Primera Unidad Estadistica

8/18/2019 Primera Unidad Estadistica

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I Unidad: Estadística Descriptiva

Introducción

Hace más de cien años, H.G. Wells, escritor e historiador inglés, dijo que algún díael razonamiento cuantitativo sería tan importante para la gran maoría de losciudadanos como la capacidad de leer. !o menciono el área de los negocios, a

que la revoluci"n industrial apenas inicia#a. !o o#stante, Wells tenía raz"n. $i#ien la e%periencia en los negocios, cierta ha#ilidad para hacer pron"sticosrazonados la intuici"n constituen atri#utos &undamentales en los gerentes coné%ito, los pro#lemas que en la actualidad se presentan en los negocios tienden aser demasiado complejos como para tomar decisiones solo con estos criterios.

'na de las herramientas utilizadas para la toma de decisiones es la estadística,pero la estadística no solo sirve a la gente dedicada a los negocios, su aplicaci"nen la llamada medicina cientí&ica que nace por la necesidad de analizar elresultado de los tratamientos médicos so#re el e&ecto positivo que tenían en larecuperaci"n de un paciente. (ras el descu#rimiento de los procedimientos parainvertir las de&iciencias #ioquímicas que causan algunas a&ecciones laela#oraci"n de los anti#i"ticos &ue posi#le una curaci"n de las personas a travésde prue#a error, más tarde a esto se le llamaría Diseño Experimental .

$i se desea analizar el impacto que tiene una dieta en los tra#ajadores de laszonas &rancas, nos podremos percatar que no tiene el mismo impacto en lostra#ajadores del campo, con &recuencia queremos analizar el e&ecto que tiene unaactividad la#oral en las en&ermedades musculo esqueléticas desarrolladas por lostra#ajadores en su puesto.

)n el campo ingenieril nos interesa conocer la resistencia a la tenci"n de unarmado de acero o la compactaci"n de una carretera, de esta manera podemospronosticar su esperanza de vida. )n los procesos productivos de una empresamanu&acturera de#e tomarse en cuenta la calidad del producto. *entro de laevoluci"n de la calidad, se pueden distinguir cinco etapas que están íntimamenteligadas al desarrollo de la propia administraci"n.

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Estadística: +iencia que trata de la recopilaci"n, organizaci"n, presentaci"n,análisis e interpretaci"n de datos numéricos estadísticas- con el &in de realizar una toma de decisiones más e&ectiva

Importancia de estudio la estadística

DIVICIONES DE LA ESTADISTICA

Estadística Descriptiva: rocedimientos estadísticos que sirven para organizar resumir conjunto de datos numéricos, trata de la presentaci"n de datos en gra&icaso en distri#uci"n de &recuencia se aplican diversos promedios medidas de

dispersi"n.

Estadística Inferencial: rocedimientos estadísticos que sirven para deducir oin&erir algo acerca de un conjunto de datos numéricos po#laci"n-, seleccionadosde un grupo menor de ellos muestra-.

/unciona tomando una muestra de una po#laci"n e&ectuando estimacionesacerca de una característica de esa po#laci"n con #ase en los resultados delmuestreo.

o!lación: +onjunto de todos los posi#les individuos, personas, o#jetos omediciones de interés cientí&ico.

"uestra: 'na porci"n o parte de la po#laci"n de interés.

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1. Toda información de interés para el om!re sep"ede est"diar c"antitativamente

2. #as técnicas estadísticas se "san para o!tener $

procesar información vital.

%. #os res"ltados estadísticos permiten $ facilitan la

toma de decisiones &"e nos afectan.


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Tipos de muestreo 0os autores proponen di&erentes criterios de clasi&icaci"n delos di&erentes tipos de muestreo, aunque en general pueden dividirse en dos

grandes grupos1 métodos de muestreo pro#a#ilísticos métodos de muestreo nopro#a#ilísticos.

2 continuaci"n se descri#en los distintos tipos para estos dos grandes grupos, si#ien en general, para los estudios que nosotros llevaremos a ca#o, tra#ajaremoscon muestreos pro#a#ilísticos.

"#todos de muestreo pro!a!ilísticos:0os métodos de muestreo pro#a#ilísticosson aquellos que se #asan en el principio de equipro#a#ilidad. )s decir, aquellosen los que todos los individuos tienen la misma pro#a#ilidad de ser elegidos para&ormar parte de una muestra , consiguientemente, todas las posi#les muestras detamaño n tienen la misma pro#a#ilidad de ser elegidas.

$"lo estos métodos de muestreo pro#a#ilísticos nos aseguran la representatividadde la muestra e%traída son, por tanto, los más recomenda#les. *entro de losmétodos de muestreo pro#a#ilísticos encontramos los siguientes tipos1

3uestreo aleatorio simple1 )l procedimiento empleado es el siguiente1$e asigna un número a cada individuo de la po#laci"n

2 través de algún medio mecánico #olas dentro de una #olsa, ta#las denúmeros aleatorios, números aleatorios generadas con una calculadora uordenador, etc- se eligen tantos sujetos como sea necesario para completar el tamaño de muestra requerido.

)ste procedimiento, atractivo por su simpleza, tiene poca o nula utilidad prácticacuando la po#laci"n que estamos manejando es mu grande.

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"uestreo aleatorio sistem$tico: )ste procedimiento e%ige, como el anterior,numerar todos los elementos de la po#laci"n, pero en lugar de e%traer n númerosaleatorios s"lo se e%trae uno. $e parte de ese número aleatorio i, que es unnúmero elegido al azar, los elementos que integran la muestra son los queocupan los lugares i, i45, i465, i475,...,i4n89-5, es decir se toman los individuos de

5 en 5, siendo 5 el resultado de dividir el tamaño de la po#laci"n entre el tamañode la muestra1 5 : !;n. )l número i que empleamos como punto de partida será unnúmero al azar entre 9 5.)l riesgo se este tipo de muestreo está en los casos en que se dan periodicidadesen la po#laci"n a que al elegir a los miem#ros de la muestra con una periodicidadconstante 5- podemos introducir una homogeneidad que no se da en la po#laci"n. primeros son varones los > últimos mujeres, si empleamos unmuestreo aleatorio sistemático con 5:9= siempre seleccionaríamos o s"lo

hom#res o s"lo mujeres, no podría ha#er una representaci"n de los dos se%os.

"uestreo aleatorio estratificado: (rata de o#viar las di&icultades que presentanlos anteriores a que simpli&ican los procesos suelen reducir el error muestralpara un tamaño dado de la muestra. +onsiste en considerar categorías típicasdi&erentes entre sí estratos- que poseen gran homogeneidad respecto a algunacaracterística se puede estrati&icar, por ejemplo, según la pro&esi"n, el municipiode residencia, el se%o, el estado civil, etc-. 0o que se pretende con este tipo demuestreo es asegurarse de que todos los estratos de interés estaránrepresentados adecuadamente en la muestra. +ada estrato &unciona

independientemente, pudiendo aplicarse dentro de ellos el muestreo aleatoriosimple o el estrati&icado para elegir los elementos concretos que &ormarán parte dela muestra. )n ocasiones las di&icultades que plantean son demasiado grandes,pues e%ige un conocimiento detallado de la po#laci"n tamaño geográ&ico, se%os,edades,...-.0a distri#uci"n de la muestra en &unci"n de los di&erentes estratos se denominaa&ijaci"n, puede ser de di&erentes tipos1

Afi%ación Simple: 2 cada estrato le corresponde igual número de elementosmuéstrales.

Afi%ación roporcional: 0a distri#uci"n se hace de acuerdo con el peso tamaño-de la po#laci"n en cada estrato.

Afi%ación &ptima: $e tiene en cuenta la previsi#le dispersi"n de los resultados, demodo que se considera la proporci"n la desviaci"n típica. (iene poca aplicaci"na que no se suele conocer la desviaci"n.

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"uestreo aleatorio por con'lomerados: 0os métodos presentados hasta ahoraestán pensados para seleccionar directamente los elementos de la po#laci"n, esdecir, que las unidades muéstrales son los elementos de la po#laci"n. )n elmuestreo por conglomerados la unidad muestra es un grupo de elementos de la

po#laci"n que &orman una unidad, a la que llamamos conglomerado. 0as unidadeshospitalarias, los departamentos universitarios, una caja de determinado producto,etc., son conglomerados naturales. )n otras ocasiones se pueden utilizar conglomerados no naturales como, por ejemplo, las urnas electorales. +uando losconglomerados son áreas geográ&icas suele ha#larse de ?muestreo por áreas@. )lmuestreo por conglomerados consiste en seleccionar aleatoriamente un ciertonúmero de conglomerados el necesario para alcanzar el tamaño muestralesta#lecido- en investigar después todos los elementos pertenecientes a losconglomerados elegidos.

ara &inalizar con esta e%posici"n de los métodos de muestreo pro#a#ilísticos esnecesario comentar que ante lo compleja que puede llegar a ser la situaci"n realde muestreo con la que nos en&rentemos es mu común emplear lo que sedenomina muestreo polietápico. )ste tipo de muestreo se caracteriza por operar en sucesivas etapas, empleando en cada una de ellas el método de muestreopro#a#ilístico más adecuado.

Varia!les: $i con&orme seo#serva una característica. $eencuentra que toma valores

di&erentes en personas,sucesos o lugares, se dice queesta característica es unavaria#le, se hace esto por lasencilla raz"n que lacaracterística no es la mismacuando se o#serva en losdi&erentes poseedores de ella

2lgunos ejemplos de varia#les

incluen las estaturas de los adultos del se%o masculino, los pesos de los niños enedad preescolar las edades de los pacientes que se ven en una clínica dental.

Varia!les Cuantitativas: una varia#le cuantitativa es aquella que puede medirse,por ejemplo, se puede o#tener mediciones de la estatura de los adultos del se%omasculino, los pesos de los niños en edad preescolar las edades de los

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pacientes que se ven en una clínica dental. )stos son ejemplos de varia#lescuantitativas.Varia!les Cualitativas1 2lgunas características pueden no ser medidas en elsentido en que se miden la estatura, el peso, la edad. 3uchas características solopueden catalogarse, como por ejemplo, cuando a una persona en&erma se le da

un diagnostico medico, +uando a una persona se le designa dentro de un gruposocioecon"mico " cuando se dice que una persona, lugar u o#jeto posee o noposee alguna característica de interés. )stas varia#les se conocen como varia#lescualitativas.Niveles de medición

)%isten +uatro niveles demedici"n1 el nominal, ordinal, por intervalo de raz"nA la medici"nmas #aja o más primaria

corresponde al nivel de medici"nnominal. 0a más alta o el nivel queproporciona la maor in&ormaci"nrelacionada con la o#servaci"n esla medici"n de raz"n.

Nivel de "edición Nominal: 0aso#servaciones acerca de una varia#le

cualitativa solo se clasi&ican cuentan,no e%iste una &orma particular paraordenar las etiquetas, por ejemplo elgénero se puede clasi&icar, sup"n quese realiza un conteo de los estudiantesque entran a un partido de &ut#ol,cuántos son hom#res cuantosmujeres, al realizar un inspecci"n allistado de consultas e%ternas,clasi&icaremos cuántas de ellascorresponden a en&ermedades

cardiacas cuantas corresponden a en&ermedades renales.0as características de las varia#les de nivel nominal son19. 0as categorías que se usan para las varia#les son mutuamente e%cluentes

e%haustivas. 'n o#jeto pertenece a una solo una categoría.6. 0as categorías no guardan un orden l"gico entre ellas que permitan

ordenarlas.

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Nivel de "edición Ordinal: +onsiste en sím#olos letras, nom#res o inclusonúmeros. 2quí, si importa la categoría a que a como su nom#re lo indica, en

dependencia de la categoría se puede decir si es mejor una de otra.0as características de las varia#les del nivel

ordinal son19. 0as categorías son mutuamentee%cluentes e%haustivo.

6. 0as categorías pueden ordenarse demaor a menor o viceversa-, deacuerdo con la característica especial

que poseen.

Nivel de "edición de Intervalo: esta escala deintervalo posee todas las características de laescala ordinal, con la propiedad adicional de que los

nom#res o sím#olos asignados son generalmentenúmeros la di&erencia entren dos de ellos danresultados signi&icativos que ha una unidad demedida común constante. )jemplo de esta escalaes la lectura de la temperatura +elsius o /ahrenheit.0as propiedades de la escala de intervalo son1

9. 0as categorías son mutuamente e%cluentes e%haustivas.

6. 0as categorías están ordenadas de acuerdocon la cantidad de la característica queposeen.

7. *i&erencias iguales en las características están representadas por di&erencias iguales en los números asignados a las categorías.

Nivel de "edicion de (a)on: )sta escala es el nivel de medicion mas alto, tienetodas las caracteristicas de intervalo pero ademas tiene un punto cero natural o

teorico .0as propiedades de la escala de la razon son1

9. 0as categorias son mutuamente e%cluentes e%haustivas.

6. 0as categorias estan ordenadas de acuerdo

con la cantidad de las caracteristicas queposeen.7. *i&erencias iguales en la caracteristica estan

presentadas por di&erencias iguales en losnumeros asignados a la caracteristica.

B. )l punto cero re&leja la ausencia de esacaracteristica.

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DIST(I*+CION DE ,(EC+ENCIA'na distri#uci"n de &recuencia es un conjunto de puntuaciones ordenadas en susrespectivas categorías. 'na distri#uci"n de &recuencias ordenara los datos si estosse dividen en clases se registrara el número el número de o#servaciones en

cada clase.

E%emplo: Caria#le1 cooperaci"n de personal para el proecto de calidad de laempresa

Cate'orías Códi'os ,recuencias

$i se ha o#tenido la cooperaci"n 9 D9!o se ha o#tenido la cooperaci"n 6 >!o responden 7 6ETotal -..

2 veces las categorías de las &recuencias, son tantas que es necesario resumirlasen clases

E%emploIn'reso ,amiliar /01 ,recuencias

9=,===.== 8 99,DDD.== 9696,===.== 8 97.DDD.== 9B9B,===.== 8 9>,DDD.== 6B9E,===.== 8 9F,DDD.== 9>9,===.== 8 9D,DDD.== 97

6=,===.== 8 69,DDD.== F66,===.== 8 67,DDD.== E6B,===.== 8 6>,DDD.== B6E,===.== 8 6F,DDD.== 76,===.== 8 6D,DDD.== 6Total -220as distri#uciones de &recuencias pueden completarse agregando las &recuenciasrelativas las &recuencias acumuladas, las &recuencias relativas son losporcentajes de casos en cada categoría, las &recuencias acumuladas son las quese van acumulando en cada categoría, desde la más #aja hasta la más alta.

E%emplo3Cate'orías Códi'o f i f4 fa fa4

$e ha dado la cooperado 9 D9 FB.E D9 FB.E!o ha dado la cooperado 6 > B.9 DE F.F!o responde 7 6E 66.7 966 9==Total -.. -22

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Comentario rácticamente tres cuartas partes de las organizaciones si hano#tenido la cooperaci"n del personal. 0lama la atenci"n que poco más de unaquinta parte, no quiso comprometerse con su respuesta. 0as organizaciones queno han logrado la cooperaci"n del personal representan menos del >.

'na de las técnicas más comúnmente usadas para considerar cuando se va aagrupar ciertos datos, es cuantos intervalos van a incluirse. al seleccionar elnumero de intervalos se de#e calcular a través de la &ormula K= 1+3.322log(n),donde K representa el numero de intervalos de clases n el número de casos enel conjunto de datos #ajo consideraci"n.

2 continuaci"n se presenta una guía que puede tomarse en cuenta paradeterminar el número de intervalos de clases ?K @ en un conjunto de datos.Ta!la -3-

No

de Casos a Ta!ular /n1 No

de clases 5ue se de!en utili)ar /k 1-6 7 .8 >92 7 68 E2 7 88 F

-22 7 -88 .22 7 ;88 D622 7 888 9=

-


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-26 ..- ->9 -> -.- ->- ->2 -;98= -6; -69 -=; -.2 -> -= -;-

.;6 ..> -=; -88 ->- -6> -= --2-9 -9- -6; --6 -2 .2> -6> -99.2= ->2 -82 -89 -8; -99 -6 -.9

-9; -=> = -= ->; -96 ..8 -;.-> -6= -2- -=- -6 -=. -6> -8-88 -6- -;. -9 -;6 -=- -;> -6>-2 -=6 -;8 >= -2 .9= -62 -96-8 .2- .22 -= -62 -=2 --> -;8

Iango: 6B> J FE :9ED.K con respecto a la ta#la 9.9 el número de casos se encuentra entre E= J DD por lotanto K es igual a F con lo que1C : Iango; k : 9ED;F : 6B.9B : 6>.

2hora podemos presentar la ta#la de distri#uci"n de &recuencia de manera mástécnica.

Clase (C) L.R. i ! i !" !a . !a"

FE J 9== F>.> J 9==.> 7 7,F> 7 7,F>

9=9 8 96> 9==.> J 96>.> 997 9= 99 97,F>

96E 8 9>= 96>.> J 9>=.> 97 9E 6= 6F 77,F>

9>9 8 9F> 9>=.> J 9F>.> 9E7 6F 77,F> >B EF,>

9FE 8 6== 9F>.> J 6==.> 9 9F 69,6> F9 ,F>6=9 8 66> 6==.> J 66>.> 697 > E,6> FE D>

66E 8 6>= 66>.> J 6>=.> 67 B > = 9==

(otal = 9==

Limites (eales o Naturales

Lim3 real inf3? lím3 inf @ 236

Lím3 real sup3? Lim3sup3 236

(ESENTACION B(A,ICA DE LOS DATOS#ota$i%n&

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n representa el numero de o#servaci"n es un conjunto de datos, laso#servaciones están representadas por una varia#le con su#índice por ejemplo X 1, X 2 , ... , X n ).

Dia'rama de tallo o%as

)s una #uena manera de o#tener una #uena prestaci"n visual in&ormativa delconjunto de datos X 1, X 2 , …, X n donde cada numero X i (i=1, 2, …, n) está &ormadoal menos por dos dígitos, para construir un diagrama de este tipo, los números X i se dividen en dos partes, un tallo &ormado por uno o más de los dígitos principales una hoja le cual contiene el resto de los dígitos para ilustrar el ejemplo anterior consideremos la o#servaci"n x i :FE, entonces FE se puede dividir en un tallo F una hoja E. lo usual es seleccionar entre > 6= tallos.

Tallo o%as ,recuencia

= E -> F -8 F -

-2 >, 9 .-- >, , = 9-. 9, =, 7 9-9 B, 9, 7, >, 7, > -; 6, D, >, , 7, 9, E, D >-6 B, F, 9, 7, B, =, , , E, , =, -.- 7, =, F, 7, =, >, =, , F, D -2-= , >, B, B, 9, E, 6, 9, =, E -2-> =, 7, E, 9, B, 9, = =-8 D, E, =, D, 7, B .2 F, 9, =, ;.- -.. 9, , D 9.9 F -.; > -

Total >2

isto'rama

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(am#ién es útil presentar la distri#uci"n de&recuencia en &orma gra&ica, este reci#e elnom#re de histograma.ara realizar un histograma, el eje horizontal seutiliza para presentar la escala de medici"n

para di#ujar las &ronteras de las clases, el ejevertical representa la escala de &recuencia.

Dia'rama de *arras)l diagrama de #arras se asemeja mucho a unhistograma, e%cepto que es una gra&ica de #arrasde &recuencias de una varia#le cualitativas.+onsideremos la ta#la del ejemplo del nivel demedici"n ordinal para realizar este gra&ico.

O%iva /olí'ono de ,recuenciasacumuladas1$e utiliza para determinar cuántaso#servaciones se encuentran por de#ajode ciertos valores

Dia'rama de astel+omo su nom#re lo indica este diagramatiene la &orma de un pastel las&recuencias se van &ormando enporciones.

"EDIDAS DE TENDENCIA CENT(AL F DE DISE(SI&N A(A DATOS NOAB(+ADOS

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"EDIDAS DE TENDENCIA CENT(AL:"edia Aritm#tica /romedio13 )s la medida de tendencia central más utilizada puede de&inirse como el promedio aritmético de una distri#uci"n. )s una medidasolamente aplica#le a mediciones por intervalo o de raz"n.

"edia Aritm#tica Simple3

o#laci"n 3uestra)n el ejemplo el promedio es1

:

"ediana)s el valor céntrico en un conjunto de valores ordenados de menor a maor o demaor a menor, una &orma &ácil de localizar la posici"n del elemento medio paralos datos agrupados es por medio de n49-;6.

• )s una medida de tendencia central propia de los niveles de medici"n

ordinal, por intervalo de raz"n.

• !o es in&luenciada por valores e%ternos.

• )l >= de las o#servaciones son maores que la mediana.

• !o necesita ser uno de los valores del conjunto de datos.

• )s única para un conjunto de o#servaciones.

FE 967 9B> 9>B 9E7 9F6 99 6==

F 979 9BE 9>E 9E7 9FB 97 6=9

DF 977 9B 9>F 9E> 9FB 9B 6=F

9=9 977 9BD 9> 9EF 9F> 9E 6=

9=> 97B 9BD 9> 9EF 9FE 9D= 69

99= 97> 9>= 9> 9E 9FE 9D7 669

99> 97> 9>= 9> 9ED 9F 9DB 66

99 9B9 9>9 9E= 9F= 9= 9DE 66D

96= 9B6 9>7 9E= 9F9 9= 9DD 67F969 9B7 9>B 9E= 9F9 99 9DD 6B>

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osici"n de la 3ediana:n49-;6.: = 4 9- ;6 : B=.>0a mediana se encuentra entre los valores X 40 X 41 por lo tanto se encuentraentre los valores 9E= 9E7. 3ediana: X 40 4 X 41-;6. : 9E= 4 9E7- ;6 : 9E9.>

"oda3 )s el valor de la o#servaci"n que aparece con más &recuencia.

• 0a moda es útil en especial al descri#ir a los niveles nominal ordinal de

medici"n 2unque puede determinarse para todos los niveles de datos-.

• 'n conjunto de datos puede tener más de una moda.

)n el ejemplo que nosotros tenemos el dato que mas se repite es el valor 9> por lo tanto la moda es 9>

"EDIDAS DE DISE(SION

)%aminaremos varias medidas de dispersi"n o varia#ilidad de los datos, laamplitud total, la varianza, la desviaci"n estándar coe&iciente de variaci"n.

Gor 5u# estudiar la dispersiónH9. 2l aplicar una medida de dispersi"n es posi#le evaluar la con&ia#ilidad del

promedio que se esta utilizando, una dispersi"n pequeña indica que losdatos se encuentran acumulados cerca mente, por ejemplo, alrededor de lamedia aritmética, por tanto la media se considera #astante representativade los datos. )sto es, la media es un promedio con&ia#le.

6. 'na medida de dispersi"n permite apreciar cuan dispersas están dos o masdistri#uciones.

Varian)a Desviación Est$ndar

0a varianza la desviaci"n estándar se #asan en las desviaciones con respecto ala media.

Varian)a3 3edia aritmética de las desviaciones cuadráticas con respecto a la

media

Varian)a o!lacional

o #ien

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*ondeL6 1 )s el sím#olo para la varianza de una po#laci"n.M 1 )s el valor de la o#servaci"n en la po#laci"n.N 1 )s la media o#lacionalO 1 )s el número total de o#servaciones en la po#laci"n

)n general es di&ícil interpretar el signi&icado del valor de una varianza, por lasunidades en las que se e%presa son valores elevados al cuadradoA es mas&recuente el uso de la raiz cuadrada

Desviación Est$ndar3 )s la raíz cuadrada de la varianza

" #ienVarian)a "uestral3 0a &ormula para la varianza muestral utilizada como estimador de la varianza po#lacional es

o #ienDesviación Est$ndar muestral3 0a desviaci"n estándar de una muestra sedenota como

o #ien0a desviaci"n estándar se interpreta como cuanto se desvía en promedio de lamedia un conjunto de puntuaciones.

0a desviaci"n estándar solo se utiliza en varia#les medidas por intervalo o deraz"n.

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"EDIDAS DE TENDENCIA CENT(AL F DE DISE(SI&N A(A DATOSAB(+ADOS

"EDIDAS DE TENDENCIA CENT(AL: 2l tra#ajar con datos que han sido agrupados en una distri#uci"n de &recuencia, no

se conoce cuales son las o#servaciones individuales, en la ta#la de &recuencia delos pacientes atendidos en el Hospital 3anolo 3orales se sa#e solamente queha tres pacientes cuos pesos se encuentran entre FE 9== li#ras, no se tienenci&ras e%actas de esos tres pacientes. $in los valores especí&icos, losprocedimientos mostrados anteriormente para calcular las medidas descriptivas,simplemente no se aplican, de#en encontrarse métodos alternativos. *e#entenerse en mente que los cálculos hechos utilizando datos agrupados son soloapro%imaciones."edia Aritm#tica onderada3

2l tra#ajar con la media de los datos agrupados, se supone que las o#servaciones

en cada clase son iguales al punto medio de la clase. *ada esta suposici"n sede#e tener en cuenta la &recuencia los puntos medios de cada clase cuando secalcule la media utilizando datos agrupados

en donde f es la &recuencia o numero de o#servaciones en cada claseW es el punto medio de cada clase

n es el tamaño de la muestra es igual a las &recuenciassumadas

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Clase /C1 ' i i a$m. 3 i ! i W i 2f i = 7 -22 7 7 6EB 67676-2- @ -.6 997 99 D=B 9=69>6-. @ -62 97 9E 6F 66= 7=BF=B

-6- @ -=6 9E7 6F >B BB=9 F9F7E7-= @ .22 9 9F F9 79DE E==B.2- @ ..6 697 > FE 9=E> 66EB>.. @ .62 67 B = D>6 66E>FE Total >2 -.882 ..2-=.2

"ediana$i se han registrado datos en una ta#la de &recuencias, no pueden colocarse en unarreglo ordenado para calcular la mediana. rimero se de#e hallar la clase de lamediana de la distri#uci"n de &recuencias. 0a clase mediana es la clase cua&recuencia acumulada es maor que o igual a n;6.*e#ido a que n es =, se necesita localizar la primera clase con una &recuenciaacumulada de B= o más. 0a cuarta clase tiene una &recuencia acumulada de >B ,la mediana puede determinarse entonces como1

)n donde1Lm* )s el límite in&erior de la clase de la mediana 9>9- )s la &recuencia acum. de la clase que antecede a la clase de la

mediana 6F-! m* es la &recuencia de la clase de la mediana 6F-C )s el intervalo de clase de la clase de la mediana.

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"oda3Pa que por de&inici"n la moda es la o#servaci"n que ocurre con maor &recuencia,se hallara en la clase que tenga la &recuencia más alta , llamada la clase modal.para estimar la moda en el caso de datos agrupados se utiliza la siguiente &"rmula1

)n donde0mo )s el límite in&erior de la clase modal*a )s la di&erencia entre la &rec de la clase modal la clase que le

antecede.*# )s la di&erencia entre la &rec de la clase modal la clase que le sigue.+ )s el intervalo de clase de la clase modal.

"EDIDAS DE DISE(SIONVarian)a Desviación Est$ndar

$i los datos están agrupados en una ta#la de distri#uci"n de &recuencia, lavarianza la desviaci"n estándar pueden calcularse como

Coeficiente de variación3)l coe&iciente de variaci"n es una medida mu útil cuando1

9. 0os datos están en unidades di&erentes como salario días de asistencia-.6. 0os datos están en la misma unidad, pero las medidas mu distantes

ingreso de un ministro, ingeniero, o un maestro de primaria-.7. +uando se desea comparar la varia#ilidad de dos conjunto de datos.

)l coe&iciente de variaci"n indica la magnitud relativa de la desviaci"n estándar encomparaci"n con la media de la distri#uci"n, e%presada como porcentaje.

o!lación

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"uestra

ara nuestro ejemplo el coe&iciente de variaci"n es

.

C+A(TILES F E(CENTILES3Cuartiles0os cuarteles dividen los datos en cuatro partes iguales, los deciles en 9= partes los percentiles en 9== partes.

9. )l primer cuartil Q9 es el valor que corresponde al punto por de#ajo del cualse encuentra el 6> de las o#servaciones.

6. )l segundo cuartil Q6 corresponde a la mediana, es decir, separa el >=

superior de un conjunto de o#servaciones, del >= in&erior. )l segundocuartil es e%actamente la mediana.

7. )l tercer cuartil Q7 es el valor que corresponde al punto por encima del cualse encuentra el 6> de las o#servaciones.

E%emplo:

2 continuaci"n se presentan 6= o#servaciones en orden del tiempo de &allas, enhoras, de un estetoscopio eléctrico.6=B 66 6>6 7== 76B BBB E6B F6= 9E D9699FE 96DE 97D6 9B 9>96 6>6= 6>E 79D6 7>6 7F9=

3e : Q6 osici"n de la mediana n49-;6 : 69;6 : 9=.> or lo tanto la mediana se encuentraentre las o#servaciones 9= 99Q6: D96499FE-;6 : 9=BB.

0o que corresponde al primer cuartil el cual de#e tener al menos 6> de los datospor de#ajo de él, por lo menos > o#servaciones en su valor o por de#ajo de el almenos F> de los datos o al menos 9> o#servaciones en su valor o por encimade el. or lo tanto, el primer cuartil se encuentra entre la quinta la se%tao#servaci"n.

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*e igual manera, sa#iendo que Q7 de#e tener al menos el F> de los datos por de#ajo de él, es decir 9> o#servaciones al menos 6> de los datos, es decir >o#servaciones por encima de él, entonces Q7 se encuentra entre laso#servaciones 9> 9E.

.

ercentiles+uando un conjunto ordenado se divide en cien partes iguales, los puntos dedivisi"n reci#en el nom#re de percentiles. )n términos más generales, el 100k-esimo percentil pk se de&ine de la siguiente manera1

)l 100k-esimo percentil pk es un valor tal, que al menos el 100k% de las

o#servaciones están en el valor o por de#ajo de él al menos el 100(1-k)% estánen el valor o por encima de él.

)l procedimiento para encontrar el valor de cualquier percentil a través de losdatos clasi&icados es el siguiente1)ncontrar el número de la posici"n i del percentil, mediante del cálculo de nk. $ink no es entero entonces i es el siguiente entero más grandeA si nk es entero,entonces i es igual a nk+0.5.$i i es entero, encuentre desde la o#servaci"n más pequeña hasta llegar a la i-esima o#servaci"n. $i i no es entero, entonces contiene una &racci"n igual a R con

lo que el valor p5 es el promedio de la o#servaci"n nk nk+1.

E%emplo3 )ncontrar los percentiles 9= a) k = 0.10 pk =p0.10 nk=20*0.10= 2 : nk es entero por tanto

i=nk+0.5=2.5

or tanto el percentil 9= se encuentra entre las o#servaciones 6 7. p0.10 = (x 2 +x )!2 =(22" + 252)!2 = 240.

#) k= 0."" pk = p0."" nk=20*0.""= 1$. no es entero, por tanto

i es el siguiente entero más grande i = 1" .or tanto el percentil se encuentra en la o#servaci"n 9 p0."" =1&2 .

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EE(CICIOS9- 0os siguientes datos son los niveles de glucosa en la sangre e%traída a 9==

niños en aunas1>E E9 >F FF E6 F> E7 >> EB E=E= >F E9 >F EF E6 ED EF E >D

E> F6 E> E9 E F7 E> E6 F> =EE E9 ED FE F6 >F F> E 9 EBED EB EE E> E> FE E> > E> EBE F9 F6 > F7 >> F7 FD 9 >EE> E= E> = EE = E >> EE F9F6 F7 F7 F> F> FB EE E F7 E>F7 FB E >D ED >> EF E> EF E7EF >E EF E6 E> F> E6 E7 E7 >D

6- )n E= grandes ciudades se tomaron muestras de partículas de materia ensuspensi"n microorganismos por metro cú#ico-.E E7 B6 6F 7= 7E 6 76 FD 6F66 67 6B 6> BB E> B7 6> FB >97E B6 6 79 6 6> B> 96 >F >996 76 BD 7 B6 6F 79 >= 7 699E 6B ED BF 67 66 B7 6F BD 667 76 9D BE E7 7= BF B7 BD 96

ara los e%ercicios - . repare:a- 'na (a#la de distri#uci"n de &recuencias use las técnicas para su

ela#oraci"n-.#- 'n *iagrama de tallo hojas.c- 'n Histogramad- 'n polígono de &recuencias acumuladas.e- +alcule la 3edia aritmética.&- +alcule la 3edia onderada.g- +alcule la 3ediana.h- +alcule la 3oda.

7- Iegresa a la situaci"n en que la señora Katherine Sall de 2uto'$2 deseata#las, diagramas gra&icas para mostrar el precio típico de venta en diversas

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concesionarias. 0a siguiente ta#la contiene e%clusivamente el precio de =vehículos vendidos el mes pasado en Whitner 2utople%. T+uál es el preciotípico de ventaU T+uál es el precio de venta más altoU T+uáles el precio deventa más #ajoU T2lrededor de que valor tienden a acumularse los precios deventaU

V679DF V677F6 V6=B>B V67>D9

V6EE>9 V6FB>7 V9F6EE

9=69 6E7 7=F6 9D>F 679ED 7>>9 9D6>96==BF 6B6> 6B76B 6BE=D 6EF= 9>>BE 9>D7>9DF7 6>6>9 6>6FF 6=7B 6B>77 6FBB7 9DD6===B 9F7>F 6=9>> 9DE 67E>F 6EE97 6=D>6=6=7 67FE> 6>F7 6EEE9 766FF 6=EB6 69D96B=>6 6>FDD 9>FDB 96E7 7>D6> 9F7DD 9FDE6=7>E 69BB6 69F66 9D779 669F 9DFEE 6=E776=DE6 66B> 6E6> 6FDE 6D=FE 76BD6 9D=69FB= 667FB 6B>F9 6>BBD 677F 6=EB6 67E976B66= 7=E>> 66BB6 9FD9 6=9 6E67F 6=BB>69>>E 69E7D 6B6DE

B- )l gerente de Silo $'permae5et en 3t. leasant, Ihode 9 clientes &ueron las siguientes1

> 7 7 9 B B > E B 6 E E E F 9

9 9B 9 6 B B B > E 7 > 7 B > E B F E > D 99 7 96 B F E > 9> 99 9= D 6 96

a- +omience a partir de = como límite in&erior de la primera clase, utilice unintervalo de clase de 7 organice los datos en una distri#uci"n de&recuencia.

#- *escri#a la distri#uci"n. T*"nde tienden a acumularse los datosUc- +onvierta la distri#uci"n en una distri#uci"n de &recuencias relativas.

>- 0a divisi"n de servicios alimenticios de +edar Iiver 2musement ar5,


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FF 9 E7 B 7 >B >= >D >B >E 7E 6E >= 7B BBB9 > > >7 >9 E6 B7 >6 >7 E7 E6 E6 E> E9 >6E= E= B> EE 7 F9 E7 > E9 F9

a- rganice los datos como distri#uci"n de &recuencias utilizando siete clases el 9> como límite in&erior de la primera clase. TQué intervalo de clases

eligi"U#- T*"nde tienden a acumularse los datosUc- *escri#a la distri#uci"n.d- *etermine la distri#uci"n de &recuencia relativa.

E- 0os tiempos de vida en año- de 7=#aterias de la marca 2 7= de la marca S sedan en las ta#las siguientes.

"arca *B.F B.D E.6 E.B >. >.B

>.B B.7 >.7 >. E.D >.D

>.> >.F E.B B.D E.> >.>

E.6 E.D >. B.D E.E >.>

E.> >.7 >.B B.D B.F E.Fa- )la#ore un histograma de &recuencia para cada una de las marcas de

#atería.#- +ompare los histogramas del inciso a- descrí#elo #revemente.c- $i tuviera que comprar una #atería T+ual marca elegiríaU 2rgumenta la

respuesta primero mediante las medidas las desviaciones medias, luegocon las medidas las desviaciones estándar.

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"arca A

E.D >.E B. B.6 E.7 E.>

.B F.E F.9 7.6 B.D B.>

E. D.7 >.9 B.B E.7 >.D>. >.= 7.6 >.B >.F E.E

>.= E.6 B.6 E.9 >.B B.E


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F- 0os siguientes datos provienen de un artículo en el ornal o! meri$an-e*i$al sso$iation que analizo si la temperatura del cuerpo humano erarealmente D.E= /.

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a-


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>1 EJplicación de las Varia!les:EDAD1 en añosSEKO1 = 3ujeres- 9 Carones-O Se#edor;a ha#itual1 9 $í- = !o-TALLA en cm.

ESO )n Kg.BL+ GlucemiaCT +olesterol (otal mg;dl-DL /racci"n de colesterol unido a lipoproteínas de alta densidad1 High*ensit 0ipoproteins mg;dl-+ET: Xndice de Quetelet peso;tallaY-. (am#ién se llama índice de masacorporal. )s una #uena medida de la o#esidad. $ería id"neo que seencontrase entre 6= 6>. 2 partir de un Quetelet de 7= ha#lamos de o#esidad, de o#esidad m"r#ida a partir de 7>.

e1 ES "+F I"O(TANTE +E INTE((ETES LOS (ES+LTADOS DECADA EE(CICIO3'no de los o#jetivos de la estadística es resumir presentar in&ormaci"ncuantitativa de &orma clara, por lo que es especialmente relevante que, en laresoluci"n de los ejercicios, se e%prese de &orma evidente el planteamiento delpro#lema, el método seguido para su resoluci"n, los resultados las conclusionesque se o#tengan.

a- +lasi&ica todas las varia#les de la ta#la 9, según sean cuantitativas,cualitativas, discretas o continuas.

#- Haz una ta#la con las &recuencias a#solutas, relativas acumuladas, a

partir de los datos de edad de la ta#la 9.c- Haz una ta#la con las &recuencias a#solutas, relativas acumuladas, apartir de los datos de glucemia de los varones de la ta#la 9.

d- Iepresenta grá&icamente la distri#uci"n de la varia#le talla de la ta#la 9.e- TQué puedes decir so#re las medidas de tendencia central de la varia#le

+( en las mujeres de la ta#la 9U

CASO EDAD SEKO O TALLA ESO BL+ CT DL TB +ET


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9 F = = 9B6 EF.== 9=E 9 7> 6=D 77

6 7F = = 9>E DF.>= D= 696 7F 97 B=

7 B7 = = 9> E=.== D 6=6 B= 99= 6B

B BE = = 9> 9.== 9=9 6F> B7 9EB 76

> 6= = = 9>> >>.>= = 7> B7 9E= 67

E 7> = = 9F7 FF.>= D 6=F >E B 6E

F 7E = = 9>D E=.>= 99= 69D >F >D 6B E9 = = 9>> =.== 99F 9DE > 9>7 77

D F> = = 9>= B7.>= > 9DE >D > 9D

9= 6B = = 9E> EE.6= B 96 E= 99= 6B

99 >7 = = 9ED EE.= DE 69 EB E> 67

96 7F = = 9E= E>.6= 9== 9D7 ED B7 6>

97 >F = = 9>6 >.>= 97F 6E= ED 9EB 7F

9B 6B = = 9FB EB.== F7 9DE F= E6 69

9> 66 = = 9>D >B.D= F 9>B F= B9 66

9E 6 = 9 9E9 >F.= E 67D F> 996 66

9F 6 = = 9EB F>.>= > 67 = 9D9 6

9 69 = 9 9EB EB.== F 9D7 7D > 6B

9D 7E = 9 9E= >>.== 69F B6 6 696= 7B = 9 9>9 >F.== 9=> 9E7 >6 BF 6>

69 7> = 9 9> EE.== D7 6B6 >B EE 6E

66 6E = 9 9EF BF.F= 6 9FD E9 F> 9F

67 69 = 9 9>F >F.B= F6 676 FF 979 67

6B F9 9 = 9>B E9.E= DE 677 7B 7E6 6E

6> 7> 9 = 9F7 DF.>= 97 699 7E E6= 77

6E 6D 9 = 9ED 9.== 9=9 66D B= EE 6

6F >= 9 = 9EF EF.>= 9=7 669 B9 6=F 6B

6 7D 9 = 9FB .== 9=6 69B B6 F 6D

6D 7D 9 = 9EF 6.== DF 6F7 B> 67D 6D

7= BF 9 = 9EB F=.== 6B= 6EB BD 9B= 6E

79 7D 9 = 9= 9.== F 67 EF >D 6>76 ED 9 = 9E F9.B= 9=D 67> FF B7 6>

77 B9 9 9 9EE 6.== 96> 6>> 7= 96 7=

7B 7B 9 9 9EB FB.== 996 9D 7> F= 6

7> 6= 9 9 9FB >9.>= 9== 967 7E 9== 9F

7E E7 9 9 9F7 F.== 9B6 9FF 7F 96 6D

7F 7D 9 9 9E B.== D6 6E6 7F 7B7 7=

7 77 9 9 9ED >D.== D9 6EE B= 9=FE 69

7D 69 9 9 9F> >.== 9= 6E B9 77= 6

B= 6D 9 9 9EF 9.E= D= 9D> B6 D> 6D

B9 7= 9 9 9E >D.6= D7 6EE B> 99B 69

B6 77 9 9 9E> F=.== 999 6BE B 9 6E

B7 >D 9 9 9> FF.== 97> 6BF BD 9BB 79BB E> 9 9 9FF E7.>= 96> 79 >= 9> 6=

B> BF 9 9 9EB ED.>= 9=D 77 >9 7F 6EBE 6D 9 9 9EF F.== 9=> 7F9 >6 9BE 6

Primera Unidad Estadistica

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