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UNIDAD 2 EstimacinCaractersticas del estimador1) Sesgo.Se dice que un estimador esinsesgadosi la Media de la distribucin del estimador es igual al parmetro.Estimadores insesgados son la Media muestral (estimador de la Media de la poblacin) y la Varianza (estimador de la Varianza de la poblacin):

En una poblacin de 500 puntuaciones cuya Media (m) es igual a 5.09 han hecho un muestreo aleatorio (nmero de muestras= 10000, tamao de las muestras= 100) y hallan que la Media de las Medias muestrales es igual a5.09,(la media poblacional y la media de las medias muestrales coinciden). En cambio, la Mediana de la poblacin es igual a5y la Media de las Medianas es igual a5.1esto es, hay diferencia ya que la Mediana es un estimador sesgado.La Varianza es un estimador sesgado. Ejemplo: La Media de las Varianzas obtenidas con la Varianza

2) Consistencia.Un estimador es consistente si aproxima el valor del parmetro cuanto mayor esn(tamao de la muestra).Algunos estimadores consistentes son:

En una poblacin de 500 puntuaciones cuya Media (m) es igual a4.9han hecho tres muestreos aleatorios (nmero de muestras= 100) con los siguientes resultados:

vemos que el muestreo en que n=100 la Media de las Medias muestrales toma el mismo valor que la Media de la poblacin.

3) Eficiencia.Diremos que un estimador es ms eficiente que otro si la Varianza de la distribucin muestral del estimador es menor a la del otro estimador. Cuanto menor es la eficiencia, menor es la confianza de que el estadstico obtenido en la muestra aproxime al parmetro poblacional. Estimacin puntualLa estimacin de parmetros tiene por finalidad asignar valores a los parmetros poblacionales a partir de los estadsticos obtenidos en las muestras. Dicho de otra manera, la finalidad de la estimacin de parmetros es caracterizar las poblaciones a partir de la informacin de las muestras (por ejemplo, inferir el valor de la Media de la poblacin a partir de los datos de la muestra).Se desea estimar la Media de las puntuaciones del curso 2003/4, pero solo se dispone de 50 puntuaciones seleccionadas aleatoriamente. La Media de la muestra (el estimador), es igual a 5.6 y atribuimos este valor (la estimacin) a la Media del curso completo.Resumiendo:

Podemos utilizar como estimadores de la Media de la poblacin otros estadsticos de tendencia central como la Moda o la Mediana, pero NO todos los estimadores son apropiados. Los estimadores deben satisfacer ciertos requisitos, y por esta razn, interesa conocer sus propiedades a fin de utilizar los que sean adecuados segn las circunstancias de la estimacin.

Estimacin por intervalosLa estimacin por intervalos consiste en establecer el intervalo de valores donde es ms probable se encuentre el parmetro. La obtencin del intervalo se basa en las siguientes consideraciones:a) Si conocemos la distribucin muestral del estimador podemos obtener las probabilidades de ocurrencia de los estadsticos muestrales.b) Siconociramosel valor del parmetro poblacional,podramosestablecer la probabilidad de que el estimador se halle dentro de los intervalos de la distribucin muestral.c) El problema es que el parmetro poblacional es desconocido, y por ello el intervalo se establece alrededor del estimador. Si repetimos el muestreo un gran nmero de veces y definimos un intervalo alrededor de cada valor del estadstico muestral, el parmetro se sita dentro de cada intervalo en un porcentaje conocido de ocasiones. Este intervalo es denominado"intervalo de confianza".

EjemploSe generan 100000 muestras aleatorias (n=25) de una poblacin que sigue la distribucin Normal, y resulta:

En consecuencia, el intervalo dentro del cual se halla el 95% de las Medias muestrales es

(Nota: Los valores +-1.96 que multiplican la Desviacin Tpica de la distribucin muestral son los valores cuya funcin de distribucin es igual a 0.975 y 0.025 respectivamente y se pueden obtener en las tablas de la distribucin Normal estandarizada o de funciones en aplicaciones informticas como Excel). Seguidamente generamos una muestra de la poblacin y obtenemos su Media, que es igual a 4.5. Si establecemos el intervalo alrededor de la Media muestral, el parmetro poblacional (5.1) est incluido dentro de sus lmites:

2.4 Intervalo de confianzaAngel Lugo PereyraIntervalo de confianzaEn estadstica, se llama a un par o varios pares de nmeros entre los cuales se estima que estar cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos nmeros determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parmetro poblacional. Angel Lugo PereyraEjemplos de Intervalo de confianzaAngel Lugo Pereyra2.4.1 Intervalo de confianza para la mediaAngel Lugo Pereyra

Angel Lugo Pereyra

Angel Lugo Pereyra2.4.2 Intervalo de confianza para la diferencia de mediasAngel Lugo Pereyra

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Angel Lugo Pereyra2.4.3 Intervalo de confianza para la proporcinAngel Lugo Pereyra

Angel Lugo Pereyra2.4.4 Intervalo de confianza para la diferencia de proporcionesAngel Lugo Pereyra

Angel Lugo Pereyra

Angel Lugo Pereyra2.4.5 Intervalos de confianza para la varianzaIvan Lugo

2.4.6 Intervalos de confianza para la relacin devarianzas

2.5 Determinacin del tamao de muestra Andrea Gonzlez DueasIntroduccinAl iniciar cualquier investigacin, la primer pregunta que surge es: de que tamao de ser ser la o las muestras?. La respuesta a esta pregunta la veremos en esta seccin, con conceptos que ya se han visto a travs de este material.

Clculo del Tamao de la Muestra para Estimar una MediaQu tan grande debe ser una muestra si la media muestral se va a usar para estimar la media poblacional?. La respuesta depende del error estndar de la media. Mientras menor sea el error estndar de la media, menor es el tamao de muestra necesario para lograr un cierto grado de precisin.

Se estableci antes que una forma de disminuir el error de estimacin es aumentar el tamao de la muestra, si esta incluye el total de la poblacin, entonces . Dado un nivel de confianza y un error fijo de estimacin , se puede escoger un tamao de muestra tal que

Formulas

47Ejemplo 1Un bilogo quiere estimar el peso promedio de los ciervos cazados en el estado de Maryland. Un estudio anterior de diez ciervos cazados mostro que la desviacin estndar de sus pesos es de 12.2 libras. Qu tan grande debe ser una muestra para que el bilogo tenga 95% de confianza de que el error de estimacin es a lo ms de 4 libras?En consecuencia, si el tamao de la muestra es 36, se puede tener un 95% de confianza en que mu difiere en menos de 4 libras de equis testada.

Clculo del Tamao de la Muestra para Estimar una Proporcin Se desea saber que tan grande se requiere que sea una muestra para asegurar que el error al estimar P sea menor que una cantidad especifica E.

Esta frmula est algo engaosa, pues debemos utilizar p para determinar el tamao de la muestra, pero p se calcula a partir de la muestra.

Existen ocasiones en las cuales se tiene una idea del comportamiento de la proporcin de la poblacin y ese valor se puede sustituir en la frmula, pero si no se sabe nada referente a esa proporcin entonces se tienen dos opciones:

Tomar una muestra preliminar mayor o igual a 30 para proporcionar una estimacin de P. Despus con el uso de la frmula se podra determinar de forma aproximada cuntas observaciones se necesitan para proporcionar el grado de precisin que se desea. Tomar el valor de p como 0.5 ya que sustituyendo este en la frmula se obtiene el tamao de muestra mayor posible. Observe el siguiente ejemplo:

Se desconoce el valor de P, por lo que se utilizarn diferentes valores y se sustituirn en la formula para observar los diferentes tamaos de muestras. El nivel de confianza que se utilizar es del 95% con un error de estimacin de 0.30.

Como se puede observar en la tabla anterior cuando P vale 0.5 el tamao de la muestra alcanza su mximo valor.

En el caso de que se tenga una poblacin finita y un muestreo sin reemplazo.

Ejemplo 2 En una muestra aleatoria de 500 familias que tienen televisores en la ciudad de Hamilton, Canad, se encuentra que 340 estn suscritas a HBO. Qu tan grande se requiere que sea una muestra si se quiere tener 95% de confianza de que la estimacin de P est dentro de 0.02?

Se tratarn a las 500 familias como una muestra preliminar que proporciona una estimacin de p=340/500=0.68.

Por lo tanto si basamos nuestra estimacin de P sobre una muestra aleatoria de tamao 2090, se puede tener una confianza de 95% de que nuestra proporcin muestral no diferir de la proporcin real por ms de 0.02.

Clculo del tamao de la muestra para estimar la diferencia be proporcionesEl error esta dado por:

En esta ecuacin se nos pueden presentar dos casos: Los tamaos de muestra son iguales. Los tamao de muestra son diferentes .

Para el primer caso no se tiene ningn problema, se eleva al cuadrado la ecuacin y se despeja n ya que n1 es igual a n2.

Para el segundo caso se pondr una n en funcin de la otra. Este caso se utiliza cuando las poblaciones son de diferente tamao y se sabe que una es K veces mayor que la otra.

Ejemplo 3Una compaa de productos alimenticios contrat a una empresa de investigacin de mercadotecnia , para muestrear dos mercados, I y II, a fin de comparar las proporciones de consumidores que prefieren la comida congelada de la compaa con los productos de sus competidores. No hay informacin previa acerca de la magnitud de las proporciones P1 y P2. Si la empresa de productos alimenticios quiere estimar la diferencia dentro de 0.04, con una probabilidad de 0.95, cuntos consumidores habr que muestrear en cada mercado?

Se tendr que realizar encuestas a 1201 consumidores de cada mercado para tener una estimacin con una confianza del 95% y un error mximo de 0.04.

Conclusiones:La estadstica es una herramienta que nos puede ayudar a conocer los estndares de calidad, los diferentes intervalos de confianza para un producto o estudio, y hasta la forma de hacer un plan de mercadotecnia con base a una poblacin. De manera practica la estimacin es fundamental para obtener datos con alto nivel de credibilidad que una industria exige en beneficio de la misma.