Apuntes Estática Herminia del Carmen Antón Araica

Unidad Temas

I Unidad: Introducción a la Estática.

II Unidad: Estática de las Partículas.

III Unidad: Sistemas Equivalentes.

IV Unidad: Estática de loa cuerpos Rígidos.

V Unidad: Fuerzas Distribuidas.

VI Unidad: Análisis de Estructuras.

Libros a Utilizar.

Mecánica Vectorial Para Ingenieros ------------ Beer- Jhonston.

Statics -------------- William F. Riley / Leroy D. Sturges

La estática estudia el comportamiento interno y externo de los cuerpos rígidos en reposo.

Los sistemas de unidades que se utilizan son:

Sistema InglesFuerzas Libras Longitud (Ft) PiesTiempo Segundos

Sistema InternacionalFuerzas Kilogramos Longitud (mt) MetrosTiempo Segundos

Unidades:1 Ton----- 1000Kg-----2205Lb 1Kg------2.205 Lb1mt------3.28ft----39.36in1ft-------12in1in-------2.54cm1Kips----1000Lb

Introducción a la Estática.Estática de las Partículas.

30*

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Fuerza en un Plano es una fuerza que representa la acción de un cuerpo sobre otro, esta caracterizada por su magnitud, dirección y punto de aplicación.

Principio de Transmisibilidad, establece que la condición de equilibrio o movimiento de un cuerpo rígido permanece inalterada si la fuerza que actúa en un punto dado del mismo, se reemplaza por una fuerza que se le llama magnitud y dirección pero que actúan en un punto distinto siempre y cuando ambas fuerzas tengan la misma línea de acción.La línea de acción de una fuerza (invisible) es la que pasa todo lo largo del vector que define la fuerza.

Componentes rectangulares de una fuerza.Se dibuja un paralelogramo para obtener las componentes de la fuerza F que define el rectángulo y por lo tanto Fx y Fy reciben el nombre de componentes rectangulares de la Fuerza.

F x=F∗Cosθ F y=F∗Senθ

F=2√Fx2+F y

2

θ=tan−1 F y

Fx

En este punto se introducirán dos vectores de magnitud unitaria dirigidos a lo largo de los ejes positivos x y y. A estos vectores se les llama vectores unitarios y se representan por i y j, respectivamente. Se observa que las componentes

rectangulares Fx y Fy de una fuerza F pueden obtenerse con la multiplicación de sus respectivos vectores unitarios i y j por escalares apropiados.

Se escribe:

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Fx = Fxi , Fy = Fy j

F = Fxi + Fyj

Cuando se van a sumar tres o más fuerzas, no puede obtenerse una solución trigonométrica práctica del polígono de fuerzas que define a la fuerza resultante. En este caso puede obtenerse una solución analítica del problema si se descompone cada fuerza en sus elementos rectangulares.

Considerese, por ejemplo, las tres fuerzas P, Q y S que actuan sobre una partícula A (figura 2.25a). Su resultante R está definida por la relación R = P + Q + S Si se descompone cada fuerza en sus componentes rectalgulares, se escribe Rxi + Ryj = Pxi + Pyj + Qxi + Qyj + Sxi + Syj = ( Px + Qx + Sx) i + (Py + Qy + Sy) j de donde se tiene que Rx = Px + Qx+ Sx ----------------- Ry = Py + Qy + Sy o, en forma breve,

Rx = ∑Fx ------------------ Ry = ∑Fy

Por tanto, se puede concluir que las componentes escalares Rx y Ry de la resultante R de varias fuerzas que actúan sobre una partícula se obtienen separando de manera algebraica las correspondientes componentes escalares de las fuerzas dadas.

Ejemplo 1:

Una fuerza de 800 N se ejerce sobre un perno A como se muestra en la figura 2.22a. Determínese las componentes horizontal y vertical de la fuerza.

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Para obtener el signo correcto de las componentes escalares Fx y Fy el valor 180° - 35° = 145° debe sustituirse por θ en las ecuaciones.

F x=−F cosθ

F y=+F senθ

F x=−800cos (145 )=−665N

F y=+800 sen (35 )=+459N

Las componentes Vectoriales de F son entonces

F x=(−665N )i

F x=(459N ) j

Y se puede escribir como la fuerza Resultante

F=(−665N ) i+ (459N ) j

Ejemplo 2:

Un hombre jala una cuerda atada a un edificio con una fuerza de 300 N, como se muestra en la figura. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por la cuerda en el punto A?

F=300N=Resultante de la Fuerza

θ=tan−1 68

θ=360 º−36.86 ºθ=323.14 º

F x=−F cosθ

F y=+F senθ

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F=240 i+180 j

O Sacamos la hipotenusa:

c2= 2√F x2+F y

2

c2= 2√82+62=10

Aplicando trigonometría.

F x=300( 810 )i=300 cosθF y=−300( 610 ) j=−300 senθ

F=240 i+180 j

* Principio de tranmisibilidad ---> La tensión se encuentra a los largo de todo el vector.

Ejemplo 3: Cuatro fuerzas actúan sobre un perno A como se muestra en la figura. Determine la resultante de las fuerzas sobre el perno.

R=∑F

F1=150∗cos(30) i+150∗Sen(30) j

F2=80∗cos(110)i+80∗Sen(110) j

F3=110∗cos (270)i+110∗Sen(270) j

F4=100∗cos (345)i+100∗Sen (345) j

F1=130 i+75 j

F2=−27.3 i+75.17 j

F3=0 i−110 j

F4=−96.55 i−25.88 j

Q

C

B

A

P

O

Px

Py

Q

C

B

A

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R=∑F=(199.25N ) i+(14.29N ) j

R=2√199.252+14.292

R=199.76N

Ejemplo 4:

El elemento CB de la prensa de banco mostrado en la figura ejerce sobre el bloque B una Fuerza P dirigida a lo largo de la línea CB. Si se sabe que la componente horizontal de Q tiene una magnitud de 250Kg. Determine:La magnitud de la fuerza P.Su componente Vertical.

θ=55−90=35

P x=1200Kg

A

600Lb

900Lb

35

40

A

600Lb

900Lb

35

40

900Lb

600Lb

600Lb

900Lb

35

27°

A

R

ß

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P=Px

cos35=1200K gcos 35

=1464.93Kg

P y=P∗sen35=840Kg

Ejemplo 5:

Dos fuerzas son aplicadas a un perno a como se muestra en la figura, determine la magnitud de la fuerza resultante R y el Angulo ø que esta forma con el eje X.

γ=180−40=140R2=9002+6002−2∗(900 )∗(600 )∗cos140=1413.23 Lb

senδ600

= senφ1413.26

δ=15.83

Determine las componentes de una fuerza conociendo su magnitud y dos puntos a lo largo de su línea de acción.

Distancia entre MN: d

MN→

=d xi+d yj+dzk

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MN→

: vector

F=Fx+F y+F z

F x=F∗d xi

d

F y=F∗d yi

d

F z=F∗dzi

d

λ=dxi+d yj+d zk

d

F c=F∗λ

Fc=F∗( d xi+d yj+dzk

d )2√d= 2√d x

2+d y2+dz

2

El vector unitario λ a lo largo de la línea de acción de F se puede obtener dividiendo M,N entre su magnitud.

Ejemplo 6:

El tirante de una torre esta anclado por medio de un perno en el punto A, la tensión en dicho cable es de 2500N. Determine:

Las componentes Fy, Fx, Fz de las fuerzas que actúan en dicho perno.Los ángulos que definen la dirección de dicha fuerza.

35

AB

dx=40

dz=30

dy=80 m

A

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d= 2√dx2+d y

2+dz2

d= 2√402+802+302

d=94.34m

F c=F∗( d xi+d yj+dzk

d )F c=2500∗(−40 i+80 j+30k94.34 )

F x=F∗d xi

d

F x=2500∗−40 i90.34

=−1060N

F y=2500∗8090.34

=2120N

F z=2500∗3090.34

=795N

cosθ=Fx

F

θx=cos−1∗−1060

2500=115° 09 '

θ y=cos−1∗21202500

=32° 00 '

θ z=cos−1∗7952500

=71 ° 46 '

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Momento alrededor de un eje (Sistemas Equivalentes)

El momento de una fuerza alrededor de un punto o eje es la tendencia a la relación que ejerce la fuerza sobre un cuerpo determinado.

En esta parte se definirá el momento de una fuerza respecto a un punto y el momento de una fuerza respecto a un eje y se desarrollan métodos para hallar la fuerza resultante y los momentos resultantes (Pares) de otros cuatro sistemas que pueden aplicarse a un cuerpo rígido.

Sistemas de Fuerzas coplanarias paralelas.Sistemas de fuerzas coplanarias, no concurrentes y no paralelas.Sistemas de fuerzas paralelas no coplanarias.Sistemas de fuerzas no concurrentes, no coplanarias y no paralelas.

Las resultantes de estos sistemas de fuerzas se utilizaran posteriormente al tratar el equilibrio y movimiento de los cuerpos rígidos.

Momentos y sus características.

El momento de una fuerza respecto a un punto o respecto a un eje es una medida de la tendencia de la fuerza a hacer girar un cuerpo alrededor de un punto o eje.El momento tiene modulo, dirección y sentido y se suma de acuerdo a la regla de adición del paralelogramo, por tanto es una magnitud vectorial. El modulo |M| del momento es, por definición, el producto del modulo |F| de la fuerza por la distancia d medida desde la recta soporte de la fuerza al eje. Así pues, el modulo del momento de la fuerza F respecto al punto O es:

M=¿M o∨¿|F|∗dAl punto O se le llama centro del momento, a la distancia d brazo del momento y a la recta AA eje del momento.El momento positivo por definición análoga, si la fuerza tiende a girar una rotación en el mismo sentido que las agujas del reloj.

Ejemplo 1 : Se aplican tres fuerzas a la barra representada en la figura, determinar:

El momento de la fuerza F A respecto al punto E.

El momento de la fuerza FB respecto al punto A.

El momento de la fuerza FD respecto al punto B.

ME=F A∗dE / A

ME=100∗10=1000N .m

M A=200∗12=2400N .m

6.0000

200kg/m

A B

4.0000

600kg

2.0000

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MB=300∗14=4200N .m

Ejemplo 2 :

Se aplican cuatro fuerzas a una placa en la forma indicada en la figura determinar:El momento de la fuerza FB respecto al punto A.

El momento de la fuerza FC respecto al punto B.

El momento de la fuerza FCrespecto al punto A.

d A /B=250 sen 45°=176.8mm

d B/C=400cos30 °=346.4mm

d A /C=400 cos30 °−250 sen30 °=221.4mm

M A=15∗(103 )∗(176.5 )∗(10−3 )=2.65kN .m

MB=20∗(103 )∗(346.4 )∗(10−3 )=6.93kN .m

M A=20∗(103 )∗(221.4 )∗(10−3 )=4.43kN .m

Ejemplo 3 :

Calcule las reacciones de la viga que se muestra.

150Lb

200Lb

75Lb

150Lb

Y

X

Z

1.0000 1.5000 2.0000 1.0000 0.5000

100Lb

75Lb/ft

200Lb

150Lb

8''

8''

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Punto de localización de la carga en el triangulo es a 2/3 L y a 1/3 de L

(−600∗4 )+By∗6=0B y=400kg

A y=200kgEjemplo 4 :

Calcule los momentos en x, z y la resultante de la fuerza de la figura mostrada, separación de cuadros de la placa eje Y son 1m, 2m, 0.5m. y en la dirección del eje Z a partir del origen es 2m, 2m, 1m.

Resultante de Fuerza=sumade FuerzasResultante de Fuerza=525Lb

M y=(200∗4 )+(150∗4 )+(100∗2 )+ (75∗2 )=1750Lb .m=68.9kip∗¿

M z=(150∗1 )+ (75∗1 )+(200∗3 )+(100∗3 )=1125 Lb .m=44.29kip∗¿

M z=Rx∗Y R

Y R=−M z

Rx

=−(−44.29Kips )

0.525=86.36∈¿2.14mt

ZR=−M Y

Rx

=(68.90Kips )0.525

=131.24∈¿3.33mt

Ejemplo 5 :

Calcule las reacciones de la viga que se muestra.

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W Propio=39.12lb / ft3∗0.67 ft∗0.67 ft=17.56 lb / f tM A=0

(−100∗1 )−(105.36∗3 )−(150∗3.5 )−( 200∗45 ∗5.5)+(B y∗6)=0

B y=303.51 l b

A y+By−515.36=0A y=218.85 lb

Ax−( 200∗35

)=0

Ax=120 lb

Momento de Inercia.

Concepto de Inercia.La inercia es la propiedad de la materia que hace que ésta resista a cualquier cambio en su movimiento, ya sea de dirección o de velocidad. Esta propiedad se describe con precisión en la primera ley del movimiento del científico británico Isaac Newton, que dice lo siguiente: “un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un objeto en movimiento tiende a continuar moviéndose en línea recta, a no ser que actúe sobre ellos una fuerza externa”.

Por ejemplo, los pasajeros de un automóvil que acelera, sienten contra la espalda la fuerza del asiento, que vence su inercia y aumenta su velocidad. Cuando éste frena, los pasajeros tienden a seguir moviéndose y salen despedidos hacia delante. Si realiza un giro, un paquete situado sobre el asiento se desplazará lateralmente, porque la inercia del paquete hace que tienda a seguir moviéndose en línea recta.