GUÍA DE TRABAJO N° 1 CURSO: 8º AÑO UNIDAD: “Datos y azar “

Conceptos de estadísticas que se utilizaran en la unidad Población:En una encuesta, el conjunto total de individuos que son objeto de estudio y que poseen al menos una característica en común se denomina población.

Muestra: es una parte o subconjunto de la población. Si los individuos que componen la población son muy distintos entre ellos se debe tomar una muestra de tamaño más grande que en el caso de que los individuos que componen la población sean similares. • La representatividad de una muestra se refiere a la capacidad de reproducir a pequeña escala las características de la población.

• El Censo es un estudio en el que se incluye a toda la población y que permite conocer la cantidad de habitantes y sus características.

• Una variable estadística corresponde a la característica que se observa en cada uno de los elementos de la población, y que se mide en la muestra. Las variables pueden ser cuantitativas (pueden tomar valores numéricos) o cualitativas (clasifica a los individuos en categorías que no se pueden expresar con números).

Tabla de frecuencias

La frecuencia absoluta (f) es el número de repeticiones de cada dato de una muestra.La frecuencia absoluta acumulada (Fi) es la suma de las frecuencias absolutas

La frecuencia relativa es la razón entre la frecuencia absoluta y el número total de datos de la muestra.

La frecuencia relativa porcentual es la frecuencia relativa expresada en porcentaje.

El número hacia el cual se aproxima la frecuencia relativa de un resultado, a medida que aumenta el número de repeticiones de un mismo experimento aleatorio, se llamaprobabilidad. La probabilidad se puede expresar como un número entre 0 y 1

Medidas de tendencia central

• Las medidas que describen un valor central que representa a un grupo de observaciones se denominan medidas de tendencia central. Estas son: la media aritmética (x⎯), la mediana y la moda (Mo).

• Una forma de calcular la media aritmética o promedio es sumar todos los datos y dividir el resultado por el número total de observaciones.

• La moda de un conjunto de datos es el dato que más veces se repite, es decir, aquel que tiene mayor frecuencia absoluta. En caso de existir dos valores de la variable que tengan la mayor frecuencia absoluta, habría dos modas. Si no se repite ningún valor, no existe moda.

El número hacia el cual se aproxima la frecuencia relativa de un resultado, a medida que aumenta el número de repeticiones de un mismo experimento aleatorio, se llamaprobabilidad. La probabilidad se puede expresar como un número entre 0 y 1

1. Para las siguientes situaciones indica si se debe considerar a toda la población o solo una muestra.a. Se quiere estudiar el uso de cierto bloqueador solar en la población chilena.

b. En un 8º básico se quiere saber cuáles son las asignaturas favoritas de los estudiantes.c. Para elegir al presidente de un país, se quiere saber qué candidato es preferido por cada uno de los habitantes.

d. Los alumnos de un curso realizarán una votación para elegir el regalo de cumpleaños para su profesora jefe.

2. Para las siguientes situaciones indica si se ha considerado una población o una muestra.

a. Se realiza una encuesta telefónica acerca de las marcas favoritas de pasta de dientes.

b. Se encuesta a todos los estudiantes de un colegio para saber si prefieren al candidato A o B como presidente del centro de alumnos.

c. Se encuesta a un grupo de personas de distintas regiones del país para saber qué marcas de chocolate prefieren.

d. Se realiza una votación en un curso para elegir al presidente o presidenta de curso

3. A partir de las siguientes muestras indica cuáles serían las causas por las que no son representativas para un estudio.a. Una encuesta telefónica el sábado en la mañana para saber qué canal de televisión es el favorito.

b. Una encuesta en una estación de trenes para saber qué medio de transporte interurbano es el más utilizado.

c. Una encuesta a los estudiantes de 8º básico de un colegio para conocer la aprobación de los alumnos y alumnas respecto de la gestión del director.

d. Una encuesta a 20 mujeres chilenas para conocer cuáles son los equipos de fútbol favoritos de los chilenos.

4.- En una ciudad del norte del país, durante el mes de enero, se han registrado las siguientes temperaturas máximas en grados Celsius:

32, 31, 28, 30, 28, 30, 31, 33, 29, 30, 30, 32, 28, 31, 29, 29,32, 30, 29, 33, 30, 31, 30, 29, 30, 33, 34, 28, 30, 30, 29

a. Construye una tabla de frecuencias que incluya frecuencia absoluta, frecuencia absoluta acumulada, frecuencia relativa y frecuencia relativa porcentual.

b) ¿Cuántos días hubo con temperatura máxima de 29 ºC?c) ¿Qué porcentaje del mes hubo 31 ºC?d) Calcula la media aritmética, la mediana y la moda. ¿Cómo interpretarías los resultados obtenidos en cada caso?

Nuestra misión es “Formar estudiantes integralmente, tanto en lo humano como en lo espiritual, potenciandoel crecimiento personal y privilegiando lo que favorezca el logro de la plenitud del Ser”

GUÍA DE TRABAJO N° 1 CURSO: 8º AÑO UNIDAD: “Datos y azar

Construcción de tablas para datos agrupados a intervalos

Si el conjunto de datos que se recolecta es muy numeroso, o bien, si el rango es muy amplio, es usual presentarlos agrupados y ordenados en intervalos o clases.

La amplitud o tamaño de cada intervalo se calcula dividiendo el valor del rango por la cantidad de intervalos que se desean obtener

Marca de clase de un intervalo es el promedio de los extremos del intervalo

El Rango de un conjunto de datos corresponde a la diferencia numérica entre el dato de mayor valor y el menor valor de una variable.

Ejercicios

1.- Un grupo de 40 pacientes, entre 25 y 50 años, se realizaron un examen para medir su nivel de colesterol (en mg/dl). Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

184 115 53 174 222 156 185 78 98 80 60 177 228 189 181 194120 78 100 258 190 166 207 200 184 198 191 175 214 211 206 199 199 206 218 51 296 155 195 96

En la situación anterior, el conjunto de datos es numeroso y, además, el rango es amplio (296 – 51 = 245). En este caso y en todos aquellos con similares características, es conveniente agruparlos y ordenarlos en intervalos o clases.

El tamaño de cada intervalo se puede calcular dividiendo el valor del rango por la cantidad de intervalos que se desean obtener. Si agrupamos los datos en 5 intervalos, resulta: 296 – 51 245 5 5Luego, cada intervalo es de amplitud 49 (tamaño del intervalo).La tabla de frecuencias correspondiente es:

Nivel deColesterol(variable)

F. absoluta(f i

F. absoluta acumulada(Fi)

F. relativaF. relativaPorcentual

Después de construir la tabla, observamos que 11 pacientes tienen mediciones iguales o menores que 150 mg/dl. En este caso, usamos la frecuencia absoluta acumulada.

Por otro lado, 10 personas tienen más de 200 mg/dl, es decir, un 25% de los pacientes examinados tiene riesgo de sufrir un evento cardiovascular. En este caso, usamos la frecuencia relativa porcentual.

2.- La profesora jefe del 8º Básico de un colegio de Calama hizo un estudio sobre la edad de las mamas de sus alumnos y alumnas, obteniendo los siguientes resultados:

46 31 36 41 49 30 45 46 29 36 31 36 48 36 3632 44 46 41 46 47 49 47 44 45 48 44 49 44 36

a) Construye una tabla de frecuencia cuyos datos estén agrupados en 5 intervalos,partiendo del intervalo 28 – 32.

b) ¿Cual es la amplitud de cada intervalo?____

c) ¿cómo lo obtuviste?_______________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c) ¿Cuantas mamas tienen entre 33 y 37 años?

d) ¿Cuantas mamas tienen entre 43 o más años?

e) ¿Qué porcentaje de mamas tienen entre 33 y 42 anos?

f) Si escoges a una mama al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga 37 añoso menos?

EjerciciosLos datos que a continuación se presentan corresponden al número de llamadas telefónicas que un grupo de personas realiza durante el día. 0, 1, 2, 4, 3, 5, 10, 6, 13, 9, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 6, 14, 8, 15, 16, 17, 18, 19, 5, 12, 7, 11, 3, 20a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en cuatro intervalos.

b) ¿Cuál es la amplitud de cada intervalo?

c) ¿Cuántas personas hicieron entre 0 y 5 llamadas?

d) ¿Cuántas personas hicieron 17 llamadas o menos?

e) ¿Cuál es la probabilidad que una persona realice más de 17 llamadas diari

GUÍA DE TRABAJO N° 3 CURSO: 8º AÑO UNIDAD: “Datos y azar “

La tabla de frecuencias cuyos datos están agrupados en cuatro intervalos, corresponden al número de llamadas telefónicas que un grupo de personas realiza durante el día. a) Completa la tabla de frecuencias. b) ¿Cuál es la amplitud de cada intervalo?

Marca de clase

0 - 69

7 - 1311

14 - 207

21 - 273

c) ¿Cuántas personas hicieron entre 0 y 6 llamadas?

d) ¿Qué porcentaje de las personas hicieron más de 13 llamadas?

e) Calcula la media aritmética y explícala

Concepto de aleatoriedad en el uso de muestras.

MUESTREO ALEATORIOMuestreo en el que la selección de los elementos de la muestra se hace de forma aleatoria y, por tanto, sin que en su composición influya la opinión o preferencia de la persona que la selecciona. Este tipo de muestreo, el único verdaderamente científico, también se le denomina muestreo estadístico La selección al azar o aleatoria de una muestra se hace generalmente mediante el uso de una tabla de números aleatoria, pero también se puede seleccionar haciendo uso de una urna, lotería o cualquier otro artificio que genere números aleatorios

Ejemplos: Si tu quisieras tomar una muestra aleatoria de agua de un río, podrías tomar un

mapa del río y escoger un punto con los ojos vendados

En una fábrica que consta de 600 trabajadores queremos tomar una muestra de 20. Sabemos que hay 200 trabajadores en la sección A, 150 en la B, 150 en la C y 100 en la D.

Podemos tomar la muestra de esta forma: A= 7, B=5, C=5, D=3

Ejercicios

1.- Anota las características para que las muestras sean consideradas aleatorias

2.- Indica cuales de las siguientes muestras son aleatorias

Elegir a la selección de futbol

Elegir a los alumnos de mejores notas para responder una encuesta

Elegir a 5 alumnos por curso para responder una encuesta

Tomar una muestra para ver la calidad de la comida de los colegios de Chiloé, considerando solo los colegios urbanos

Para saber que programa de televisión les gusta a los adolescentes de Ancud se trabajara con una muestra de 5 alumnos por colegio

GUÍA DE TRABAJO N° 4 CURSO: 8º AÑO UNIDAD: “Datos y azar “

Probabilidades.

Probabilidad: Cuando se habla de probabilidad, nos referimos a la posibilidadde que una situación, suceso o evento ocurra.Evento o suceso: Hecho imprevisto, o que puede suceder Su ocurrencia puede ser: seguro, posible o imposible.

Experimentos aleatorios: En un experimento aleatorio interviene el azar, por lo que no es posible saber su resultado, ya que este puede variar dentro de una gama de posibilidades. Normalmente se pueden predecir todos los resultados que podrían darse para una realización particular, pero se desconoce cuál de ellos se verificará en esa oportunidad.Ejemplo: Al lanzar un dado de seis caras podemos la posibilidad de obtener 1,2,3,4,5 o 6, pero no sabemos cual de ellos será el primero en verificarse.

LEER Y RESPONDERCamila se encuentra en una plaza mirando el color de los autos que van pasando. Los colores que observa son: rojo, azul, verde y gris. También mira el número de puertas que cada auto tiene, y nota que pueden ser de 3, 4 ó 5 puertas.

La situación anterior, ¿es un experimento aleatorio?, ____ ¿por qué?

Si clasificaras los autos por color, ¿cuántas categorías existirán?

Si clasificaras los autos por el número de puertas, ¿cuántas categorías existirán? Si quisiera clasificar los autos por color y número de puertas, ¿cuántas categorías existirán?

Si solo observa el color, el conjunto de posibles resultados o espacio muestral es Ω = { rojo, azul, verde, gris}. En consecuencia, el tamaño del espacio muestral es 4. es decir, su cardinalidad es 4

Si solo observa el número de puertas, el espacio muestral es Ω = {3, 4, 5}. En consecuencia, el tamaño del espacio muestral es 3, es decir, su cardinalidad es 3

Si observa color y número de puertas, conviene realizar un diagrama de árbol, para determinar el tamaño muestral

ROJO AZUL GRIS VERDE

Si contamos el total de ramas, vemos que hay ____, es decir, hay ____ maneras de clasificar un auto por color y por número de puertas.

Entonces, el tamaño del espacio muestral en ese caso es 12.

Observa que 12 es igual a 4 • 3, donde 4 es la cantidad de colores de autos y 3 la cantidad de categorías para el número de puertas.El procedimiento realizado se denomina principio multiplicativo, el cual establece que si un evento puede ocurrir de m maneras distintas (en este ejemplo, 4 colores) y es seguido por otro que puede ocurrir de n maneras distintas (en este ejemplo 3, querepresenta la cantidad de puertas), entonces hay m • n maneras de que puedan ocurrir ambos simultáneamente (en el caso anterior, 12 categorías según color y cantidad de puertas).

Al lanzar un dado de seis caras el espacio muestral será: Ω = { }

La cardinalidad (#) del espacio muestral corresponde a la cantidad de elementos contenidos en él. Al lanzar un dado de seis caras la cardinalidad es ______

Al lanzar una moneda el espacio muestral será: Ω = { } y la cardinalidad es _______

Sucesos equiprobables.Seis amigos y amigas (Camila, Josefa, Andrea, Carlos, Alberto y Rosita) salieron de excursión al campo, para investigar acerca de algunos insectos. Decidieron que uno de ellos escribiría todo lo observado; para escogerlo realizaron un sorteo, que consistía en

anotar el nombre de cada uno en un papel y, luego, sacar uno, sin mirar, que indicaría quién escribiría el informe.

Responder:

1.- El sorteo realizado, ¿corresponde a un experimento aleatorio?,________________¿por qué?_____________________________________________________________

2.- ¿Cuál es el espacio muestral en este caso? (Ω)_____________________________

3.- ¿Todos tienen la misma probabilidad de ser elegidos?______________________

En este caso, se puede decir que el sorteo realizado es un experimento aleatorio, pues al sacar el papel sin mirar, no sabemos cuál será el resultado.

El espacio muestral de este experimento corresponde a:Ω = _________________________________________________________________ ya que, son todos los posibles resultados que se pueden obtener al realizar el sorteo.

Además, en este ejemplo podemos ver que todos tienen la misma probabilidad de salir, por lo que ninguno de ellos se verá favorecido o desfavorecido con el sorteo.

Cuando los sucesos elementales (Los sucesos elementales: corresponden a cada uno de los resultados de un espacio muestral) tienen la misma probabilidad deocurrir, los llamaremos sucesos equiprobables.

Recordar:Si en un experimento todos los sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir, se dice que los sucesos son equiprobables.- Espacio muestral (Ω) es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. - La cardinalidad del espacio muestral corresponde a la cantidad de elementos contenidos en él.- El principio multiplicativo señala que si un evento puede ocurrir de m maneras distintas y es seguido por otro que puede ocurrir de n maneras distintas, entonces hay m • n maneras de que puedan ocurrir ambos simultáneamente

1. En los siguientes experimentos, indica el espacio muestral (Ω),cardinalidad y si sus resultados son equiprobables. Explica tu decisión.

a) Extraer, sin mirar, una bolita de una urna que contiene 10 fichas blancas, 10 fichasnegras y 10 amarillas.

b) Extraer, sin mirar, una bolita de una urna que contiene 9 fichas blancas y 10fichas negras.

c) Lanzar una moneda.

d) Escoger una persona al azar, de un curso de 20 niñas y 15 niños.

e) Lanzar un dado y una moneda, simultáneamente.

GUÍA DE TRABAJO N° 5 CURSO: 8º AÑO UNIDAD: “Datos y azar “

Concepto de probabilidad usando el modelo de Laplace.

La probabilidad de un suceso A, se denota por P(A).

Regla de Laplace: Si en un experimento aleatorio los sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir, es decir, son equiprobables, la probabilidad de que un suceso A ocurra se puede calcular utilizando:

P(A) = Número de casos favorables al suceso A Número de casos totales

Ejemplo:Al lanzar un dado de seis caras, la probabilidad de que el número sea primo es de 1 ó 0,5 ó 50%, ya que2Suceso A: obtener un número que sea primoCasos favorables: 2, 3, 5 3 casos favorablesCasos totales: 1, 2, 3, 4, 5, 6 6 casos totales

P(A) = 3 = 1 ó 0,5 ó 50% 6 2

Entonces, una probabilidad se puede expresar como numero decimal, fracción o porcentaje; por ejemplo, si la probabilidad de un evento es 0,3, también podemos decir que es 3 o 30% 10

• La probabilidad de cualquier suceso puede tomar un valor entre 0 y 1.• La probabilidad de que ocurra un suceso imposible es 0.• La probabilidad de que ocurra un suceso seguro es 1.• La probabilidad de que ocurra un suceso incierto es mayor que cero y menor que 1.

Ejercicios:1.- Dado el siguiente experimento; “lanzar un dado de seis caras”. Escribe el número de resultados favorables y el de casos totales, en cada situación. Calcula su probabilidad, expresándola como fracción, número decimal y porcentaje.

a) Obtener un número impar.Casos favorables: __________ __ casos favorablesCasos totales: ____________ __ casos totales

b) Obtener un número menor o igual a 3.

Casos favorables: __________ __ casos favorablesCasos totales: ____________ __ casos totales

c) Obtener un número mayor que 2.

Casos favorables: __________ __ casos favorablesCasos totales: ____________ __ casos totales

d) Obtener un número mayor que 4.

Casos favorables: __________ __ casos favorablesCasos totales: ____________ __ casos totales

2. De una urna donde hay 7 bolitas verdes, 5 bolitas azules y 3 bolitas rojas, extraer, sin mirar, una bolita. Calcula la probabilidad de:

a) extraer una bolita de color verde.

b) extraer una bolita que sea de color azul.

c) extraer una bolita que sea de color rojo.