04 Probabilidad Total y Teorema de Bayes - CEHC Uniandes
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Probabilidad total y teorema de Bayes Carlos Eduardo Hernández Castillo Probabilidad y Estadística para Economistas 2009‐II
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Probabilidad total y teorema de Bayes
Carlos Eduardo Hernández CastilloProbabilidad y Estadística para Economistas
2009‐II
Probabilidad totald óIntroducción
• ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer sepa p q j pleer?
• ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre sepa leer?leer?
• ¿Cuál es la probabilidad de que un colombiano sea mujer?sea mujer?
• ¿Cuál es la probabilidad de que un colombiano sea hombre?
• ¿Cuál es la probabilidad de que un colombiano sepa leer?
IntroducciónIntroducciónno incluye personas que no respondieronRURALIDAD Y ALFABETISMO POR SEXO
Si No
Hombres
Total
a
Rural
Si 3,605,773 12,419,698 16,025,471
No 1,257,788 1,769,573 3,027,361
4,863,561 14,189,271 19,052,832
Alfa
beta
Fuente: DANE - Censo 2005
Total
Mujeres
Rural TotalSi No
Si 3,247,002 13,791,017 17,038,019
No 1,098,712 1,779,959 2,878,671
4 345 714 15 570 976 19 916 690
Alfa
beta
Total
Total
4,345,714 15,570,976 19,916,690Fuente: DANE - Censo 2005
Total
Regla de la probabilidad totalRegla de la probabilidad total
• Caso particular:Caso particular: P(A) = P(B)P(A|B) + P(B’)P(A|B’)
• Caso general (Freund Teorema 2 12)• Caso general (Freund: Teorema 2.12):Si los eventos B1, B2,…, y Bk constituyen unapartición del espacio muestral S y P(B ) ≠ 0 parapartición del espacio muestral S y P(Bi) ≠ 0 parai=1,2,…,k, entonces para cualquier evento A en S,
)B |P(A )P(BP(A) i
k
1ii∑
=
=
Teorema de Bayesd óIntroducción
• ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer sea¿Cuál es la probabilidad de que una mujer sea alfabeta?
• ¿Cuál es la probabilidad de que un alfabeta• ¿Cuál es la probabilidad de que un alfabetasea mujer?
IntroducciónIntroducciónno incluye personas que no respondieronRURALIDAD Y ALFABETISMO POR SEXO
Si No
Hombres
Total
a
Rural
Si 3,605,773 12,419,698 16,025,471
No 1,257,788 1,769,573 3,027,361
4,863,561 14,189,271 19,052,832
Alfa
beta
Fuente: DANE - Censo 2005
Total
Mujeres
Rural TotalSi No
Si 3,247,002 13,791,017 17,038,019
No 1,098,712 1,779,959 2,878,671
4 345 714 15 570 976 19 916 690
Alfa
beta
Total
Total
4,345,714 15,570,976 19,916,690Fuente: DANE - Censo 2005
Total
Teorema de BayesTeorema de Bayes
• Caso particular:
)'|()'()|()()|()(A)|P(B
BAPBPBAPBPBAPBP
+=
• Caso general (Freund: Teorema 2.13):Si los eventos B1, B2,…, y Bk constituyen una partición del espaciomuestral S y P(B) ≠ 0 para i=1 2 k entonces para cualquier
)|()()|()( BAPBPBAPBP +
muestral S y P(Bi) ≠ 0 para i=1,2,…,k, entonces para cualquierevento A en S tal que P(A) ≠ 0,
)B|P(A)P(BA)|P(B rr
)B |P(A )P(B
)|()(A)|P(Bi
k
1ii
rrr
∑=
=
para r=1,2,…,k
Ejemplo(El problema de Monty Hall)
Imágenes: Licencia pública general reducida de GNU. Fuente: http://david.bellot.free.fr/svg‐cards/
Ejemplo(El problema de Monty Hall)
Imágenes: Licencia pública general reducida de GNU. Fuente: http://david.bellot.free.fr/svg‐cards/
Ejemplo(El problema de Monty Hall)
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Ejemplo(El problema de Monty Hall)
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Ejemplo(El problema de Monty Hall)
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Ejemplo(El problema de Monty Hall)
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Ejemplo(El problema de Monty Hall)
Cambia Se queda
La carta es una J
Cambia qcon una K
No cambia Se queda con una J
Escoge una carta
La carta es una J
Cambia Se queda con una K
Se quedaNo cambia Se queda con una J
La carta esCambia Se queda
con una JLa carta es una K
No cambia Se queda con una K
Ejemplo(El problema de Monty Hall)
• Notación:– Kizq: La carta izquierda es una K– Kcen: La carta del centro es una K– Kder: La carta derecha es una Kder– Dizq: El presentador destapa la carta izquierda– Dcen: El presentador destapa la carta del centro– Dder: El presentador destapa la carta derechader p p
• P(Kizq)=P(Kcen)=P(Kder)= 1/3• Suponiendo que el jugador escoge la carta izquierda y el
presentador destapa la carta del centro el jugador debería:presentador destapa la carta del centro, el jugador debería:– Escoger la carta izquierda si P(Kizq | Dcen) > P(Kder | Dcen) – Ser indiferente si P(Kizq | Dcen) = P(Kder | Dcen)
Escoger la carta derecha si P(K | D ) < P(K | D )– Escoger la carta derecha si P(Kizq | Dcen) < P(Kder | Dcen)
Ejemplo(El bl d M H ll)(El problema de Monty Hall)
• Queremos saber P(Kizq | Dcen) y P(Kder | Dcen),suponiendo (sin pérdida de generalidad) que elsuponiendo (sin pérdida de generalidad) que eljugador escoge la carta izquierda y el presentadordestapa la carta del centro.
• Por la regla de probabilidad total,
)K|D()K()K|D()K()K|D()K()D( cen
PPPPPPP
++=
• Por el teorema de Bayes,)D|P(K =
)K|D()K()K|D()K()K|D()K( dercendercencencenizqcenizq PPPPPP ++
)K|D()K(
)D|P(K
izqcenizq
cenizq
PP
=
)K|D()K()K|D()K()K|D()K( dercendercencencenizqcenizq
PPPPPP ++
Ejemplo(El bl d M H ll)(El problema de Monty Hall)
• Queremos saber P(Kizq | Dcen) y P(Kder | Dcen),suponiendo (sin pérdida de generalidad) que elsuponiendo (sin pérdida de generalidad) que eljugador escoge la carta izquierda y el presentadordestapa la carta del centro.
• Por la regla de probabilidad total,
)K|D()K()K|D()K()K|D()K()D( cen
PPPPPPP
++= 1/3 1/2 1/3 0 1/3 1
• Por el teorema de Bayes,)K|D()K()K|D()K()K|D()K( dercendercencencenizqcenizq PPPPPP ++
No puede levantar la de la izquierda porque esa fue la que
)K|D()K()K|D()K()K|D()K()K|D()K(
)D|P(K
izqcenizq
cenizq
PPPPPPPP
++
=izquierda porque esa fue la que escogió el jugador. Tampoco la de la derecha: esa es la K (nótese que es | Kder)
1/3 1/2
)K|D()K()K|D()K()K|D()K( dercendercencencenizqcenizq PPPPPP ++
3/6
Probabilidad total y teorema de Bayes
Carlos Eduardo Hernández CastilloProbabilidad y Estadística para Economistas
2009‐II
