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ESTADISTICA Y PROBABILIDAD

APUNTES INGENIERÍA.C.P.T. CELIA GABRIELA CAMACHO MONTES.

TEMARIO:

Estadística descriptiva Generalidades Tratamiento de datos: Agrupados y no Agrupados. Tablas de Frecuencia Medidas de Tendencia Central: Media, mediana y moda. Medidas de dispersión: Varianza y Desviación Probabilidad Bases de probabilidad Algebra en eventos. Enfoque: Clásico , Frecuencial y Bayesiano. Teoremas fundamentales de la probabilidad: Unión, intersección, total, condicional, bayes Combinaciones y permutaciones. VARIABLES DISCRETAS: Modelos: Binomial Hipergeométrico Poissón Geométrico CONTINUAS: Normal Binomial a la normal Exponencial Uniforme Esperanza Matemática. Prueba de Hipótesis. Para una población Para dos poblaciones. Estimación de medias por intervalos de confianza. Muestras pequeñas Muestras grandes.

GENERALIDADES.

Estadística.- Disciplina que proporciona el conjunto de técnicas para la recolección, organización, análisis e interpretación de los datos, los cuales pueden ser utilizados para inferir sobre una población ó para predecir sobre el comportamiento de un fenómeno administrativo, social, etc.

Estadística Descriptiva.- Rama de la estadística que proporciona las técnicas y procedimientos para organizar, resumir, analizar e interpretar la información contenida en un conjunto de datos.

Estadística Inferencial.- Rama de la estadística que proporciona las técnicas para organizar, resumir, analizar e interpretar la información con el propósito de tomar decisiones.

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Población.- Es el total de elementos ó datos que conforman el estudio.

Muestra.- Es el subconjunto de datos de una población, seleccionados mediante procedimientos aleatorios ó por medio de métodos encaminados a obtener representatividad de la población de la cual se obtienen.

Variable.- Característica de interés en el estudio.

Variable Cuantitativa:- Aquella característica de interés que maneja datos cuantitativos.

Variable Discreta.- Aquella característica que únicamente puede expresarse en números enteros.

Variable Continua.- Aquellas características que pueden tomar cualquier valor dentro de un rango ó intervalo dado, incluso valores fraccionarios.

Medidas descriptivas.- Indicadores expresados mediante una fórmula matemática, que permite conocer de manera resumida la información ó las características relevantes de una muestra ó de una población.

I.- Señala en cada caso si los datos que se manejan son de tipo Cuantitativo ó Cualitativo:

a) Los productos clasificados de acuerdo al país de origen_____________________b) Los precios de los autos de cierta marca:______________________c) Los empleados clasificados por estado civil:_______________________d) Los estudiantes clasificados por su forma de vestir:__________________e) Las tasa de interés de los CETES.________________________f) La tasa de inflación anual en México:________________________g) Las toneladas de aguacate exportadas:______________________h) El programa de estudios de un alumno:______________________

II.- Identifica en cada caso si la variable es discreta ó continúa.

a) el tiempo requerido para fabricar artículos:_______________b) los empleos generados por el sector manufacturero:______________________c) el sueldo de los recién egresados de una Universidad:___________________d) los comerciales transmitidos por un X canal:___________________e) los ejemplares de periódicos vendidos:_______________f) Cualquier valor que vaya de 1510 y hasta 4320:_________________

TECNICAS DE CAPTACIÓN Y CLASIFICACIÓN INFORMACIÓN.

TABLAS DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA DATOS NO AGRUPADOS.

Tabla de distribución de frecuencias. ( Fí).- Método tabular que resume la información contenida en un conjunto de datos. Organizándolos según su clase y frecuencia con la que se dan.Brindando la oportunidad de darle aplicación específica, como lo es el cálculo de la frecuencia relativa: Grado de representación de una variable con respecto al total.

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TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS REALTIVAS.- Método tabular que organiza los datos y además proporciona la ventaja del cálculo de la representación de cada variable, en términos porcentuales, con respecto al total de la serie de datos analizada.La frecuencia relativa, se expresa: Fr. Y se calcula a través de la siguiente fórmula:

Fr= fí N

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS REALTIVAS ACUMULADAS.- Método tabular que proporciona la acumulación en términos porcentuales, de la variable sujeta de estudio.

1.-En la siguiente tabla se muestran las calificaciones de 30 alumnos del grupo TG02C.

6 7 7 8 6 5 5 8 7 6 9 8 5 6 7 5 6 5 8 7 6 57 8 7 6 7 5 6 8

2.- A continuación se presenta el número de asistentes a consultorio en algunos días del mes de noviembre del año 2013.14 16 13 15 15 16 17 15 14 15 16 18 18 17 14 15 16 17 17 17 14 16 17 18 15 17 15 16 15 14 17Calcula:El porcentaje de asistencia al consultorio.

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TABLA DE FRECUENCIAS PARA DATOS AGRUPADOS.

Cuando la cantidad de datos presenta como característica valores muy dispersos (Rango muy amplio de valores) la elaboración de una tabla que muestre las variables de forma individual, no es práctica, es necesario la elaboración de una tabla que agrupe los valores dentro de clases ó intervalos. Para este tipo de tablas el número preciso de clases que ha de adoptarse depende muchas veces del juicio del estadista, sin embargo, existe un procedimiento para calcularlo, considerando:

- Las clases no deben ser menos de 5 y más de 20- Las clases deben ser calculadas de tal manera que todos los datos se encuentren contenidas en ellas, esto es aplicando el siguiente procedimiento:- Aplicar la ley de Sturges:

C = 3.3 (log n) + 1

Una vez establecido el número de clases se deberá calcular los límites de estas, es decir el número con el que inician y terminan,Dividir el rango (diferencia entre el valor máximo y el mínimo) entre el número de clases que se haya calculado mediante la ley de sturges, al resultado habrá de restársele la unidad y es conocido como amplitud de clases.Se calculan los límites cuidando que todos los valores se encuentren contenidos en la tabla, esto es, asegurando que el menor y el mayor estén incluidos.Se procede a hacer la distribución de datos y a darle aplicación específica.

Ejemplo:

1.- A continuación se presenta el número de personas que pasan por el torniquete del estadio azteca, durante un partido clásico.11 13 15 42 10 22 56 41 89 76 73 51 16 20 50 18 34 21 25 19 24 27 53 27 29 33 44 52 34 56 45 45 23 28 45 35 21 34

Determina la frecuencia relativa con que pasa determinado número de usuarios por ese torniquete.

tabulación fí Fr % Fra

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2.- A continuación se muestra el número de periódicos vendidos por un expendedor durante el mes de noviembre del 2013.38 41 56 79 34 22 11 15 18 19 21 44 56 67 33 22 20 21 16 14 11 45 55 67 71 70 66 56 45 44 24 40

Determina la frecuencia relativa con que pasa determinado número de usuarios por ese torniquete.

tabulación fí Fr % Fra

MEDIDAS DESCRIPTIVAS.-

Indicadores expresados mediante una fórmula matemática, que permite conocer de manera resumida la información ó las características relevantes de una muestra ó de una población.

Medidas de tendencia central.- Medidas que en conjunto describen hacia donde tienden a concentrarse los datos: MEDIA

Media.- promedio de los datos. POBLACIÓN µAritmética.- promedio aritmético MUESTRA x

Existen tres procedimientos para el cálculo de la media. ¿Por qué?

Media aritmética.- Promedio aplicable a cualquier serie de datos.

Media geométrica.- Solo aplicable cuando la serie de datos no presenta “0” como valor de uno de los elementos ó cuando existiera una cantidad par con un valor negativo, se calcula a través de la siguiente fórmula:

Media armónica.- Utilizada comúnmente para el promedio de variaciones en tiempos.

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Media ponderada.- Utilizada cuando se tiene una importancia relativa en la serie de datos.

1.- Calcula la media, mediana y moda del siguiente conjunto de datos145 150 165 155 155 145 150 140 145 150 160 175 150 160

Xí fí x

MEDIANA. –Valor que se encuentra exactamente al centro de los datos.

Par:

Impar:

MODA.- Valor más repetido en una serie de datos.

2.- Calcula la media y media geométrica, así como la mediana de los tiempos de llegada de seis aviones.3.5 4.2 2.9 3.8 4.0 2.8

3.- Calcula la media armónica del viaje redondo que realiza un chofer cuya ruta de 520 km, de ida recorrió a 101 km/h y de regreso a 75 km/h.

4- En una muestra de 100 pistones se encontró que 55 tenían un diámetro de 10.5, 25 de 10.0 y el resto 10.75. Utiliza sus frecuencias y calcula le media ponderada del diámetro de estos pistones.

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DATOS AGRUPADOS.

En el caso de los datos agrupados las medidas de tendencia central son las mismas, y presentan las mismas ventajas, la diferencia radica en la forma de presentación de los datos ya que en este caso, se encuentran agrupados, por lo tanto el procedimiento para el cálculo de las mismas es diferente, para su determinación se hace necesario el uso de fórmulas que logren su ubicación.

Ejemplo:

En el siguiente cuadro se presenta la frecuencia en el robo de autos mensuales en el D.F. durante enero de 1977 a febrero del 2003. Encuentra las medidas de tendencia central e interprétalas.

CLASES PUNTOMEDIO

Fí Fa

2569-3068 153069-3568 203569-4068 244069-4568 34569-5068 95069-5568 3Totales

MEDIA.- Para el cálculo de esta medida de tendencia Central, se requiere del punto medio ó marca de clase, posteriormente el uso de una fórmula, que se va desarrollando en el mismo tabular, a fin de facilitar el procedimiento. FORMULA:

MEDIANA.- Fórmula:

Procedimiento:a) Ordenar en forma ascendente los datos ( la tabla ya lo establece)b) Calcular la frecuencia acumuladac) Aplicar fórmula, eligiendo la clase mediana.

MODA.- Fórmula:

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Procedimiento:a) Ubicar clase modal, simple inspecciónb) Aplicar fórmula.

EJERCICIO EN CLASE.

1.- A continuación se muestra el número de accidentes que una aseguradora contabilizó:

3 4 5 4 1 6 7 5 7 2 3 1 0 2 1 5 8 6 4 3 5 7 2 1 6 7 6 5 6 4 6 7 6 8 9 3 4 2 4 3 5 8 2 5 3 De Acuerdo con los valores calcula: Media, Mediana y Moda.

2.- Una fábrica requiere conocer el tiempo que tardan 140 obreros en producir una pieza con el fin de evaluar su eficiencia, calcula la media , mediana y moda.

TIEMPO FÍ20.01- 25.0 1025.01- 30.0 2030.01- 35.0 2535.01- 40.0 4040.01- 45.0 45

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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE MEXICO. TAREA 1 ESTADISTICA.

1.- Los siguientes datos representan el número de devoluciones de cierto artículo en 20 días consecutivos.

12 23 21 22 9 8 7 9 6 11 34 6 48 21 40 56 21 40 55 7 18 24 45 60 48

a) Calcula el porcentaje acumulado que representa una devolución máxima de 45 artículos.b) Calcula el porcentaje acumulado que representa una devolución mayor a 25 artículos.

2.- Los siguientes datos representan los tiempos registrados por un nadador en una prueba determinada (segundos):

13.45 12.80 11.20 12.40 11.10 14.15 10.10 12.14 13.80Calcula la media y mediana de los tiempos registrados en dicha prueba.

3.- De la siguiente serie de datos (Número de accidentes registrados en la estación Tacubaya), en algunos días del mes de Octubre del 2014.

6 8 6 4 3 6 5 8 7 6 7 3 4 6 9 5 4 7 8 9 6 4 5 6 3 4Calcula:

a) El porcentaje acumulado que representa un máximo de 7 accidentes,b) El porcentaje que representa el número de accidentes menor a 6.c) Calcula la media, mediana y moda de los accidentes.

4.- A continuación se presentan el número de artículos defectuosos registrados en una serie de producción.

6 5 9 4 8 11 4 6 12 14a) Calcula la media aritmética, geométrica, mediana y moda de los datos.b) ¿La media representa ser una medida de tendencia central propia para la toma de decisiones?

5.- Para el registro de una serie de datos (70). Donde el valor máximo es de 240 y el mínimo 30. Se deberá elaborar una tabla de datos y calcular:

a) El número de clases que deberá contener la tabla.b) La amplitud de clases.c) Los límites de estas clases.

6.- La siguiente tabla representa el número de grupos que se abrieron de la materia de probabilidad y estadística, durante los últimos 9 cuatrimestres en UNITEC.

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a) Calcula el % que representa cada segmento.b) Calcula el porcentaje cumulado de los grupos.c) Calcula la media, mediana y moda de los datos.

Xí Fí45678

7.- La siguiente tabla muestra las edades de 90 personas a quienes se les practicó a un estudio médico. Calcula:

a) La edad promedio de las personas del estudio.b) La edad que con más frecuencia se dioc) La edad que se encuentra exactamente a la mitad de la serie de datos.

edades frecuencia 5 – 20 1421 – 36 2037 – 52 3153 - 68 25

8.- Los datos mostrados a continuación representan el costo de la energía eléctrica durante julio del 2008, para una muestra aleatoria de 30 departamentos de una unidad habitacional.96 171 202 178 147 102 153 197 127 82 157 185 90 116 172 111 148 213 130 165 206 187 129 157 185 92 110 177 212 138a) Forma una tabla de distribución de frecuencias relativas.b) Calcula el costo que se dio con más frecuencia. c) El costo promedio de la muestra.d) El costo que se encuentra exactamente a la mitad de la serie de datos.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN.-

Medidas que indican el grado de variabilidad que presenta una serie de datos.Rango.- Variabilidades extremas.- máximo - mínimo.

Varianza.- Promedio de los cuadrados de las diferencias de cada uno de los datos con respecto al valor medio.

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Población.-

Muestra.-

Desviación estándar.- Raíz cuadrada de las varianzas.

1.- Calcula la desviación estándar de la siguiente serie de datos, que representan parte de los elementos de una población:

20 12 15 16 13 14

Calcula la media insesgada de la misma serie de datos.

2.- Calcula el rango y la varianza insesgada del siguiente conjunto de ventas:

145 150 165 155 155 145 150 140 145 150 160 155 150 160

3.- En los envases de leche, la cantidad de líquido no es siempre un litro, por lo que se tomo una muestra de 10 envases y se obtienen:0.95 1.01 0.97 0.95 1.0 0.97 0.95 1.01 0.95 0.98.

DATOS AGRUPADOS.

En este caso las medidas de variabilidad son las mismas, la diferencia radica en las fórmulas a utilizar, tómese en cuenta el siguiente ejemplo.

1.- A continuación se presenta el número de personas que pasan por el torniquete del estadio azteca, durante un partido clásico.11 13 15 42 10 22 56 41 89 76 73 51 16 20 50 18 34 21 25 19 24 27 53 27 29 33 44 52 34 56 45 45 23 28 45 35 21 34.

Elabora la tabla de frecuencias y calcula:Rango, Varianza y desviación estándar.

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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE MÉXICO.TAREA 2 ESTADÍSTICA.MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN

1.- Se realizo una muestra del tiempo (en minutos) que tardan 10 obreros en realizar una tarea determinada.

EMPLEADO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10TIEMPO 5 8 9 3 10 12 11 10 5 6

Calcula:Media, mediana, moda, rango, varianza y desviación estándar.

2.- La siguiente tabla muestra las edades de 120 personas que asisten de forma mensual a un centro deportivo. Calcula:Media, mediana, moda, rango, varianza y desviación estándar

Intervalos deedades

frecuencia

5 – 19 1620 – 34 3135 – 49 5350 - 64 1465 - 79 6

3.-En una distribuidora de refacciones para auto, existen 10 agentes de ventas, los cuales reportaron durante el primer mes de actividades las siguientes ventas (en miles de pesos).

51, 52, 56, 66, 68, 70, 62, 64, 68, y 76

Calcula: Media, Mediana, Moda, Rango, Varianza y Desviación estándar.

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4.-Durante los años del 2000 al 2002 la cotización mensual del dólar se muestra en la siguiente tabla:

CLASES FÍ9.02- 9.25 119.26- 9.49 99.50- 9.73 89.74 –9.97 49.98-10.21 210.22- 10.45 2

Calcula: Media, Mediana, Moda, Rango, Varianza y Desviación estándar

UNIDAD 3.BASES DE PROBABILIDAD.

Probabilidad.- Rama de las matemáticas que indica la posibilidad de que ocurra algo.Corrientes probabilísticas:

a) Corriente clásica.- Considera resultados equiprobables. Los clasisistas asignan una probabilidad igual a cada punto del espacio muestral.

b) Frecuencial.- asigna el valor de probabilidad a un evento de acuerdo a la frecuencia con lo que ocurre. Basada en la frecuencia relativa.

c) Subjetiva.- Se asigna probabilidad de acuerdo al conocimiento ó experiencia de cada persona.

d) Corriente bayesiana.- asigna la probabilidad a un evento, después de que se haya obtenido una previa. (condicional).

Generalidades sobre la probabilidad.

Eventos.- Condición a buscar.Por comprensión: A= { x/x es el lado que queda arriba después de lanzar un dado}Por extensión: { 1,2,3,4,5,6}

Tipos de eventos:

Finitos: Aquellos que tienen como resultado un número determinado de elementos.Infinitos: número indeterminado de elementos.Vacío: Sin elementos.Relaciones fundamentales en eventos:

Diagramas de Venn-Euler.

Se consideran algunas operaciones fundamentales entre eventos, tales como:

- Unión.- La unión de A con B, es otro evento formado por los elementos de A y los de B, sin que estos se encuentren repetidos.

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- Intersección.- La intersección de A y B, es otro evento formado por los elementos que se repiten en A y B.

- Complemento.- El complemento de un evento, son los elementos que pertenecen al espacio muestral que no se encuentran contenidos en A.

- Diferencia.- la Diferencia entre A y B, es otro evento formado por los elementos de A, que no pertenecen a B.

1.-Dado el siguiente espacio muestral: S = { 0,1…….,20}, los eventos: A ={2,4,5,6,7,8,9,11,12,13,15} B= { 0,2.....20} C= { 2,,5,7,11}

ENTONCES:

Ac – Bc =

(Ac – Bc) C =

A – (B∩C) =

(B – C)c – A =

ENFOQUE CLASICO.

Se considera que todos los eventos son equiprobables. Se requiere del espacio muestral para el cálculo de probabilidades.El espacio muestral es el conjunto de puntos muestrales que son posibles resultados al evento.

2.- Se lanzan 3 monedas al aire y se anotan las caras águila que resultan: establece los puntos muestrales y asigna probabilidad a :

A= { una cara águila}

B={ Por lo menos una cara águila}

C= Obtener una cara sal o dos caras sol.

3. Se tiran dos dados y se anotan la suma de sus caras.a) Elabora el espacio muestral.b) Calcula, la probabilidad de obtener tirada par.c) Calcula, la probabilidad de obtener tirada con suma mayor a 6. d) Calcula, la probabilidad de obtener tirada que sea múltiplo de 3.

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e) Calcula, la probabilidad de obtener tirada par.o número menor a 8 f) Calcula, la probabilidad de obtener tirada múltiplo de tres y que sea menor a 8.g) Calcula, la probabilidad de obtener tirada menor a 8 dado que es par.

4.- En un restaurante se ofrece el siguiente menú: dos sopas, arroz y espagueti, tres platos fuertes: milanesa, pollo y cerdo, dos postres, gelatina y fruta.

a) Elabora el espacio muestral.b) Calcula, la probabilidad de comer arrozc) Calcula, la probabilidad de comer arroz y pollod) Calcula, la probabilidad de comer pollo o milanesae) Calcula, la probabilidad de obtener comer cerdo dado que ya se comió espagueti.f) Calcula, la probabilidad de comer. Arroz, milanesa y fruta.

ENFOQUE FRECUENCIAL.

Se utiliza cuando los puntos muestrales se basan en una frecuencia determinada. Están Cuantificados. Considerando la siguiente información:

ENFERMEDAD HOMBRES MUJERES TOTALESCáncer 123,560 98,600 222,160Hipertensión 45,000 63,450 108,450Diabetes 56,500 37,800 94,300Obesidad 11,510 23,600 35,110TOTALES 236,570 223,450 460,020

a) Calcula la probabilidad de elegir a una mujer enferma.b) Calcula la probabilidad de elegir a un enfermo c) Calcula la probabilidad de elegir a un enfermo de diabetes o alguien enfermo de

cáncer.d) Calcula la probabilidad de elegir a un enfermo de obesidad dado que es hombre.e) Calcula la probabilidad de elegir a un enfermo de hipertensión dado que es mujer.f) Existe relación en el hecho de ser mujer y padecer Cáncer.

2.- De acuerdo con la información proporcionada por el INEGI en el año del 06 se encontraban inscritos en nuestro país 1,481,999 estudiantes a nivel superior. Los datos se presentan a continuación en una tabla en donde se encuentran separados por área de estudio y sexo.

AREA MUJERES HOMBRES TOTALES

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Agropecuarias 9,666 29,093 38,759Salud 78,934 52,906 131,840Exactas 13,503 16,499 30,002Administrativas 412,792 329,699 742,491Educación 36,949 20,415 57,363Ingeniería 138,456 343,087 481,543TOTALES 690,300 791,699 1,481,999

Calcula: Probabilidad de seleccionar al azar a un estudiante hombre Estudiante de Salud dado que es mujer. Estudiante con área de Salud ó Administrativa Estudiante de Ingeniería Varón Estudiante mujer ó que estudie en área de Educación Existe relación en el hecho de elegir ciencias administrativas si se es mujer.

TAREA 3. PROBABILIDAD.FECHA DE ENTREGA:

1.- Un inversionista seleccionará de manera aleatoria dos acciones de un portafolio compuesto por: A, B y C. ¿Cuál es el espacio muestral? Determina las probabilidades:

a) No se elija acción A.b) Se elija acciones a y b

2.- Un joven se encuentra chateando con tres chicas de forma simultánea, existe la probabilidad de que sean guapas ó feas. Determina el espacio muestral y calcula las siguientes probabilidades.

a) de que las tres sean guapas

b) De que al menos 2 lo sean

c) Platicar con puras feas.

d) De que la primera sea guapa

e) De platicar con una fea o al menos dos feas.

f) Platicar con 2 guapas, dado que la primera lo es.

3.-Dado el siguiente espacio muestral: S = { 0,1…….,30}, los eventos:

A ={2,4,5,6,7,9,11,13,15, 22} B= { 0,2,4,...20} C= { 1,3,5............27}

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ENTONCES:

Ac – Bc =

(Ac – Bc) U C =

A – (B∩C) =

(B – C)c – A =

(A – C)c ∩ B =

LEYES DEL ALGEBRA EN LA PROBABILIDAD.

1.- Sea P(A)= 0.70, P(B)= 0.05 y P(A ∩B)= 0.80, calcula:

P ( A U B ) =P ( A)c=

2.- Sean A y B tal que, P (A U B ) = 0.80 , P ( A)c= 0.20 Y P(A ∩ B)= 0.20CALCULA:P ( A ) =P ( B)=

P ( A U Bc)=

3.- Dados A y B, tales que (A) = 0.60 y p (B)= 0.15 y P(AUB) = 0.75, calcula:

P ( Ac) =

P(Ac ∩Bc)=

Contesta: A y B son mutuamente excluyentes?

4.- Dibuja un diagrama de Venn para:

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P(A U B) = 0.80P ( Ac) = 0.30P ( Bc) = 0.50

5.- Dados A y B, tales que: P (A ) = 0.15 , P ( B)= 0.25 Y P(A U B)= 0.35

CALCULA:

P (Ac U B) = P( Ac ∩ Bc)=P (AC)C

6.- Sean A y B tales que: P (A) = 0.70, P (Bc)= 0.60 Y P(A ∩ B)= 0.80, calcula:

P (A U B) =

P (Ac) =

7.- Se tiran dos dados de forma simultánea, anotando la suma de sus puntos:a) Establece el espacio muestral. Y calcula:a) Probabilidad de obtener Números paresb) Números primosc) Números menores a 6d) Números mayores a 8e) Múltiplos de 3.a) de obtener una tirada par y que el número sea mayor a 8b) de obtener número primo menor a 6c) Obtener número par ó primod) Obtener número primo o múltiplo de 3.

PROBABILIDAD CON TÉCNICAS DE CONTEO.

Existen cuatro procedimientos básicos para hacer arreglos:

- Regla de multiplicación.- Donde se encuentra el número de arreglos dados N número de conjuntos con n número de elementos.

- Árboles de decisión.- Forma gráfica de encontrar arreglos.

- Combinaciones

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- Permutaciones.

La problemática real en el cálculo de probabilidades a través de técnicas de conteo, es identificar la característica del arreglo(s) de que se está hablando.

APLICACIONES.

Conociendo el número de arreglos que se pueden obtener de un determinado experimento y partiendo del enfoque clásico de la probabilidad, en donde todos son equi-probables, la probabilidad de que ocurra un evento, se encuentra dada por.

P(E)= N(E)__ , aplicable a cualquiera de las fórmulas N(S)

El teorema de Kolmogorov, que establece tres fases:

1.- Definir el experimento del que se habla2.- encontrar el espacio muestral3.- Definir y encontrar el evento correspondiente.

Y tomando en cuenta siempre, las reglas de multiplicación y suma.

EJEMPLOS:

1.- Una empresa fabrica computadoras tiene 25 etiquetas: de las cuales 10 son verdes, 12 rojas y 3 amarillas ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado al sacar 3 sin ver obtenga solo una amarilla?

2.- Las placas del Estado de México, están formadas por 4 letras y 3 números, calcula la probabilidad de obtener una placa que termine con 2 dígitos impares e inicie con la letra L.

3.- Una urna tiene 13 esferas: 3 son rojas, 4 blancas y 6 azules, se toman 2 , calcula la probabilidad de una y solo una sea roja.

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4 Cuatro personas juegan dominó, se reparten 28 fichas, siete para cada uno, calcula la probabilidad de que a una persona le toquen 4 mulas.

b) que la primera ficha repartida a una persona sea una mula.

5.- En un centro comercial quedan 10 carros de control remoto para la venta, entre los cuales existen 4 defectuosos. Si una persona compra dos carros, calcula la probabilidad de que por lo menos uno de los carros elegidos sea defectuoso.

6.- Para participar en un juego se consideran 6 números al azar de un total de 44, la persona que tenga los mismos números resultantes en el sorteo gana el juego, calcula la probabilidad de que 3 de los seis números considerados por una persona coincidan con los 6 resultantes en el sorteo?

7.- En una tienda se tienen 100 artículos de los cuales 90 son buenos y 10 defectuosos. Calcula la probabilidad de que en los siguientes 10 artículos que se vendan se encuentre

a) uno y solo uno defectuoso.b) Ninguno defectuoso

8.- 4 personas juegan dominó se reparten 28 fichas, 7 a cada jugador, calcula la probabilidad de que una persona tenga las 4 mulas?

14.- Calcula cuántos números diferentes de cuatro cifras se pueden formar con los números del 0 al 9, si el cero no va al principio, no se permite el reemplazo y

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a) los números deben ser impares.

Probabilidad y Estadística.Ejercicio Previo a examen:

1.- La siguiente tabla muestra las edades de 75 personas parte del total que asisten a un módulo de atención a clientes de un banco.Calcula:

a) La edad promedio de las personas del estudio.b) La edad que con más ocurrencia se presentóc) La edad que se encuentra exactamente a la mitad de la serie.d) La desviación estándar del número de personas atendidas.

Intervalos deEdades

frecuencia

20– 25 726 –31 2532 –37 1638 - 43 1844 - 49 9

2.- Se tiene el registro de las edades de algunos alumnos que cursan la maestría en alta dirección, semestre 1, de Unitec.

Edades 30 32 33 33 32 35 33 30 32 33 30 32 33 30 31 33 35

Calcula:a) La edad promedio de los candidatos.b) La mediana de la distribución de datos.c) La varianza de las edades de los candidatos.

3.-Sean A y B tales que: P (A)c = 0.60, P ( B)= 0.50 Y P(A U B)= 0.80, calcula:

a) P ( A U BC) =

b) P ( B ∩ AC) =

c) P ( Ac U BC) =

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4.- A continuación se muestran los tiempos en minutos, registrados en la producción de algunos días en la fábrica”X”.

7.5 6.6 8.4 8.5 6.7 7.9 5.9 7.2 a) Calcula la media armónica.b) El valor de la mediana.

5.- La siguiente tabla muestra la distribución de un grupo de estudiantes clasificados de acuerdo al área que estudian.

INGENIERÍA ADMINISTRATIVA SALUD TotalHombres 150 270 330Mujeres 80 350 120Total

Calcula:a) Probabilidad de elegir a una persona que estudie administración o sea hombre.b) Probabilidad de elegir a alguien a que estudie administración dado que es mujer.c) Probabilidad de elegir a una mujer que estudie área de ingeniería.d) Existe relación en el hecho de estudiar área administrativa dado que se es mujer?

6.- Se revisan a tres camiones para verificar si traen o no contrabando, calcula:a) Espacio muestral.b) Probabilidad de que el primer camión traiga contrabando.c) Probabilidad de que ninguno traigad) Que el primero o dos lo traigan.e) Que el primero traiga, dado que dos traen contrabando.

7.-Sean A y B tales que: P (A) = 0.30, P ( B) = 0.40 , calcula: a) P ( A U BC) =b) P ( B ∩ AC) = c) P ( Ac U BC) =

8.- A continuación se muestran las tasas de interés otorgadas por cierta institución bancaria en los últimos 6 bimestres,

4.5 3.8 5.4 4.9 4.7 5.9 a) Calcula la media geométrica.b) El valor de la mediana.

9.- La siguiente tabla muestra las edades de 55 que asisten a un módulo de atención a clientes de un banco.Calcula:

a) La edad promedio de las personas del estudio.b) La edad que con más ocurrencia se presentóc) La edad que se encuentra exactamente a la mitad de la serie.

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d) La desviación estándar del número de personas atendidas.

Intervalos deEdades

frecuencia

20– 25 526 –31 1832 –37 1538 - 43 1244 - 49 5

10.- Se tiene el registro de los tomos vendidos por una librería en algunos días.

Libros 10 15 13 23 30 15 13 10 15 13 23 30 15

Calcula:a) La edad promedio de los tomos vendidos. Es confiable? Porquéb) La mediana de la distribución de datos.c) La varianza de las edades de los datos.

11.- La siguiente tabla muestra la distribución de un grupo de estudiantes clasificados de acuerdo a las actividades que realizan en sus tiempos libres.

CINE TEATRO DANZA TotalHombres 120 70 30 220Mujeres 90 130 100 320Total 210 200 130 540

Calcula:a) Probabilidad de elegir a una persona a quien le guste el teatro o el cine.b) Probabilidad de elegir a alguien a quien le guste la danza dado que es hombre.c) Probabilidad de elegir a una mujer que vaya al teatro.d) Existe relación en el hecho de practicar la danza dado que se es mujer?

12.- El menú de una restaurant se compone de dos entradas (ensalada y fruta), tres sopas (consomé, pasta y arroz), 2 guisados (carne de res y pollo), 2 postres ( gelatina y duraznos).

a) Calcula espacio muestralb) Comer ensalada con carne de res o pollo.c) Comer pollo dado que se ha comido pasta.d) Comer res dado que se ha comido ensalada.

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SEGUNDO PARCIAL

UNIDAD 5

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA.

Experimento.- Proceso de observación de un evento, del cual se obtiene un resultado favorable entre distintos posibles.

EXPERIMENTO VARIABLES POSIBLES RESULTADOSLanzar 1 dado cara del dado 1,2,3,4,5,6Veces que suena un teléfono cantidad de sonidos x ≥ 0

Variable aleatoria.- Función numérica que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral.Discreta.- Aquella que solo puede asumir una sucesión infinita ó finita de valores enteros.Funciones de distribución de probabilidad.- Es una relación entre los valores asociados a una variable aleatoria discreta X y las probabilidades que se calculan para cada uno de los valores asignados a X.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES DISCRETAS.

Existen 4 tipos de distribuciones de probabilidades que cumplen para estas variables de tipo discreto, son: Binomial, Hípergeométrica, Poisson y Geométrica.

** Cada una de estas debe utilizarse, de acuerdo al tipo de problema que se realice**

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

Es una distribución que emplea variables aleatorias discretas, donde únicamente existen dos posibles resultados: éxito ó fracaso, pudiendo aplicarse a una muestra ó a una población, pero nunca a las dos de forma simultánea., su fórmula:

Ejemplos:

1.- En la clase de Estadística I el 10 % de los alumnos se encuentran insatisfechos con los ejercicios que se dejan de tarea, si se elige aleatoriamente una muestra de 4 alumnos, calcula:a) La probabilidad de que exactamente 3 alumnos se encuentren insatisfechos.

b) La probabilidad de que menos de 2 lo estén.

nCk pk qn - k

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2.- Una empresa consultora afirma que un procedimiento para promocionar las ventas es exitoso un 80% de las veces, Si el procedimiento se lleva a cabo 5 veces al año, calcula la probabilidad de que:a) Las cinco veces sea exitosob) A lo más dos de las cinco veces los sea.

3.- Si el 30% de las lámparas incandescentes de una compañía se funden en una semana, si se dejan encendidas todo el tiempo y se instala una de ellas en cada uno de los pisos de un edificio. Cuál es la probabilidad de que en uno de los 10 pisos.......a) Se fundan 10b) No haya lámparas fundidas.c) Se fundan por lo menos 8.

4.- El 25% de los niños en casa son maltratados, si se toma una muestra de 25 familias, calcula la probabilidad de que sean maltratados, máximo 3 changuitos.

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA.

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Es aquella en la que se consideran dos posibles resultados: éxitos y fracasos, pero a diferencia de la Binomial, en esta distribución se toman en cuenta tanto los datos de una muestra como una población de forma simultánea.Su fórmula:

1.- Una empresa presenta 10 declaraciones a un auditor, este selecciona una muestra de 6 declaraciones para hacer auditoría, Si siete de las declaraciones indican deducciones autorizadas, no se auditarán. Cuál es la probabilidad de que no se realice una auditoría más detallada, si las declaraciones correctas son:a) Cincob) Tres

2.- En un restaurante “El Bohemio” se realizó una encuesta a 20 comensales sobre las preferencias del canal que transmitió el partido final del campeonato Corea, los resultados se presentan a continuación:CADENA AUDIENCIATelevisa 8TV azteca 7CNI 5Si se toma una muestra de 4 comensales, determina:Cuál es la probabilidad de que todos prefieran el canal 40.

3.- Se recibe un lote de 20 piezas para ensamble. La inspección de los artículos es costosa, por lo cual se decide elegir una muestra de 6 artículos, con la idea de aceptar el lote si no hay más de 4 artículos defectuosos en la muestra. Cuál es la probabilidad de encontrar tres artículos defectuosos?

DISTRIBUCIÓN POISSON.

Es la distribución que determina la probabilidad de x ocurrencias en un número establecido de eventos en un intervalo de tiempo y espacio, teniendo en esta distribución un valor promedio de ocurrencias, su fórmula:

P(x) = e-λ λ x x!

P( x) = [kCx] [(N-k )C (n-x)] NCn

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Ejemplos:

1.- El número promedio de accidentes automovilísticos por día en el D.F. es de 20.5, calcula la probabilidad de que en un día elegido al azar se registren únicamente 10 accidentes.

2.- Los clientes de una tienda de artículos deportivos llegan a un mostrador ocupando una tasa media de cuatro cada 10 minutos. Se desea conocer la probabilidad de que en un minuto determinado lleguen tres clientes.

3.-Un profesor recibe en promedio 6 llamadas cada 15 minutos un día antes del examen, cual es la probabilidad de recibir dos llamadas en ese día.

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA.

Es la que nos indica en que experimento ocurrió el primero, segundo, tercero...etc . Exito ó fracaso. Se basa en la distribución binomial porque únicamente se tendrán estos resultados. Su fórmula:

Ejemplos:

1.- Una máquina inyectora de plástico produce el 12% de artículos defectuosos. Determina la probabilidad de que el tercer artículo elegido al azar sea el defectuoso?

2.- Al participar en un concurso, la probabilidad de que un participante acierte a una respuesta es del 60%. Cuál es la probabilidad de que el participante proporcione su primera respuesta correcta en el tercer intento?

P( x) = P ( 1 –p)x - 1

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3.- Si la probabilidad de que un estudiante en una clase numerosa pueda dar la respuesta a un problema asignado es del 35%, cuál es la probabilidad de que el cuarto estudiante seleccionado al azar sea el primero en dar la respuesta correcta.

EJERCICIO.

1.- En la estación del metro Chapultepec entran en promedio 360 personas cada media hora, si se elige un minuto al azar calcula:

a) La probabilidad de que entren exactamente 12 personas en un minutob) Que entren de 8 a 10 personas en un minuto.

2.- Un concesionario de Ford informa que el 15% del total de autos vendidos regresan durante el primer año para dar servicio de mantenimiento, si se monitorean a 10 autos durante un periodo, determina:

a) La probabilidad de que 2 autos regresenb) La probabilidad de que más de 2 y menos de 5 lo hagan.

3.- Una casa de bolsa tiene un paquete de acciones con distintos rendimientos, si la probabilidad de que se eleve el rendimiento es del 70% encuentra la probabilidad de que sea la cuarta acción la que se eleve?

4.- Un político cree que el 25% de los macro-economistas que ocupan altos cargos apoyaran determinada propuesta, si se eligen 5 altos cargos, que probabilidad existe que dos de los cinco apoyen dicha propuesta.

5.- En promedio al puerto llega un barco cada dos días. Una empresa importadora desea conocer cuál es la probabilidad de que 3 barcos lleguen en un día seleccionado al azar?

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6.- En una empresa existen 20 trabajadores, de los cuales 12 son mujeres y 8 son hombres, en un puente del día del trabajo faltaron 4, determina la probabilidad de que ninguno de ellos sea mujer?

7.- Se sabe que el 20% de la población padece defectos auditivos. Cuál es la probabilidad de que al realizarse un muestreo sea la séptima persona la que tenga defectos auditivos.

8.- Las normas de la industria sugieren que el10% de los vehículos nuevos requieren servicio durante el primer año, la concesionaria X vendió el día de ayer 12 automóviles, Cuál es la probabilidad de que menos de 3 regresen al servicio?

9.- Una población consta de 15 elementos,10 de ellos son aceptables. En una muestra de 4, cuál es la probabilidad de que exactamente 3 sean aceptables?

10.- En el pasado las escuelas del condado de los Ángeles cerraron en promedio tres días cada mes, por emergencias climáticas, Cuál es la probabilidad de que las escuelas de este condado cierren 4 ó 5 días el próximo mes?

11.- El 35 % de los alumnos confían en su buena fortuna el día del examen final, si se analiza una muestra de 10, calcula:a) La probabilidad de que más de 8 se confíen.b) que sea el cuarto alumno el confiado.

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UNIDAD 6.

PROBABILIDAD DE VARIABLES CONTINUAS.

En esta unidad se presentan 5 esquemas sobre el cálculo de variables continuas.

DISTRIBUCIÓN NORMAL.

Como resultado de la unión de las marcas de clase de un polígono de frecuencias y su respectiva suavización, obtenemos la curva de frecuencia denominada: Campana de Gauss.

CARACTERISTICAS:

Forma de campana. Donde la media = mediana = modaVa de menos infinito a infinitoParámetros más importantes: <Media y Desviación Estándar.

AREA BAJO LA CURVA.Es igual a 1, de tal manera, que puede verse en términos de probabilidad y nos permite encontrar la probabilidad de cualquier rango de valores a través de la estandarización, cuya fórmula es:

1.- Una empresa de cosméticos realiza un estudio de mercado, en donde establece que el precio promedio de los lápices labiales es de $ 35.00 con una desviación estándar de $ 5.50, su distribución es normal, calcula:a) Probabilidad de encontrar en el mercado un lápiz con un valor inferior a los $ 31.00b) Probabilidad de encontrar un lápiz con valor inferior a los 38.00c) Probabilidad de encontrar un lápiz con precio entre los 31.00 y 38.00.

2.- Una empresa de automóviles realizó un estudio de tiempos y movimientos, se detectó que el tiempo promedio en el ensamblado de un auto sigue una distribución normal y es de 27.8 minutos, con una desviación de 4 min. Calcula:a) La probabilidad de que el auto se ensamble en menos de 25 minutos.b) La probabilidad de que se ensamble entre los 26 y los 30 minutos.

Z = x - µ Ơ

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3.- Se sabe que el ciclo de vida de un componente eléctrico sigue una distribución normal, con una media de 2000 horas y una desviación de 200, calcula:

a) probabilidad de que uno elegido al azar dure más de 2010 hrs.b) Probabilidad de elegir uno que dure menos de 1900c) Probabilidad de elegir uno que dure entre 2000 y 2400 horas.

RELACIÓN ENTRE LA DISTRIBUCION NORMAL Y LA BINOMIAL. La binomial es uno de los procedimientos más utilizados, recuerda que consiste en que el experimento tiene dos posibilidades el éxito y fracaso. Una de las limitaciones que tiene es el número en el tamaño de la muestra en la que NO puede ser aplicado, cuando es mayor a 30 elementos, por lo que se une a la normal para poder ser aplicada en muestras mayores a 30, con la siguiente fórmula:

Y con el uso de dos más, que permitirán sustituir los valores anteriores.

Con el inconveniente de tener que ajustar el valor de la X, con el uso del siguiente gráfico:

Ejemplo:1.- En los registros contables de una empresa se ha detectado que el 30% de las facturas están vencidas, si se toma una muestra de 80 facturas, calcula la probabilidad de que 12 ó más estén vencidas?

Z = x - µ Ơ

µ = np

o = √npq

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2.- Recubrimientos es una empresa dedicada a la protección de tanques para evitar la corrosión, ha determinado como parte de sus servicios que los documentos que se entreguen estén correctos, sin embargo, se sabe que el 17% de las facturas se cancelan por errores, si se toma una muestra de 50 facturas, cual es la probabilidad de que a los más 10 tengan errores?

3.- Una empresa de construcción, está contratando personal por expansión, se sabe que el 40% de las solicitudes que llegan son aceptadas. Cuál es la probabilidad de que en un grupo seleccionado al azar de 65 solicitudes se acepten más de 30?

4.-La gerencia de Finanzas de una empresa detectó que el departamento de crédito tiene el 35% del total de las facturas con atrasos, si se toma una muestra de 45 facturas, calcula la probabilidad de que sean menos de 10 las facturas con atrasos?

DISTRIBUCION UNIFORME.

Se aplica en aquellas situaciones en donde todos los elementos de la distribución tienen la misma probabilidad de ser elegidos, por ejemplo, la elección de un frasco en un lote de 500 frascos. Se define como una distribución continua donde la variable aleatoria tiene la misma probabilidad de asumir cualquier valore dentro de un rango específico. La probabilidad se encuentra delimitada entre dos puntos, por lo que su fórmula es:

1.- En un restaurante de un Hotel de Huatulco, se cuenta con un equipo de aire acondicionado el cual proporciona temperaturas que van de los 15 a los 18 grados, si su funcionamiento se considera uniforme, calcula: a) La probabilidad de que la temperatura este entre los 16.5 y 17 grados centígrados b) que la temperatura sea menor a los 18° C c) que la temperatura sea mayor a los 16.5°C

P(x) = c – a d - a

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2.- Si se espera que las ventas de computadora de una empresa siga una distribución uniforme y tomando en cuenta que sus limitantes del mercado hacen que las ventas no puedan ser menores a 5000 ni superiores a 25,000 calcula:a) Probabilidad de que al menos se vendan 20,000b) Probabilidad de que se vendan entre los 10,000 y las 15,000 computadoras

TEOREMA DEL LIMITE CENTRALEs una aproximación del cálculo de la media muestral que se aproxima a la normal, con una media poblacional y desviación estándar que aumenta a medida que aumenta el tamaño de la muestra, por lo que el factor que las distingue es precisamente el tamaño de la muestra, fórmula:

1.- Una despachadora automática de café sirve en promedio 200 ml, con una desviación estándar de 3.5 ml. Si se elige un día al azar en el cuál se sirvieron 55 vasos de café, determina la probabilidad de tener un vaso con menos de 201 ml servido por la máquina.

2.-El tiempo de vida útil de cierto tipo de neumático para autos tienen una media de 60,000 kms y una desviación estándar de 7,500. Cuál es la probabilidad de que el promedio de una muestra formada por 100 neumáticos, tenga una vida útil mayor a los 58,000 kms.

EJERCICIO.

Z = x - µ o_ √n

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1.- Se realizo una investigación para determinar el tiempo que los alumnos dedican al estudio (ja,ja,ja), se concluyo que tienen una media de 6 horas y una desviación estándar de 2.37. Determina la probabilidad de elegir a un alumno que estudio por lo menos 5 horas?

2.- Un vendedor recibe un salario anual entre $ 120,000 y 200,000 según su productividad. Determina:

a) La probabilidad de que sus ingresos sean superiores a los $160,000b) Probabilidad de que sus ingresos sean máximo de 180,000.

3.- Una empresa fabricante de shampoo calcula una media de 6.05 horas con una desviación de 0.6, para el contenido de las botellas, si los límites máximo y mínimo permitidos para su producción son: 6.99 y 6.10. Calcula el porcentaje de las botellas cuyo contenido se encuentran en este rango?

4.- En relación con un grupo extenso de prospectos de venta se ha observado que el 30% de los contactados realiza una compra, si se contactan a 50 personas. Cuál es la probabilidad de que 20 ó más realicen la compra?

5- En una auditoria de calidad se detecto que el promedio de errores en los procedimientos del sistema es de 5 con una desviación de 4.5, si se toma una muestra de 35 procedimientos, calcula la probabilidad de que se encuentren tres errores ó menos?

6.- Después de una campaña de publicidad la empresa X considera que el promedio de captación de alumnos es de 800 con una desviación de 80, calcula:a) La probabilidad de que se inscriban de 900 alumnos en adelante.b) La probabilidad de que se inscriban menos de 700.

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7- El restaurante X determina que la temperatura de su establecimiento es de 22° a 36°C, calcula:a) La probabilidad de que la temperatura sea mayor a los 30°b) La probabilidad de que sea menor a los 34°.

8.- Una empresa que comercializa productos eléctricos, sabe que el valor promedio de las ventas es de $ 12,700 con desviación de 3,600 calcula:

a) probabilidad de que una venta sea al menos de $ 23,000

9.- En una sociedad de inversión se han realizado estudios acerca de las cuentas de inversión y se han detectado que están distribuidas de forma normal con media de 20000 y desviación de 600, si se toma una muestra de 100 cuentas, calcula la probabilidad de que a los más 2050 inversionistas sean productivas?

10.- Una empresa ha definido como parte de sus servicios que la documentación entregada sea correcta, sin embargo se ha detectado que el 19% de las facturas se cancelan por errores, se toma una muestra de 70 facturas, calcula la probabilidad de que a los más 15 de ellas tengan errores.

11.- En un negocio de fotografía en donde se hacen paquetes especiales para bebés, se ha observado que asisten en promedio 34 papás con una desviación estándar de 5, considerando que las muestras son normales y la tomada es de 6, calcula:

a) Qué porcentaje de la muestra se encuentra entre 30 y 35 personas.b) Qué porcentaje de la muestra es mayor a 30.

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE MÉXICO (TAREA) 4.1.- En una tienda entran en promedio 60 personas cada 30 mín., si se elige un minuto al azar calcula:

c) La probabilidad de que entren exactamente 18 personas en un minutod) Que entren menos de 2.

2.- Se realizo una investigación para determinar el tiempo que los alumnos dedican al estudio, se concluyo que tienen una media de 4.5 horas y una desviación estándar de 1.42. Determina la probabilidad de elegir a un alumno que estudio por lo menos 3.5 horas?

3.- Un gerente informa que el 25% del total de las ventas de una tienda, si se revisa una muestra de 10 días, determina:

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c) La probabilidad de que se cancelen 5.d) La probabilidad de que se cancelen menos de dos..

4.- Un vendedor recibe un salario anual entre $ 130,000 y 240,000 según su productividad. Determina:

c) La probabilidad de que sus ingresos sean superiores a los $160,000d) Probabilidad de que sus ingresos sean máximo de 180,000.

5.- En una empresa se reciben 40 pedidos, se toma una muestra de 12, se recibirá el lote si hay 3 con defectos, calcula la probabilidad de que ninguno este defectuoso?

6.- Una empresa fabricante de shampo tiene establecido un promedio de 245 ml, con una desviación de 60 ml,. Calcula la probabilidad de elegir una botella con menos de 230 ml.

7.- La probabilidad de que se obtenga un premio en una rifa es del 45%, encuentra la probabilidad de que sea la cuarta persona la que gane.

8.- En relación con un grupo extenso de prospectos de venta se ha observado que el 40% de los contactados realiza una compra, si se contactan a 50 personas. Cuál es la probabilidad de que 26 ó más realicen la compra?

9.- En promedio al puerto llegan 12 barcos cada 10 días. Calcula la probabilidad de lleguen 8 barcos en un día seleccionado al azar?

10.- Una empresa ha detectado que el 30% de los pedidos se cancelan, se toma una muestra de 60 pedidos, calcula la probabilidad de que a los más 35 se cancelen.

11.- Se sabe que el 20% de la población padece defectos auditivos. Cuál es la probabilidad de que al realizarse un muestreo sea la séptima persona la que tenga defectos auditivos.

12- Después de una campaña de publicidad la empresa X considera que el promedio de captación de alumnos es de 800 con una desviación de 80, calcula:a) La probabilidad de que se inscriban de 900 alumnos en adelante.b) La probabilidad de que se inscriban menos de 700.

13.- El restaurante X determina que la temperatura de su establecimiento es de 22° a 36°C, calcula:c) La probabilidad de que la temperatura sea mayor a los 30°d) La probabilidad de que sea menor a los 34°.

14.- Una empresa que comercializa productos eléctricos, sabe que el valor promedio de las ventas es de $ 12,700 con desviación de 3,600 calcula:

b) probabilidad de que una venta sea al menos de $ 23,000

PRUEBA DE HIPOTESIS.

Objetivos:

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Comprender el concepto de hipótesis. Identificar tipos de errores. Aplicar prueba de hipótesis. Interpretar resultados.

Prueba de Hipótesis.

Se efectúa con la finalidad de obtener información confiable respecto al comportamiento de una población de interés, lo que permite tomar decisiones adecuadas con poca posibilidad de error.Una prueba de hipótesis se define:

Procedimiento de la estadística inferencial, donde se establece una conjetura acerca de las características de una población y permite verificar si estas, se cumplen.

Existen dos procedimientos: Cuando se conoce la desviación estándar poblacional en cuyo caso el modelo probabilístico a utilizar se basa en la distribución normal, donde se aplica los valores estandarizados de Z. Su fórmula:

Cuando se desconoce la desviación estándar poblacional. La distribución a emplear en este caso es el de T críticos, donde el estadístico de prueba es:

TIPOS DE ERRORES.

Error de tipo I : Denotado por α, es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula dado que la nula es verdadera, equivale al 5%.

Error de tipo II: Denotado por β, es la probabilidad de aceptar la hipótesis nula dado que la nula es falsa, equivale a cualquier valor diferente al 5%.

METODOLOGÍA DE TRABAJO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE PRUEBA DE HIPOTESIS.

1.- Identificar el modelo probabilístico del que se trate.2.- Establecer Hipótesis nula y alternativa.3.- Establecer tipo de error, nivel de significancia y zonas de rechazo.4.- Aplicar estadístico de prueba (fórmula).5.- Buscar valor en tablas.6.- Tomar decisión de aceptar ó rechazar hipótesis.7.- Obtener conclusión.

1.- El gerente de control de calidad desea saber si el último lote fabricado cumple con la especificación de que el peso promedio de las cajas de 300 grs es verdadero. Se sabe que:ơ = 15 grs. Se toma una muestra con los siguientes pesos: 295, 299, 301, 305, 298, 300, 301, 305 y 300.

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2.- Una cadena de restaurantes pretende establecer una sucursal en cierto punto de la ciudad. Para hacerlo con buenas perspectivas, se requiere que el ingreso promedio de las familias de las colonias aledañas sea por lo menos de $ 10,000 mensuales. Para tomar la decisión el gerente de expansión, ordena un estudio de 50 familias tomadas al azar, donde se sabe que, ơ = 500. En el estudio se encontró una media de $ 9,800. Con base en esta información, cuál debe ser la decisión del gerente?

(Considera α =10%)

3.- El gerente de desarrollo de nuevos productos está interesado en saber si el contenido de X botella es mayor ó igual a 5 ml, ya que si el contenido es menor se consideraría fraude. Se toma una muestra de 9 botellas, cuyos contenidos son: 4.5, 5, 6, 5.5, 4.7, 5.8, 5.3, 5.9 y 5.2 ml. La desviación es de 1.23 ml. De acuerdo con esta información menciona si la empresa está ó no cometiendo fraude.

4.- El profesor de estadística quiere comprobar que el promedio de su grupo es por los menos de 8.3 si no fuera así establecería ejercicios de refuerzo. La desviación es de 2.5, para decidirlo toma una muestra de 12 calificaciones las cuales se presentan a continuación: 7.3, 8.4, 8.9, 7.9, 8.7, 8.5, 9, 8.3, 7.7, 8.9, 8.1 y 8.5, que decisión tomará el profesor. (Considera α = 10%)

PRUEBA DE HIPOTESIS, CUANDO SE DESCONOCE LA DESVIACIÓN ESTANDAR.

Es el caso más común ya que normalmente se revisa y analiza una muestra, razón por la cuál no se conoce la desviación poblacional, este caso tiene la misma metodología descrita anteriormente, con la única diferencia que el estadístico de prueba ( Fórmula) a utilizar es Tc. La utilización de la tabla T de student , para encontrar el valor límite entre zona de aceptación y rechazo.

Ejemplos:

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1.-El gerente de desarrollo de nuevos productos está interesado en saber si el contenido de X botellas es menor ó igual a 5 ml. Ya que si el contenido es menor se consideraría un fraude. Se toma una muestra de 9 botellas cuyo contenido son: 4.5, 5.0, 6.0, 5.5, 4.7, 5.8, 5.3, 5.9, y 5.2.

2.- Se tiene la siguiente Hipótesis y datos: H o: ≤ 35 n = 28 x = 32.3 Y s = 3, es esta hipótesis estadísticamente cierta con una significancia del 5%.

3.- Con los siguientes datos, determina si la media muestral igual a la media poblacional = 16.5 y un nivel de significancia del 10% , los datos son: 14, 17, 16, 16, 18, 16, 14, 14, 15, 16 y 18.

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS POBLACIONES.

En el caso de la prueba de hipótesis para despoblaciones, lo que se intenta comprobar, es que estas dos poblaciones siendo independiente, presentan los mismos niveles de eficiencia, ineficiencia, es decir, la comparación entre ellas, a fin de determinar si sus medias son iguales.FORMULAS:

1.- A una muestra de vendedores de seguros se les aplicó un examen, para demostrar sus niveles de conocimiento. Se puede concluir que las dos compañías de seguros a quienes fue aplicado el examen, tienen el miso nivel de conocimientos?

Compañía 1 Compañía 2n = 10 n = 10s = 10.2 s = 14.14x = 83.3 x = 92.4

40

2- Con los siguientes datos determina si existen diferencias significativas entre las dos poblaciones que a continuación se presentan

Población 1 Población 2 n = 47 n = 50 x = 67 x= 68 ơ = 8 ơ = 9.5

EJERCICIO.

1.- según datos de la Cofetel por lo menos el 21.6% de la población de México en el 2005 era usuaria de teléfonos celulares. Una universidad determinó que era mayor este porcentaje. Se tomo una muestra de 35 usuarios con una media de 22.4% y una desviación de 2.6%. Cuál de las dos instituciones tiene razón?

2.- Se tiene la siguiente Hipótesis y datos: H o: ≥ 35n = 20 x = 48.9 Y s = 3, es esta hipótesis estadísticamente cierta con una significancia del 10%.

3.- Se quiere demostrar que la media de una población es de 4.5, para tal efecto se tomo una muestra con los siguientes datos: 3.8, 4.5, 6.7, 4.8, 6.5, 4.9, 5.2 7, 6.8. Con un nivel de confianza del 90% establece si la hipótesis es cierta.

4.- Con los siguientes datos, determina se la media muestral es menor ó igual a la media poblacional de 30. Con un nivel de significancia del 10% ,comprueba si es cierto si los datos son: 24, 37, 26, 26, 28, 26, 24, 24, 25, 26 y 28.

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5.- Con los siguientes datos determina si existen diferencias significativas entre las dos poblaciones que a continuación se presentan

Población 1 Población 2 n = 47 n = 50 x = 67 x= 68 ơ = 8 ơ = 9.5

6.- Se tomo una muestra con los siguientes datos: 12.5, 10.8, 11.3, 14.5, 13.5, 12.7, 17.5, 13.4. Con un nivel de confianza del 90% comprueba que la MEDIA poblacional es menor o igual a 12.4.

7.- Con los siguientes datos determina si existen diferencias significativas entre las dos poblaciones que a continuación se presentan

Población 1 Población 2 n = 28 n = 23 x = 32 x = 29 s = 6.4 s = 5.5significancia 10%

8.- Se desea comprobar que las ventas de una empresa son por lo menos de $ 12,500 mensuales, se sabe que la desviación estándar es de 1,525. Para tal efecto se tomo una muestra de 8 meses consecutivos, con los siguientes resultados: $10,500, $15,100 , $ 12,300, $ 12,500, $13,200, $ 9,800, $ 11,100, $990 . Utiliza una significancia del 10%.

9.- Dada los siguientes datos, comprueba que la hipótesis planteada es verdadera.Ho:μ = 30,000

Media muestral : 33,500Desviación estándar muestral : 3,500Muestra : 11.

10.- Se desea comprobar que el promedio de calificaciones de un grupo es máximo de 8.5, se tomo una muestra de 9 alumnos con las siguientes calificaciones:8.2, 7.5, 6.6, 7.6, 8.9, 7.8, 6.5, 5.7 y 9.4

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significancia 5%.

11.- Dada los siguientes datos, comprueba que la hipótesis planteada es verdadera.Ho:μ ≥ 16,300

Media muestral : 15,250Desviación estándar poblacional : 1,200Muestra : 15.Significancia: 10%

EJERCICIO PREVIO A EXAMEN FINAL.PROBABILIDAD Y PRUEBA DE HIPÓTESIS.

1.- Una máquina inyectora de refrescos está ajustada de tal manera que la cantidad promedio de líquido despachado es de 450 ml, con una desviación de 80 ml. Cuál será la probabilidad de obtener un vaso con más de 425 ml?

2.- El 15% de los participantes a un concurso ganan, si se toma una muestra de 12 participantes, calcula la probabilidad de que máximo 2 ganen.

3.- Se tiene la siguiente Hipótesis y datos: H o: ≤ 33, n = 25 x= 27.8 Y 0 =

3.89, es esta hipótesis estadísticamente cierta con una significancia del 5 %?

4.- Se quiere demostrar que la media de una población es de 4.5, para tal efecto se tomó una muestra con los siguientes datos: 3.8, 4.5, 6.7, 4.8, 6.5, 4.9, 5.2 7, 6.8. Con un nivel de confianza del 90 %, establece si la hipótesis es cierta.

5.- El promedio de atención en una tienda es de 20 personas cada 25 minutos, calcula la probabilidad de que en un minuto se atiendan a menos de 2 clientes.

6.- El 60% de las personas sufren obesidad, calcula la probabilidad de sea la tercera persona elegida al azar, la que lo sufra.

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7.- El 35% de los encuestados, votarán por el pan en la próxima elección, si se toma una muestra de 42 participantes, calcula la probabilidad de que máximo 50 voten por esta partido.

8.- Una fábrica elabora en promedio 1250 artículos, con una desviación estándar de 910 vestidos. ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan más de 1370.

9.- En una empresa trabajan 30 personas, de las cuales 12 son mujeres, si se elige al azar una muestra de 8, calcula la probabilidad de que 2 sean mujeres.

10.- Se quiere demostrar que estos dos grupos tienen el mismo nivel de eficiencia. Esto se hará mediante el establecimiento de una prueba de hipótesis al 5% de significancia, los datos son:

Grupo 1 Grupo 2 n = 35 n = 40 x = 12.8 x= 11.4 0 = 2.30 0 = 1.80

11.- El promedio de alumnos inscritos en una escuela es de 750 con desviación de 120, calcula la probabilidad que existe de que se inscriban entre 550 y 680 alumnos.

12.- El 22 % de los asistentes a un estadio beben cerveza, si se toma una muestra de 9 personas, calcula l probabilidad de que tomen menos de 2 personas.

13.- Se tiene la siguiente Hipótesis y datos: H o: ≤ 18, n = 7 x= 19.4 Y s =

1.3, es esta hipótesis estadísticamente cierta con una significancia del 10 %?

14.- El promedio de atención en una tienda es de 10 personas cada 35 minutos, calcula la probabilidad de que en un minuto se atiendan a 2 o 3 clientes.

15.- El 30 % de las personas sufren de problemas dentales, calcula la probabilidad de sea la cuarta persona elegida al azar, la que lo sufra.

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16.- El 55 % de los encuestados, votarán por el PRI en la próxima elección, si se toma una muestra de 35 participantes, calcula la probabilidad de que voten menos de 14 por esta partido.

17.- En una empresa se recibe un pedido de 40 artículos, se sabe que 7 tienen defectos, si se toma una muestra de 5. Calcula la probabilidad de que ninguno sea defectuoso.

18.- Se quiere demostrar que estos dos grupos tienen el mismo nivel de eficiencia. Esto se hará mediante el establecimiento de una prueba de hipótesis al 10% de significancia, los datos son:

Grupo 1 Grupo 2 n = 30 n = 35 x = 22.3 x= 20.2 o2 = 1.80 o2 = 0.90

19- Comprueba que la eficiencia de estas dos tiendas es similar.

Tienda A Tienda B n = 12 n = 10 x = 2,310 x = 2,520 s = 450 s = 429 Significancia 10%

GRACIAS POR TU PARTICIPACION.ATTE: GABRIELA CAMACHO.

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