Distribucin F

Esta distribucin probabilstica se utiliza como

estadstico de prueba en varias situaciones. Sirve para

demostrar si dos varianzas muestrales provienen de la

misma poblacin o de poblaciones iguales, y tambin se

aplica cuando se desean comparar simultneamente tres o

ms medias poblacionales. Esta comparacin simultnea de

varias medias poblacionales se denomina Anlisis de

varianza (de anlisis of variance). En estos dos casos, las

poblaciones deben ser normales y los datos deben estar al

menos medidos en escala de intervalo.

Caractersticas de la distribucin F

1. Existe una familia de distribuciones F. Un elemento especfico de la familia est determinado por dos parmetros: los grados de libertad en el numerador y

los grados de libertad en el denominador.

2. El valor de F no puede ser negativo. 3. La distribucin F es una distribucin continua. 4. La curva que representa una distribucin F tiene un sesgo positivo. 5. Sus valores varan de 0 a . A medida que aumenta el valor de F, la curva se

aproxima al eje X, pero nunca lo toca.

Comparacin de dos varianzas poblacionales

La distribucin F se utiliza para demostrar la hiptesis de que la

varianza de una poblacin normal es igual a la varianza de otra

poblacional normal. As, la prueba es til para determinar si una

poblacin normal tiene o no ms variacin que otra. En los siguientes

ejemplo se muestra el uso de esta prueba:

Dos cizallas se ajustan para producir elementos de acero de la misma

longitud. Por tanto, los elementos tener la misma longitud. Se desea

estar seguro que adems de tener la misma longitud, tengan una

variacin similar.

La tasa media de rendimiento a la inversin de dos tipos de acciones

puede ser la mismo, pero hay ms variacin en el rendimiento de una

que de otra. Una muestra de 10 acciones de industria aeroespacial y 10

acciones de servicios podran mostrar la misma tasa media de

rendimiento, pero es probable que haya ms variacin en el rendimiento

de las acciones aeroespaciales.

Consideraciones de validacin

Al comparar las varianzas de dos poblaciones usaremos datos

reunidos de dos muestras aleatorias independientes, una de la

poblacin 1 y la otra de la poblacin 2. Las dos varianzas de las

muestras, 21s y 2

2s sern la base para hacer inferencias acerca de las

dos varianzas poblacionales 21 y 2

2 . Siempre que las dos varianzas

poblacionales sean iguales ( 21 =2

2 ), la distribucin de la relacin de

las dos varianzas de las muestras 21s /2

2s es la siguiente:

Distribucin muestral de 21s / 22s cuando 21 = 22

Siempre que se seleccionan muestras aleatorias simples de

tamao n1 y n2 a partir de poblaciones normales con

varianzas iguales, la distribucin de las muestras

2

2

2

1

s

s (9)

tiene distribucin F con n1 1 grados de libertad para el

numerador y n2 1 grados de libertad para el denominador; 2

1s es la varianza de la muestra de los n1 artculos

procedentes de la poblacin 1 y 22s es la de los n2 artculos

procedentes de la poblacin 2.

EJEMPLO

La Escuela bancaria va a renovar su contrato de servicio de

autobs escolar para el ao prximo, y debe seleccionar entre

las empresas Transportes rpidos, S.A. y Transportes eficaces,

S.A.. Usaremos la varianza de los tiempos de recepciones que

se tarda en recoger y entregar alumnos como medida principal

de la calidad del servicio. Los valores bajos de varianza indican

que el servicio es ms consistente y de mayor calidad. Si las

varianzas de los tiempos de llegada asociadas con los dos

servicios son iguales, los administradores de la Escuela

bancaria seleccionarn la empresa que ofrezca mejores

condiciones financieras. Sin embargo, si los datos de las

muestras de tiempos de llegada para las dos empresas indican

que hay una gran diferencia entre las varianzas, los

administradores tendrn muy en cuenta a la que tenga menor

varianza del servicio

Las hiptesis de prueba son las siguientes:

2

2

2

11

2

2

2

10

:

:

H

H

Si se puede rechazar 0H , es adecuada la conclusin

de distinta calidad en los servicios. En tal caso, se

preferir a la empresa con menor varianza de la

muestra.

Suponga que se har la prueba de hiptesis con =

0.10 y que se obtienen muestras de tiempos de

llegada con escuelas que actualmente usan los

servicios de los dos transportistas. Se obtiene una

muestra de 25 tiempos para los rpidos (poblacin

1) y una de 16 para los eficaces (poblacin 2). La

figura 3 es la grfica de la distribucin F con n1

1 = 24 grados de libertad en el numerador y n2 1

= 15 grados de libertad en el denominador.

Observe que la regin bilateral de rechazo se caracteriza por los valores crticos en 95.0F y 05.0F .

Fig. 3: Regin de rechazo para el ejemplo del autobs para la escuela bancaria con = 0.05

2

2

2

1

s

sF

0.05 0.05

F0.95 F0.05 Se rechaza H0 Se rechaza H0

Suponga que las dos muestras de tiempos de

llegada del autobs produjeron las varianzas 21s =

48 para los rpidos y 22s = 20 para los eficaces.

Qu conclusin es la adecuada? Se supone que

las dos poblaciones de tiempos de llegada tienen

distribuciones normales de probabilidad, y que 0H

es verdadera si 21 = 22 . Se puede aplicar la

distribucin F para llegar a una conclusin.

Especficamente, se calcula 2221 / ssF y se emplea la

regin de rechazo que vemos en la figura 3.

De este modo, llegamos a:

40.220

482

2

2

1 s

sF

Consultando la tabla, vemos que el valor crtico

unilateral superior (de la cola superior) con 24

grados de libertad en el numerador y 15 en el

denominador es 29.205.0 F . Aunque la tabla no

indica valores 95.0F observamos que no es necesaria

la determinacin de este valor crtico unilateral

inferior. Se puede observar que F = 2.40 es mayor

que 29.205.0 F . Entonces, con un nivel de

significancia de 0.10 se rechaza H0.

Este resultado conduce a la conclusin de que los

dos servicios de autobs son distintos en lo

concerniente a varianzas de tiempos de recepcin

y de llegada. Nuestra recomendacin es que los

administradores de la Escuela bancaria den

consideracin especial al mejor servicio, con

menor varianza, que ofrecen los Transportes

eficaces, S.A.

Tambin se puede usar el criterio del valor p

para una prueba de hiptesis acerca de dos

varianzas poblacionales. Se aplica la regla de

rechazo comn: rechazar H0 si el valor p < . Sin

embargo, al igual que con la distribucin ji

cuadrada, es difcil determinar el valor p

directamente de las tablas de la distribucin F.

Prueba bilateral de la varianza de dos

poblaciones

2

2

2

11

2

2

2

10

:

:

H

H

Se denota la poblacin que tiene la mayor

varianza de la muestra como poblacin 1.

Estadstico de prueba

2

2

2

1

s

sF

Regla de rechazo

Con el estadstico de prueba: Rechazar 0H si

2/FF

Con el valor p : Rechazar 0H si el

valor p< Donde el valor 2/F se basa en una distribucin F

con n1 1 grados de libertad en el numerador y n2 1 grados de libertad en el denominador.

Prueba unilateral sobre las varianzas de dos poblaciones

2

2

2

11

2

2

2

10

:

:

H

H

Se denota la poblacin que tiene la mayor varianza de la muestra como

poblacin 1.

Estadstico de prueba

2

2

2

1

s

sF

Regla de rechazo

Con el estadstico de prueba: Rechazar 0H si FF

Con el valor p : Rechazar 0H si el valor p<

Donde el valor F se basa en una distribucin F con n1 1 grados de

libertad en el numerador y n2 1 grados de libertad en el denominador.

Anova Nocin general

El segundo uso de la distribucin F comprende la tcnica

del anlisis de varianza, que se simboliza por ANOVA.

Bsicamente, en ese anlisis se emplea informacin muestral

para determinar si tres o ms tratamientos producen o no

resultados diferentes. El uso de la palabra tratamiento tiene su

origen en la investigacin agrcola. Se trataron campos con

distintos fertilizantes o fumigantes, para determinar si haba o no

una diferencia global en la productividad. Se probar si cinco

aditivos para la gasolina (los tratamientos) dan o no como

resultado una diferencia en el rendimiento en millas por galn.

Adems se explotar la siguiente pregunta: Los cuatros mtodos

de entrenamiento (los tratamientos) son igualmente efectivos?

Tratamiento: Causa o fuente especfica de

variacin en un conjunto de datos.

Consideraciones en que se basa la prueba

ANOVA

Antes de realizar una prueba utilizando la tcnica ANOVA se

examinarn las consideraciones en que se basa la prueba. Si no

pueden cumplirse las consideraciones siguientes, es posible

aplicar otra tcnica de anlisis de varianza (que desarrollaron

Kruskal y Wallis).

1.Las tres o ms poblaciones de inters estn distribuidas

normalmente.

2.Tales poblaciones tienen desviaciones estndar iguales.

3.Las muestras que se seleccionan de cada una de las

poblaciones son aleatorias e independientes, es decir, no estn

relacionadas entre s.

Ejemplo

Suponga que renunci el gerente de la sucursal de

Los Olivos de la cadena de tiendas comerciales Metro, y

se considera que tres vendedores pueden ocupar este

puesto. Los tres tienen la misma antigedad, educacin,

etc. Para tomar una decisin, el gerente de personal, sugiri

examinar los registros de ventas mensuales de cada uno.

En la siguiente tabla se muestran los resultados maestrales de las ventas por mes:

Ventas mensuales ($ 000)

Sr. Quiroz Sr. Huarote Sr. Martnez

15 15 19

10 10 12

9 12 16

5 11 16

16 12 17

Media muestral: 11 12 16

En este problema los vendedores son los tratamientos.

3210 : H La hiptesis nula expresa que no

hay diferencia significativa entre las ventas

medias de los tres vendedores.

:1H Plantea que al menos una media es diferente.

Se seleccion un nivel de significancia =

0.05.

El estadstico de prueba adecuado es la

distribucin F. Este procedimiento se basa en

varias consideraciones: 1) Los datos deben estar al

menos en nivel de intervalo; 2) La seleccin real

de las ventas debe hacerse utilizando un

procedimiento de tipo probabilstico; 3) La

distribucin de las venta mensuales para cada una

de las poblaciones es normal y 4) Las varianzas de

las tres poblaciones son iguales, es decir, 2

3

2

2

2

1 .

F es la razn de dos varianzas:

muestraslaseniacinlasegnestimadalpoblacionaVarianza

muestralesmediasentreiacinsegnestimadalpoblacionaVarianzaF

var

var

La terminologa comn para el numerador es

varianza entre muestras. Para el denominador

es varianza en las muestras. El numerador

tiene 1k grados de libertad. El denominador tiene

kN grados de libertad; donde k es el nmero de

tratamientos y N es el nmero de observaciones.

Para este problema relativo a un nuevo gerente de

almacn, hay tres tratamientos (vendedores), por lo que

se tiene k 1 = 3 1 = 2 g.l. en el numerado. Hay 15

observaciones (tres muestras de cinco cada una), por

tanto, hay N k = 15 3 = 12 g.l. en el denominador.

El valor crtico, esto es, el punto divisorio entre la regin de

aceptacin y la de rechazo, se obtiene consultando la

tabla correspondiente. Ese nmero es 3.89, y es el valor

crtico de F para el nivel 0.05.

Al utilizar el nivel predeterminado de 0.05, la regla de

decisin es aceptar la hiptesis nula si el valor calculado de

F es menor que o igual a 3.89; se rechaza la hiptesis nula

y se acepta la alternativa, si el valor calculado de F es

mayor que 3.89.

Para calcular F y tomar una decisin, el primer paso

es organizar una tabla ANOVA. Esta es slo una forma

conveniente de registrar la suma de cuadrados y otros

clculos. El formato general para un problema de anlisis

de varianza en un sentido se muestra en la siguiente tabla:

Fuente de Suma de Grados

de Cuadrados variacin cuadrados libertad medios

Entre tratamientos SST k - 1

SST/k-1= MSTR

Error (en los tratamientos) SSE N - k

SSE/N-k = MSE

Total Total SS

MSE

MSTR

kN

SSEk

SST

F

1

en donde:

MSTR: cuadrado medio entre tratamientos.

MSE : cuadrado medio debido al error. Tambin se denomina cuadrado

medio dentro de tratamiento.

SST : suma de cuadrados de tratamiento.

Se obtiene mediante la siguiente frmula:

N

X

n

TSST

c

c

22 )(

en donde:

2

cT : indica elevar al cuadrado el total de cada columna

(el subndice c se refiere a la columna)

cn : es el nmero de observaciones para cada

tratamiento respectivo (columna). Hay cinco cifras de

ventas para el Sr. Quiroz, cinco para el Sr. Huarote y

cinco para el Sr. Martnez.

X : es la suma de todas las observaciones (ventas). Es

$ 195.

k : es el nmero de tratamientos (vendedores). Hay

tres.

N : es el nmero total de observaciones. Hay 15.

Sr. Quiroz Sr. Huarote Sr. Martnez

1X 2

1X 2X 2

2X 3X 2

3X 15 225 15 225 19 361

10 100 10 100 12 144

9 81 12 144 16 256

5 25 11 121 16 256

16 256 12 144 17 289 Total

Totales de columna: 55 60 80 195

Tamao de muestra 5 5 5 15

Suma de cuadrados 687 734 1306 2727

Clculo de SST

70535,2605,215

)195(

5

)80(

5

)60(

5

)55()( 22222

N

X

n

TSST

c

c

Clculo de SSE

122605,2727,22

2

c

c

n

TXSSE

La variacin total (Total SS) es la suma de la variacin entre columnas y entre renglones; es decir,

Total SS = SST + SSE = 70 + 122 = 192.

Verificacin

192535,2727,215

)195(727,2

)( 222

N

XXSSTotal

Las tres sumas de cuadrados y los clculos necesarios para determinar F, se presentan en el

siguiente cuadro:

Fuente de Suma de Grados de Cuadrados

variacin cuadrados libertad medios

Entre tratamientos SST= 70 k 1=3-1=2 70/2=35 = MSTR

Error (en los tratamientos) SSE=122 N k=15-3=12 122/12 =10.17= MSE

Total SS Total SS=192

Clculo de F

44.317.10

351

MSE

MSTR

kN

SSEk

SST

F

La regla de decisin indica que si el valor calculado de F es

menor que o igual al valor crtico de 3.89, la hiptesis nula

se acepta. Si el valor de F es mayor que 3.89, la hiptesis

nula se rechaza y la hiptesis alternativa se acepta. Puesto

que 3.44 < 3.89, la hiptesis nula se acepta al nivel 0.05. En

otras palabras, las diferencias en las ventas medias

mensuales ($11,000, $12,000 y $16,000) se atribuyen al azar

(muestreo). Desde el punto de vista prctico, los niveles de

ventas de los tres vendedores que se consideran para el

puesto de gerente de almacn son iguales. No puede tomarse

una decisin respecto al puesto, con base en las ventas

mensuales

Ejemplo

Un profesor pidi a los estudiantes de un grupo grande del curso de

estadstica que evaluara su desempeo en el curso como 1 (excelente),

2 (bueno), 3 (aceptable) o 4 (deficiente). Un ayudante del profesor

recolect las evaluaciones y asegur a los estudiantes que el profesor

no las recibira hasta despus que las calificaciones del curso se

hubieran ingresado en la Direccin Acadmica. La evaluacin (el

tratamiento) que un estudiante asign al profesor se compar con su

calificacin final del curso. Lgicamente, se esperara que en general, el

grupo de estudiantes que pens que el profesor era excelente tuvieran

una calificacin promedio final del curso significativamente ms alta que

los alumnos que lo evaluaron como bueno, aceptable o regular, o

deficiente. Tambin se esperara que los alumnos que lo evaluaron

como deficiente tuvieran las calificaciones promedio ms bajas.

Se seleccionaron muestras de cada grupo de evaluacin. Los resultados son:

Excelente Bueno Regular Deficiente

94 75 70 68

90 68 73 70

85 77 76 72

80 83 78 65

88 80 74

68 65

65

La pregunta es si existe o no una diferencia estadstica entre la puntuacin media de los

cuatro grupos.

Se seleccion el nivel de significacin 0.01.

La regla de decisin es que la hiptesis nula, que plantea que no

hay diferencia entre las medias, no se rechazar si el valor

calculado de F es menor que el valor crtico. De otra manera, la

hiptesis nula se rechazar y se aceptar la hiptesis alternativa.

Recurdese que los grados de libertad en el numerador de la

razn F se obtienen por k 1, donde k es el nmero de

tratamientos (grupos de evaluacin del profesor). Hay cuatro

tratamientos, de manera que 4 1 = 3 g.l. Los grados de libertad

en el denominador son en total 18, que se obtienen mediante N

k, en donde N es el nmero total de estudiantes en la muestra.

Hay 22 estudiantes, por lo que 22 4 = 18 g.l.

Obsrvese que el valor crtico de F es 5.09, de acuerdo al

valor indicado en la tabla correspondiente. La regla de decisin

ser: acepte la hiptesis nula al nivel 0.01 si el valor calculado de

F es menor que o igual a 5.09, y rechace la hiptesis nula si el

valor calculado es mayor que 5.09.

Los clculos necesarios para determinar la razn F se muestran en la siguiente tabla:

Excelente Bueno Aceptable Deficiente

1X 2

1X 2X 2

2X 3X 2

3X 4X 2

4X

94 8836 75 5625 70 4900 68 4624

90 8100 68 4624 73 5329 70 4900

85 7225 77 5929 76 5776 72 5184

80 6400 83 6889 78 6084 65 4225

88 7744 80 6400 74 5476

68 4624 65 4225

65 4225

cT 349 391 510 414

cn 4 5 7 6

2X 30561 30811 37338 28634

Ntese que la suma de los totales por columna )( ix es 1 664; el total de los tamaos de muestras (N) es 22; y la suma de los cuadrados 127344.

Calculando SST, SSE y total SS, se obtiene:

68.89022

)1664(

6

)414(

7

)510(

5

)391(

4

)349()( 2222222

N

X

n

TSST

c

c

41.59459.1267491273442

2

c

c

n

TXSSE

Total SS = SST + SSE = 890.68 + 594.41 = 1485.09

Como verificacin:

09.14859.12585812734422

)1664(127344

)( 222

N

XXSSTotal

Estos valores se colocan en la tabla ANOVA:

Fuente de Suma de Grados de Cuadrados

variacin cuadrados libertad medios

Tratamiento (entre columnas) SST= 890.68 k 1=4-1=3 890.68/3=296.89 MSTR

Error (entre renglones) SSE=594.41 N k=22-4=18 594.41/18 =33.02= MSE

Total SS Total SS=1485.09

Introduciendo los cuadrados medios en la frmula de F, se obtiene:

99.802.33

89.296

MSE

MSTRF

La decisin: como el valor calculado de F de 8.99 es

mayor que el valor crtico de 5.09, la hiptesis nula de

que no existe diferencia entre las medias se rechaza al

nivel 0.01. Bsicamente esto indica que es muy

probable que las diferencias observadas entre las

medias no se deban al azar. Desde el punto de vista

prctica, se sugiere que las calificaciones que

obtuvieron los estudiantes en un curso estn

relacionadas con las opiniones que tienen de la

capacidad general y la forma como se conduce en clase

el profesor.

Inferencias acerca de las medias de

tratamiento

Supngase que al aplicar el procedimiento ANOVA,

se decide rechazar la hiptesis nula. Esto permite concluir

que todas las medias de tratamiento no son iguales. Algunas

veces esta conclusin puede considerarse satisfactoria, pero

en otros casos se desea saber cules medias de tratamiento

son diferentes.

En este ejemplo, la hiptesis nula se rechaz y la

alternativa se acept. Si las opiniones de los estudiantes

son en realidad diferentes, la pregunta es: Entre qu

grupos difieren las medias de tratamiento?

Existen varios procedimientos para responder esta

pregunta. Tal vez el ms sencillo es mediante el uso de

niveles de confianza.

La distribucin t se utiliza como base para esta prueba. Recurdese que una suposicin bsica de ANOVA es que las varianzas poblacionales son iguales para todos los tratamientos. Como se observ, este valor poblacional comn se denomina error cuadrado medio (MSE) que se obtiene mediante SSE/(N-k).

Un intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias poblacionales

se logra mediante:

21

21

11)(

nnMSEtxx

1x : es la media del primer tratamiento.

2x : es la media del segundo tratamiento

t : se obtiene a partir del la tabla t. Los grados de libertad son N k.

MSE : es el error cuadrado medio que se obtiene a partir de la tabla

ANOVA.

1n : es el nmero de observaciones en el primer tratamiento.

2n : es el nmero de observaciones en el segundo tratamiento.

Si el intervalo de confianza incluye al 0, se

concluye que no hay diferencia en el par de medias de

tratamiento. Sin embargo, si ambos extremos del intervalo

de confianza tienen el mismo signo, esto indica que las

medias de tratamiento son diferentes.

Utilizando el ejemplo anterior acerca de las

opiniones de estudiantes y el nivel de confianza de 0.95,

los extremos del intervalo de confianza son 10.46 y 26.04,

que se obtienen por:

04.2646.10

79.725.18

6

1

4

10.33101.2)00.6925.87(

11)(

21

21

y

nnMSEtxx

Se conoce que el intervalo de confianza de 95% vara de 10.46 hasta 26.04. Ambos extremos

son positivos; en consecuencia, podemos concluir que estas medias de tratamiento difieren

significativamente. Es decir, los estudiantes que evaluaron al profesor como excelente tienen

calificaciones ms altas que los que lo evaluaron como malo.

Precaucin

La investigacin de diferencias de medias

de tratamiento es un proceso secuencial. El

paso inicial es realizar la prueba ANOVA.

Slo si se rechaza, la hiptesis nula de que

la medias de tratamiento son iguales, debe

intentarse llevar a cabo cualquier anlisis

de las medias de tratamiento

ANOVA en dos sentidos

Una compaa de autobuses, est ampliando el

servicio desde el centro de Lima al Aeropuerto por cuatro

rutas diferentes. La Empresa realiz recorridos de prueba

para determinar si hay diferencia significativa en los tiempos

medios del trayecto en las cuatro rutas. Los tiempos del

trayecto en minutos en cada una de las cuatro rutas se

muestran a continuacin:

Tiempo del recorrido del Centro al Aeropuerto

Da Ruta 1 Ruta 2 Ruta 3 Ruta 4

Lunes 18 20 20 22

Martes 21 22 24 24

Mircoles 20 23 25 23

Jueves 25 21 28 25

Viernes 26 24 28 25

Al nivel de significancia 0.05, puede concluirse que hay diferencia en las cuatro rutas?

Existe una diferencia dependiendo de qu da de la semana se trata?

En este caso, el da de la semana se denomina variable de bloque. En consecuencia, se tiene

variacin debida al tratamiento y debida a los bloques. La suma de cuadrados debida a los bloques

(SSB) se calcula como sigue:

N

x

k

BSSB r

22 )(

en donde Br se refiere al total del bloque, es decir, al total de cada rengln, y k es el nmero de

elementos en cada bloque.

El mismo formato que sirve para el caso de ANOVA en un sentido se utiliza para la tabla

ANOVA en dos sentidos. Los totales de SST y SS se calculan igual que antes. SSE se obtiene por

sustraccin (SSE = Total SS SST SSB). En la siguiente tabla se muestran los clculos necesarios:

Tiempo de viaje, por ruta (minutos)

Da Ruta 1 Ruta 2 Ruta 3 Ruta 4 Suma de

renglones Br

Lunes 18 20 20 22 80

Martes 21 22 24 24 91

Mircoles 20 23 25 23 91

Jueves 25 21 28 25 99

Viernes 26 24 28 25 103 Totales

Totales por columna, Tc 110 110 125 119 464

Suma de cuadrados 2446 2430 3169 2839 10904

Tamao de la muestra nc 5 5 5 5 20

Anlogo a la tabla ANOVA para un anlisis en un sentido, el formato general en dos sentidos

es:

Fuente de variacin Suma de cuadrados Grados libertad Cuadrado medio

Tratamientos SST k - 1 MSTR

k

SST

1

Bloque SSB n -1 MSB

n

SSB

1

Error SSE (k-1)(n-1) MSE

nk

SSE

)1)(1(

Total Total SS

Como antes, para calcular SST:

4.3220

)464(

5

)119(

5

)125(

5

)110(

5

)110()( 2222222

N

X

n

TSST

c

c

SSB se obtiene mediante:

2.7820

)464(

4

)103(

4

)99(

4

)91(

4

)91(

4

)80()( 22222222

N

x

k

BSSB r

Los dems trminos de suma de cuadrados son:

2.13920

)464(10904

)( 222

N

XXSSTotal

SSE = Total SS SST SSB=139.2 32.4 78.2 = 28.6

Los valores para los diferentes componentes de la tabla ANOVA se calculan de la siguiente manera:

Fuente de variacin Suma de cuadrados Grados libertad Cuadrado medio

Tratamientos 32.4 3 8.10

3

4.32

Bloque 78.2 4 55.19

4

2.78

Error 28.6 12 38.2

12

6.28

Total 139.0

1.- 43210 : H . Las medias de tratamiento son iguales.

:1H Las medias de tratamiento no son iguales.

2.- 543210 : H . Las medias de bloques son iguales.

1H : Las medias de bloques no son iguales.

Primero se demostrar la hiptesis sobre las medias de tratamiento. Hay k 1 = 4 1 = 3 grados de

libertad en el numerador y (k 1) (n 1) = (4 1) (5 1) = 12 grados de libertad en el

denominador. Al nivel de significancia 0.05, el valor crtico de F es 3.49. La hiptesis nula de que

los tiempos medios para las cuatro rutas son iguales se rechaza si la razn F es mayor que 3.49.

54.438.2

8.10

MSE

MSTRF

La hiptesis nula se rechaza y se acepta la hiptesis alternativa. Se concluye que el tiempo

promedio de trayecto no es igual para todas las rutas. La empresa desea efectuar algunas pruebas

para determinar qu medias de tratamiento difieren.

A continuacin, se hace una prueba para determinar si el tiempo del trayecto es igual para

diferentes das de la semana. Los grados de libertad en el numerador para bloques es n 1 = 5 1 =

4. Los grados de libertad en el denominador son igual que antes, es decir, 12. La hiptesis nula de

que las medias de bloques son iguales se rechaza si la razn F es mayor que 3.26.

21.838.2

55.19

MSE

MSBF

La hiptesis nula se rechaza, y la hiptesis alternativa se acepta. El tiempo promedio del

trayecto no es igual para los diferentes das de la semana.

En MINITAB los resultados son los siguientes:

Two-way Analysis of Variance Analysis of Variance for Tiempos

Source DF SS MS F P

rutas 3 32.40 10.80 4.53 0.024

dias 4 78.20 19.55 8.20 0.002

Error 12 28.60 2.38

Total 19 139.20

Individual 95% CI

rutas Mean ----+---------+---------+---------+-------

1 22.00 (---------*---------)

2 22.00 (---------*---------)

3 25.00 (---------*---------)

4 23.80 (---------*---------)

----+---------+---------+---------+-------

21.00 22.50 24.00 25.50

Individual 95% CI

dias Mean -------+---------+---------+---------+----

1 20.00 (------*------)

2 22.75 (------*------)

3 22.75 (------*------)

4 24.75 (------*------)

5 25.75 (------*------)

-------+---------+---------+---------+----

20.00 22.50 25.00 27.50

Estadstica para Administracin y Economa, Mason y Lind