Instituto tecnológico de Campeche

Ingeniería en Administración.

Trabajo #1

TEMAS DE INVESTIGACIÓN CONCEPTUAL

Nombre de la Alumno(a): Ana Karen de Jesús Alfaro

Coyoc

Maestro: Ramón Bocos Patrón

Materia: Estadística I

Grupo: VD3

Fecha: 13 de octubre de 2014

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Tabla de contenidoDEFINICIÓN DE CONJUNTO..........................................................................................................3

NOTACIÓN DE CONJUNTOS..........................................................................................................3

CONJUNTOS EXPLICITOS E IMPLICITOS........................................................................................4

a) Explicito............................................................................................................................4

b) Por implícito.....................................................................................................................4

CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS................................................................................................4

Conjunto Finito.........................................................................................................................4

Conjunto Infinito......................................................................................................................5

EL CONJUNTO UNIVERSAL............................................................................................................5

EL CONJUNTO VACÍO....................................................................................................................5

SUBCONJUNTO.............................................................................................................................5

Subconjuntos Propios...............................................................................................................6

EL CONCEPTO GRAFICO DE CONJUNTOS:.....................................................................................6

DIAGRAMAS DE VENN..............................................................................................................6

OPERACIONES DE CONJUNTOS....................................................................................................6

Unión De Conjunto...................................................................................................................6

Intersección De Conjuntos.......................................................................................................7

Diferencia De Conjuntos O Complemento Relativo..................................................................7

Complemento Absoluto O Simplemente Complemento..........................................................8

Producto Cartesiano.................................................................................................................9

LEYES O PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS.................................................9

Propiedad idempotente...........................................................................................................9

Propiedad asociativa................................................................................................................9

Propiedad conmutativa............................................................................................................9

Distributiva.............................................................................................................................10

De Identidad...........................................................................................................................10

De Involución.........................................................................................................................10

CARDINAL DE UN CONJUNTO.....................................................................................................10

Número Cardinal..................................................................................................................10

Número Ordinal.....................................................................................................................10

Propiedades y Proposiciones..................................................................................................11

LA NECESIDAD DE CONTAR DENTRO DE LA EVOLUCION HUMANA............................................12

METODOS PARA REALIZAR UN CONTEO....................................................................................12

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a) A Través De Diagramas...................................................................................................13

i) Diagrama de venn.......................................................................................................13

ii) Diagramas de árbol.....................................................................................................13

iii)Caja o rayitas..................................................................................................................14

b) Principio Multiplicativo......................................................................................................14

b) A través de fórmulas o reglas de conteo........................................................................15

i) “k” eventos en “n” intento.........................................................................................15

ii) Para K₁,k₂……kn...........................................................................................................15

iii) N o bjetos tomados todos a la vez..............................................................................15

iv) Permutaciones............................................................................................................15

v) Combinaciones...........................................................................................................16

INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD.........................................................................................16

CONCEPTO BÁSICO DE PROBABILIDAD......................................................................................17

Experimento aleatorio y Ensayo.............................................................................................18

Espacio muestral y Evento......................................................................................................18

Tipos de Eventos........................................................................................................................19

Evento Simple.........................................................................................................................19

Evento Compuesto.................................................................................................................20

Eventos Mutuamente Excluyentes.........................................................................................20

Eventos Colectivamente Exhaustivos.....................................................................................21

Eventos Complementarios.....................................................................................................21

DEFINICIONES DE PROBABILIDAD..............................................................................................22

a) Enfoque clásico(A PRIORI)..............................................................................................22

b) Enfoque empírico o frecuencial ( a posteriori)...............................................................22

c) Axiomas básicos del probabilidad..............................................................................22

d) Probabilidad subjetiva................................................................................................23

CÁLCULO DE PROBABILIDADES..................................................................................................23

Tablas de Contingencia...........................................................................................................25

Tablas de Probabilidad...........................................................................................................25

Probabilidad simple................................................................................................................25

Probabilidad conjunta............................................................................................................26

Regla General de la adición....................................................................................................26

Probabilidad condicional e Independencia estadística...........................................................27

Regla De La MULTIPLICACION E Independencia Estadística....................................27

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TEOREMA DE BAYES...................................................................................................................28

Aplicaciones.......................................................................................................................29

BIBLIOGRAFÍA.............................................................................................................................31

PAGINAS WEB:.......................................................................................................................31

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Unidad II.- Técnicas de conteo y fundamentos d/la teoría d/la probabilidad.

Competencia especifica a desarrollar: -Aplicar las técnicas adecuadas en situaciones complejas de conteo.- Conocer los conceptos básicos de probabilidad para aplicarlos en la solución de problemas.

Temas De Investigación Conceptual-

DEFINICIÓN DE CONJUNTO.Es una colección de objetos bien claros y definidos, los cuales tienen una característica en común. A los objetos se les llama elementos del conjunto. Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente: La colección de elementos debe estar bien definida. Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, generalmente, estos elementos deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se contará sólo una vez. El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia.

NOTACIÓN DE CONJUNTOS Conjunto. < Menor que.

Ø conjunto vació. ≥ mayor o igual que.

C subconjunto. ≤ Menor o igual que.

C subconjunto propio. U unión de

| Tal que. ∩ intersección de.

€ pertenece a. - diferencia de.

€ No pertenece a. Ā conjunto complemento de A.

= igual a. AUB unión de conjunto A y B.

= diferente a. C∩D intersección de C y D.

≈ Aproximado a. A– B diferencia de A y B.

> Mayor que. B conjunto complemento de B.

Todo conjunto se escribe entre llaves y se le denota mediante letras mayúsculas A, B, C, ...,sus elementos se separan mediante punto y coma.

Ejemplo:

El conjunto de las letras del alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. se puede escribir así:

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L= a; b; c; ...; x; y; z

En teoría de conjuntos no se acostumbra repetir los elementos por ejemplo:

El conjunto x; x; x; y; y; z simplemente será x; y; z .

Al número de elementos que tiene un conjunto Q se le llama CARDINAL DEL CONJUNTO y se le representa por n(Q).

Ejemplo:

A= a;b;c;d;e su cardinal n(A)=5

B= x;x;x;y;y;z su cardinal n(B)= 8

CONJUNTOS EXPLICITOS E IMPLICITOSLos conjuntos se determinan de dos formas:

a) Explicito.Llamado también por modo Extensión, enumerativo o de forma tabular, donde cada elemento del conjunto es nombrado individualmente. Ej.: P= Tierra, Marte, Neptuno, Júpiter Q= Juan, Iván, Jorge Car (D)=n (D)=5 Car (A) =n(A)= 4R= Rebeca, Mercedes, Victoria

b) Por implícito Llamado también modo Comprensión., descriptivo o de forma constructiva, es cuando los elementos que forman el conjunto, enuncian una propiedad que los caracteriza a todos. Ej.: P= x/x es un planeta Se lee El conjunto P formado por los elementos x tal que x es un planeta Q= x/x es un elemento químico Se lee El conjunto Q formado por los elementos x tal que x es un elemento químico.

CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS

Conjunto Finito. Es aquel cuyo elemento se puede contar en forma usual desde primero hasta el último .Tienen un número conocido de elementos, es decir, se encuentran determinados por su longitud o cantidad. (El conjunto de días de la semana). Ej.:

A= El número computadoras del salón de clase

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B= 275 paginas del libro

C= números impares de 5 al 21

Conjunto Infinito. Es aquel cuyo elemento al contarlos no se llega a un último elemento del conjunto, es llamado también indeterminado. Son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud. (El conjunto de los números reales).Ej.:

A= x∈Z; x >2

B= x/x Es un número real

EL CONJUNTO UNIVERSALEs el conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por U o Ω. Se denota por la letra U; contiene, comprende o dentro del cual están todos los demás conjuntos. Ej.:

Si consideramos U como el conjunto de todos los Elementos Químicos, entonces dentro de U existirán subconjuntos de elementos sólidos, líquidos, gaseosos, radiactivos, metales, etc.

EL CONJUNTO VACÍOEs un conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo y se denota por el símbolo ( ).∅ . Generalmente se le representa por los símbolos: o

Ejemplo

A = o A = se lee: “A es el conjunto vacío” o “A es el conjunto nulo “

M = números mayores que 9 y menores que 5

P = x /

SUBCONJUNTOConjunto que forma parte de otro conjunto dado.

Por ejemplo, el conjunto de los números c, 1, 2, 3, 4, ..., es un subconjunto de los enteros I, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., y se escribe como c I.

Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Representado por el símbolo ⊂. A ⊂ B o B ⊃ A

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Subconjuntos Propios Se dice que es un subconjunto propio de A sí todos los elementos de un conjunto B se encuentran incluidos en él A, denotado por ⊆.

A ⊆ B o B ⊇ A

EL CONCEPTO GRAFICO DE CONJUNTOS:

DIAGRAMAS DE VENNUn diagrama de Venn es una representación pictórica de conjuntos en el plano. El conjunto universal. También los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de las matemáticas conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la relación matemática o lógica entre diferentes grupos de cosas (conjuntos), representando cada conjunto mediante un óvalo o círculo. La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando los círculos se superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas características comunes.U se representa por un rectángulo, cualquier otro conjunto se representa con un círculo. Una operación se representa mediante el sombreado de los elementos del conjunto.

OPERACIONES DE CONJUNTOS

Unión De Conjunto. La unión de conjunto A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos, se simboliza por: AUB, y se lee “A” unión “B” Notación: A U B = x/x ∈ A ∨ x ∈ B

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Gráficamente es:

Propiedades: Los más importantes son: 1) A U B = B U A (conmutativa) 2) A U A = A (Idempotencia) 3) A U Ø = A 4) A U U = U; U: universo

Intersección De Conjuntos.Dados los conjuntos A y B, se llama intersección al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y B a la vez; es decir es el conjunto formado por los elementos comunes a A y B , es decir: Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera del conjunto universal. La unión de A y B, expresada por A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o pertenecen a B. Notación: A ∩ B = x | x ∈ A y x ∈ B

Gráficamente:

Propiedades: i) A ∩ B = B ∩ A ii) A ∩ A = A iii) A ∩ Ø = Ø iv) A ∩ U = A; U: universo

Diferencia De Conjuntos O Complemento Relativo.Dados 2 conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B, al conjunto formado por todos los elementos de A y que no pertenecen a B; es decir, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen exclusivamente a A. Notación: A - B = x | x ∈ A, x B∉ Nota: A - B ≠ B – AEj.: Sean los conjuntos: A = 1, 2, 3, 6 B = 2, 4, 6, 7, 8

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C = 4, 7, 8 ⇒ A - B = 1, 3 B - C = 2, 6 A - C = 1, 2, 3, 6Gráficamente:

Propiedades: i) A - A = Ø ii) A - Ø = A iii) Ø - A = Ø iv) A - B = B – A ⇔ A = B

Complemento Absoluto O Simplemente Complemento.

Dado un conjunto A que está incluido en el universo U, se denomina complemento del conjunto A, a todos los elementos que estén fuera de A, pero dentro del universo. Sea A un subconjunto cualesquiera del conjunto universal. El complemento de A es el conjunto de elementos que perteneciendo al universo y no pertenecen al conjunto A, denotado por A’ o Ac.

Notación: Aᶜ= x/x ∈ U ∧ x A∉ Nota: Aᶜ= U – A

Ejem: Sean: U = 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8 A = 1, 3, 4, 7, 8Aᶜ= 2, 5, 6

Gráficamente:

Propiedades:

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Producto Cartesiano. Sean A y B dos conjuntos, el conjunto producto o producto cartesiano expresado por A x B está formado por las parejas ordenadas (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B. Notación: A x B = (a, b) | a ∈A y b ∈ B

LEYES O PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS

Propiedad idempotente. Puede exponerse mediante la siguiente expresión, que por ser tan lógica, no necesita más explicación: VA => A = A A ∪ A = A A ∩ A = A

Propiedad asociativa. Dados tres conjuntos A, B y C se verifica que: (AUB)UC = AU(BUC) = AUBUC (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Propiedad conmutativa.

Es también evidente: AUB = BUA

A ∪B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A

Se puede demostrar mediante un ejemplo sencillo. Sean: A = m, n, p, B =j, k, l, C = r, p, l.

El nuevo conjunto y éste unido con el conjunto C, dará como resultado el conjunto: (AUB)UC = m, n, p,j,k,l,r

ahora bien, si hacemos antes la unión de B con C tendremos: BUC = j,k,l,r,p que unido con el conjunto A nos da: AU(BUC) = m, n, p, j,k,l,r,p

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Luego, los conjuntos (AUB) UC y AU(BUC) son iguales por estar formados por los mismos elementos.

Distributiva A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

De Identidad A ∪ U = U A ∩ U = A

A ∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅

De Involución (A)’ = A

CARDINAL DE UN CONJUNTO.Se considera el Cardinal de un conjunto al número de elementos o miembros que contenga un conjunto. Número Cardinal Nos referimos al número de elementos que tiene un conjunto. Car (D)= n (D)= número de elementos.

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Ej.: El número Cardinal del conjunto D= a, e, i, o, u Es = 5 a e i o u 1 2 3 4 5 ←número Cardinal del conjunto D

Número Ordinal.Nos referimos al número natural que corresponde a cada uno de los elementos del conjunto al contarlos. Ej.:

Cardinal de la unión de conjuntosAl número de elementos de un conjunto se le suma el número de elementos del otro conjunto y luego se resta el número de elementos que tenga la intersección entre ambos conjuntos. Esto se escribe así, para los conjuntos A y B:#A + #B - #(AnB)Por ejemplo dados los conjuntos:

A = 1, 3, 5, 7, 9B = 7, 8, 9, 10Para obtener Card (A U B):#A = 5; #B = 4 y, #(A n B) = 2Por lo que #(A U B) = 5 + 4 - 2 = 7

Propiedades y Proposiciones.Los conjuntos pueden no ser divididos en clases de equivalencia definidas en función de la relación de equivalencia que incluye a un par de conjuntos si y sólo si entre éstos existe una biyección. Cardinalidad de un conjunto sería la clase de equivalencia a la cual éste pertenece. Tener dos conjuntos A,B con la misma cardinalidad (o sea, que pertenezcan al mismo cardinal) se denota:

La existencia de una función inyectiva entre dos conjuntos también define una relación de orden entre sus cardinales; es decir:

La relación excluye la posibilidad que los cardinales sean iguales.Es posible demostrar que si

y esto implica que

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El cardinal del conjunto vacío se denota convencionalmente como 0 (cero) y contiene al único conjunto vacío.El primer cardinal infinito (en el sentido de que sus representantes son conjuntos infinitos) es el cardinal de los naturales, y se denota usualmente por ω. Se puede también demostrar que existe una función biyectiva entre los ordinales y los cardinales de conjuntos infinitos, tal que preserva el orden en ambos conjuntos (el orden de los ordinales y el -orden en los cardinales). Esta función, llamada , induce un buen orden en los cardinales, y de aquí proviene la notación para el primer cardinal infinito, para el siguiente, etc.Los números cardinales de algunos conjuntos se representan con símbolos especiales:El cardinal de los números reales: ;El cardinal de los números naturales: (Alef-0).El cardinal inmediatamente superior a : Usando los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) puede comprobarse que los tres cardinales anteriores cumplen . La hipótesis del continuo afirma que de hecho . Gödel probó en 1938 que esta hipótesis es consistente con los axiomas ZF, y por tanto puede ser tomado como un axioma nuevo para la teoría de conjuntos. Sin embargo, en 1963 Paul Cohen probó que la negación de la hipótesis del continuo también es consistente con los axiomas ZF, lo cual prueba que dicha hipótesis es totalmente independiente de los axiomas ZF. Es decir, pueden construirse tanto "teorías de conjuntos cantorianas" en las que la hipótesis del continuo es una afirmación cierta, como "teorías de conjuntos no cantorianas" en las que la hipótesis del continuo sea falsa. Esta situación es similar a la de las geometrías no euclídeas.

LA NECESIDAD DE CONTAR DENTRO DE LA EVOLUCION HUMANA.

La Necesidad de Contar. El hombre primitivo de las cavernas no tenía que saber gran cosa acerca de la numeración o cualquier otro tipo de matemáticas para sobre vivir. La cueva era un hogar que le quedaba a la mano; el alimento se encontraba en los árboles o plantas, o podía cazar con armas primitivas. Sin embargo, cuando comenzó a reunir a los animales en rebaños, y especialmente cuando una familia entraba en relaciones sociales con otras, se volvió necesario decidir cuánto pertenecía a una persona y cuánto pertenecía a un vecino. Probablemente, al principio bastaba con usar conceptos como poco, o mucho. Luego, se hizo necesario tener medios más definidos para determinar este cuánto. Invención de los números. Se remonta a épocas muy lejanas. Surgen a medida que el hombre tiene y siente la necesidad de contar sus propiedades o de medir y limitar el pedazo de tierra que le pertenece. Primeramente el hombre cuenta y mide utilizando los dedos, las manos, los brazos; es decir, valiéndose de partes de su propio cuerpo. Más tarde utiliza colecciones de de semillas, trocitos de madera, los granos de algunos frutos, piedrecillas, etc. La numeración es indudablemente uno de los triunfos más importantes que el hombre ha conquistado. El progreso de que disfruta

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actualmente la humanidad no hubiera sido posible sin el vasto conocimiento al que se ha llegado en el campo numérico y, por consiguiente, en el estudio de las Ciencias Matemáticas de que forma parte.

METODOS PARA REALIZAR UN CONTEO.

a) A Través De Diagramas

i) Diagrama de venn Un diagrama de Venn es una representación pictórica de conjuntos en el plano. El conjunto universal los diagramas de Venn son figuras geométricas cerradas que se utilizan para representar operaciones entre conjuntos. Esta representación de un conjunto se llama grafica del conjunto o el diagrama de Venn, en honor del matemático ingles de siglo xix, John Venn. en otros países les llaman diagramas de Euler en honor al eminente matemático suizo-alemán Leonard Euler (1707-1783), quien 100 años antes ya utilizaba estos diagramas.

U se representa por un rectángulo, cualquier otro conjunto se representa con un círculo. Una operación se representa mediante el sombreado de los elementos del conjunto.

ii) Diagramas de árbolUn diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol. Ejemplo: Si Juan tiene 3 pantalones y 2 camisas basta multiplicar 3x2=6 y son 6 posibilidades de que se pueda vestir. Construcción Del Diagrama De Árbol a) Fijar un nodo inicial (Un punto situado a la izquierda, representa la raíz del árbol); b) Abrir a partir del mismo, tantas ramas como elementos tenga el conjunto 1; c) Abrir a partir de cada una de estas, tantas ramas como elementos tenga el conjunto 2; d) Leer el conjunto ordenado resultante sobre cada secuencia de ramas.

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iii)Caja o rayitasUn Diagrama de caja es un gráfico, basado en cuartiles, mediante el cual se visualiza un conjunto de datos. Está compuesto por un rectángulo, la "caja", y dos brazos, los "bigotes".Es un gráfico que suministra información sobre los valores mínimo y máximo, los cuartiles Q1, Q2 o mediana y Q3, y sobre la existencia de valores atípicos y la simetría de la distribución. Primero es necesario encontrar la mediana para luego encontrar los 2 cuartiles restantes

b) Principio Multiplicativo.Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;

N1 x N2 x..........x Nr maneras o formasEl principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad debe ser llevado a efecto, uno tras otro.

Ejemplos:

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Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?

Solución:Considerando que r = 4 pasosN1= maneras de hacer cimientos = 2N2= maneras de construir paredes = 3N3= maneras de hacer techos = 2N4= maneras de hacer acabados = 1N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa

El principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo que posteriormente se tratarán nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de como se puede llevar a cabo una actividad cualquiera.

b) A través de fórmulas o reglas de conteo

i) “k” eventos en “n” intentoSe define como la posibilidad repetida N veces por lo tanto es P=K elevado a la n

ii) Para K ,k ……kn₁ ₂Se consideran como P=K*K*K*K..n

iii) N o bjetos tomados todos a la vez Se define como P=N!

iv) PermutacionesLas permutaciones son también conocidas como ordenaciones, y de hecho toman este nombre porque son ordenaciones de r objetos de n dados. En este curso las representaremos como ORn

r ó nORr.

En general, si se toman r objetos de n, la cantidad de permutaciones u ordenaciones con repetición obtenidas son:ORn

r = nORr = n

A diferencia del anterior, se realizan ordenaciones de r objetos de n dados atendiendo a la situación de cada objeto en la ordenación. Su representación será Pn

r ó nPr.

En general, si se toman r objetos de un total de n, la cantidad de permutaciones

Pnr = nPr =

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v) CombinacionesEs una selección de r objetos de n dados sin atender a la ordenación de los mismos. Es decir, es la obtención de subcojuntos, de r elementos cada uno, a partir de un conjuntOinicial de n elementos. La denotaremos con

Cnr, nCr ó .En general, si de n objetos dados se hacen combinaciones de r objetos cada una, el número de combinaciones obtenidas son:

Cnr = nCr = o, que es lo mismo,

Cnr = nCr =

INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDADEl estudio científico de la probabilidad es un desarrollo moderno. Los juegos de azar muestran que ha habido un interés en cuantificar las ideas de la probabilidad durante milenios, pero las descripciones matemáticas exactas de utilidad en estos problemas sólo surgieron mucho después.Aparte de algunas consideraciones elementales hechas por Girolamo Cardano en el siglo XVI, la doctrina de las probabilidades data de la correspondencia de Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) le dio el tratamiento científico conocido más temprano al concepto. Ars Conjectandi (póstumo, 1713) de Jakob Bernoulli y Doctrine of Chances (1718) de Abraham de Moivre trataron el tema como una rama de las matemáticas. Véase El surgimiento de la probabilidad (The Emergence of Probability) de Ian Hacking para una historia de los inicios del desarrollo del propio concepto de probabilidad matemática.La teoría de errores puede trazarse atrás en el tiempo hasta Opera Miscellanea (póstumo, 1722) de Roger Cotes, pero una memoria preparada por Thomas Simpson en 1755 (impresa en 1756) aplicó por primera vez la teoría para la discusión de errores de observación. La reimpresión (1757) de esta memoria expone los axiomas de que los errores positivos y negativos son igualmente probables, y que hay ciertos límites asignables dentro de los cuales se supone que caen todos los errores; se discuten los errores continuos y se da una curva de la probabilidad.Dos aplicaciones principales de la teoría de la probabilidad en el día a día son en el análisis de riesgo y en el comercio de los mercados de materias primas. Los gobiernos normalmente aplican métodos probabilísticos en regulación ambiental donde se les llama "análisis de vías de dispersión", y a menudo miden el bienestar usando métodos que son estocásticos por naturaleza, y escogen qué proyectos emprender basándose en análisis estadísticos de su probable efecto en la población como un conjunto. No es correcto decir que la estadística está incluida en el propio modelado, ya que típicamente los análisis de riesgo son para una única vez y por lo tanto requieren más modelos de probabilidad fundamentales, por ej. "la probabilidad de otro 11-S". Una ley de números pequeños tiende a aplicarse a todas

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aquellas elecciones y percepciones del efecto de estas elecciones, lo que hace de las medidas probabilísticas un tema político.Se puede decir razonablemente que el descubrimiento de métodos rigurosos para calcular y combinar los cálculos de probabilidad ha tenido un profundo efecto en la sociedad moderna. Por consiguiente, puede ser de alguna importancia para la mayoría de los ciudadanos entender cómo se cálculan los pronósticos y las probabilidades, y cómo contribuyen a la reputación y a las decisiones, especialmente en una democracia.

CONCEPTO BÁSICO DE PROBABILIDAD.Probabilidad es el estudio de experimentos aleatorios o libres de determinación. Históricamente, la teoría de la probabilidad comenzó con el estudio de los juegos de azar tales como la ruleta y las cartas. la probabilidad “p” de un evento “a”: si “a” puede ocurrir de 5 maneras entre un total de igualmente posibles, entonces:

Experimento aleatorio: conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorioPunto muestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimento muestralSuceso o evento: cualquier subconjunto de puntos muestralesSucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultaneamente .Sucesos complementarios: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestralSucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otroSucesos dependientes: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del otro.Experimento aleatorio: conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorioPunto muestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimento muestral.Suceso o evento: cualquier subconjunto de puntos muéstralesSucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultáneamente.Sucesos complementarios: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestralSucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otroSucesos dependientes: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del otro.

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Espacio Muestral: el conjunto 5 de todos los resultados posibles de un experimento dado se llama espacio muestral o espacio muestra. un elemento de 5, se llama punto muestral o muestra. Evento: Un evento “a” es un conjunto de resultados o, en otras palabras, un subconjunto del espacio muestral 5. El evento a que consta de una muestra simple a є 5 se le llama evento elemental. para asignar probabilidades de los diversos puntos muestrales, las estadísticas han convenido en dos rectas. 1.- la probabilidad de cada muestra punto muestral debe estar entre 0 y 1. 2.- la suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales debe ser igual a 1.

Experimento aleatorio y EnsayoLa probabilidad es un método mediante el cual se obtiene la frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos. Cuando en un experimento no se puede predecir el resultado final, hablamos de experimento aleatorio. Este es el caso cuando lanzamos un dado y observamos su resultado. En los experimentos aleatorios se observa que cuando el número de experimentos aumenta, las frecuencias relativas con las que ocurre cierto suceso e, fn(e),

tiende a converger hacia cierta cantidad que denominamos probabilidad de e.

Espacio muestral y Evento

En estadística se llama espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. Se suele representar por Ω.Sus elementos se representan por letras minúsculas (w1,w2,...) y se denominan eventos o sucesos elementales. Los subconjuntos de Ω se designan por medio de letras mayúsculas (A,B,C,D,...) y se denominan eventos o sucesos. Los sucesos representan los posibles resultados del experimento aleatorio.Podemos diferenciar entre dos tipos de espacios muestrales:Discretos --> Aquellos espacios donde el nº de sucesos elementales es finito o infinito contable(numerable). Continuos --> Aquellos espacios donde el nº de sucesos elementales es infinito incontable.

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Evento

Un evento o suceso es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio.

Formalmente, sea Ω un espacio muestral, entonces un evento es un subconjunto , donde (w1,w2,...) son una serie de posibles resultados.Se dice que un evento A ocurre, si el resultado del experimento aleatorio es un elemento de A.Ejemplos de espacios muestrales y sucesos elementales:Si se trata de contar objetos y el espacio muestral S = 0, 1, 2, 3, ... (los números naturales), entonces los sucesos elementales son cada uno de los conjuntos k, donde k ∈ N. Si se lanza una moneda dos veces, S = cc, cs, sc, ss, donde (c representa "sale cara" y s, "sale cruz"), los sucesos elementales son cc, cs, sc y ss. Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida, S = (-∞, +∞), los números reales, los sucesos elementales son todos los conjuntos x, donde x ∈ . Los sucesos elementales pueden tener probabilidades que son estrictamente mayores que cero, cero, no definidas o cualquier combinación de estas. Por ejemplo, la probabilidad de cualquier variable aleatoria discreta está determinada por las probabilidades asignadas a los sucesos elementales del experimento que determina la variable. Por otra parte, cualquier suceso elemental tiene probabilidad cero en cualquier variable aleatoria continua. Existen distribuciones mixtas que no son completamente continuas, ni completamente discretas, entre las que pueden darse ambas situaciones.

Tipos de Eventos

Evento SimpleEs un subconjunto del espacio muestral que contiene un único elemento.Ejemplos de espacios muéstrales y sucesos elementales:Si se trata de contar objetos y el espacio muestral S = 0, 1, 2, 3, ... (los números naturales), entonces los sucesos elementales son cada uno de los conjuntos k, donde k ∈ N.Si se lanza una moneda dos veces, S = cc, cs, sc, ss, donde (c representa "sale cara" y s, "sale cruz"), los sucesos elementales son cc, cs, sc y ss.Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida, S = (-∞, +∞), los números reales, los sucesos elementales son todos los conjuntos x, donde x ∈ .Pueden tener probabilidades que son estrictamente mayores que cero, cero, no definidas o cualquier combinación de estas. Por ejemplo, la probabilidad de cualquier variable aleatoria discreta está determinada por las probabilidades asignadas a los sucesos elementales del experimento que determina la variable. Por otra parte, cualquier suceso elemental tiene probabilidad cero en

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cualquier variable aleatoria continua. Existen distribuciones mixtas que no son completamente continuas, ni completamente discretas, entre las que pueden darse ambas situaciones.

Evento CompuestoCuando calculas probabilidades, a menudo tienes que tomar en consideración dos o más eventos, conocidos como eventos compuestos. En un evento compuesto, si el segundo evento no depende del resultado del primer evento, entonces los eventos son independientes. Si el resultado de un evento de un evento compuesto influye en el otro evento, entonces los eventos son dependientes.

Probabilidad de dos eventos independientesLa probabilidad de que ocurran dos eventos independientes se calcula multiplicando la probabilidad del primer evento por la probabilidad del segundo evento. P(A y B) = P(A) · P (B)

Probabilidad de dos eventos dependientesSi dos eventos A y B son dependientes, entonces la probabilidad de que ocurran los dos eventos es igual al producto de la probabilidad de A por la probabilidad de B después de ocurrir A.

P(A y B) = P(A) · P (B dado A)

Eventos Mutuamente Excluyentes

La ocurrencia de uno prohíbe la ocurrencia del otro. No pueden ocurrir dos eventos al mismo tiempo. La ocurrencia de cualquier evento implica que ningún otro puede ocurrir al mismo tiempo.

EjemploSacar una cara o un sello al lanzar una moneda una vezSeleccionar una unidad defectuosa o no defectuosaSacar una Reyna o un asSer mujer y ser hombre

Cuando un evento A no contiene elementos en común con un evento B, se dice que estos son mutuamente excluyentes.

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A B

Eventos mutuamente excluyentes.

Eventos Colectivamente Exhaustivos

Son todos los posibles resultados de un experimento y constituyen su espacio muestral.

Ejemplo

Los eventos colectivamente exhaustivos de lanzar un dado son:1, 2, 3, 4,5 y 6Eventos complementarios: El complemento de un evento A son todos los elementos en un espacio muestral (S) que no se encuentran en A. El

complemento de A es: A=1−P (A )

Ejemplo: En el evento A (día nublado), P(A) = .3, la probabilidad de tener un día despejado será 1-P(A) = .7

Eventos ComplementariosSon los eventos en los que si un evento no ocurre, el otro debe ocurrir. Si un evento A lanzar un número par con un dado (2, 4 o 6), el complemento es lanzar un número impar (1, 3 o 5). Si no se obtiene un número par, se debe obtener un número impar. El complemento de A se escribe como A , y se denomina “no A”.

Claro que los eventos complementarios también son colectivamente exhaustivos, porque si A no ocurre, A debe ocurrir. Por tanto,

P( A )+P (A )=1 y P( A )=1−P( A )Si no se selecciona un miembro del personal administrativo de King Dynamics, entonces debe ser o uno de línea o uno auxiliar. La probabilidad de que sea un miembro del personal administrativo es P( S ) y la probabilidad de que sea un

trabajador de línea o uno auxiliar es P( S ). Entonces P( S )+P (S )=1 .

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7.AP

P(A)=.3

DEFINICIONES DE PROBABILIDAD

a) Enfoque clásico(A PRIORI)Probabilidad Clásica y Probabilidad Subjetiva.La probabilidad clásica es aquella que se toma demanera objetiva y que puede considerarse de dos maneras: a priori y a posteriori.Probabilidad a Priori. La probabilidad de un evento A,P(A), es la medida del chance de que ese evento ocurra.En este caso los resultados del experimento son igualmente probables. Este método fue desarrollado por Laplace.

# de maneras que A puede ocurrirP(A) = ------------------------------------------------- # total de resultados posibles

A (eventos que corresponden a A )P(A) = ---------------------------------------------------------- S (eventos totales en el espacio muestral S )

Ejemplo. Se lanzan dos monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean cara (H)?S = HH, HT, TH, TT P ( HH ) = _

b) Enfoque empírico o frecuencial ( a posteriori)Probabilidad a posteriori. En el caso que los eventos noposeen igual posibilidad de ocurrencia, el problema deasignar las probabilidades ocurre a posteriori.El concepto de probabilidad a posteriori lo desarrolla Richard Von Mises y está basado en el principio siguiente:

Si un experimento se realiza un número grande de veces, N por ejemplo, y sea n el número de veces que ocurre un evento E. Entonces, se observa experimentalmente el hecho de que a medida N aumenta la relación n / M tiende a un valor estable p.Ese valor p se llama la probabilidad de E y se escribe p(E).

c) Axiomas básicos del probabilidad.Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas que a continuación se enumeran. 1) La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno. 0 £ p(A) ³ 1 2) La probabilidad de que ocurra el espacio muestral d debe de ser 1.

p(d) = 1 3) Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la

p(AÈB) = p(A) + p(B)

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Generalizando: Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces;

p(A1ÈA2È.........ÈAn) = p(A1) + p(A2) + .......+ p(An)En términos más formales, una probabilidad es una medida sobre una σ-álgebra de subconjuntos del espacio muestral, siendo los subconjuntos miembros de la σ-álgebra los sucesos y definida de tal manera que la medida del total sea 1. Tal medida, gracias a su definición matemática, verifica igualmente los tres axiomas de Kolmogórov. A la terna formada por el espacio muestral, la σ-álgebra y la función de probabilidad se la denomina Espacio probabilístico, esto es, un "espacio de sucesos" (el espacio muestral) en el que se han definido los posibles sucesos a considerar (la σ-álgebra) y la probabilidad de cada suceso (la función de probabilidad).

d) Probabilidad subjetivaLa probabilidad subjetiva de un evento se la asigna la persona que hace el estudio, y depende del conocimiento que esta persona tenga sobre el tema. Precisamente por su carácter de subjetividad no se considera con validez científica, aunque en la vida diaria es de las más comúnes que se utilizan al no apoyarse más que en el sentido común y los conocimientos previos, y no en resultados estadísticos. Ejemplos de la probabilidad subjetiva son estimar la probabilidad de que los Salgado de Salta ganen la Lotería el próximo año y estimar la probabilidad de que ocurra un terremoto en Los Angeles este año.

CÁLCULO DE PROBABILIDADES Probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso) cuando se realiza un experimento aleatorio.La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):El valor cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero (al menos, si es un dado certificado por la OMD, "Organización Mundial de Dados").El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%).El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar.¿Cómo se mide la probabilidad?Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles. P(A) = Casos favorables / casos posiblesEjemplos:a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto:P(A) = 1 / 6 = 0,166 (o lo que es lo mismo, 16,6%)

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b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles siguen siendo seis. Por lo tanto:P(A) = 3 / 6 = 0,50 (o lo que es lo mismo, 50%)c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles. Por lo tanto:P(A) = 4 / 6 = 0,666 (o lo que es lo mismo, 66,6%)d) Probabilidad de que nos toque el "Gordo" de Navidad: tan sólo un caso favorable, el número que jugamos (¡qué triste...¡), frente a 100.000 casos posibles. Por lo tanto:P(A) = 1 / 100.000 = 0,00001 (o lo que es lo mismo, 0,001%)Merece la pena...... Por cierto, tiene la misma probabilidad el número 45.264, que el número 00001, pero ¿cuál de los dos comprarías?Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos:a) El número de resultados posibles (sucesos) tiene que ser finito. Si hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables / casos posibles" el cociente siempre sería cero.b) Todos los sucesos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podríamos aplicar esta regla.A la regla de Laplace también se le denomina "probabilidad a priori", ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades.¿Y si el experimento aleatorio no cumple los dos requisitos indicados, qué hacemos?, ¿ponemos una denuncia?No, no va a ser necesario denunciar a nadie, ya que en este caso podemos acudir a otro modelo de cálculo de probabilidades que se basa en la experiencia (modelo frecuentista):Cuando se realiza un experimento aleatorio un número muy elevado de veces, las probabilidades de los diversos posibles sucesos empiezan a converger hacia valores determinados, que son sus respectivas probabilidades.

Ejemplo: si lanzo una vez una moneda al aire y sale "cara", quiere decir que el suceso "cara" ha aparecido el 100% de las veces y el suceso "cruz" el 0%.Si lanzo diez veces la moneda al aire, es posible que el suceso "cara" salga 7 veces y el suceso "cruz" las 3 restantes. En este caso, la probabilidad del suceso "cara" ya no sería del 100%, sino que se habría reducido al 70%.Si repito este experimento un número elevado de veces, lo normal es que las probabilidades de los sucesos "cara" y "cruz" se vayan aproximando al 50% cada una. Este 50% será la probabilidad de estos sucesos según el modelo frecuentista.En este modelo ya no será necesario que el número de soluciones sea finito, ni que todos los sucesos tengan la misma probabilidad.

Ejemplo: si la moneda que utilizamos en el ejemplo anterior fuera defectuosa (o estuviera trucada), es posible que al repetir dicho experimento un número

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elevado de veces, la "cara" saliera con una frecuencia, por ejemplo, del 65% y la "cruz" del 35%. Estos valores serían las probabilidades de estos dos sucesos según el modelo frecuentista.A esta definición de la probabilidad se le denomina probabilidad a posteriori, ya que tan sólo repitiendo un experimento un número elevado de veces podremos saber cuál es la probabilidad de cada suceso.

Tablas de Contingencia.Las tablas de contingencia se emplean para registrar y analizar la relación entre dos o más variables, habitualmente de naturaleza cualitativa (nominales u ordinales).

Las cifras en la columna de la derecha y en la fila inferior reciben el nombre de frecuencias marginales y la cifra situada en la esquina inferior derecha es el gran total.La tabla nos permite ver de un vistazo que la proporción de hombres diestros es aproximadamente igual a la proporción de mujeres diestras. Sin embargo, ambas proporciones no son idénticas y la significación estadística de la diferencia entre ellas puede ser evaluada con la prueba χ² de Pearson, supuesto que las cifras de la tabla son una muestra aleatoria de una población. Si la proporción de individuos en cada columna varía entre las diversas filas y viceversa, se dice que existe asociación entre las dos variables. Si no existe asociación se dice que ambas variables son independientes.

Tablas de Probabilidad.

Probabilidad simpleSi quisiéramos saber cuál es la probabilidad de sacar un dos o un cinco al tirar un dado, estamos hablando de sucesos mutuamente excluyentes; pues sólo al tirar el dado puedes sacar uno de ellos dos, es decir, un evento (sacar dos) imposibilita el otro (sacar un cinco) ya que no puedes sacar los dos al mismo tiempo.Para sacar la probabilidad total de dos o más sucesos mutuamente excluyentes se suman las probabilidades de cada uno de los sucesos.Primero calculemos la probabilidad de obtener una vela. 150 invitados es el número de casos posibles, mientras que 50 es el número de casos favorables pues son 50 velas.

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La probabilidad de obtener un centro de mesa es exactamente la misma pues hay el mismo número de centros de mesa.

La probabilidad total será la suma de cada una de las probabilidades obtenidas, es decir:

Probabilidad conjuntaSi quisiéramos conocer cuál es la probabilidad de sacar 5 al tirar dos veces un dado, estamos hablando de sucesos independientes; pues los tiros son distintos.

Para estos casos la probabilidad de ocurrencia de ambos sucesos simultáneamente será igual al producto de las probabilidades individuales.

Nota: Aplicamos la misma fórmula para eventos dependientes siempre y cuando estemos buscando la probabilidad simultánea de los sucesos. Por ejemplo al buscar la probabilidad de sacar dos reinas en una baraja de 52 cartas sin devolver la primera carta, se tomará en cuenta para la segunda extracción que ya hay 51 cartas y sólo 3 reinas. Es decir:

Regla General de la adición.La regla de la adición expresa que la probabilidad de que ocurran a o b o ambos es igual a la probabilidad de “a” más la probabilidad de “b” menos la probabilidad de que ocurran ambos.

P (AUB) = P (A) + P (B) – P (A∩B)Ejemplo Se lanza un dado no cargado. usted gana 50 pesos si el resultado es par o divisible por 3. ¿cuál es su probabilidad de ganar? A=RESULTADO PAR B=RESULTADO DIVISIBLE POR 3

U=1, 2, 3, 4, 5, 6 A=2, 4, 6 B=3, 6 A∩B= 6 P= (AUB) = P (A) + P (B) – P (A∩B) = 1/3 + 1/2 – 1/6 P (AUB) = 2/3

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Ejemplo La probabilidad de que llueva el 12 de octubre en ensenada es de 0.10; de que truene es 0.05 y de que llueva y truene es de 0.03. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva o truene en ese día? P (LLUEVE U TRUENA) = 0.10 + 0.05 – 0.03 P (LLUT) = 0.12 Ejemplo Se lanzan dos dados honrados, hallar: (A) el espacio muestra (B) los elementos cuya suma de puntos sea 9(C) los elementos cuya suma de puntos sea 4 o 5

(A) S= (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

(B) LA SUMA SEA 9 = (3,6), (4,5), (5,4), (6,3)

(C) LA SUMA SEA 4 O 5 = (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)

Probabilidad condicional e Independencia estadística.Sea E un evento maestral arbitrario de un espacio maestral S con P(E) > 0. La probabilidad de que un evento A suceda una vez que E haya sucedido, se define como:

Ejemplo

Se lanzan un par de dados honestos. Si la suma es 6, hallar la probabilidad de que uno de los dados sea 2.

Regla De La MULTIPLICACION E Independencia Estadística.

Partiendo de la definición de Probabilidad Condicional:

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Y multiplicamos ambos miembros por P (A), obtenemos la ecuación: P (A∩B) = P (A) • P (B/A)

A la cual se denomina ¨ Regla de Multiplicación ¨. La regla de la multiplicación expresa que la probabilidad de que ocurran A y B es igual a la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad de que ocurra B, dado que A ha ocurrido.

Regla de Multiplicación para sucesos IndependientesLos sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia de una no influye sobre la probabilidad de ocurrencia del otro; esto significa que independientemente de que haya ocurrido o no, la probabilidad asignada a B es siempre la misma. Cuando A y B son independientes la probabilidad condicional de B con respecto a A es igual a la probabilidad incondicional de B. Matemáticamente se expresa: P (A∩B) = P (A) • P (B)Ejemplo Al cierre de la casilla 361 B en las elecciones de 1995 en Mexicali, los resultados fueron: PAN 204, PRI 149, PRD 46, PFCRN 9, PT 16, PVEM 2, PPBC 1 y votos nulos 34; si el presidente de casilla extrae 6 votos sin restitución: (a) Cual es la probabilidad de que tres sean para el PAN, 2 al PRI y 1 PRD (b) 4 para el PRD y 2 para el PAN (c) todos para el PAN (d) todos para el PRI (e) 3 para el PRD y 3 para el PT

TEOREMA DE BAYESEl teorema de Bayes, enunciado por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

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Sea A1,A3,...,Ai,...,An un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B) viene dada por la expresión:

donde:P(Ai) son las probabilidades a priori. P(B | Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai. P(Ai | B) son las probabilidades a posteriori. Esto se cumple En su forma algebraica más simple, el teorema de Bayes se refiere al cálculo de la probabilidad condicional del evento A, dado que ha ocurrido el evento B, la forma general del teorema de Bayes es:

La fórmula anterior es simplemente una forma específica de la fórmula general para la probabilidad condicional; sin embargo, la importancia especial del teorema de Bayes consiste en que se aplica en el contexto de eventos secuenciales y además, en que la versión de cálculo de la fórmula proporciona la base para determinar la probabilidad condicional de un evento que ha ocurrido en la primera posición secuencial, dado que se ha observado un evento especifico en la segunda posición secuencial. La forma de cálculo para el teorema específico de Bayes es:

Aplicaciones El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.

Como observación, se tiene y su demostración resulta trivial.Ejemplo.

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La urna A1 contiene 7 bolas blancas y 3 negras; la urna A2 contiene 4 bolas blancas y 9 negras y la urna A3 contiene 6 blancas y 4 negras. Se lanza un dado no cargado. Si resulta 1,2 o 3, se saca una bolita de urna A1; si resultan 4 o 5, la bolita se saca de la urna A2 y finalmente si resulta 6 se saca de la urna A3. Dado que la bolita extraída fue blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que ella provenga de la urna A2?

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BIBLIOGRAFÍA-Formulario Y Tablas De Probabilidad Para Los Cursos DeProbabilidad, Inferencia Estad´Istica Y Econometr´Ia. Ernesto Barrios Zamudio1,Jos´e ´Angel Garc´ıa P´erez2;Departamento Acad´emico de Estad´ısticaInstituto Tecnol´ogico Aut´onomo de M´exicoOctubre 2009Versi´on 1.00.

-Probabilidad y estadística, COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA– PDF. (Libro)

-Teoría de conjuntos –PDF(Documento).

PAGINAS WEB:http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html

http://nutriserver.com/Cursos/Bioestadistica/Probabilidad.html

http://www.fisterra.com/mbe/investiga/probabilidades/probabilidades.asp

http://www.eumed.net/cursecon/libreria/drm/1p.htm

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