ESTADISTICA II

NOMBRE: Carolina Salazar Martínez

CURSO: CA4-7

TEMA: Probabilidades

EJERCICIOS

1. En 3000 ensayos de un experimento ¿Cuantas veces se esperaría que ocurra el evento E si P(E)=0.25?

3000P(E) = 3000(0.25) = 750

2. En 3000 ensayos de un expimento ¿Cuantas veces se esperaría que ocurra el evento E si P€=0.45?

3000P(E) = 3000[1 – P(E′)] = 3000(1 – 0.45)

= 3000(0.55) = 1650

3. Si P(E)=0.20,P(F)=0.3 Y P(E , encuentre (a) P(E) y (b) P(EUF)

a. P(E′) = 1 – P(E) = 1 – 0.2 = 0.8

b. P(E ∪F) = P(E) + P(F) – P(E ∩ F)

= 0.2 + 0.3 – 0.1 = 0.4

4. Si P(E) =1/4, P(F)=1/2 Y P , encuentre (a) P(E) y (b) P(EUF)

a. P(E´) = 1 – P(E) = 1 – ¼=3/4

b. P(E ∪F) = P(E) + P(F) – P(E ∩ F)

¼+1/2-1/8=5/8

5. Se lanzan dos dados bien balanceados Encuentre la probabilidad de que la suma de los números

sea(a)8;(b)2 o 3; (c)3,4 o 5;(d) 12 o 13

a.E = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}

P(E)= 5/36

b. E2 or 3 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}

P(E2 o 3)= 3/36=1/2

c. 3, 4, or 5 {(1, 2),(2,1), (1,3), (2, 2), (3,1),(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}

P(E3,4 o 5)=9/36=1/4

d. E12 o 13 = E12 , dado que E13 es un imposible evento

E12 = {(6,6)}

P(E12 o 13) =1/36

6. Se lanza un par de dados balanceados. Determine la probabilidad de que al menos un dado muestre un dos

o un tres

E2 o 3 Eventos= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),(2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3),(3, 4), (3, 5), (3, 6), (1, 2), (4, 2),

(5, 2), (6, 2), (1, 3), (4, 3), (5, 3),(6, 3)}

P(E 2 o 3 Eventos)=20/36=5/9

7. Se lanza una moneda y un dado balanceado Encuentre la probabilidad de que (a) resulte una cara y un 5, (b)

resulte una cara; (c) resulte un 3, (d) resulte una cara y un numero par

n(S) = 2 · 6 = 12

a. EH,5 = {H5}

P(cara y 5) = 1/12

b. n(E cara) = 1⋅6 = 6 .

P(cara) = 6/12= ½

c. n(E3) = 2⋅1 = 2

P(3) = 2/12=1/6

d. n(E cara y numero par) ) = 1⋅3 = 3

P( cara y numero par)=3/12=1/4

8. Se lanzan tres monedas balanceadas Encuentre la probabilidad de que (a) resulte tres caras(b) resulte

exactamente una cruz (c) resulte no mas de dos caras y (d) resulte no mas de una cruz

n(S) = 8

a.E( 3 caras)= 1/8

b. E1 cruz = {HHT,HTH,THH}.

P(1 cruz) = 3/8

c. P(no mas que dos caras) = 1 – P(3 caras)= 1– 1/8=7/8

d. E( no mas que una cruz)l = E0 cruz ∪ E1 cruz= {HHH}∪{HHT,HTH,THH}= {HHH, HHT, HTH, THH}.

P(no mas que una cruz)=4/8=1/2

9. Se escogen de manera sucesiva y aleatoria tres cartas de una baraja ordinaria de 52 sin reemplazo

Encuentre la probabilidad de que (a) las tres cartas sean reyes y (b) las tres cartas sean corazones

n(S) = 52 · 51 · 50 = 132,600

a. (todos reyes) 4 .3 .2 .1/132,600 =1/5525

b. (todos corazons) 13 .12 .11=132,600 =11/850

10. Se selecciona de manera aleatoria una acción de entre 60 títulos distintos, 48 de los cuales y tienen un

dividendo anual del 6% o mas. Encuentre la probabilidad de que la acción pague un dividendo anual de (a)

6% o más, y (b) menos del 6%

a. P (6% o mas) = 48/60=4/5

b. P (menos que 6%) = 1 – P(6% o mas)

= 1 – 4/5=1/5

11. Una tienda de ropa mantiene su inventario de corbatas, de manera que 40 de ellas son de seda 100%

pura. Si es seleccionada una corbata de manera aleatoria ¡Cual es la probabilidad de que (a) sea de seda 100%

pura y (b) no sea de seda 100% pura

a. P(100% pura seda) 0.4N/N = 0.4

b. (no 100% seda) =1-P (100% pura seda)

1 -0.4 =0.6

12. Dos bolsas contienen caramelos de colores La bolsa uno contiene tres caramelos rojos y dos verdes, y la

bolsa dos contiene cuatro caramelos rojos y cinco verdes . Se selecciona un caramelo en forma aleatoria de

cada una de las bolsas. Encuentre la probabilidad de que (a) ambos sean rojos y (b) uno sea rojo y el otro

verde

n( S) = 5 · 9 = 45.

a. P(bolsa roja) = 3. 4 / 45=4/5

b. P (una roja y una verde)=3.5+2.4/45=15+8/45=23/45

13. De un grupo de dos mujeres y tres hombre, se seleccionan dos personas de manera aleatoria para formar

un comité Encuentre la probabilidad de que el comité conste solo de mujeres

N(S) = = 5! /2! 3! =5*4/2=10

Porque hay solamente dos mujeres en el grupo y el numero posible es de 2 mujeres y el comité se conforma

de 1

P(2 mujeres) = n(E2 mujeres)/n(S)=1/10

14 Para la selección del comité del problema 13, encuentre la probabilidad de que el comité conste de un

hombre y una mujer

P(hombre y mujer)=n(E hombre y mujer)/ n(S)= 6/10=3/5

15 Suponga que P(E) =1/4,P(EUF)=5/14 Y P(E

(A) Encuentre P(F) y (B) Encuentre P(EUF)

a. P(E ∪F) = P(E) + P(F) − P(E ∩ F)

P F = P (E ∪F) +( P E ∩ F) –( P E)

5/14+1/7-1/4=1/4

b. P(E ∪F) = P(E) + P(F) − P(E ∩ F)

(1-1/4)+1/4− P(E ∩ F)

1− P(E ∩ F)

Dado que P(E ∩ F) U P(E′∩ F)

P(F) = P(E ∩ F) + P(E′∩ F)

¼=1/7+ P(E′∩ F)

P(E′∩ F) =1/4-1/7=3/28

P(E′∩ F)=1-3/28=25/28

16 Cuando se lanza un dado sesgado, las ´probabilidades de obtener 1.3y 5 son iguales . Las probabilidades de

obtener 2,4 y 6 también son iguales, pero son dos veces mayores que las de obtener 1,3 y 5 Determine P (1)

Lanzamiento p = P(1) = P(3) = P(5).

Entonces2p = P(2) = P(4) = P(6). Dado que P(S) = 1,

Entonces 3(p) + 3(2p) = 1, 9p = p = p (1)=1/9

17 E l 2 0 % d e lo s emp lead o s d e una e mp resa so n in gen ie ro s y o t ro 20 % so n

eco no mis ta s . E l 7 5 % d e lo s in gen ie ro s o cup a n un p ues to d i r ec t ivo y e l 5 0 % d e lo s

eco no mis ta s t a mb ié n , mien t r a s q ue lo s no inge n ie ro s y lo s no eco no mis ta s

so la me nte e l 2 0 % o cup a u n p ues to d i r ec t i vo . ¿Cuá l e s l a p ro b ab i l id ad d e q ue un

e mp lead o d i r ec t ivo e l eg id o a l aza r sea inge n ie ro?

P ( ingen ie ro /d i r ec t i vo =

1 8 En un au la ha y 1 0 0 a lu mno s , d e lo s cua le s : 4 0 so n ho mb res , 3 0 usa n ga fa s , y 1 5

so n va ro ne s y usa n ga fa s . S i se l ecc io na mo s a l aza r un a lu mn o d e d icho cur so :

P (m

19 Una urna co n t i e ne 5 b o la s ro j a s y 8 ve rd es . Se ex t r ae u na b o la y se r eemp laza p o r

d o s d e l o t ro co lo r . A co nt in uac ió n , se ex t r ae una seg u nd a b o la . Se p id e :

1 P ro b ab i l id ad d e q ue l a seg und a b o la sea ve rd e .

P (2 ª V)=5 /1 3 *1 0 /1 4 +8 /1 3 *7 /1 4 =5 3 /9 1 =0 .5 8 2

2 P r o b a b i l i d a d d e q u e l a s d o s b o l a s e x t r a í d a s s e a n d e l m i s m o c o l o r .

P(mismo color)=P(R

5/13*4/14+8/13*7/14=38/91=0.418

20 Una ca j a co n t i e ne t r e s mo ned as . U na mo ne d a e s co r r i en te , o t r a t i ene d o s ca r a s y

l a o t r a e s t á ca rgad a d e mo d o q ue l a p ro b abi l id ad d e o b tene r ca r a e s d e 1 /3 . Se

se l ecc io na u na mo ned a l anza r y se l a nza a l a i r e . Ha l l a r l a p ro b ab i l id ad d e q ue sa l ga

ca r a .

P(cara)=1/3*1/2+1/3*1+1/3*1/3=0.611

TEOREMA DE BAYES

1Tenemos dos urnas: la urna A1 tiene 8 bolitas blancas y 2 negras y la urna A2 tiene 3 bolitas blancas y 7

negras. Se elige una al azar y se saca una bolita de la urna elegida, si obtenemos un promedio de $2 cuando la

bolita es blanca ¡Cual es la probabilidad de ganar este juego?

½*8/10=8/20

También Ganamos si se elige la urna A2 y se saca una bolita blanca de ella. La probabilidad de ganar de esta

segunda manera es:

½*3/10=3/20

Entonces

P(B) =1/2(8/10)+1/2(3/10)=8/20+3/20=11/20

Probabilidad de que la bolsa seaq blanca

(8/20)/(11/20)=8/11

2 La urna A1 contiene 8 bolitas blancas y 2 negras, la urna A2 contiene 3 bolitas blancas y 7 negras la urna

A3 contiene 5 bolitas blancas y 5 negras. Si se lanza un dado, si el resultado es 1,2º3 se saca una bolita de la

urna A1; si resulta4 o 5 la bolita se saca de la urna A2 y finalmente si resulta 6 se saca de la urna A3. Dado

que la bolita extraída fue blanca ¿Cual es la probabilidad de que ella provenga de la urna A2?

(2/6*3/10)/(3/6*8/10)+(2/6*3/10)+(1/6*5/10)=(6/60)/(24/60+6/60+5/60)=(6/60)/(35/60)=6/35

3 La urna A contiene 6 bolitas grises y 4 rojas, la urna B contiene 2 bolitas grises y 7 rojas, se saca una bolita

de la urna A y se coloca en la B; enseguida se saca una bolita de la urna B. Dado que la bolita extraída de B es

gris ¿Cual es la probabilidad de que la bolita extraída de la A también haya sido gris?

Probabilidad de que sea gris

(18/100) + (8/100)=26/100

Según el Teorema de Bayes tenemos:

4 En una empresa se sabe que hay tres secciones que producen diariamente 1200,800 y 1000 cajas de radios

transitorios, además se conoce que la primera sección produce el 10% de radios defectuosos la segunda

sección el 5% y la tercera sección el 8%

De la producción de un día se elige al azar una caja y de ellas se extrae un radio que resulta defectuoso ¿ Cual

es la probabilidad de que provenga de la tercera sección?

SECCIONES PRODUCCION DEFECTUOSOS

1 A 1200 10% 120

2 B 800 5% 40

3 C 1000 8% 80

3000 240

BIBLIOGRAFIA

ESTADISTICA GENERAL MARCELO ANDRANGO / FERNANDO CARRILLO UREÑA

MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIA ERNEST HAEUSSLER