Luego el momento respecto a 0 , es1

M0 = r R = r P Tambin, el momento respecto a 0, es En modulo2

(sen-1)21

Igualando y

= =

Resolviendo esta ecuacin grficamente 1 + 2 cos Sen 2 - 2 sen

1002.97- 0.316

3002.732- 0.75

5002.24 - 0.946

9001.0- 1.0

12000.0 - 0.982

1500 - 0.732 - 0.75

1800- 1.0 0.0

2100- 0.732 1.25

24000.02.482

27001.03.0

30002.02.482

33002.7321.25

, )

RPTAS

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMA N02.1 : Los vectores de par 1y 2 representan pares que estn contenidos en los planos ABC y ACD respectivamente. Suponiendo que M1=M2= Mdeterminar el par nico equivalente a los pares

RPTA: = (0.555M) + (1.279 M) + (0.894 M)

PROBLEMA N02.2 : Una fuerza representada por el vector que pasa por D y B, tal como se indica en la figura , tiene una magnitud de 130 lb . Determinar el momento de respecto a las dos lneas mn y pq , donde m,n,p y q son los puntos medios de los lados del prisma .

RPTA:

PROBLEMA N02.3 : Determinar el momento de del problema 2.2 respecto a la lnea rsRPTA:

PROBLEMA N02.4 : Sumar las tres cuplas que se presentan en la figura

RPTA:

PROBLEMA N02.5 : Dado una fuerza y una cupla

Encontrar una sola fuerza equivalente al sistema de fuerzas y u n punto por donde pasa

RPTA: Que pasa a travs de (0.6,0,0)

PROBLEMA N02.6: Una varilla curva en un cuarto de crculo est en el plano horizontal , fijado en su extremo 0 y en A soporta una carga vertical segn se muestra en la figura . Determinar la fuerza equivalente del sistema en 0 y en B

RPTA. En 0 : En B :

PROBLEMA N02.7: Un torsor acta en el punto (1,2,3) ft , tal como se presenta en la figura . la cupla esta dada por :

Donde n es un escalar desconocido. Para el sistema equivalente de fuerzas en el origen, la cupla es representada por:

Determinar el torsor

RPTA:

PROBLEMA N02.8: Dos barras prismticas homogneas AB y BC de longitud l y 2 l respectivamente, unidades en B rgidamente tal como se muestra en la figura .est suspendida en A . Determinar el ngulo que hace AB con la vertical OA, si la resultante del peso de las barras esta a lo largo de Oa

RPTA: = 380 40 PROBLEMA N02.9: El sistema de fuerzas que actan en el botaln OA consiste de un peso W=1200 lb , el peso botaln es w = 100 lb y dos tirantes segn se muestra en la figura .La resultantes de todas las fuerzas pasa por la articulacin 0 . Determinar la tensin T en los tirantes RPTA:

PROBLEMA N02.10: En un muro de contencin de gravedad de forma trapezoidal actan en un mismo plano las fuerzas representadas en a figura. Determinar la resultante de fuerzas, y a que distancia de O en la base OA pasa dicha resultante

RPTA:

PROBLEMA N02.11: Una plancha circular de peso W est sujeto por tres alambres. Un peso de (1/5)W acta en el borde de la plancha tal como se muestra en la figura . Si la resultante del peso de la plancha y el peso adicional (1/5) W es igual a la r resultante de las tensiones, pero en sentido opuesto. Para iguales tensiones en los alambres cunto vale el ngulo

RPTA: = 200 45

PROBLEMA N02.12: Reemplace por una sola fuerza las fuerzas y momento que se muestran aplicados al aparato de la figura. Determine completamente, la lnea de accin de esta fuerza

RPTA:La nica fuerza es de 200 lb, perpendicular a AB, aplicado en ste y a 1 pie de A PROBLEMA N02.13: Determine los valores de las fuerzas F1 , F2 y f3 , para que la resultante de las fuerzas y del momento que actan sobre la placa de la figura , sea cero.

RPTA: 14.2 kg

PROBLEMA N02.14: En la figura, Dnde deber aplicarse una fuerza de 40 kg dirigida hacia abajo, para que la resultante ms simple de todas las fuerzas que se indican est aplicada en el punto?

RPTA: (-8,-2)

PROBLEMA N02.15: Determine el PAR REDUCIDO correspondiente al sistema de fuerzas siguiente , tomando como centro de reduccin el punto P (3,-2,5)

PROBLEMA N02.16: Sustituir el torsor por dos fuerzas, una que acta en el punto A y la otra en el punto B, siendo ambos sistemas equivalentes

RPTA: Donde n es arbitrario

PROBLEMA N02.17: Los tres lados de un tetraedro son mutuamente perpendiculares (OA , OB , OC) ; OD es perpendicular a AB y OD = p . Probar que el sistema de fuerzas equivalente a las fuerzas y y los pares y , ser equivalente a una sola fuerza si :

Probar que lnea de accin de la fuerza nica, Corta a OD en ngulo recto y el punto de interseccin Divide a OD en la relacin

3. EQUILIBRIOAislamiento de un sistema mecnico, diagramas de cuerpo libresEn un sistema mecnico aislado , cuando un cuerpo o grupos de cuerpos es separado de un todo con el fin de ser analizado el cuerpo cuerpos unidos aislados . La representacin esquemtica del cuerpo o grupos de cuerpos en las que aparecen todas las fuerzas exteriores; o sea las aplicadas y reacciones; reacciones de apoyos de otros cuerpos del cual fueron separados, se llama diagrama de cuerpo libre

Equilibrio de una partcula en el espacio .-Cuando la resultante de todas las fuerzas externas que actan sobre una partcula es cero, la partcula esta en equilibrio. La accin de la rotacin o tendencia a rotacin es nula. Es explicito Si en una particula actan dos fuerzas , ste estar en equilibrio si las dos fuerzas tienen el mismo mdulo , direccin y sentidos opuestos

REACCIONES EN APOYOS O ACCIONES EJERCIDAS POR ALGUNOS CUERPOS O APOYOS SUPRIMIDOS PARA LA REPRESENTACION DEL DIAGRAMA DE CUERPO LIBRENombre del cuerpo eliminadoEsquema de la reaccinAccin del cuerpo eliminadodescripcin

Tierra

Fuerza vertical , igual al peso que pasa por el centro de gravedad

Cable flexible (corto ,de peso despreciable ); biela o eslabn

Una fuerza nica , que acta a lo largo del cable biela

Superficie lisa

Fuerza nica perpendicular a la superficie

Rodillo

Fuerza perpendicular a la superficie sobre la cual rueda

Pasador liso

Una fuerza normal al pasador , de direccin desconocida , que se sustituye por dos componentes independientes

Collarn sobre varilla lisa pasador en ranura lisa

Fuerza normal a la varilla ranura

Rtula esfrica

Una fuerza de direccin desconocida que pasa por la bola , sustituida por tres componentes independientes

Cojinete o asiento liso de un ejeUna fuerza y un par de direcciones desconocidas , sustituidos por dos componentes independientes cada uno

Soporte empotramiento

Una fuerza y un par de direcciones desconocidos , sustituidos por tres componentes independientes cada uno

Cuando son mas de dos fuerzas, ejemplo cuatro fuerzas, que actan sobre las partculas A. El polgono cerrado proporciona una expresin grafica del equilibrio de A

La expresin algebraica de las condiciones de equilibrio de una partcula en el espacio , es

Descomponiendo cada fuerza en sus componentes rectangulares

+ + En sus componentes esfricas

+ +

O en cualquier otro sistema, ser anlogo En conclusin hallamos que las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de una partcula en el espacio, son

Como son tres ecuaciones, por cada sistema, pueden emplearse para a resolucin de problemas en los que no tengan ms de tres incgnitas.Para resolver problemas de equilibrio de partculas en el espacio primero se analiza el diagrama de cuerpo libre.En los tipos de problemas ms comunes las incgnitas representan (1) las componentes de una sola fuerza (2) los mdulos de tres fuerzas, cuyas direcciones y sentidos se conocen.

F1,F2 y F3 son de direccin y sentido conocidos Equilibrio de una partcula en el plano.- Las condiciones de equilibrio son: ,

Y los problemas a resolver son aquellas que tienen dos incgnitas.En los tipos de problemas, las dos incgnitas son (1) las dos componentes (el mdulo y direccin) de una sola fuerza, (2) el modulo de dos fuerzas de direccin conocidas

Ambas pueden solucionarse grficamente en (2) pueden hallarse F1 y F2 trigonomtricamente.

Equilibrio de un slido en un espacio.- Se dice que un slido rgido est en equilibrio cuando las fuerzas externas (acciones y reacciones) que actan sobre l, forman un sistema equivalente a cero, es decir, cuando las fuerzas externas se reducen a una fuerza nula y un par nulo.

O sea :

Descomponiendo cada fuerza y cada momento en sus componentes rectangulares, resulta que las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rgido pueden expresarse mediante las seis relaciones escalares.

Por consiguiente el cuerpo no tendr movimiento de traslacin y rotacin con aceleracin. El sistema puede moverse a velocidad constante.Con las seis relaciones se podr determinar hasta seis incgnitas.Equilibrio de un slido en dos dimensiones.- Considerando ejes x e y, entonces de las seis relaciones obtenidas en el equilibrio de un slido en el espacio, se reducen como sigue: Si :

Entonces quedan:

Como la satisface cualquiera que sea el centro de momentos elegido, punto 0, ste punto puede ser cualquiera del plano de fuerzas.Entonces no puede haber ms de tres incgnitas para la compatibilidad del equilibrio. Como no se puede agregar nuevas ecuaciones a las tres ya enunciadas, cualquiera de ellas puedes ser reemplazada por otra ecuacin. As, pues, otro sistema de ecuaciones de equilibrio, para el ejemplo considerado, ver fig. , es:

-------------------------- (I)

Donde se ha elegido la recta AB en una direccin diferente de y.Las dos primeras ecuaciones de (I) indican que las fuerzas exteriores deben reducirse a una fuerza nica vertical en A. La tercera ecuacin indica que el momento respecto a B de esa fuerza sea cero y como la recta de accin de dicha fuerza nica, no contiene al punto B la fuerza debe ser igual a cero, por lo tanto el slido rgido sta en equilibrio. Otro grupo posible de ecuaciones de equilibrio es ---------------------------- (II)Donde A, B y C no estn sobre una misma recta. La primera de las ecuaciones de (II) impone que las fuerzas externas se reducen a una fuerza nica aplicada en A , la segunda impone que esta fuerza pasa por B y la tercera que pase por C . como los tres puntos no estn en lnea recta , la fuerza debe ser igual a cero , en conclusin el solido est en equilibrio

Equilibrio de un slido sometido a dos fuerzas.-Un slido sometido a dos fuerzas est en equilibrio si las 2 fuerzas tienen el mismo mdulo la misma recta de accin y sentidos opuestos. Si se tiene el slido de la figura (a) sometido a dos fuerzas

En (b): indica que F2 pasa por AEn (c): indica que F1 pasa por B Otro par de ecuaciones pueden ser Las fuerzas F1 y F2 pueden ser las resultantes de varias fuerzas.Equilibrio de un slido sometido a tres fuerzas.-Si se tiene el solido de la figura, donde actan tres fuerzas en tres puntos. Las fuerzas pueden ser resultantes de la suma de varias fuerzas en cada punto.Se demostrar que si el cuerpo est en equilibrio las rectas de accin de las tres fuerzas deben ser concurrentes o paralelas.

Si D es un punto de interseccin de F1 y F2 ; el momento de F1 y F2 respecto a D nulo. El momento de F3 respecto a D debe ser tambin cero , y esto ser cuando la recta de accin de F3 pasa por D . Por lo tanto las magnitudes de las tres fuerzas forman un triangulo cerrado

PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA N 3.1: tres cables Estn unidos en D donde se ejerceUna fuerza hacia arriba de 6000 kg.Calcular la tensin en cada cable.

SOLUCION: Primero se hallan las tensiones en funcin del vector unitario y sus mdulos incgnita, para equilibrio de una partcula en el espacio.

Luego: ---------------------------------------- (1)

Luego: -------------------------------------------- (2)Tambin ---------------------------- (3)Como el punto D est en equilibrio

4

5

6

Resolviendo estas ecuaciones

Rptas.RPTAS

PROBLEMA N 3 .2 : se emplea una Varilla AB para soportar una carga de 90 kg Que cuelga muy prxima a la interseccin deDos paredes lisas. Se sabe que la fuerza Ejercida sobre el punto B por la varilla debe Estar dirigida segn la varilla, y que la fuerzaEjercida en el punto B por cualquier pared debeSer perpendicular a ella.

Hallar la fuerza ejercida sobre B por la varilla y por cada pared, cuando a = 3m, b = 1m y h = 1.5 m. SOLUCION : El punto B est sometido a las 4 fuerzas

Donde Luego Como el punto B en equilibrio

Ordenando e igualando a cero los coeficientes de , y

Resolviendo estas tres ecuaciones

Rptas. RPTAS

PROBLEMAS N 3 .3 : Si se fija el tornillo BDel perro de madera de manera que se Encuentre sometido a una compresin de 500 N, determinar la fuerza en el tornillo A.

SOLUCION :Momento respecto a A

Donde :

De donde

Entonces el tornillo A estar sometido a una traccin de 875 N (Rpta.)

PROBLEMA N 3.4 : Las mandbulas deLa llave inglesa son de acero endurecido Y lisas y, para la anchura dada de la llavePueden resistir hasta 6000 N de fuerza Concentrada contra el vrtice de una Tuerca endurecida hexagonal sin sufrirDao alguno. Calcular la fuerza mxima PBajo el brazo de palanca de 25cm que se Puede aplicar sin peligro a la llave. Supngase que entre la tuerca y las Mandbulas de la llave existe un ligero huelgo

SOLUCION :

El momento del par producido por la tuerca, ser equilibrado por el momento de P.

PROBLEMA N 3.5 : Para comprobar El equilibrio del avin se hacen rodar Sobre dinammetros cada una de las Tres ruedas y las indicaciones son: A = 2615 kg, B = 2640 kg, C = 420 kg.Calcular las coordenadas x y del Centro de gravedad del avin. SOLUCION :El diagrama de cuerpo libre del avin

Igualando a cero los coeficientes de y

Rpta.

PROBLEMA N 3.6 : Las dos varillas estn Soldadas de las manera que se indica y Estn soportadas por hilos en sus extremos.Si el material de la varilla pesa 30 kg/m de Longitud. Calcular la tensin de cada uno de Los tres hilos.SOLUCION :

1

---------------------------

Ordenando

Entonces 3

2

----------------------------- --------------------------

3

21

De , y

PROBLEMA N 3.7 : Determinar la fuerzaP que debe ejercer sobre la cuerda el obreroDe 90kg para sostenerse a s mismo.

SOLUCION :

Despus de hacer las diagramas de cuerpo libre, se llega a :

PROBLEMA N 3.8 : Determinar la tensin TDel cable que se indica en la combinacin de Poleas que soporta el peso P.

SOLUCION :

Despus de construir los diagramas de slido libre

RPTA

PROBLEMA N 3.9 : Una basculita est Constituida por una placa suspendida en ADe un eslabn que acta de aguja indicadora. La bscula se inclina segn sea el peso colgadoDel gancho situado en B. Cuando est descargadaAB es horizontal. La bscula pesa 120grs. SinContar la aguja y su centro de gravedad se hallaA 5 cm de A. El peso del gancho es despreciable.Determinar el ngulo que girar la bscula al Colgar del gancho un peso de 240 g. SOLUCION :Segn el grfico

PROBLEMA N 3.10 : El brazo cargado mantieneUna tensin en la correa. Determinar la posicin del peso P para que produzca una tensin T en la correa para la condicin de alineamientoHorizontal de las tres poleas. Despreciar el peso y de la polea central frente a P.SOLUCION :Momento en o :

De donde RPTA

UNIVERSIDAD :SEOR DE SIPANCURSO : ESTATICAESCUELA : INGENIERIA, ARQUITECTURA Y URBANISMOPROFECIN : INGENIERIA CIVIL CICLO : IIDOCENTE : MARIN BARDALES NOEALUMNOS : AGURTO MEDINA JONATHAN PURIHUAMAN AREVALO DAVID QUISPE VASQUEZ JEHISTER