Diapositiva 1

ESTADISTICA 1ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central/PromedioPromedioPoblacin Muestra Media PoblacionalEs la sumatoria de las observaciones que toma una variable dividido entre el total de stas

Se interpreta como el punto de equilibrio de una base de datos numricasMedia Muestral

30ESTADSTICADESCRIPTIVAPROPOSITOMETODOSINFERENCIALPROPOSITOMETODO TABULARES GRAFICOS NUMERICOSPROBABILISTICOQu es?... ESTADISTICA APLICADANociones GeneralesCaractersticas3Ciencia encargada de la Recoleccin, Manipulacin, Organizacin y Presentacin de informacin de manera tal que sta tenga una Confiabilidad determinadaESTADISTICA APLICADANociones Generales4 Poblacin NParmetros , 2, p, etcMuestra n=?EstadsticosEstadgrafosDeduccinTECNICAS DE MUESTREOINFERENCIAESTIMACIONESTADISTICA APLICADANociones Generales5ESTADISTICA APLICADANociones GeneralesMUESTRATiposProbabilsticaNo ProbabilsticaAzarArbitrariaMUESTREOProbabilsticoNo Probabilstico6POBLACIONESTADISTICA APLICADANociones GeneralesMUESTRAAtributoVariableCambiar Nombre Definicin Rango de Valores ClasificacinElementosTiposCualitativasCuantitativasCategorasDiscretasContinuas7ESTADISTICA APLICADANociones GeneralesVariable Nombre Definicin Rango de Valores ClasificacinElementosMedirseEscalas de MedicinNominalDe Razn+OrdinalDe Intervalo8ESTADISTICA APLICADAMtodos TabularesDESCRIPTIVAMETODOSTABULARESSea X y Y dos variables y sea x1, x2, xn y y1, y2, yn, valores que toman las variables X y Y, y sean a y b dos constantes. Entonces:SumatoriaPropiedadesx1 + x2 + x3 + xn y1 + y2 + y3 + yn

9ESTADISTICA APLICADAPropiedades de Sumatoria

10ESTADISTICA APLICADAMtodos Tabulares/Ordenamiento171818162115171920181618Edad (aos)Ordenndolo151616171718181818192021Edad (aos)Valores extremosValores mas frecuenteValores extremosDesventaja11ESTADISTICA APLICADACuadro de FrecuenciaEdad (aos)fifrFiaFra1518.318.316216.7325.017216.7541.718433.3975.01918.31083.32018.31191.72118.312100Total12100Cuadros de Frecuencia12ESTADISTICA APLICADACuadro de FrecuenciaLugar de realizacin del Diplomadon%Extranjero1913.87Universidad Objeto de Estudio8763.50Otras universidades 3122.63Total13710013ESTADISTICA APLICADACuadro de Frecuencia67.739.252.542.369.861.263.937.245.741.769.155.564.938.952.441.969.258.968.339.252.642.770.061.968.339.253.345.570.163.2Cuadro de FrecuenciaLa Estadstica ofrece otra alternativa Tablas de Frecuencias Absolutas y Relativas14ESTADISTICA APLICADATabla de FrecuenciaProcedimientoDefinir el Nmero de IntervalosK = 1 + 3.33* log nK = n

5 20 25Tipo de Intervalos (Li - LS]A = R/kR = Valor Mx.- Valor Mn.R` = AjustadaD= R`-RR` = Ac*K > R15ESTADISTICA APLICADATabla de FrecuenciaIntervalos de ClasesPMCfifrFiaFra37.1 a 42.639.8580.2780.2742.6 a 48.145.3530.10110.3748.1 a 53.650.8540.13150.5053.6 a 59.156.3520.07170.5759.1 a 64.661.8540.13210.7064.6 a 70.167.3590.3030130116ESTADISTICA APLICADAMtodos GrficosMtodos Grficos ClsicosDiagrama de PuntosHistogramaPolgono de FrecuenciasOjivaDiagrama de SectoresDiagrama de Tallo y Hojas17

DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS

Un diagrama donde cada valor de datos es dividido en una "hoja" (normalmente el ltimo dgito) y un "tallo" (los otros dgitos). Por ejemplo "32" sera dividido en "3" (tallo) y "2" (hoja).

Los valores del "tallo" se escriben hacia abajo y los valores "hoja" van a la derecha (o izquierda) del los valores tallo.

El "tallo" es usado para agrupar los puntajes y cada "hoja" indica los puntajes individuales dentro de cada grupo.

ESTADISTICA APLICADADiagrama de Sectores26ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia CentralMtodos Numricos Medidas de Tendencia Central Medidas de DispersinLocalizan el centro de una base de datos numricasCuantifican cunto se dispersan los datos de una medida de tendencia central28ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia CentralMedidas de Tendencia CentralPromedio ModaMedia PonderadaMediana29Tiempo (minutos)52.638.968.367.263.964.968.339.242.361.9567.556.75SumaPromedioDesviaciones

-4.15-17.8511.5510.457.158.1511.55-17.55-14.455.150SumaPropiedadESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central

31ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia CentralMedia en datos tabuladosSi la tabla no presenta clases abierta es posible hacer una estimacin de la media tomando en cuenta lo siguiente: PMC es el promedio de las observaciones de las observaciones que caben dentro del intervalos. PMC*fi proporciona una estimacin de la suma de las observaciones que caben en el intervalo y como una tabla tiene k-simo intervalos entonces:

32ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central

Intervalos de ClasesPMCfi37.1 a 42.639.85842.6 a 48.145.35348.1 a 53.650.85453.6 a 59.156.35259.1 a 64.661.85464.6 a 70.167.35930PMC*fi

318.8136.05203.4112.7247.4606.151624.5 1624.5 = = 54.15 30

33ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia CentralCargofi (wi)Salario (xi)Rector12000Asesores21200Vic. Acadmico11150Vic. Administrativo11250Jefe de Carrera C.S21000Jefe de Carrera5800Administrativo2600Secretarias9120Xiwi

2000240011501250200040001200108015080

15080 = = 655.65 23

35ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia CentralTiempo (minutos)38.939.242.352.661.963.964.967.268.3Tiempo (minutos)38.939.242.352.661.963.964.967.268.3n es imparMeMe = xn/2 + 0.537ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia CentralTiempo (minutos)38.939.242.352.661.963.964.967.268.368.3Tiempo (minutos)38.939.242.352.661.963.964.967.268.368.3n es parMe = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2 61.9 + 63.9Me = = 62.9 262.9Mediana es aquella medida de tendencia central que antes y despus de ella no existe ms del 50% de la informacin 38ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central (b-a)(0.5- c)Me = a + da = Lmite inferior de la clase de la Meb = Lmite superior de la clase de la Mec = Fra una clase antes de la clase de la Me (Nj-1)d = fr de la clase de la MeClase de la Mediana Complete la columna Fia Localice la menor Fia > n/2 La clase a la que pertenece esta frecuencia es la clase de la mediana (Nj) La Clase antes de Nj es Nj -1 39Intervalos de ClasesPMCfifrFiaFra37.1 a 42.639.8580.2780.2742.6 a 48.145.3530.10110.3748.1 a 53.650.8540.13150.5053.6 a 59.156.3520.07170.5759.1 a 64.661.8540.13210.7064.6 a 70.167.3590.30301ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central (b-a)(0.5- c)Me = a + da = Lmite inferior de la clase de la Meb = Lmite superior de la clase de la Mec = Fra una clase antes de la clase de la Me (Nj-1)d = fr de la clase de la Men = 30 n/2 = 15Nj = 17 (53.6 59.1)Nj- 1 = (48.1 53.6) (59.1-53.6)(0.5- 0.5)Me = 53.6 + = 53.6 0.07Ubicacin de la clase de la Me40ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central (ficmo- ficpremo)Mo = Licmo + Acmo (ficmo-ficpremo) + (ficmo ficpostmo)Donde:Licmo: Lmite inferior de la Clase ModalAcmo: Ancho de clase de la Clase ModalFicmo: Frecuencia absoluta de la Clase ModalFicpremo: Frecuencia absoluta de la Clase PremodalFicpostmo: Frecuencia absoluta de la Clase PostmodalClase Modal es la (s) que tiene(n) la mayor (es) fi 42Intervalos de ClasesPMCfi37.1 a 42.639.85842.6 a 48.145.35348.1 a 53.650.85453.6 a 59.156.35259.1 a 64.661.85464.6 a 70.167.359ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central (ficmo- ficpremo)Mo = Licmo + Acmo (ficmo-ficpremo) + (ficmo ficpostmo) (9 - 4)Mo = 64.6 + 5.5 = 66.56 (9 - 4) + (9 0)43

ESTADISTICA APLICADA Deformacin de Curvas Unimodales44ESTADISTICA APLICADA Deformacin de Curvas UnimodalesAsimetra Asimetra NegativaAsimetra PositivaCurvas Simtricas > Me > Mo

< Me < Mo

= Me = Mo

45MEDIDAS DE DISPERSIONDESVIACIN MEDIAPara conocer con un solo indicador que tan disperso se encuentran un conjunto de datos a un punto de concentracin, debemos como primera medida, calcular la distancia de cada dato respecto a una medida de tendencia central.

ESTADISTICA APLICADAMedidas de DispersinRango Rango = Valor Mximo Valor MnimoVarianza Poblacin ( )Muestra (S)Es el promedio de las desviaciones al cuadrado de las observaciones que toma una variable respecto a su media

49ESTADISTICA APLICADAMedidas de Dispersinxi(Desviaciones)252.617.222538.9318.622568.3133.402567.2109.202563.951.122564.966.422568.3133.402539.2308.002542.3208.802561.926.5225Sumatoria567.51372.725Promedio56.75

1372.725S = = 152.525mi/est 10 - 1 DesventajaDesviacin TpicaS = SS = 152.525 = 12.35 min/est Interpretacin x S 56.75 12.35 min/est.50ESTADISTICA APLICADAIntervalos de ClasesPMCfi37.1 a 42.639.85842.6 a 48.145.35348.1 a 53.650.85453.6 a 59.156.35259.1 a 64.661.85464.6 a 70.167.359

Si la tabla no presenta clases abierta es posible hacer una estimacin de la varianza de la siguiente forma:51ESTADISTICA APLICADA Medidas de DispersinIntervalos de ClasesPMCfi37.1 a 42.639.85842.6 a 48.145.35348.1 a 53.650.85453.6 a 59.156.35259.1 a 64.661.85464.6 a 70.167.359PMC*fi

PMC2*fi

318.812704.18136.056169.8675203.410342.89112.76350.645247.415301.69606.1540824.2031624.591693.475

52ESTADISTICA APLICADAMedidas de DispersinTodas las medidas de dispersin expuestas anteriormente son dimensionales (toman las unidades de medidas de las variables)Existe otra medida de dispersin pero adimensional llamadas Coeficiente de Variacin o Dispersin Relativa

53ESTADISTICA APLICADAMedidas de DispersinLas medidas de dispersin cuantifican cunto se dispersan los datos alrededor de una medida de tendencia central, pero, Para donde se desvan los datos?, a la izquierda de la media, a la derecha o se distribuyen simtricamente.Existen otras medidas aplicable solo a curvas unimodales que tratan de las deformacin de curvas tanto de forma horizontal como vertical54KURTOSIS

lacurtosises una medida de la forma. As, las medidas de curtosis tratan de estudiar la proporcin de la varianza que se explica por la combinacin de datos extremos respecto a la media en contraposicin con datos poco alejados de la misma. Una mayor curtosis implica una mayor concentracin de datos muy cerca de la media de la distribucin coexistiendo al mismo tiempo con una relativamente elevada frecuencia de datos muy alejados de la misma. Esto explica una forma de la distribucin de frecuencias con colas muy elevadas y un con un centro muy apuntado.ESTADISTICA APLICADA Deformacin de Curvas UnimodalesCurtosisCurva PlaticrticaCurva LeptocrticaCurva MesocrticaKur > 3Kur < 3 Kur = 3

56ESTADISTICA APLICADARegresin Lineal SimpleYX1X2...

XiEn el desarrollo de los eventos, puede ser que una variable sea afectada por el comportamiento de otra (s) variable (s)Es de inters poder cuantificar este tipo de relacin de manera que se pueda predecir una variable en funcin de otraEn Regresin Lineal Simple es de inters cuando una variable afecta el comportamiento de otra variableY: Variable DependienteX: Variable IndependienteY = f(X)Propsito de la R.L.S: Prediccin57Curtosis.Mesocrticos, con valores medianos para el coeficiente.Platicrticos, con valores pequeos para el coeficiente.Las siguientes figuras muestran grficamente los tres tipos de curvas de acuerdo a la definicin anterior:Elcoeficiente decurtosismide cuan 'puntiaguda' es una distribucin respecto de un estndar. Este estndar es una forma acampanada denominada 'normal', y corresponde a una curva de gran importancia en estadstica.El coeficiente de curtosis est definido por:De acuerdo a su valor, la 'puntudez' de los datos puede clasificarse en tres grupos:Leptocrticos, con valores grandes para el coeficiente.

LeptocrticaPlaticrticaMesocrtica

Una curva Mesocrtica tiene un Coeficiente de Curtosis cercano a cero. Una Leptocrtica, un valor notoriamente mayor que cero y una Platicrtica valores menores que cero.ESTADISTICA APLICADA Regresin Lineal SimplePor anlisis de regresin se entiende al conjunto de mtodos estadsticos que tratan con la formulacin de modelos matemticos que describen la relacin entre variables y el uso de estas relaciones modeladas con el propsito de predecir e inferir.Por Regresin Lineal Simple se entiende Supuestos del Anlisis de Regresin Lineal SimpleY es una variable aleatoria cuya distribucin probabilstica depende de XModelo de la Lnea RectaHomogeneidad de VarianzaNormalidadIndependencia60ESTADISTICA APLICADA Regresin Lineal Simple/Diagrama de DispersinLlamado tambin Ploteo de Datos, tiene como propsito mostrar la posible tendencia (en caso de existir) entre las variables X y Y.Consiste en llevar los pares de valores x, y a un sistema de coordenadas (bidimensional)YX(x, y)61Rango de Sueldo (X)Inasistencias (Y)11181017829536911926728335111482073223991682663134062ESTADISTICA APLICADA Regresin Lineal Simple/Diagrama de Dispersin63ESTADISTICA APLICADA Regresin Lineal Simple/Mtodos de Mnimos CuadradosEl supuesto No 2 de RLS plantea que de existir una relacin entre X y Y, sta es una lnea recta, por lo tanto se puede pensar en una ecuacin de la siguiente forma:De tal manera que se llegue a obtener una ecuacin de la siguiente naturaleza:

ParmetrosEstimacin64ESTADISTICA APLICADA Regresin Lineal Simple/Mtodos de Mnimos Cuadrados

Uso de la Tcnica de Mnimos Cuadrados (Carl Gauss)A partir de muestras (x1, y1), (x2, y2), (xi, yi) de las variables X y Y, se trata de obtener los estimadores . Para ello la Tcnica de Mnimos Cuadrados minimiza la suma de cuadrado de las distancias entre los valores observados y los estimados de tal manera que :

65YX

ESTADISTICA APLICADA Regresin Lineal Simple/Recta de Estimacin

Estimada una vez la recta de Prediccin y teniendo en cuenta que el propsito de la R.L.S es la prediccin, se hace necesario estar seguro que la ecuacin estimada es capaz de predecir.Por esta razn es necesario validar la ecuacin estimada67ESTADISTICA APLICADA Regresin Lineal Simple/Validacin de la Recta de EstimacinValidacinClculo de Coeficiente de Determinacin RAnlisis de Varianza de la Regresin ANARECuantifica la cantidad de la variabilidad de Y que puede ser explicada por XR 70%

68ESTADISTICA APLICADA Regresin Lineal Simple/Validacin de la Recta de Estimacin/ANAREPor anlisis de Varianza se entiende, de forma general, a la particin de la variacin total en fuente de variacin conocida que en el caso de R.L.S son de acuerdo al siguiente modelo aditivo lineal:

xi= Variacin debida a Regresini = Variacin debida al ErrorFVglSCCMFcFt (Pr>F)Regresin1SCRegresinCMRegresinCMRegresin/CMErrorErrorn-2SCErrorCMErrorTotaln.1SCTotales

Regla de DecisinNRHo : Fc FtRHo : Fc > Ft69ESTADISTICA APLICADA Correlacin Lineal SimpleAs como existen tcnicas que cuantifican los cambios de una variable dependiente por un nico cambio de la variable independiente, existen tcnicas que cuantifican la asociacin lineal entre dos variables, esta tcnica es llamada Correlacin Lineal Simple que se exprese como el coeficiente de correlacin (r)Este coeficiente indica el sentido de la asociacin como tambin la magnitud de sta, partiendo del hecho que el coeficiente de correlacin lineal simple toma valores en el rango de: r es -1 r 1. Entre ms se acerca a 1 el valor de r mayor es la asociacin entre dichas variables.70ESTADISTICA APLICADA Correlacin Lineal Simple-1 r < -0.8Asociacin fuerte y negativa0 r < 0.4No hay asociacin-0.8 r < -0.4Asociacin dbil y negativa0.4 r < 0.8Asociacin dbil y positiva-0.4 r 0 No hay asociacin0.8 r 1Asociacin fuerte y positiva71ESTADISTICA APLICADA Correlacin Lineal Simple

72ESTADISTICA APLICADA Correlacin Lineal SimpleRegresin Lineal SimpleCorrelacin Lineal SimpleMide la cantidad de cambios en Y por un nico cambio en X.Mide asociacin lineal entre dos variablesExiste una variable dependiente y otra independienteEs indistinto x, y y, x1 puede tomar cualquier valor en la recta numricaEl coeficiente de correlacin toma valores en el intervalo -1 r 173ProbabilidadPROBABILIDADESExperimentos AleatoriosEspacio Muestral,Eventos y SucesosTipos de Experimentos AleatoriosRelaciones entre EventosEnfoques de Probabilidad/Teoremas Bsicos de Probabilidad Eventos Dependientes/Independientes Probabilidad Total/Teorema de Bayes74ExperimentosDeterminsticosNo DeterminsticosSus resultados se conocen con anticipacin sin necesidad de realizar el experimentoSus resultados se conocen una vez que el experimento ha finalizadoEs un proceso planificado a travs del cual se obtiene una observacin (o una medicin) de un fenmenoSe pueden describir los posibles resultados pero no se puede decir cul de ellos ocurrir Experimentos AleatoriosSon experimentos no determinsticos cuyos resultados estn regidos por el azarPROBABILIDADES75Supngase que se lanzan dos monedas legales al mismo tiempo y que a una cara de cada moneda se la llama Cara a la otra Sol entonces:={CC, CS, SC, SS}Supngase ahora que se lanza un dado legal. Entonces:={1, 2, 3, 4, 5, 6,}Experimentos AleatoriosSon aquellos experimentos no determinsticos cuyos resultados estn regidos por la casualidad (azar)PROBABILIDADES76M = {CC, CS, SC, SS}O bien en el caso del lanzamiento del dadoM = {1, 2, 3, 4, 5, 6,}Espacio Muestral Retomando el caso del lanzamiento de las dos monedas, hay otro posible resultado en este experimento?.Son todos los resultados que estn asociados a un experimento aleatorioSupngase que el lanzamiento del dado se est interesado en la ocurrencia de una cara imparA = {1,3,5}EventoEs subconjunto del espacio muestral, es decir, sus resultados pertenecen al espacio muestralPROBABILIDADES77Espacio MuestralEvento213456MASuceso (wi)Letras Maysculas del AlfabetoA= (wiA /wi MPROBABILIDADES78ExperimentosAleatoriosSimplesCompuestosUn solo experimento aleatorioCuando ocurren dos o ms experimentos simples al mismo tiempo o bien uno despus del otroUnidos por la partcula (v)Unidos por la partcula y ( )

Los experimentos simples que lo componen ocurren de forma sucesiva Los experimentos simples que lo componen ocurren al mismo tiempoM = {M1M2Mi} M = {M1UM2UMi} PROBABILIDADES79ExperimentosAleatoriosSimplesCompuestosUn solo experimento aleatorioCuando ocurren dos o ms experimentos simples al mismo tiempo o bien uno despus del otroM = {1, 2, 3, 4, 5, 6,}M = {CC, CS, SC, SS}PROBABILIDADES80M2M1CSCCCCSSSCSSM3M1*M2CSCCCCCCCSCSCSCCSSSCSCCSCSSSSSCSSSExperimentos compuestos unidos por la partcula yEl espacio muestral es el producto cartesiano de los espacios muestrales simples que lo conformanPROBABILIDADES81Experimentos compuestos unidos por la partcula yC

SC

SC

SC

SCSCSC

SMCCC

CCSCSC

CSSSCCSCSSSC

SSSDiagrama del rbolDiagrama de Senderos1ra Moneda2da Moneda3era MonedaPROBABILIDADES82De acuerdo a cmo ocurren los eventos se pueden establecer algunas relaciones entre ellos tales como:AUBABMAUBABMABABMMAAPROBABILIDADES83Enfoques de ProbabilidadesClsicoFrecuencia RelativaProbabilidad A priori. Llamada Tambin Probabilidad de LaplaceProbabilidad A posterioreSubjetivoPROBABILIDADES84ProbabilidadClsicaSupuestoFrecuencia RelativaProbabilidad A posterioreSubjetivoTodos los sucesos de un experimento aleatorio tienen la misma posibilidad de ocurrir, entonces:

Si en la realizacin de experimento aleatorio aparece un evento A n veces N,entonces:

PROBABILIDADES85Teoremas Bsicos de ProbabilidadesP[AUB] = P [A] + P [B]P[AUB] = P [A] + P [B] P[AB]P[] = 0P[M] = 1

PROBABILIDADES86Cuando la ocurrencia de un evento est en dependencia de otro evento, se dice que ste es dependiente.Sea A y B dos eventos en el espacio muestral M, se dice que A es un evento dependiente de B s; o bien:

Estas probabilidades se pueden calcular de dos formas: Respecto al espacio muestral original Respecto al espacio muestral del evento condicionante

PROBABILIDADESEventos Dependientes87En una institucin de Educacin Superior se tiene 300 docentes, de los cuales 100 son casados y 30 divorciados. En dicha institucin hay 200 hombres, 85 de los cuales son casados y 95 son solteros. Determinar cual es la probabilidad de seleccionar un docente al azar:a. Que sea mujerb. Que sea soltero (a)c. Que sea un hombre y est casado (a)d. Que sea una mujer divorciadae. Dado que el docente es casado (a), cul es la probabilidad que sea hombre?f. Si el docente seleccionado es hombre, cul es la probabilidad que sea casado?PROBABILIDADES88En una universidad el 70% de los estudiantes son de Ciencias, 30% de Letras. De los estudiantes de Ciencias el 60% son varones y los de Letras son varones el 40%. Si se elige al azar un estudiante, calcule la probabilidad que:a. Sea mujerb. Se estudiante varn dado si es de Cienciasc. Sea estudiante de Ciencias dado que es varnd. Sea estudiante de Ciencias y varn.PROBABILIDADES89Cuando la ocurrencia de un evento no est en dependencia de la ocurrencia de otro evento, se dice que stos son independientes.Sea A y B dos eventos en el espacio muestral M, se dice que A es un evento independiente de B s se cumple con cualquiera de las siguientes condiciones:

PROBABILIDADESEventos Independientes90Sea A1, A2, , Ak, eventos que forman una particin del espacio muestral M y sea B, un evento en M. Si las probabilidades P[A1], P[A2], P[A3], P[Ak], si P[B/A1], P[B/A2], P[B/A3], P[B/Ak] son probabilidades conocidas entonces:

Probabilidad Total =

PROBABILIDADESProbabilidad Total91Sea A1, A2, , Ak, eventos que forman una particin del espacio muestral M y sea B, un evento en M. Si las probabilidades P[A1], P[A2], P[A3], P[Ak], si P[B/A1], P[B/A2], P[B/A3], P[B/Ak]. Si B ya ha ocurrido y se est interesado en saber a cual de los eventos que forman la particin muestral se ha debido su ocurrencia, entonces se usa el denominado Teorema de Bayes

PROBABILIDADESTeorema de Bayes92