ESTADISTICA parte 3[1]

5/7/2018 ESTADISTICA parte 3[1] - slidepdf.com

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Unidad VIII

Estadística Descriptiva

Semestre 2011-1



MEDIDAS DE TENDENCIAMEDIDAS DE TENDENCIACENTRALCENTRALMEDIDAS DE TENDENCIAMEDIDAS DE TENDENCIACENTRALCENTRAL



INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN

�Los salarios de las superestrellas de los deportesprof esionales reciben mucha atención de losmedios de comunicación. Cada año que pasa uncontrato millonario se está convirtiendo en unhecho común y corriente para este grupo de

élite. Aun así, son pocos los años que una de lasasociaciones deportivas no negocien con losdueños de equipos nuevas condiciones salarialesy benef icios marginales para todos los jugadores

de un deporte en particular.



� Según los dueños d e equipos de básquet, el

salario promedio de un jugador es de$ 275 000. Los representantes de los

jugadores alegan que el salario promedio

está cerca de $310 000. Ambos grupos

cuentan con los mismos datos. ¿Cómo

pueden llegar a conclusiones tan dispares?

¿Quién dice la verdad?



506/07/2011

Estadígrafos o estadísticos� Estadígrafos: llamaremos estadígrafo o estadístico, anúmeros resúmenes, que nos permiten establecerconclusiones a cerca de la estructura de una

muestra.� Una manera de representar características de un

conjunto de datos en estadística es a través de tresmedidas numéricas: media, mediana y moda. Cadauna de ellas representa un tipo de promedio, el cualindica la tendencia central del conjunto de datos. Enesta parte del curso veremos como calcularlos y queinformación nos brindan.



MEDIAMEDIA

� Se representa por:

� La media es el promedio aritmético de los

valores de la variable. Obviamente, al serpromedio, tiene sentido en variables de

tipo cuantitativo

X



Para datos no agrupados

� En ocasiones puede conducirnos ainterpretaciones incorrectas.

Simbólicamente la media en el caso de

una muestra se representa por , y en elcaso de población por Q .

� Se calcula sumando todos los datos y

dividiendo dicha suma por el número de

datos.

x



n

x.......xxmedia

n21 !

Sea x1, x2, .... ,xn los valores que toma una variable

cuantitativa X, entonces la media aritmética se

determina mediante:



� Ejemplo: Si las notas en el curso de

introducción a la computación de 10alumnos son : 14, 18, 12, 16, 14, 15, 16, 18,

10, 12

� Respuesta: La nota promedio es 14,5

1012101816151416121814x !

5,14x !



10

Ejemplo 2

� Un estadístico es una medida característica de una

muestra.

� Ejemplo 2: Una muestra de cinco ejecutivos recibió

los siguientes bonos el último año ($000):

14.0, 15.0, 17.0, 16.0, 15.0

4.155

77

5

0.15...0.14!!

!

7

!n

X X



� La media aritmética de los valores x1, x2, x3,

.........., xk ponderada por los pesos

w1, w

2, w

3, ........ w

kes el número.

Media aritmética ponderadaMedia aritmética ponderada

k 21

k k 2211

w..........ww

xw.........xwxw

x

!



Ejemplo: Si un alumno el semestre pasado obtuvo 11 en Física 2 y su peso es cinco, 13 en el curso

Lengua de peso cuatro y 16 en cálculo 2 de peso 3,

¿ cuál f ue su promedio ?

92,12x

345

)3(16)4(13)5(11x

!

!



Media aritmética para datos agrupados

� Si los n valores de una variable estadística

discreta X se clasif ican en k valores distintos

x1, x2, x3, .........., xk con f recuenciasabsolutas respectivas n1, n2, n3, ......, nk,

entonces su media aritmética es el número:

k

k k

nnn

xn xn xn x

!

..........

.........

21

2211



� Ejemplo: En un estudio de edades de estudiantes

de Electrotecnia Industrial del 1º semestre se

obtuvo la siguiente tabla de distribución:

� Edades Frecuencia

� 16 5

� 17 10

� 18 6

� 19 4

� 20 2� Total 26

� Determina la edad promedio.



Solución

246105

)20(2)19(4)18(6)17(10)16(5 _

! x

= 18,23 años

_ x



Media aritmética para datos agrupadosen clases

� Si los n valores de una variable estadística continua X

se clasif ican en k intervalos con marcas de clases x1,

x2, x3, .........., xk con f recuencias absolutas

respectivas n1, n2, n3, ......, nk, entonces su mediaaritmética es el número:

� Dondenese l total de datos

n

n x

x

nnn

xn xn xn

x

k

i

ii

k

k k

§!

!

!

1

21

2211

..........

.........



� Media aritmética para datos agrupados:

Cuando se cuenta con datos agrupados en una

distribución de f recuencia, todos los valores

que caen dentro de un intervalo de clase dado

se consideran igual a la marca de clase, o

punto medio del intervalo.



Ejemplo: La siguiente tabla muestra la inversión anual de 44 empresas.

Intervalo Marca de clase

xi ni Ni hi

? 4, 10?

?10, 16?

?16, 22?

?22, 28?

?28, 34?

?34, 40?

?40, 46A

1

3

6

12

11

5

2

40

Tí tulo: ³Inversión anual de empresas´

Unidades: miles de dólares.

ii n x



Solución

� La media aritmética es:

251112631

)2(43)5(37)11(31)12(25)6(19)3(13)1(7

x

!

8,26x

40

1072x

!

!

La inversión promedio es de 26 800 dólares



20

Propiedades de la media aritmética

� Para evaluar la media se consideran todos los valores.

� Un conjunto de datos sólo tiene una media la cual es un valorúnico.

� La media es af ectada por valores inusualmente grandes o pequeños.

� La media aritmética es la única medida de tendencia centraldonde la suma de las desviaciones de cada valor, respecto dela media, siempre es igual a cero.



Propiedades de la media aritmética

1. Si a cada valor de las observaciones x2, x3, .........., xn se le sumao se le resta una constante, la media aritmética del nuevo

conjunto transformado

, es la media aritmética del conjunto original mas o menos la

constante.

2. De la misma forma si se multiplica por una constante a cada

valor, la media aritmética del conjunto original multiplicado

por la constante

nib x y ii ,....2,1, !s!

b x M y M y s!! )()(

)()( xb y y !!

nibx y ii ,....2,1, !!



3. Media de medias: supongamos que de una

población (o de dos poblaciones dif erentes) se

obtienen dos muestras de n1 y n2 respectivamente.

Sean las medias aritméticas de las muestras,entonces la media asociada a las n1 y n2

observaciones esta dada por:

21 x y x

21

2211

nn xn xn x

!



23

La mediana

� La mediana es el valor que corresponde al punto medio de los valores después de ordenarlos demenor a mayor.

� Cincuenta por ciento de las observaciones sonmayores que la mediana, y 50% son menores queella.

� Para un conjunto par de valores, la mediana será el

promedio aritmético de los dos valores centrales.



24

Para datos no clasif icados� Las edades de una muestra de 5 estudiantes del colegio son:

21, 25, 19, 20, 22

Ordenando los datos en forma ascendente, tenemos:

19, 20, 21, 22, 25. Entonces la mediana es 21.Las estaturas de 4 jugadores de basquetbol, en pulgadas, son:

76, 73, 80, 75

Entonces la mediana es 75.5



25

Propiedades de la mediana� Es única; esto es, a semejanza de la media, sólo existe una

mediana para un conjunto de datos.

� No se ve af ectada por valores extremadamente grandes o muy pequeños, y por tanto es una medida valiosa de

tendencia central cuando se presenta esta clase de valores.� Puede calcularse para una distribución de f recuencias con unaclase de extremo abierto, si la mediana no se encuentra en talclase.



¹¹¹¹

º

¸

©©©©

ª

¨ !

m

m

mm

n

N n

W L1

2Xm

Lm =Es el límite inferior del intervalo de la mediana

n = Número de datos observados

Nm-1= Frecuencia acumulada absoluta del intervalo

inmediatamente anterior al intervalo de la mediana

nm = Frecuencia absoluta del intervalo de la mediana

W = Amplitud del intervalo de la mediana





xi

Frecuencias Frecuencias acumuladas

ni hi Ni Hi

? 4, 10?

?10, 16?

?16, 22??22, 28?

?28, 34?

?34, 40?

?40, 46A

7

13

1925

31

37

43

1

3

612

11

5

2

40





� El intervalo donde se encuentra n/2 es el

número cuatro, luego:

� Lm= 22; n = 40; Nm-1 =10; ni =12; W= 6

� Por tanto

27Me

612

102

40

22Me

!

!

E l 50% de las empresas invierten menos de 27 000 dólares



MODAMODA

�La moda es el dato que más se repite (el de más alta f recuencia).Por ejemplo: ¿cuántas veces se repite la letra e en la palabra

representatividad? se repite 3 veces y te f ijarás que es la que

más se repite, por lo tanto se dice que la letra e es la moda de

este conjunto de letras.

� Podremos determinar la moda en muestras de variables tanto

cualitativas como cuantativas (datos agrupados o no).

� La moda es muy f ácil de calcularla y útil, pero tiene sus

limitaciones, a veces no encontraremos moda (cuando todos o

más de dos tienen la misma f recuencia) o muestras bimodales(con dos modas). Por lo tanto veremos otras opciones.



� La moda se def ine como el valor o clase

que tiene la mayor f recuencia, en un

conjunto de observaciones.

� La moda resulta sumamente útil para

expresar la tendencia central de

observaciones correspondientes a

características cualitativas tales como color,estado civil, ocupación, lugar de

nacimiento, etc.

Para datos no agrupados



Para datos agrupados

� Para calcular la moda de n datos tabulados porintervalos, primero se determina el intervalo quecontiene a la moda, esto es, el intervalo que tienela mayor f recuencia (intervalo modal). Luego seutiliza la f órmula:

� donde:

� Li es el límite inf erior del intervalo modal.

� d1= ni - ni-1

� d2= ni - ni+1

� w= amplitud del intervalo modal

¹¹ º

¸©©ª

¨

!

21

1

d d

d W L M iio





xi

Frecuencias Frecuencias acumuladas

n.

i

hi Ni Hi

? 4, 10?

?10, 16?

?16, 22??22, 28?

?28, 34?

?34, 40?

?40, 46A

7

13

1925

31

37

43

1

3

612

11

5

2

0,025

0,075

0,1500,300

0,275

0,125

0,050

1

4

1022

33

38

40

0.025

0.100

0.2500.550

0.825

0.950

1.000

40 1,000





� El intervalo donde se encuentra la mayorf recuencia es el cuarto intervalo

� Entonces: Li = 22

� d1= ni - ni-1 = 12 6 = 6

� d2= ni - ni+1 = 12 11= 1� W = 6

� de donde: Mo= 22 + = 27,85

� Esto significa la mayoría de las empresasinvierten 27 850 dólares



LOS CUANTILESLOS CUANTILES

Son valores que dividen a la distribución en partes iguales,Son valores que dividen a la distribución en partes iguales,

es decir, en intervalos que comprenden el mismo númeroes decir, en intervalos que comprenden el mismo númerode observaciones. Los que más se utilizan son: losde observaciones. Los que más se utilizan son: los

CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES.CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES.

LosLos CUARTILESCUARTILES son 3 valores que dividen a la distribución en 4son 3 valores que dividen a la distribución en 4

partes iguales, cada una de las cuales contienen el 25% de laspartes iguales, cada una de las cuales contienen el 25% de lasobservaciones.observaciones.

LosLos DECILES (PERCENTILES)DECILES (PERCENTILES) son 9 (99) valores que dividen a lason 9 (99) valores que dividen a la

distribución en 10 (100) partes iguales, cada una de las cualesdistribución en 10 (100) partes iguales, cada una de las cuales

contiene el 10% (1%) de las observaciones.contiene el 10% (1%) de las observaciones.

MEDIDAS DE POSICIÓN



LOS CUARTILES



Ejemplo 1



Ejemplo 2

� Hallar el intervalo intercuartilico:

El Intervalo Intercuartí lico de X, se def ine como: [ Q 1 , Q 3 ]

� Es el intervalo en el cual está comprendido el 50% de los

datos centrales.

El rango Intercuartí lico de X, se def ine como:

� Rango intercuartílico=Q3-Q2, es la dif erencia entre el tercer y

el primer cuartil: . Nos da una f ranja en la que se encuentra el

50% de la población.



LosLos DECILESDECILES (PERCENTILES)(PERCENTILES) sonson 99 ((9999)) valoresvalores queque dividendividen aa lala

distribucióndistribución enen 1010 ((100100)) partespartes iguales,iguales, cadacada unauna dede laslas cualescuales

contienecontiene elel 1010%% ((11%%)) dede laslas observacionesobservaciones..



EJEMPLO 1: Se presenta la distribución de f recuencias de los puntajes

obtenidos por 250 alumnos en una prueba de rendimiento de Física.

Determinar que puntajes deben tener los que se hallen en el 20% inf erior ycuales puntajes los que se encuentren en el decimo superior.



EJEMPLO 2

� Determinar el intervalo interdecílico. Precisar

el signif icado del resultado obtenido

� INTERVALO INTERDECIL : : [ D1 , D9 ] aquí esta

comprendido el 80% de los datos centrales.

� RANGO INTERDECILICO: se obtiene de la dif erencia

entre el decil 9 y el decil 1, evitando así los puntos

extremos. RANGO INTERDECILICO= D9 -D1



100

110

120

150

140

130

1er cuartil1er cuartil

3er cuartil3er cuartil

MedianaMediana

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