30 = 0.12

P(X 60) = P (Y > 2,0) = 1- P (Y < 2,0) = 1 - 0,9772 = 0,0228Es decir, la probabilidad de que al tirar 100 veces la moneda salga ms de 60 caras es tan slo del 2,28%.

La renta media de los habitantes de un pas se distribuye uniformemente entre 4,0 millones de bolvares. y 10,0 millones bolvares. Calcular la probabilidad de que al seleccionar al azar a 100 personas la suma de sus rentas supere los 725 millones Bs.. Cada renta personal es una variable independiente que se distribuye segn una funcin uniforme. Por ello, a la suma de las rentas de 100 personas se le puede aplicar el Teorema del Lmite Central. La media y varianza de cada variable individual es:

m = (4 + 10 ) / 2 = 7

s2 = (10 - 4)2 / 12 = 3Por tanto, la suma de las 100 variables se distribuye segn una normal cuya media y varianza son:

Media: n * m = 100 * 7 = 700

Varianza : n * s2 = 100 * 3 = 300Para calcular la probabilidad de que la suma de las rentas sea superior a 725 millones ptas, comenzamos por calcular el valor equivalente de la variable normal tipificada:

Luego:

P (X > 725) = P (Y > 1,44) = 1 - P (Y < 1,44) = 1 - 0,9251 = 0,0749Es decir, la probabilidad de que la suma de las rentas de 100 personas seleccionadas al azar supere los 725 millones de bolvares es tan slo del 7,49%

Ejercicio 5En una asignatura del colegio la probabilidad de que te saquen a la pizarra en cada clase es del 10%. A lo largo del ao tienes 100 clases de esa asignatura. Cul es la probabilidad de tener que salir a la pizarra ms de 15 veces?

EstimadoresEstimador puntual:

Es un valor que se calcula a partir de la informacin de la muestra, y que se usa para estimar el parmetro de la poblacin. Cuando no poseemos los datos de una poblacin es necesario estimar la media de la poblacin, para ello utilizamos un nmero nico. A ese nmero se le conoce como estimador puntual. No obstante un estimador puntual slo se refiere a una parte de la historia. Si bien no se espera que es estimador puntual est prximo al parmetro de la poblacin, se deseara expresar que tan cerca est, para ello sirve el intervalo de confianza.

Un estimador puntual es el valor numrico de una estadstica muestral empleado para estimar el valor de un parmetro de la poblacin o proceso. Una de las caractersticas ms importante de un estimador es que sea insesgado. Un estimador insesgado es una estadstica muestral cuyo valor esperado es igual al parmetro por estimar. A continuacin se presentan algunos de los estimadores puntales de uso ms frecuente:

Parmetro de la PoblacinEstimador

Media,

Diferencia entre las medias de dos poblaciones,

Proporcin,

Diferencia entre las poblaciones de dos poblaciones,

Varianza,

Desviacin estndar,

-

Estimacin por Intervalos, un intervalo es un rango de valores dentro del cual se estima est el parmetro de la poblacin.

Intervalo de Confianza: EL intervalo de confianza es un rango de valores que se construyen a partir de datos de la muestra de modo que el parmetro ocurre dentro de dicho rango con una probabilidad especfica. La probabilidad especfica se conoce como nivel de confianza.

La media de la muestra es un estimador puntual de la media de la poblacin, por lo que si una tienda desean estimar la edad promedio de las personas que compran equipos de computacin, con tan solo tomar una muestra aleatoria de los compradores recientes pueden determinar la edad de la poblacin, por lo tanto la media de la muestra estima la media de la poblacin.Cuando el tamao de la muestra, n, es por lo menos de 30, generalmente se acepta que el teorema del lmite central asegurar una distribucin normal de las medias de las muestras. Esta consideracin es importante. Si las medias de las muestras tienen una distribucin normal, es posible usar la distribucin normal estndar, es decir, z, en nuestros clculos. Los intervalos de confianza de 95 y 99 por ciento se calculan de la siguiente forma cuando n es igual o mayor que 30.Intervalo de confianza de 95 % para una media

Intervalo de confieanza de 99 % para una media

1,96 y 2,58 son valores z que corresponden al 95 y 99% de las observaciones respectivamente, pero si lo que se desea es calcular un intervalo de confianza para una media la frmula es:

Intervalo de Confianza para una Proporcin de la Poblacin

La determinacin de un estimador puntual y de un de intervalo para una proporcin de la poblacin es similar a los mtodos que se describieron en la seccin anterior. Un estimador puntual para la proporcin de la poblacin se encuentra al dividir el nmero de xitos en la muestra entre el nmero que se muestreo. Por ejemplo, supongamos que 100 personas de las 400 que se muestrearon dijeron que les gustaba ms un nuevo refresco que otro, la mejor estimacin de la proporcin de la poblacin que favorece el nuevo refresco es 0.25 o 25% que resulta de dividir 100/400. La proporcin es la fraccin del nmero de xitos con relacin al nmero muestreado. Veamos su frmula:

(X xitos)=, donde:

X= nmero de xitos

N= tamao de la muestra

Cmo se calcula el intervalo de confianza para proporcin de la poblacin

Donde es el error estndar estimado de la proporcin

Estudios para determinar parmetrosCon estos estudios pretendemos hacer inferencias a valores poblacionales (proporciones, medias) a partir de una muestra.

Estimar una proporcin:Si deseamos estimar una proporcin, debemos saber:

a) El nivel de confianza o seguridad (1-a ). El nivel de confianza prefijado da lugar a un coeficiente (Za ). Para una seguridad del 95% = 1.96, para una seguridad del 99% = 2.58.

b) La precisin que deseamos para nuestro estudio.

c) Una idea del valor aproximado del parmetro que queremos medir (en este caso una proporcin). Esta idea se puede obtener revisando la literatura, por estudio pilotos previos. En caso de no tener dicha informacin utilizaremos el valor p = 0.5 (50%).

Ejemplo: A cuantas personas tendramos que estudiar para conocer la prevalencia de diabetes?

Seguridad = 95%; Precisin = 3%: Proporcin esperada = asumamos que puede ser prxima al 5%; si no tuvisemos ninguna idea de dicha proporcin utilizaramos el valor p = 0,5 (50%) que maximiza el tamao muestral:

donde:

Za 2 = 1.962 (ya que la seguridad es del 95%)

p = proporcin esperada (en este caso 5% = 0.05)

q = 1 p (en este caso 1 0.05 = 0.95)

d = precisin (en este caso deseamos un 3%)

Si la poblacin es finita, es decir conocemos el total de la poblacin y desesemos saber cuntos del total tendremos que estudiar la respuesta seria:

donde:

N = Total de la poblacin

Za2 = 1.962 (si la seguridad es del 95%)

p = proporcin esperada (en este caso 5% = 0.05)

q = 1 p (en este caso 1-0.05 = 0.95)

d = precisin (en este caso deseamos un 3%).

A cuntas personas tendra que estudiar de una poblacin de 15.000 habitantes para conocer la prevalencia de diabetes?

Seguridad = 95%; Precisin = 3%; proporcin esperada = asumamos que puede ser prxima al 5% ; si no tuviese ninguna idea de dicha proporcin utilizaramos el valor p = 0.5 (50%) que maximiza el tamao muestral.

Segn diferentes seguridades el coeficiente de Za vara, as:

Si la seguridad Za fuese del 90% el coeficiente sera 1.645

Si la seguridad Za fuese del 95% el coeficiente sera 1.96

Si la seguridad Za fuese del 97.5% el coeficiente sera 2.24

Si la seguridad Za fuese del 99% el coeficiente sera 2.576

Estimar una media:Si deseamos estimar una media: debemos saber:

El nivel de confianza o seguridad (1-a ). El nivel de confianza prefijado da lugar a un coeficiente (Za ). Para una seguridad del 95% = 1.96; para una seguridad del 99% = 2.58.

La precisin con que se desea estimar el parmetro (2 * d es la amplitud del intervalo de confianza).

Una idea de la varianza S2 de la distribucin de la variable cuantitativa que se supone existe en la poblacin.

Ejemplo: Si deseamos conocer la media de la glucemia basal de una poblacin, con una seguridad del 95 % y una precisin de 3 mg/dl y tenemos informacin por un estudio piloto o revisin bibliogrfica que la varianza es de 250 mg/dl

Si la poblacin es finita, como previamente se seal, es decir conocemos el total de la poblacin y desearamos saber cuantos del total tendamos que estudiar la respuesta sera:

(Tomado de http://www.fisterra.com/material/investiga/8muestras/8muestras.htm)

Error estndar la proporcin de la muestra

Es una medicin de la variabilidad de la distribucin muestral de las medias muestras. Se calcula por:

Error estndar de la media con desviacin estndar de la poblacin conocida

Donde:

= es el error de la media llamado tambin desviacin estndar de la distribucin muestra de medias

= es la desviacin estndar de la poblacin

n= es el tamao de la muestra

En la mayora de los casos se desconoce la desviacin estndar de la poblacin, por lo que se le estima por la desviacin estndar de la muestra, ello implica que en la frmula presentada anteriormente se reemplaza (desviacin estndar de la muestra) por s (desviacin estndar de la muestra). Vale la pena acotar que mientras ms mayor sea el valor de n el error en el muestreo es menorCaractersticas de un buen estimadorCuando se tiene una frmula para estimar y se aplica a una muestra aleatoria, el resultado es aleatorio, es decir los estimadores son variables aleatorias. Por ejemplo si se recibe un embarque de objetos que pueden: estar listos para usarse defectuosos. Podemos seleccionar al azar algunos de ellos para darnos una idea de la proporcin de defectuosos en el embarque. El parmetro de inters es la proporcin de defectuosos en toda la poblacin, pero lo que observamos es la proporcin de defectuosos en la muestra. El valor de la proporcin en la muestra es una variable aleatoria cuya distribucin est emparentada directamente con la binomial (si se tratara del nmero de defectuosos, sera binomial). Como cualquier variable aleatoria, el estimador tiene Distribucin de probabilidad. Valor esperado. Desviacin estndar / varianza. Valor esperado de un estimador y sesgoEl valor esperado de un estimador nos da un valor alrededor del cual es muy probable que se encuentre el valor del estimador. Para poner un ejemplo, si supiramos que el valor esperado de una estadstica es 4, esto significara que al tomar una muestra: No creemos que el valor de la estadstica vaya a ser 4. Pero tampoco creemos que el valor de la estadstica vaya a estar lejos de 4. Ya que es muy probable que el valor del estimador est cerca de su valor esperado, una propiedad muy deseable es que ese valor esperado del estimador coincida con el del parmetro que se pretende estimar. Al menos, quisiramos que el valor esperado no difiera mucho del parmetro estimado. Por esa razn es importante la cantidad que, tcnicamente llamamos sesgo. El sesgo es la diferencia entre el valor esperado del estimador y el parmetro que estima. Si el sesgo 0, se dice que el estimador es instigado y sta es una caracterstica buena para un estimador. Un estimador que es instigado tiene una alta probabilidad de tomar un valor cercano al valor del parmetro. Varianza de un estimadorOtra propiedad importante de un estimador es su varianza (o su raz cuadrada, la desviacin estndar). La importancia de la desviacin estndar es que nos permite darle un sentido numrico a la cercana del valor del estimador a su valor esperado. Entre menor sea la desviacin estndar (o la varianza) de un estimador, ser ms probable que su valor en una muestra especfica se encuentre mas cerca del valor esperado. Para aclarar esto, considere dos estimadores T1 y T2, suponga que ambos son instigados y suponga que la varianza de T1 es menor que la de T2 Qu quiere decir esto? Simplemente que en un entorno fijo del valor del parmetro, los valores de T1 son ms probables que los de T2. O sea que vamos a encontrar a T1 ms cerca del valor del parmetro que a T2. Esto hace que nuestras preferencias estn con T1. Cuando un estimador tiene una varianza menor que otro decimos que el estimador es ms eficiente. Clculo del tamao de la muestraA la hora de determinar el tamao que debe alcanzar una muestra hay que tomar en cuenta varios factores: el tipo de muestreo, el parmetro a estimar, el error muestral admisible, la varianza poblacional y el nivel de confianza. Por ello antes de presentar un caso sencillo de clculo del tamao muestral delimitemos estos factores. Para la MediaLa diferencia entre la media de la muestra y la media de la poblacin es un error muestral. Por lo tanto,

Por lo tanto, de all se despeja n para calcular el tamao de la muestra

Para una poblacin infinita

Para una poblacin finita

Para determinar el tamao de la muestra a partir de la distribucin muestral de la media se requiere conocer:

El nivel de confianza deseado, z

El error muestral permitido, e

La desviacin estndar,

Para la Proporcin

Para poblacin infinita, partiendo de la frmula z

. Se llega a:

Para poblacin finita hay que tomar en cuenta el factor de correccin,

En resumen:Parmetro. Son las medidas o datos que se obtienen sobre la poblacin.

Estadstico. Los datos o medidas que se obtienen sobre una muestra y por lo tanto una estimacin de los parmetros.

Error Muestral, de Estimacin o Standard. Es la diferencia entre un estadstico y su parmetro correspondiente. Es una medida de la variabilidad de las estimaciones de muestras repetidas en torno al valor de la poblacin, nos da una nocin clara de hasta dnde y con qu probabilidad una estimacin basada en una muestra se aleja del valor que se hubiera obtenido por medio de un censo completo. Siempre se comete un error, pero la naturaleza de la investigacin nos indicar hasta qu medida podemos cometerlo (los resultados se someten a error muestral e intervalos de confianza que varan muestra a muestra). Vara segn se calcule al principio o al final. Un estadstico ser ms preciso en cuanto y tanto su error es ms pequeo. Podramos decir que es la desviacin de la distribucin muestral de un estadstico y su fiabilidad.

Nivel de Confianza. Probabilidad de que la estimacin efectuada se ajuste a la realidad. Cualquier informacin que queremos recoger est distribuida segn una ley de probabilidad (Gauss o t de Student), as llamamos nivel de confianza a la probabilidad de que el intervalo construido en torno a un estadstico capte el verdadero valor del parmetro.

Varianza Poblacional. Cuando una poblacin es ms homognea la varianza es menor y el nmero de entrevistas necesarias para construir un modelo reducido del universo, o de la poblacin, ser ms pequeo. Generalmente es un valor desconocido y hay que estimarlo a partir de datos de estudios previos.

Unidad IIIPrueba de HiptesisObjetivo:

Aplicar con propiedad y de forma pertinente a situaciones administrativas la prueba de hiptesis

Contenidos:

Qu es una hiptesis

Qu es una prueba de hiptesis

Contraste de hiptesis

Paramtricas (Media aritmtica y proporcin)

Para una poblacin

Para dos poblaciones

Prueba de Hiptesis

Siempre las personas, en diversas oportunidades y circunstancias, hemos realizado afirmaciones considerando experiencias previas, conocimientos superficiales de algo, etc. Esas afirmaciones las llamamos hiptesis, y esas hiptesis pueden ser aceptadas o rechazadas; sin embargo en estadstica para poder aceptar o rechazar una hiptesis se deben realizar una serie de clculos que sustenten la veracidad o no de ese supuesto, para ello existe la prueba de hiptesis.

La prueba de hiptesis es un procedimiento mediante el cual se prueba estadsticamente si una hiptesis es verdadera o no. En esta unidad encontrars los pasos para realizar una prueba de hiptesis en funcin de la media aritmtica y la proporcin para una y dos poblaciones

UNIDAD III. PRUEBA DE HIPTESIS

Qu es una hiptesis?

Una hiptesis es una afirmacin acerca de un parmetro de la poblacin. Luego, se utilizan los datos para verificar que tan razonable es una afirmacin, en otras palabras, la hiptesis es el establecimiento de una tesis a la que con elementos estadsticos se le prueba la veracidad Las hiptesis estadsticas se pueden contrastar con la informacin extrada de las muestras y tanto si se aceptan como si se rechazan se puede cometer un error.

Qu es una Prueba de Hiptesis?

La prueba de hiptesis es un procedimiento en el cual se dan evidencias para afirmar o negar una hiptesis. El primer paso para realizar una prueba de hiptesis es estableciendo la afirmacin o suposicin sobre un parmetro de una poblacin, como por ejemplo la media. Una hiptesis podra ser que los estudiantes de una aldea de Misin Sucre invierten en promedio Bs. 2000 diarios en pasaje. Para comprobar la validez de la hiptesis , es preciso elegir una muestra de la poblacin (algunos estudiantes de la aldea planteada en la hiptesis) y preguntarles cuanto dinero invierten diariamente en pasaje, calcularle la media y aceptar o rechazar la hiptesis; supongamos que la media resulta ser de Bs. 1990, al ser una cifra tan cercana a2.000 se considera como vlida la hiptesis, ya que la diferencia de Bs. 10 puede deverse a un error de muestreo.

Procedimiento para probar una hiptesis

Existen cinco pasos que sistematiza una prueba de hiptesis, y cuando se llega al paso 5 se est listo para rechazar o aceptar la hiptesis. Veamos los pasos representados en el siguiente diagrama:

Paso 1: Plantear la hiptesis nula (H0) y la hiptesis alternativa (H1)

El primer paso consiste en plantear la hiptesis que se prueba, a la cual llamamos hiptesis nula, y se denomina H0, la letra mayscula H significa hiptesis, y el subndice cero supone sin diferencia. Por lo general, la hiptesis nula incluye un termino no que significa que no hay cambio. La hiptesis nula se rechaza o acepta, pero la hiptesis nula no se rechaza a menos que los datos de prueba proporcionen evidencias convincentes que es falsa.Se debe recalcar adems que si no se rechaza la hiptesis nula, con base en los datos de la muestra, no es posible decir que la hiptesis nula sea cierta. En otras palabras, la imposibilidad de rechazar la hiptesis nula no demuestra que H0 sea verdadera; significa que no fue posible de rechazar H0. Para demostrar la hiptesis nula sera necesario conocer el parmetro de la poblacin y recabar los datos con la poblacin en pleno; como eso es prcticamente imposible, la nica alternativa es tomar una muestra de la poblacin.

La hiptesis alternativa describe una conclusin a la que se llegar si se rechaza la hiptesis nula. Se escribe H1, el H sub1 tambin se le conoce como hiptesis de investigacin. La hiptesis alternativa se acepta si los datos de la muestra proporcionan suficiente evidencia estadstica de que la hiptesis nula es falsa.

Paso 2: Seleccionar el nivel de significancia

El nivel de significancia es designado con la letra alfa () del alfabeto griego, tambin se le conoce como nivel de riesgo, y ste quizs sea un termina ms apropiado, pues es este nivel es el riesgo que se asume al rechazar la hiptesis nula cuando de hecho es verdadera. No hay un nivel de significancia que se aplique a todas las pruebas, el investigador toma la decisin de utilizar cualquier valor entre 1 y 0, es decir, entre 0 y 10 por ciento.Por que se coment al inicio que el nivel de significancia se poda llamar tambin de riesgo, porque de acuerdo al nivel de significancia que se establezca se puede cometer el error de rechazar una hiptesis verdadera, observemos este ejemplo planteado por Lind, Mason y Marchal (2003):Suponga que una firma que fabrica computadoras personales utiliza una gran cantidad de tarjetas de circuitos impresos. Los proveedores concursan para abastecer las tarjetas y, a quien presenta la cotizacin ms baja, se le otorga un contrato considerable. Suponga tambin que el contrato especifica que el departamento de control de calidad del fabricante de las computadoras har un muestreo de todos los embarques de tarjetas de circuitos que reciba. Si ms del 6 por ciento de las tarjetas de la muestra estn por debajo de la norma, el embarque ser rechazado. La hiptesis nula es que los embarques de las tarjetas que se reciben contienen 6 por ciento o menos de tarjetas por debajo de la norma. La hiptesis alternativa es que est defectuoso ms del 6% de las tarjetas. El embarque de 50 tarjetas del lote que se recibi rebel que cuatro de ellas, es decir, un 8%, estaban por debajo de la norma, entonces la decisin de regresar las tarjetas al proveedor es correcta. Suponga que las 4 tarjetas seleccionadas en la muestra de 50 eran las nicas defectuosas en todo el embarque de 4.000 tarjetas. Entonces, slo 1/10 de 1 por ciento estaban defectuosas (4/4000=0,001). En ese caso, menos del 6% de todo el embarque estaba por debajo de la norma y el rechazo del mismo fue un error.

En la prueba de hiptesis anterior se rechaz la hiptesis nula cuando debi haberse aceptado, este error se denomina de tipo I y se le designa por la letra alfa (). La probabilidad de cometer otro de error llamado tipo II es designado con la letra beta ().AccinH0

Es verdaderaH0Es falsa

Acepto

H0Decisin correctaError tipo II

Rechazo

H0Error tipo I

Decisin correcta

Error tipo I: Rechazar una hiptesis verdadera.Error tipo II: No rechazar una hiptesis nula que es falsa

Paso 3: Calcular el estadstico de pruebaPara la prueba de hiptesis se utiliza Z como estadstica de prueba, a pesar de que existen muchas otras pruebas estadsticas. En la prueba de hiptesis para la media , la estadstica de prueba z se calcula por:

El valor z se basa en la distribucin de muestreo de

, que tiene una distribucin normal cuando la muestra es razonablemente grande con una media igual a y una desviacin estndar , que es igual a . As es posible determinar la diferencia entre y es importante desde el punto de vista estadstico, al encontrar cuantas desviaciones estndar separan a de , utilizando la formula de z.

Paso 4: Formular la regla de decisin

Una regla de decisin es una afirmacin de las condiciones bajos las que se rechaza la hiptesis la y bajo las que no se rechaza. El rea de rechazo define la ubicacin de todos aquellos valores que son tan grandes o tan pequeos que la probabilidad de que ocurran bajo una hiptesis nula verdadera es bastante remota. En el grfico que se muestra a continuacin el valor crtico es 1,65 es divide la zona de rechazo o aceptacin de la hiptesis

Los valores crticos determinan la zona de rechazo. Para hallarlos se divide entre dos el 95%. En la tabla z (revisar anexos), el rea de 0,95/2=0,4750 lo que indica un valor de 1.96. El 5% restante est distribuido entre las dos colas, son 2,5% en cada zona de rechazo. Es posible encontrar los valores crticos al otro lado de la cola:Paso 5: Tomar una decisin

Este ltimo paso consiste en decidir si rechazar o no la hiptesis nula. La regla de decisin es: No se rechaza la hiptesis nula si los valores z estn entre . Se rechaza si el valor z es menor que -1,96 o mayor que +1,96.Prueba de una o dos colas

Una prueba es de una cola cuando la hiptesis alterna, H1, establece una direccin, como:

H0 : el ingreso medio de las mujeres es menor o igual al ingreso medio de los hombres.

H1 : el ingreso medio de las mujeres es mayor que el de los hombres.

Distribucin de muestreo para el valor estadstico z, prueba de una cola, nivel de significancia de .05

Una prueba es de dos colas cuando no se establece una direccin especfica de la hiptesis alterna H1, como:H0: el ingreso medio de las mujeres es igual al ingreso medio de los hombres.H1: el ingreso medio de las mujeres no es igual al ingreso medio de los hombres.

Distribucin de muestreo para el valor estadstico z, prueba de dos colas, nivel de significancia de 0.05

Prueba para la media poblacional: muestra grande, desviacin estndar poblacional conocidaCuando se hace una prueba para la media poblacional de una muestra grande y se conoce la desviacin estndar, el estadstico de prueba est dado por:

Ejemplo:

Una cooperativa fabricante de salsa de tomate indican en su etiqueta que el contenido de la botella es de 16 onzas. Cada hora se toma una muestra de 36 botellas y se pesa el contenido. La muestra de la ltima hora tiene un peso medio de 16.12 onzas con una desviacin estndar de .5 onzas. Est el proceso fuera de control para un nivel de significancia de .05?

Paso 1: establezca la hiptesis nula y alterna

Paso 2: establezca la regla de decisin:

Paso 3: calcule el valor del estadstico de prueba: H0 se rechaza si z 1.96

Paso 4: decisin sobre H0: no se rechaza H0 porque 1.44 es menor que el valor crtico 1.96

Si se desconoce la desviacin estndar de la poblacin y el tamao de la muestra es n

Ejemplo en la cual se indica el procedimiento para la prueba de hiptesis (Tomado de monografas.com)

El jefe de la Biblioteca Especializada de la Facultad de Ingeniera Elctrica y Electrnica de la UNAC manifiesta que el nmero promedio de lectores por da es de 350. Para confirmar o no este supuesto se controla la cantidad de lectores que utilizaron la biblioteca durante 30 das. Se considera el nivel de significancia de 0.05

Datos:

Da UsuariosDa UsuariosDa Usuario

13561130521429

24271241322376

33871339123328

45101438024411

52881538225397

62901638926365

73201740527405

83501829328369

94031927629429

Se trata de un problema con una media poblacional: muestra grande y desviacin estndar poblacional desconocida.

Paso 01: Seleccionamos la hiptesis nula y la hiptesis alternativa

Ho: 350

Ha: 350

Paso 02: Nivel de confianza o significancia 95%

0.05

Paso 03: Calculamos o determinamos el valor estadstico de prueba

De los datos determinamos: que el estadstico de prueba es t, debido a que el numero de muestras es igual a 30, conocemos la media de la poblacin, pero la desviacin estndar de la poblacin es desconocida, en este caso determinamos la desviacin estndar de la muestra y la utilizamos en la formula reemplazando a la desviacin estndar de la poblacin.

Calculamos la desviacin estndar muestral y la media de la muestra empleando

Paso 04: Formulacin de la regla de decisin.

La regla de decisin la formulamos teniendo en cuenta que esta es una prueba de dos colas, la mitad de 0.05, es decir 0.025, esta en cada cola. el rea en la que no se rechaza Ho esta entre las dos colas, es por consiguiente 0.95. El valor critico para 0.05 da un valor de Zc = 1.96.

Por consiguiente la regla de decisin: es rechazar la hiptesis nula y aceptar la hiptesis alternativa, si el valor Z calculado no queda en la regin comprendida entre -1.96 y +1.96. En caso contrario no se rechaza la hiptesis nula si Z queda entre -1.96 y +1.96.

Paso 05: Toma de decisin.

En este ultimo paso comparamos el estadstico de prueba calculado Z = 2.38 y lo comparamos con el valor critico de Zc = 1.96. Como el estadstico de prueba calculado cae a la derecha del valor critico de Z, se rechaza Ho. Por tanto no se confirma el supuesto del Jefe de la Biblioteca.

Si el tamao de la muestra es n se utiliza la distribucin t de Student:

Prueba para dos medias de poblacinEn este caso se trabaja con las medias de poblaciones. El objetivo es probar si es razonable llegar a la conclusin de que las dos medias de la poblacin son iguales (y por lo tanto que las dos poblaciones tienen una media comn), o que la diferencia entre ambas medias de muestra es tan grande que se debera concluir que las medias de la poblacin no son iguales. Esto tiene muchas utilidades, por ejemplo sirve para un jefe de planta conocer el rendimiento promedio de los trabajadores del turno de la maana difiere al del los trabajadores del turno de la noche.En estos casos es necesario seleccionar muestras aleatorias de las dos poblaciones, calcular las medias de cada muestra y determinar si es razonable que ambas sean iguales. Para este caso se siguen igualmente los cinco pasos planteados pero habr una diferencia en la frmula para la estadstica z:

Ejemplo Prueba de hiptesis con dos poblaciones

(tomado de www.monografas.com)En el HMI Ramos Larrea, se realiz un estudio para comparar la efectividad de dos tratamientos diferentes para la diarrea aguda, se seleccionaron 15 nios de 1 a 2 aos de edad con diarrea aguda, fueron divididos en dos subgrupos, al subgrupo A se le dio como tratamiento SRO y al subgrupo B se le dio como tratamiento SRO+Cocimiento de arroz. Despus de tres das de tratamiento, se registr la frecuencia de evacuaciones de los nios. Los resultados fueron los siguientes:GRUPO A3434445

GRUPO B41231323

Proporcionan los datos evidencias suficientes que indique que la efectividad de los dos tratamientos no es la misma? Utilice un nivel de significacin de 0.05.

Solucin:

1. Planteamiento de hiptesis:

Ho: 1 = 2H1: 1 22. Nivel de significancia de: = 0.05

3. Prueba estadstica:

0,38El valor 0,38 se busca en la tabla de valores z dentro de la columna de valor de significacin de 0.05, ello nos da 0,6736, valor muy por encima de . Ahora con este dato revisamos la zona de rechazo para tomar la decisin.

Con los supuestos:

Las poblaciones se distribuyen normalmente

Las muestras han sido seleccionadas al azar.

Criterios de decisin:

Se rechaza la hiptesis nula (Ho), se acepta la hiptesis alterna (H1) a un nivel de significancia de = 0.05. La prueba resulto ser significativa. La evidencia estadstica no permite aceptar la hiptesis nula. La evidencia estadstica disponible permite concluir que probablemente existe diferencia entre los dos tratamientos empleados en casos de diarrea aguda.

Pruebas respecto de las proporcionesComo lo hemos venido trabajando para probar una hiptesis calculamos un valor z y lo comparamos con un valor crtico de Z con base al nivel de significancia seleccionado. El valor p para probar hiptesis es un mtodo alternativo en caso de variables discretas. El valor p tambin es aplicado a hiptesis de una cola o de dos colas. Un ejemplo de las hiptesis que podemos manejar con la prueba de proporcin son:

Los miembros de la Comisin Acadmica Nacional del plan deformacin Administracin informa que el 80% de los estudiantes certificados como Asistentes Administrativos entran al mercado laboral desempendose en actividades afines con su acreditacin. El representante de una importante cadena de farmacias afirma que la mitad de sus ventas se realizan por los autoservicios.Estas preguntas abarcan los datos de una escala nominal de mediacin, si recordamos Estadstica I esta escala se caracteriza por tener categoras sin un orden valor de jerarquizacin, por ejemplo la raza, la religin, etc.

Un ejemplo de proporcin es que 87 personas de 100 afirmaron tener mascotas en su casa. La proporcin de la muestra es 87/100=0,87 o 87%. Para probar una hiptesis sobre una proporcin de una poblacin se elige una muestra aleatoria de la poblacin que cumpla con las suposiciones binomiales explicadas. Esta prueba es apropiada cuando tanto np como n(1-p) son al menos de 5.n (n=tamao de la muestra, p=proporcin de la poblacin)Se establece el nivel de significancia y se procede a calcular el valor z

Prueba de hiptesis para una proporcin poblacional

, donde:

P es la proporcin de la poblacinp es la proporcin de la muestra

n tamao de la muestra

es el error estndar de la proporcin de la poblacin. Se calcula por

Prueba de hiptesis para una proporcin

Por ltimo se toma la decisin.Ejemplo:

Una encuesta aplicada en Caracas a 2.000 personas revel que 1550 de ellas realizas compras en los megamercados realizados quincenalmente a la Av. Bolvar. La proporcin de 0,775 (1550/2000=0.775) est bastante cerca de 0,80 para llegar a la conclusin de la mayora de la poblacin de Caracas compra sus alimentos en los megamercados con regularidad.Z es una estadstica de prueba normalmente distribuida cuando la hiptesis es verdad y las dems suposiciones tambin son verdaderas.

P es 0,775, la proporcin de la muestra

N es 2000, el nmero de encuestados

P es 0,80, la proporcin hipottica de la poblacin

El valor z -2,80 est en la zona de rechazo, de modo que la hiptesis nula queda rechazada en el nivel 0,05.Ejercicio:

Se dan las siguientes hiptesis

H0= p

H1=p>0.70

Una muestra de 100 observaciones revel que p=0.75. En el nivel de significancia de 0,05Es posible rechazar la hiptesis nula?Prueba para la Diferencia entre dos Proporciones PoblacionalesEn este tipo de pruebas interesa saber si dos proporciones de la poblacin son iguales. A continuacin se presentan algunos ejemplos:

Una cooperativa de ropa casual elabor un nuevo diseo de camisas para caballeros, el nuevo modelo se le mostr a un grupo de posibles compradores menores de 30 aos y a otros mayores de 60 aos. La cooperativa desea saber si existe diferencia en la proporcin de personas de ambos grupos a quienes les gusta el nuevo diseo.

Una aerolnea est investigando sobre el miedo a volar entre adultos, de forma especfica quieren saber si existe alguna diferencia significativa entre la proporcin de hombres y de mujeres.

Prueba de proporciones de dos muestras

Donde:

n1 es el nmero en la primera muestra

n2 es el nmero en la segunda muestra

p1 es la proporcin en la primera muestra que posee la caracterstica

p2 es la proporcin en la segunda muestra que posee la caracterstica

pc es la proporcin conjunta que posee la caracterstica en la muestra combinada, se calcula con la siguiente frmula:

Proporcin conjunta

Donde:

X1 es el nmero que posee la caracterstica en la primera muestra

X2 es el nmero que posee la caracterstica en la segunda muestraEjemplo

Una fbrica de perfumes desarrollo una nueva fragancia llamada Rojo. Varias pruebas indican que tiene una muy buena aceptacin en el mercado, sin embargo interesa saber si el perfume lo prefieren mujeres jvenes o maduras. Se tomar una muestra aleatoria de mujeres jvenes y maduras y se les realizar una prueba dndoles a oler varios perfumes entre ellos Rojo y se les piden que indiquen el que ms les guste. H0 no hay diferencia entre la proporcin de mujeres jvenes y maduras que prefieren Rojo. La hiptesis alterna es que ambas proporciones no son iguales.

Ho:

H1:

Seleccionemos el nivel de significancia, utilizaremos el 0.05n1: mujeres jvenes=100

X1: las que prefirieron Rojo=20

n2: mujeres maduras=200

X2: las que prefirieron rojo=100

La proporcin conjunta o ponderada

Observemos que la proporcin conjunta de 0.40 est ms cerca de 0.50 que de 0.20. Esto se debe a que el muestreo incluy ms mujeres maduras.

El valor z calculado de -5 est en el rea de rechazo, es decir, que la hiptesis de que es igual la proporcin de mujeres jvenes y maduras que prefieren Rojo se rechaza, por lo que se acepta la hiptesis alternativa.

Ejercicios: Realzalos y comprtelos con tu grupo de estudio y tu profesor asesor.1. De 150 adultos que probaron unos caramelos nuevos de sabor a durazno, 87 les parecieron muy buenos. De 200 nios a 123 les gustaron muchsimo. Utilizando un nivel de significancia de 0.10 se puede concluir que existe una diferencia significativa en la proporcin de adultos contra la de nios que consideran el nuevo sabor como excelente.

a. Cul es la hiptesis nula y la alternativa

b. Cual es la probabilidad de un error tipo I

c. Es una prueba de una o dos colas, por qu

d. Cual es el valor crtico

e. Debera rechazarse la hiptesis nula

2. Las hiptesis son: H0: y H1: . Una muestra de 200 observaciones de la primera poblacin indic que X1 es 170. Una muestra de 150 observaciones de la segunda poblacin revel que X2 es de 110. Use el nivel de significancia de 0.05 para probar la hiptesis.Unidad IVRegresin y CorrelacinObjetivo:

Interpretar el coeficiente de correlacin y determinacin con el propsito de obtener la relacin o variacin entre dos variables.

Contenidos:

Variables dependiente e independientes

Grfico de dispersin

Coeficiente de correlacin

Correlacin lineal

Coeficiente de determinacin

Modelo de anlisis de regresin lineal

Recta de mnimos cuadrados

Error estndar de estimacin

Regresin y Correlacin

La regresin y la correlacin son las dos herramientas estadsticas ms eficaces que se pueden utilizar para solucionar problemas comunes en la administracin por el hecho de que se emplean para identificar y cuantificar la relacin entre dos o ms variables.

El anlisis de regresin consiste en estimar el valor de la variable dependiente a partir de un valor conocido, el cual denominamos variable independiente a travs de la ecuacin de regresin. Existen dos tipos de anlisis de regresin el simple y el mltiple. El anlisis de regresin simple indica el valor de una variable dependiente estimado a partir de una variable independiente. Mientras que el anlisis de regresin mltiple se ocupa de la estimacin del valor de una variable dependiente con base a dos o ms variables independientes.

El anlisis de correlacin mide la magnitud de la relacin entre las variables. As podemos precisar que la regresin establece la relacin y la correlacin la amplitud de esa relacin.

UNIDAD IV. REGRESIN Y CORRELACIN

Variable Dependiente e Independiente

La palabra variable la asociamos con cambio, en estadstica denominamos variable a un dato que puede asumir cualquier valor, es decir, cambiante. Si seguimos utilizando la semntica, el significado de las palabra dependiente es algo que sucede como consecuencia de otro evento, e independiente por su parte es el antnimo, lo contrario a dependiente.

Considerando la exposicin previa, la variable independiente es aquella que ocurre sin control y la dependiente es un resultado de la independiente, la variable dependiente se mide, la independiente se manipula o controla. En regresin y correlacin como lo que se desea es conocer la relacin entre variables, la variable dependiente es la que se desea explicar mientras que la independiente es la variable explicativa. Se dice que una variable depende de la otra. Se puede decir que Y depende de X en donde Y y X son dos variables cualquiera. Esto se puede escribir as:

Y es una funcin de X =>

Debido a que Y depende de X, Y es la variable dependiente y X la variable independiente. Es importante identificar cual es la variable dependiente y cul es la variable independiente en el modelo de regresin. Esto depende de la lgica y de lo que el estadstico intente medir. Por ejemplo, si el coordinador de una aldea de Misin Sucre decide analizar la relacin entre las calificaciones de los estudiantes de estadstica II y el tiempo que pasan estudiando para dicha materia, al recolectar la informacin se puede presumir que las notas dependen de la cantidad y calidad del tiempo que los participantes dedican a estudiar; por lo tanto las notas son la variable dependiente y el tiempo de estudio la variable independiente.Ejercicio:A continuacin escribe cuatro casos en los cuales reflejes las variables dependiente e independiente:

CasoVariable dependienteVariable independiente

Cuando hayas hecho la actividad comprtela con tu grupo de estudio

Diagrama de Dispersin

Un diagrama de dispersin es una grfica en la que cada punto trazado representa un par de valores observados de las variables independiente y dependiente. El valor de la variable independiente X se identifica respecto del eje horizontal, mientras que el valor de la variable dependiente Y se identifica respecto del eje vertical.

Correlacin Lineal En ocasiones nos puede interesar estudiar si existe o no algn tipo de relacin entre dos variables aleatorias. Por ejemplo, podemos preguntarnos si hay alguna relacin entre las notas de la asignatura Estadstica I y las de Matemticas I. Una primera aproximacin al problema consistira en dibujar en el plano un punto por cada alumno: la primera coordenada de cada punto sera su nota en estadstica, mientras que la segunda sera su nota en matemticas. As, obtendramos una nube de puntos la cual podra indicarnos visualmente la existencia o no de algn tipo de relacin (lineal, parablica, exponencial, etc.) entre ambas notas. Otro ejemplo, consistira en analizar la facturacin de una empresa en un periodo de tiempo dado y de cmo influyen los gastos de promocin y publicidad en dicha facturacin. Si consideramos un periodo de tiempo de 10 aos, una posible representacin sera situar un punto por cada ao de forma que la primera coordenada de cada punto sera la cantidad en euros invertidos en publicidad, mientras que la segunda sera la cantidad en euros obtenidos de su facturacin. De esta manera, obtendramos una nube de puntos que nos indicara el tipo de relacin existente entre ambas variables. En particular, nos interesa cuantificar la intensidad de la relacin lineal entre dos variables. El parmetro que nos da tal cuantificacin es el coeficiente de correlacin lineal de Pearson r, cuyo valor oscila entre 1 y +1 :Correlacin de Pearson

Definicin. Creado por Kart Pearson en el siglo XIX, es una tcnica estadstica que permite evaluar el grado o nivel de relacin entre dos variables, en otras palabras, es una herramienta que permite evaluar en que medida el comportamiento de una variable dependiente se ve afectada por la accin directa de una variable independiente. Por ejemplo, si queremos establecer la razn del incremento de las ventas al detal en el mes de diciembre (variable dependiente), es muy probable que encontremos una correlacin elevada si la cruzamos con la variable independiente ingreso familiar. La correlacin lineal adquiere valores entre -1 y 1.

0= correlacin nula.

+1= Correlacin directamente proporcional perfecta

-1= Correlacin inversamente proporcional perfecta

Correlacin directamente proporcional.

La CDP se traduce en afirmar que a medida que aumenta la magnitud de la variable independiente, lo hace igualmente la magnitud de la variable dependiente, un ejemplo sencillo de ello lo encontramos si revisamos la correlacin entre las variables ingreso familiar y gasto en alimentacin, as, a medida que aumente el ingreso familiar, se espera un incremento en los gastos de alimentacin de una familia promedio. Se habla de una correlacin directamente proporcional perfecta cuando la formula de producto momento de Pearson da un resultado de 1, esto en la realidad nunca ocurre, (ver correlaciones espurias y variables extraas), ya que es muy difcil que el comportamiento de una variable se vea nicamente afectada por el comportamiento de otra, de all el auge que actualmente tiene la estadstica multivariada que estudia la correlacin entre una Vd y varias Vi.Grafico. Diagrama de Dispersin. r= +1

Correlacin inversamente proporcional.

La CIP indica, que a medida que el valor de una variable aumente, el valor de la otra disminuye, un ejemplo de esto lo encontramos si correlacionamos las variables altitud y concentracin de oxigeno, vemos as como a medida que aumenta la altitud, disminuye la concentracin de oxigeno en el aire, de all por ejemplo la dificultad con la que se respira en el pico Bolvar. Se habla de una correlacin inversamente proporcional perfecta cuando la formula de producto momento de Pearson da un resultado de -1, esto en la realidad nunca ocurre, (ver correlaciones espurias y variables extraas), ya que como en el caso de la correlacin directamente proporcional perfecta es muy difcil que una variable se vea nicamente influenciada por otra.

Grafico. Diagrama de dispersin. r= -1

Interpretacin de la CorrelacinEl coeficiente de correlacin como previamente se indic oscila entre 1 y +1 encontrndose en medio el valor 0 que indica que no existe asociacin lineal entre las dos variables a estudio. Un coeficiente de valor reducido no indica necesariamente que no exista correlacin ya que las variables pueden presentar una relacin no lineal como puede ser el peso del recin nacido y el tiempo de gestacin. En este caso el r infraestima la asociacin al medirse linealmente. Los mtodos no paramtrico estaran mejor utilizados en este caso para mostrar si las variables tienden a elevarse conjuntamente o a moverse en direcciones diferentes.La significancia estadstica de un coeficiente debe tenerse en cuenta conjuntamente con la relevancia clnica del fenmeno que estudiamos ya que coeficientes de 0.5 a 0.7 tienden ya a ser significativos como muestras pequeas. Es por ello muy til calcular el intervalo de confianza del r ya que en muestras pequeas tender a ser amplio. La estimacin del coeficiente de determinacin (r2) nos muestra el porcentaje de la variabilidad de los datos que se explica por la asociacin entre las dos variables.La correlacin elevada y estadsticamente significativa no tiene que asociarse a causalidad. Cuando objetivamos que dos variables estn correlacionadas diversas razones pueden ser la causa de dicha correlacin: a) pude que X influencie o cause Y, b) puede que influencie o cause X, c) X e Y pueden estar influenciadas por terceras variables que hace que se modifiquen ambas a la vez. El coeficiente de correlacin no debe utilizarse para comparar dos mtodos que intentan medir el mismo evento, como por ejemplo dos instrumentos que miden la tensin arterial. El coeficiente de correlacin mide el grado de asociacin entre dos cantidades pero no mira el nivel de acuerdo o concordancia. Si los instrumentos de medida miden sistemticamente cantidades diferentes uno del otro, la correlacin puede ser 1 y su concordancia ser nula.

Coeficiente de Correlacin

El coeficiente de correlacin es un grupo de tcnicas para medir la magnitud de la relacin entre dos variables, para ello se suele graficar todos los datos en un diagrama de dispersin

Para determinar el valor numrico del coeficiente de correlacin usamos la frmula siguiente

Donde:n: es el nmero de pares de observaciones

: es la suma de las variables X

: es la suma de las variables Y

(): es la suma de los cuadrados de la variable X

()2 : es la suma de las variables X elevadas al cuadrado() : es la suma de los cuadrados de la variable Y

()2: es la suma de las variables Y elevada al cuadrado

: es la suma de los productos de X y YSin embargo la correlacin que se halle entre dos variables puede deberse a una casualidad o un error de muestreo para verificar que esto no sea as se aplica una prueba de significanca del coeficiente de correlacin, esto se realiza calculando un valor t y aplicando la prueba de hiptesis, slo que en esta oportunidad utilizaremos la tabla de valores t (ver anexos) para verificar si la hiptesis plantead queda dentro o fuera del rea de rechazo.Prueba t para el coeficiente de correlacin

con n-2 grados de libertad

La regla de decisin para la prueba de hiptesis con un nivel de significancia de 0,05:

El Coeficiente de DeterminacinEl coeficiente de determinacin es una medida ms precisa, se obtiene elevando al cuadrado el coeficiente de correlacin. Es una proporcin de la variacin total de la variable dependiente Y que se explica por, o se debe a, la variacin en la variable independiente X.

Modelo de Anlisis de Regresin Lineal

Anlisis de RegresinEs un modelo matemtico para expresar la relacin entre dos variables y estima el valor de la variable dependiente Y basndonos en el valor de la variable independiente X.

Principio de los mnimos cuadradosEste mtodo proporciona un mejor ajuste y consiste en determinar la ubicacin de la lnea de regresin. Este principio es el mejor porque la suma de los cuadrados de las desviaciones verticales respecto de ella es la mnima. La forma general de la ecuacin de regresin es:

Donde:

Y: se lee Y prima, es el valor predictorio de la variable Y para un valor de X seleccionado.a: es la interseccin con el eje Y. Es el valor estimado de Y cuando X=0. Otra manera de expresar este es: a es valor estimado de Y donde la lnea de regresin cruza el eje Y cuando X es cero.

b: es la pendiente de la lnea, o el cambio de la lnea de regresin en Y por cada cambio en una unidad (ya sea aumentando o disminuyendo) de la variable independiente X.X: es el valor que se escoge para la variable independiente.

A los valores a y b de la ecuacin de regresin se les conoce como coeficientes estimados de regresin o coeficientes de regresin.

Pendiente de la lnea de regresin

Interseccin con el eje Y

Donde:X: es un valor de la variable independienteY: es un valor de la variable dependiente

n: es el nmero de elementos de la muestraError estndar de EstimacinEs una medida que describe que tan precisa es la prediccin de Y con la base en X o, inversamente, que tan inexacta puede ser la estimacin. El error estndar de estimacin se denota con la letra sx.y. La desviacin estndar mide la dispersin alrededor de la media; el error estndar de estimacin mide dispersin alrededor de la lnea de regresin.El error estndar se calcula mediante la ecuacin que presentaremos a continuacin. Sin embargo observemos que la ecuacin es muy parecida a la de desviacin estndar de la muestra, con la diferencia que

EMBED Equation.3 es sustituida por YError estndar de estimacin

O tambin podemos emplear la siguiente frmula:

Suposiciones la emplear el Anlisis de Regresin Lineal

a. Para cada valor X hay un grupo de valores Y, y estos valores Y estn distribuidos normalmente.b. Todas las medias de estas distribuciones normales de Y estn sobre la lnea de regresin.c. Las desviaciones estndar de estas distribuciones normales son iguales.d. Los valores de Y son estadsticamente independientes. Este significa que al seleccionar una muestra, el valor Y escogido para una X determinada no depende del valor de Y para ningn otra X.Respuestas

Ejercicio 1:

Clasifica los siguientes eventos:

a. El lanzamiento de dos monedas a la vez ________Independiente______________b. Que un vuelo de avin salga retrasado __ Mutuamente excluyente y Complementario

c. Que un beb sea varn __Mutuamente excluyente y colectivamente exhaustivod. Que la comida de hoy no quede salada __Mutuamente excluyente y Complementario

e. Que en la prxima temporada de bisbol Magallanes sea el campen Colectivamente exhaustivo

Ejercicio 2

Ejercicio 3

P= 0.4

Q= 0.6

N= 5

Realicemos el clculo de cada valor de R:

Para R= 0 obtenemos que: P(0) = 5!/ 0!(5-0)! (0.4 )0 (0.6)5, P(0) = 0.07776

Para R= 1 obtenemos que: P(1) = 5!/ 1!(5-1)! (0.4 )1 (0.6)4, P(1) = 0.2592

Para R=2 obtenemos que: P(2) = 5!/ 2!(5-2)! (0.4 )2 (0.6)3, P(2) = 0.3456

Para R= 3 obtenemos que: P(3) = 5!/ 3!(5-3)! (0.4 )3 (0.6)2 P(3) = 0.2304

Para R= 4 obtenemos que: P(4) = 5!/ 4!(5-4)! (0.4 )4 (0.6)1 P(4) = 0.0768

Para R= 5 obtenemos que: P(5) = 5!/ 5!(5-5)! (0.4 )5 (0.6)0, P(5) = 0.01024

Ejercicio 4:

Ejercicio 5"Salir a la pizarra", le damos el valor 1 y tiene una probabilidad del 0,10

"No salir a la pizarra", le damos el valor 0 y tiene una probabilidad del 0,9La media y la varianza de cada variable independiente es:

m = 0,10

s2 = 0,10 * 0,90 = 0,09Por tanto, la suma de las 100 variables se distribuye segn una normal cuya media y varianza son:

Media : n * m = 100 * 0,10 = 10

Varianza : n * s2 = 100 * 0,09 = 9Para calcular la probabilidad de salir a la pizarra ms de 15 veces, calculamos el valor equivalente de la variable normal tipificada:

Luego:

P (X > 15) = P (Y > 1,67) = 1 - P (Y < 1,67) = 1 - 0,9525 = 0,0475Es decir, la probabilidad de tener que salir ms de 15 veces a la pizarra a lo largo del curso es tan slo del 4,75%.

Bibliografa

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Webster, A. (2000) Estadstica Aplicada a los Negocios y a la Economa. Irwin-Mc Graw Hill: Santa f de Bogot, Colombia.ANEXOS

TABLA DE DISTRIBUCIN NORMAL TIPIFICADA N(0,1)

Manejo de Tablas. Casos Ms Frecuentes (Zonas de aceptacin o rechazo)

Distribucin t de Student

Nmero de veces que ha ocurrido el evento en el pasado

Nmero total de observaciones

Nmero de formas en las que puede ocurrir un evento

Nmero total de resultados posibles

Tipos de Probabilidad

Probabilidad

Objetiva

Modelo Clsico

Probabilidad

Modelo de Frecuencia Relativa

Modelo Subjetivo

A

Todos los estudiantes la clase

B

Todos los especialistas en economa

EMBED Equation.3 A interseccin de B

Especialistas en economa en la clase

2

3

4

5 6

El conjunto de los nmeros del 1 al 6, es el espacio muestral

U = {1,2,3,4,5,6}

Cada elemento dentro del conjunto es un punto muestral

El que aprende y aprende y no practica lo que aprende es como el que ara y ara y nunca siembra.

Platn

La distribucin normal de probabilidad es importante para la inferenci