1

Estadística Administrativa IPeríodo 2014-2

DIAGRAMA DE ÁRBOLTEOREMA DE BAYES

2

Diagrama de árbol

Especial para generar probabilidades conjuntas con la regla general de la multiplicación.

3

Diagrama de árbol

Son figuras que se distribuyen desde un punto común y se van generando ramas de acuerdo con la información proporcionada. Son útiles al organizar datos que vienen en una tabla de contingencia y se desean calcular las probabilidades conjuntas.

El diagrama se genera dependiendo del número de variables que se estén manejando en el estudio que se está realizando.

4

Ejemplo 1…En una escuela mixta, para participar en dos concursos sobre oratoria, se han definidos dos grupos, los que son mayores de 8 años y los que no lo son. Además, los grupos se distribuirán por sexo.

Construir el diagrama de árbol.La Flor

Niñas

Menores de 8 años

Mayores de 8 años

Niños

Menores de 8 años

Mayores de 8 años

5

Ejemplo 2…En una tienda de ropa, durante el año pasado, se vendió el producto que se trajo de Estados Unidos y los resultado fueron:

Construir el diagrama de árbol.

TIPO DE ROPA

MASCULINO FEMENINO

NIÑOS 875 1024ADULTOS 720 900

Tienda

Niños

Masculino875

Femenino1024

Adultos

Masculino720

Femenino900

6

Ejemplo 2…En una tienda de ropa, durante el año pasado, se vendió el producto que se trajo de Estados Unidos y los resultado fueron:

Construir el diagrama de árbol.

TIPO DE ROPA

MASCULINO FEMENINO

NIÑOS 875 1024ADULTOS 720 900

Tienda

Niños1899

Masculino875

Femenino1024

Adultos1620

Masculino720

Femenino900

7

Ejemplo…3Se aplicó una encuesta en el centro comercial “La Musiquera” para conocer las preferencias de los visitantes en la compra de zapatos infantiles, la encuesta se aplicó para dos marcas, obteniendo una muestra de 300 familias con los siguientes resultados.

MARCA NIÑOS NIÑAS TOTALOshKosh 90 85 175Stride Rite 55 70 125Tajadas 29 90 300

Construir el diagrama de árbol y determinar las probabilidades conjuntas en base a su probabilidad condicional

8

… Ejemplo Diagrama de árbol

9

Ejemplo…

El 5% de la población de Umen, un país ficticio del tercer mundo, tiene una enfermedad propia del país. La probabilidad de que un habitante tenga la enfermedad es de 0.05; existe una técnica de diagnóstico que no es muy precisa.

Se han hecho estudios de su efectividad y se ha descubierto que la probabilidad de que un habitante elegido al azar tenga la enfermedad después de haber hecho el examen es de 0.9 y que la probabilidad de que no la tenga, aunque se haya hecho la prueba es de 0.15.

10

… EJEMPLO Diagrama de árbol

11

Teorema de BayesFórmula creada por un reverendo para saber matemáticamente si Dios existe.

12

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes es una fórmula desarrollado por el Reverendo Thomas Bayes, un ministro presbiteriano que tenía interés en demostrar, matemáticamente que Dios existía, basándose en la información que veía en la tierra.

Más tarde, Pierre-Simon Laplace perfeccionó el trabajo y lo aplicó a asuntos más terrenales.

13

Teorema de Bayes

Sea B un evento simple y A1 y A2 eventos que son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, el teorema de Bayes calcula la probabilidad de que el evento A1 ocurra, dado que el evento B ya ocurrió. 

14

Ejemplo…A está formado por dos eventos y B es un evento simple, suponer:

P(A1)= 0.05, P(B/A1)=0.80,

P(A2)=0.95 P(B/A2)= 0.50

Calcular P(A1/B).

0.0776699=0.078

La probabilidad es de 0.078

15

… EjemploDiagrama de árbol:

La probabilidad es de 0.078

16

… EjemploTabla de contingencia

17

Ejemplo…

Los trabajadores despedidos que se volvieron empresarios porque no encontraron empleo en otra empresa se conocen como “empresarios por necesidad”.

El Wall Street Journal reporta que estos empresarios tienen menos posibilidad de crecimiento en los grandes negocios que los “empresarios por elección”.

Este artículo establece que el 89% de los empresarios en USA lo son por elección y que el 11% son empresarios por necesidad.

18

… Ejemplo

Solo el 2% de los empresarios por necesidad esperan que su nuevo negocio dé empleo a 20 o más personas dentro de los siguientes cinco años, mientras que el 14% de los empresarios por elección esperan emplear por lo menos a 20 personas dentro de los siguientes cinco años.

Si se selecciona al azar a un empresario y éste espera que su nuevo negocio emplee a 20 o más personas dentro de los siguientes 5 años. ¿Cuál es la probabilidad de que esté individuo sea un empresario por elección?

19

… Ejemplo

A1 : Empresarios por elección P(A1) = 0.89

A2 : Empresarios por necesidad P(A2) =0.11B : Esperanza de crecer

B1 : Espera crecer

B2 : No espera crecer

P(B/A1) = 0.14

P(B/A2) = 0.02

¿P(A1/B)?

20

… Ejemplo

21

… EjemploEvento

Probabilidad simple

Procabilidad condicional

probabilidad conjunta

Empresario por elección  (A1) 0.89 0.14 0.1246Empresario por necesidad (A2) 0.11 0.02 0.0022

0.1268 

 𝑃ቀ𝐴1 𝐵ൗ�ቁ= 𝑃ሺ𝐴1ሻ𝑃ቀ𝐵 𝐴1ൗ� ቁ𝑃ሺ𝐴1ሻ𝑃ቀ𝐵 𝐴1ൗ� ቁ+𝑃ሺ𝐴2ሻ𝑃ቀ𝐵 𝐴2ൗ� ቁ 

𝑃(𝐴1 𝐵ൗ�) = ሺ0.89ሻሺ0.14ሻሺ0.89ሻሺ0.14ሻ+ሺ0.11ሻሺ0.02ሻ 

𝑃(𝐴1 𝐵ൗ�) = 0.12460.1268 = 0.9826 

22

Ejemplo…

El 5% de la población de Umen, un país ficticio del tercer mundo, tiene una enfermedad propia del país. La probabilidad de que un habitante tenga la enfermedad es de 0.05.

Existe una técnica de diagnóstico que no es muy precisa. Se han hecho estudios de su efectividad y se ha descubierto que la probabilidad de que un habitante elegido al azar tenga la enfermedad después de haber hecho el examen es de 0.9 y que la probabilidad de que no la tenga, aunque se haya hecho la prueba es de 0.15.

23

… EjemploElija al azar a una persona de Umen y aplique la prueba. Los resultados de la prueba indican que la enfermedad está presente.

¿Cuál es la probabilidad de que la persona en realidad padezca la enfermedad?

24

… EjemploDiagrama de árbol:

25

… Ejemplo

𝑃 ( 𝐴1

𝐵 )=𝑃 (𝑃𝑎𝑑𝑒𝑐𝑒 𝑙𝑎𝑒𝑛𝑓𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑎𝑑𝑙𝑎𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎

) 

 

EventoProbabilidad 

simpleProcabilidad condicional

probabilidad conjunta

Padece la enfermedad (A1) 0.05 0.9 0.045No padece la enfermedad (A2) 0.95 0.15 0.1425

0.1875

26

Fin de lapresentación

Muchas gracias