INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CAMPECHE

CARRERA:

INGENIERÍA EN ADMINISTRACIÓN

NOMBRE DEL TRABAJO:

TEMAS DE INVESTIGACIÓN CONCEPTUAL.

NUMERO DEL TRABAJO:

1°- Unidad 3

NOMBRE DEL ALUMNA: CERVERA ACUÑA ALEJANDRA GABRIELA

MATERIA: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

GRUPO: MD3

FECHA:

Contenido

¿Qué es exactamente el azar?................................................................................3

¿Qué es una variable aleatoria?..............................................................................3

Variables aleatorias discretas (Definicion y ejemplos).............................................3

Dist. De probabilidad para una variable aleatoria discreta (VAD)............................3

Valor esperado de una VAD (Esperanza matematica).............................................5

Valor Monetario Esperado........................................................................................5

Varianza y desviacion estandar de una V.A.D.........................................................6

La distribucion Binomial...........................................................................................6

Distribucion Hipergeometrica...................................................................................8

La distribucion de Poisson.......................................................................................9

Variables aleatorias continuas...............................................................................11

La distribucion normal de probabilidades...............................................................11

La distribucion normal estandarizada.....................................................................14

Aproximacion de la normal a la binomial................................................................16

Distribucion de probabilidad exponencial...............................................................17

BIBLIOGRAFIA......................................................................................................18

3

¿Qué es exactamente el azar?

El azar es una cualidad presente en diversos fenómenos que se caracterizan por no mostrar una causa, orden o finalidad aparente.

En matemáticas, puede darse una serie de números con la propiedad de que dicha serie no puede obtenerse por un algoritmo más corto que la serie misma. Es lo que se conoce como aleatoriedad. La rama de las matemáticas que estudia este tipo objetos es la teoría de la probabilidad. Cuando esta teoría se aplica a fenómenos reales se prefiere hablar de estadística.

¿Qué es una variable aleatoria?

Una variable aleatoria es una funcion que asigana un numero real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio.

Variables aleatorias discretas (Definicion y ejemplos).

Una variable aleatoria discreta es una variable aleatoria con un rango finito (o infinito contable).

Por ejemplo, si se lanza una moneda 3 veces, el número de águilas X es una variable aleatoria que toma los valores 0, 1, 2, ó 3; es decir puede que ninguna vez, una sola, dos o tres veces salga águila como resultado; la probabilidad de que X=2 (dos águilas) es 3/8 ya que el espacio muestra S = {aaa, aas, asa, ass, sas, ssa, sss}. Y de estos ocho resultados hay tres en los cuales hay dos águilas.

Dist. De probabilidad para una variable aleatoria discreta (VAD).

- Definicion, formas de representarla, acumulada.

Definicion. El evento que esta formado por todos los resultados para los que X = x de denota como { X = x }, y la probabilidad de este evento como P(X = x).

Formas de representarla. Distribución de probabilidad. Es una distribución teórica de frecuencias que describe cómo se espera que varíen los resultados de un experimento. Existen diferentes tipos de modelos que permiten describir el comportamiento de fenómenos estadísticos que permiten hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre.

4

Distribuciones discretas. Son aquellas donde las variables asumen un número limitado de valores, por ejemplo el número de años de estudio.

Acumulada. La funcion de distribucion acumulada de una variable aleatoria

discreta X, denotada por , es

Para una variable aleatoria discreta X, satisface las propiedades siguientes.

5

Valor esperado de una VAD (Esperanza matematica)

- Concepto y Modelo

Concepto. La esperanza matemática puede interpretarse intuitivamente como el valor medio de infinitas observaciones. De hecho, si representa una observación en un individuo, se cumple:

La esperanza matematica tambien puede intepretarse como un punto de equilibrio de la distribucion de probabilidad.

Valor Monetario Esperado

La funcionalidad de probabilidad de X puede interpretarse como la proporción de ensayos en los que X=x. en consecuencia, en realidad no es necesario realizar el experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X. la media de X puede calcularse como el promedio ponderado de los valores posibles de X, asignando al resultado x un factor de ponderación f x ( x )=P (X=x ) .

La media o valor esperado de una variable aleatoria discreta X, denotada por µx o E (X ) ,es:

µx=E ( X )=∑x

x f x (x)

6

Varianza y desviacion estandar de una V.A.D.

- Concepto y Modelo

Varianza. Se podría usar un argumento parecido para justificar las fórmulas para

la varianza de la población y la desviación estándar de la población . Estas medidas numéricas describen la dispersión o variabilidad de la variable aleatoria mediante el “promedio” o “valor esperado” de las desviaciones cuadráticas de los valores de x a partir de su media µ

Sea x variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad f(x) y media µ

La varianza de x es:

Sea x variable aleatoria continua con distribución de probabilidad f(x) y media µ

La varianza de x es:

Desviacion estandar. A la raíz cuadrada positiva de la varianza, se le llama desviación estándar de X.

La distribucion Binomial.

- Introduccion, funcion de probabilidad(modelo matematico)

- Caracteristicas (forma, media, Desv. Est.), Uso de las tablas.

Introduccion. Es una distribución de probabilidad de variable discreta y Bernoulli es el autor de esta distribución. Ensayo de Bernoulli : Es cualquier ensayo de algún experimento que conduce sólo a uno de dos resultados mutuamente excluyentes, tales como: vivo o muerto; enfermo o saludable; + ó – De una sucesión de ensayos de Bernoulli se obtiene la distribución binomial.

7

Modelo matematico. La función de probabilidad de la variable binomial se representa como b(x,n,p) siendo n el número de pruebas y p la probabilidad del ‚éxito. n y p son los parámetros de la distribución.

Caracteristica

La distribución binomial puede considerarse como una generalización del modelo de Bernoulli, en donde el experimento se realiza n veces y se utiliza en experimentos o eventos que tienen las siguientes características:

a)    Sólo hay 2 posibles resultados.

b)    Los resultados son independientes

c)    La probabilidad de éxito permanece constante en todas las veces que se realice el experimento.

d)    El experimento se realiza n veces bajo las mismas condiciones y estamos interesados en que hayan x éxitos.

e)    Cuando hay extracción de elementos, se debe realizar con reemplazo. Una variable aleatoria que satisfaga los puntos anteriores, se dice que se distribuye en forma binomial.

La media y la varianza de la variable binomial se calculan como:

Media = μ = n p

Varianza = σ2 = n p q

Uso de la tabla. Gráficamente el aspecto de la distribución depende de que sea o no simétrica Por ejemplo, el caso en que n = 4:

8

 Distribucion Hipergeometrica.

- Introuccion, funcion de probabilidad (modelo matematico)

- Caracteristicas (forma, media, Desv. Est.)

Introduccion. Una variable tiene distribución hipergeométrica si procede de un experimento que cumple las siguientes condiciones:

1)     Se toma una muestra de tamaño n, sin reemplazamiento, de un conjunto finito de N objetos.

2)     K de los N objetos se pueden clasificar como ‚éxitos y N - K como fracasos.

            X cuenta el número de ‚éxitos obtenidos en la muestra. El espacio muestral es el conjunto de los números enteros de 0 a n, ó de 0 a K si K < n.

En este caso, la probabilidad del ‚éxito en pruebas sucesivas no es constante pues depende del resultado de las pruebas anteriores. Por tanto, las pruebas no son independientes entre sí.

Modelo matematico. La función de probabilidad de la variable hipergeométrica es:

Los parámetros de la distribución son n, N y K.

Características. Los valores de la media y la varianza se calculan según las ecuaciones:

            

 Si n es pequeño, con relación a N (n << N), la probabilidad de un ‚éxito variar muy poco de una prueba a otra, así pues, la variable, en este caso, es esencialmente binomial; en esta situación, N suele ser muy grande y los números combinatorios se vuelven prácticamente inmanejables, así pues, la probabilidades se calculan

9

más cómodamente aproximando por las ecuaciones de una binomial con p = K / N.

La media de la variable aproximada (μ = n p = n (K / N)) es la misma que la de la variable antes de la aproximación; sin embargo, la varianza de la variable binomial es ligeramente superior a la de la hipergeométrica.

El factor por el que difieren ser siempre menor que 1 y tan próximo a 1 como cierto sea que n << N.

La distribucion de Poisson.

- Introuccion, funcion de probabilidad (modelo matematico)

- Caracteristicas (forma, media, Desv. Est.), Uso de La tablas

Introduccion. Una variable de tipo poisson cuenta ‚éxitos (es decir, objetos de un tipo determinado) que ocurren en una región del espacio o del tiempo.

 El experimento que la genera debe cumplir las siguientes condiciones:

1.  El número de éxitos que ocurren en cada región del tiempo o del espacio es independiente de lo que ocurra en cualquier otro tiempo o espacio disjunto del anterior.

2. La probabilidad de un ‚éxito en un tiempo o espacio pequeño es proporcional al tamaño de este y no depende de lo que ocurra fuera de él.

3. La probabilidad de encontrar uno o más ‚éxitos en una región del tiempo o del espacio tiende a cero a medida que se reducen las dimensiones de la región en estudio.

Como consecuencia de estas condiciones, las variables Poisson típicas son variables en las que se cuentan sucesos raros.

Modelo matematico.  La función de probabilidad de una variable Poisson es:

10

Caracteristicas. El parámetro de la distribución es λ que es igual a la media y a la varianza de la variable.

Esta característica puede servirnos para identificar a una variable Poisson en casos en que se presenten serias dificultades para verificar los postulados de definición.

La distribución de Poisson se puede considerar como el límite al que tiende la distribución binomial cuando n tiende a   y p tiende a 0, siendo n p constante (y menor que 7); en esta situación sería difícil calcular probabilidades en una variable binomial y, por tanto, se utiliza una aproximación a través de una variable Poisson con media l = n p.

La varianza de la variable aproximada es ligeramente superior a la de la variable binomial.

Las variables Poisson cumplen la propiedad de que la suma de variables Poisson independientes es otra Poisson con media igual a la suma las medias.

El aspecto de la distribución depende muchísimo de la magnitud de la media. Como ejemplo, mostramos tres casos con λ = 0,5 (arriba a la izquierda), λ = 1,5 (arriba a la derecha) y λ = 5 (abajo) Obsérvese que la asimetría de la distribución disminuye al crecer λ y que, en paralelo, la gráfica empieza a tener un aspecto acampanado.

11

Variables aleatorias continuas

Una variable aleatoria continua es una función X que asigna a cada resultado posible de un experimento un número real. Si X puede asumir cualquier valor en algun intervalo I (el intervalo puede ser acotado o desacotado), se llama una variable aleatoria continua. Si puede asumir solo varios valores distintos, se llama una variable aleatoria discreta.

La distribucion normal de probabilidades

Las 3 razones de su importancia. La distribución normal es sin lugar a dudas la más importante y la de mayor uso de todas las distribuciones continuas de probabilidad. Su aplicación abarca prácticamente todas las áreas de la ciencia, gran parte de los fenómenos naturales y proporciona una representación adecuada, al menos en una primera aproximación, de gran cantidad de variables físicas. Así, su uso comprende problemas relativos a la ingeniería, economía, sociología, agricultura, medicina, biología, finanzas, meteorología, geofísica, mediciones de partes manufacturadas, errores de instrumentos de medición, etc. Puntualizando podemos decir que:

1.  Son muchas las variables aleatorias que están distribuidas normalmente cuando se realizan experimentos u observaciones empíricas y hay otras más que están distribuidas en forma aproximadamente normal.

2. Ciertas distribuciones se pueden aproximar mediante la distribución normal. Esto se cumple, por ejemplo, para la distribución binomial.

3. Ciertas variables que son básicas para justificar pruebas estadísticas están distribuidas en forma normal, como las distribuciones muestrales de muestras grandes, intervalos de confianza, pruebas de hipótesis, el teorema del límite central, etc.

12

Antecedentes. La distribución normal fue presentada por primera vez por Abraham de Moivre en un artículo del año 1733,2 que fue reimpreso en la segunda edición de su The Doctrine of Chances, de 1738, en el contexto de cierta aproximación de la distribución binomial para grandes valores de n. Su resultado fue ampliado por Laplace en su libro Teoría analítica de las probabilidades (1812), y en la actualidad se llama Teorema de De Moivre-Laplace.

Laplace usó la distribución normal en el análisis de errores de experimentos. El importante método de mínimos cuadrados fue introducido por Legendre en 1805. Gauss, que afirmaba haber usado el método desde 1794, lo justificó rigurosamente en 1809 asumiendo una distribución normal de los errores. El nombre de Gauss se ha asociado a esta distribución porque la usó con profusión cuando analizaba datos astronómicos3 y algunos autores le atribuyen un descubrimiento independiente del de De Moivre.4 Esta atribución del nombre de la distribución a una persona distinta de su primer descubridor es un claro ejemplo de la Ley de Stigler.

El nombre de "campana" viene de Esprit Jouffret que usó el término "bell surface" (superficie campana) por primera vez en 1872 para una distribución normal bivariante de componentes independientes. El nombre de "distribución normal" fue otorgado independientemente por Charles S. Peirce, Francis Galton y Wilhelm Lexis hacia 1875.[cita requerida] A pesar de esta terminología, otras distribuciones de probabilidad podrían ser más apropiadas en determinados contextos; véase la discusión sobre ocurrencia, más abajo.

Caracteristicas. Las principales características de esta distribución son:

1. La distribución tiene 2 parámetros: media (m) y desviación estándar (s) y queda perfectamente determinada por ellos. Debido a esto es que la notación abreviada que se usa para representar la distribución es N(m, s)

2. La moda (el valor más frecuente), la mediana (el valor central) y la media tienen el mismo valor.

3. El área total bajo la curva y el eje de las x es la unidad.

4. La curva tiene forma de campana, por lo que se le llama curva acampanada o campana de Gauss

5. La distribución es simétrica respecto a la media, es decir, el 50% del área está a la izquierda de la media y el otro 50% a la derecha.

6. El punto de inflexión de la curva (el punto donde la curva deja de ser cóncava hacia abajo y empieza a ser cóncava hacia arriba), se encuentra a una distancia

13

de una desviación estándar (+s y -s) respecto al eje de las y, e invariablemente la tangente en este punto de inflexión corta al eje de las x a una distancia de 2 desviaciones estándar (+2s y -2s).

7. La curva se extiende en ambas direcciones y tiende gradualmente a unirse al eje de las x (se hace asintótica al eje de las x), por lo que solamente se juntan en menos infinito (-¥) y en más infinito (+¥), aunque en la práctica la curva se corta en +4s y -4s.

Curva normal. Se define como una distribución teórica de los datos de una población (Pagano, 2008). Es una curva en forma de campana que puede ser descrita con la siguiente ecuación:

El modelo matematico. Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución normal, si su función de densidad de probabilidad (f d p) está dada por:

14

Areas bajo la curva normal. No importa cuáles sean los valores de la para una distribución de probabilidad normal, el área total bajo la curva es 1.00, de manera que podemos pensar en áreas bajo la curva como si fueran probabilidades. Matemáticamente es verdad que:

1.Aproximadamente 68% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de desviación estándar de la media.

2. Aproximadamente 95.5 % de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de desviación estándar de la media.

3. Aproximadamente 99.7 % de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de desviación estándar de la media

La distribucion normal estandarizada

Modelo de estandarizacion. La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ = 0, y por desviación típica la unidad, σ =1.

Su función de densidad es:

Su gráfica es:

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.

Puedes usar la tabla de abajo para saber el área bajo la curva desde la línea central hasta cualquier línea vertical "a valor Z" hasta 3, en incrementos de 0.1

Esto te dice qué parte de la población está dentro de "Z" desviaciones estándar de la media.En lugar de una tabla LARGA, hemos puesto los incrementos de 0.1 hacia abajo, y los de 0.0

Uso de la tabla de la dist. Normal estandar.

15

Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

16

0.00.0000

0.0040

0.0080

0.0120

0.0160

0.0199

0.0239

0.0279

0.0319

0.0359

0.10.0398

0.0438

0.0478

0.0517

0.0557

0.0596

0.0636

0.0675

0.0714

0.0753

0.20.0793

0.0832

0.0871

0.0910

0.0948

0.0987

0.1026

0.1064

0.1103

0.1141

0.30.1179

0.1217

0.1255

0.1293

0.1331

0.1368

0.1406

0.1443

0.1480

0.1517

0.40.1554

0.1591

0.1628

0.1664

0.1700

0.1736

0.1772

0.1808

0.1844

0.1879

0.50.1915

0.1950

0.1985

0.2019

0.2054

0.2088

0.2123

0.2157

0.2190

0.2224

0.60.2257

0.2291

0.2324

0.2357

0.2389

0.2422

0.2454

0.2486

0.2517

0.2549

0.70.2580

0.2611

0.2642

0.2673

0.2704

0.2734

0.2764

0.2794

0.2823

0.2852

0.80.2881

0.2910

0.2939

0.2967

0.2995

0.3023

0.3051

0.3078

0.3106

0.3133

0.90.3159

0.3186

0.3212

0.3238

0.3264

0.3289

0.3315

0.3340

0.3365

0.3389

1.00.3413

0.3438

0.3461

0.3485

0.3508

0.3531

0.3554

0.3577

0.3599

0.3621

1.10.3643

0.3665

0.3686

0.3708

0.3729

0.3749

0.3770

0.3790

0.3810

0.3830

1.20.3849

0.3869

0.3888

0.3907

0.3925

0.3944

0.3962

0.3980

0.3997

0.4015

1.30.4032

0.4049

0.4066

0.4082

0.4099

0.4115

0.4131

0.4147

0.4162

0.4177

1.40.4192

0.4207

0.4222

0.4236

0.4251

0.4265

0.4279

0.4292

0.4306

0.4319

1.50.4332

0.4345

0.4357

0.4370

0.4382

0.4394

0.4406

0.4418

0.4429

0.4441

1.60.4452

0.4463

0.4474

0.4484

0.4495

0.4505

0.4515

0.4525

0.4535

0.4545

1.70.4554

0.4564

0.4573

0.4582

0.4591

0.4599

0.4608

0.4616

0.4625

0.4633

1.80.4641

0.4649

0.4656

0.4664

0.4671

0.4678

0.4686

0.4693

0.4699

0.4706

1.90.4713

0.4719

0.4726

0.4732

0.4738

0.4744

0.4750

0.4756

0.4761

0.4767

2.00.4772

0.4778

0.4783

0.4788

0.4793

0.4798

0.4803

0.4808

0.4812

0.4817

2.1 0.482 0.482 0.483 0.483 0.483 0.484 0.484 0.485 0.485 0.4857

17

1 6 0 4 8 2 6 0 4

2.20.4861

0.4864

0.4868

0.4871

0.4875

0.4878

0.4881

0.4884

0.4887

0.4890

2.30.4893

0.4896

0.4898

0.4901

0.4904

0.4906

0.4909

0.4911

0.4913

0.4916

2.40.4918

0.4920

0.4922

0.4925

0.4927

0.4929

0.4931

0.4932

0.4934

0.4936

2.50.4938

0.4940

0.4941

0.4943

0.4945

0.4946

0.4948

0.4949

0.4951

0.4952

2.60.4953

0.4955

0.4956

0.4957

0.4959

0.4960

0.4961

0.4962

0.4963

0.4964

2.70.4965

0.4966

0.4967

0.4968

0.4969

0.4970

0.4971

0.4972

0.4973

0.4974

2.80.4974

0.4975

0.4976

0.4977

0.4977

0.4978

0.4979

0.4979

0.4980

0.4981

2.90.4981

0.4982

0.4982

0.4983

0.4984

0.4984

0.4985

0.4985

0.4986

0.4986

3.00.4987

0.4987

0.4987

0.4988

0.4988

0.4989

0.4989

0.4989

0.4990

0.4990

Aproximacion de la normal a la binomial.

- Intorduccion, Funcion de probabilidad (modelo matematico)

- Caracteristicas (forma, media, Desv. Est.), Uso de tablas

Introduccion. Esta sección sobre la distribución normal comienza con un desarrollo de ésta como una aprocimación de la variable aleatoria binomial con un número grande de ensayo. Como consecuencias de esto, no debe sorprender el hecho de que la distribución normal se utiliza para aproximar probabilidades binomiales en casos donde n es grande.

Modelo matematico.

18

Caracteristicas. En este caso se estarán calculando probabilidades de experimentos Binomiales de una forma muy aproximada con la distribución Normal, esto puede llevarse a cabo si n¥® y p = p(éxito) no es muy cercana a 0 y 1, o cuando n es pequeño y p tiene un valor muy cercano a ½ ; esto es,

 

Donde:

x = variable de tipo discreto; solo toma valores enterosm = np = media de la distribución Binomial

s =   = desviación estándar de la distribución Binomial Cuando ocurren las condiciones anteriores, la gráfica de la distribución Binomial, es muy parecida a la distribución Normal, por lo que es adecuado calcular probabilidades con la Normal en lugar de con la Binomial y de una forma más rápida.

Distribucion de probabilidad exponencial.

Esta distribución trata probabilidades acerca de la medida de tiempo o distancia entre ocurrencias con respecto a un intervalo continuo.

Definicion. Se dice que una variable aleotoria continua X que toma todos los valores positivos tiene una distribucion exponencial con parametro α positivo si su funcion de densidad de probabilidad esta dada por:

19

BIBLIOGRAFIA.

Probabilidad y Estadística Aplicadas a la Ingeniería (Montgomery - Runger) - 2º Edición [Cap 1 - 8]

http://es.scribd.com/doc/30494170/Que-exactamente-el-azar

http://www.ditutor.com/distribucion_binomial/esperanza_matematica.html

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r51634.PDF

http://manuelreyesdistribuciones.blogspot.mx/2010/10/distribuciones-binomial-poisson-normal_1712.html

http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/Probabilidad/doc/Unidad%202/2.7.HTM

http://apaecvee.blogspot.mx/2008/05/area-bajo-la-curva-normal.html