Estimación de Intervalos

Contenidos

• Introducción

• Estimación para una media de lapoblación

– Muestra grande

– Muestra pequeña

• Estimación para una proporción de lapoblación

Introducción

• Hasta hora hemos visto el diseño dedistribuciones sobre la media y la proporciónde una población, calculando estimadorespuntuales

• Sin embargo es necesario analizar otro tipo deestimación, por intervalo.

• Esta estimación expresa la amplitud dentro dela cual probablemente se encuentre unparámetro poblacional

m

• Al intervalo dentro del cual se espera esté unparámetro poblacional se le denominaintervalo de confianza

• Con frecuencia se emplean 2 intervalos el 95%y el 99%

• La interpretación esta dada por la probabilidadde que al repetir el estudio los intervalosdefinidos contendrán el parámetro con un %de confianza determinado

• De acuerdo a lo anterior no todo intervalocontiene al parámetro poblacional y noexactamente dicho parámetro estará en el % delos intervalos fijado

• Otra interpretación está dada con respecto a lasdesviaciones estándares respecto al promediopoblación hipotético

• Cuando se habla de un 95% de confianza seespecifica que el 95% de las medias muestralesestará dentro de 1.96 d.s. del promediopoblacional. En el caso del 99% este valor es2.58

• ¿De donde se obtienen estos valores?

z-z

0.025 0.025

0.475 0.475

0

0.50.5

-1.96 1.96

0.95/2=0.475

• Error muestral– El conocimiento de la distribución de medias

permite hacer afirmaciones probabilísticasacerca del error de muestreo, aunque no seconozca el promedio poblacional

– Al determinar el error estándar de la mediay fijar el intervalo de confianza definimos laprobabilidad de que la media de una muestraorigine un error muestral igual o menor

– En otras palabras hay una probabilidad 1-ade que el valor de la media de muestraorigine un error muestral de za/2 o menos

Estimación para media muestra grande

• Dependiendo de si se conoce el valor de s o s seemplean las siguientes relaciones

• Como regla antes de seleccionar la muestra paradeterminar un estimado de intervalo de la media depoblación se debe especificar el coeficiente deseado deconfianza (1-a)

/ 2

/ 2

X zn

sX z

n

a

a

s

30n

Estimación para media muestra pequeña

• Para el caso de una muestra pequeña n<30 ladistribución del promedio depende del tipo dedistribución de la población

• Si existen antecedentes de que la población no tieneuna distribución normal se recomienda aumentar eltamaño de la muestra (teorema del límite central)

• Si la población tiene distribución normal condesviación estándar poblacional conocida el cálculo delintervalo se realiza según

/ 2X zn

a

s

• Si ahora este parámetro no es conocido es necesariousar la desviación estándar muestral y calcular elintervalo de confianza utilizando una distribuciónllamada t

• El inventor de la distribución t fue William SealyGosset, cuyo pseudónimo era Student

• La distribución t es una distribución parecida a lanormal, que depende de los llamados grados delibertad. Este parámetro corresponde a n-1, siendo n eltamaño de la muestra

• A medida que los grados de libertad aumentan ladistribución t se aproxima una normal. Otra similitudes que en ambas el promedio de la distribución es 0

0 z,t

Distribución t con 10 grados de libertad

Distribución t con 10 grados de libertad

Distribución t con 10 grados de libertad

/ 2Xs

tn

a

Estimación para proporción de la

población

• Siempre que np o n(1-p) sea >5 el empleo de ladistribución normal de probabilidades esaplicable para el cálculo de un estimador, eneste caso de intervalo

• El razonamiento empleado en la estimación delintervalo de la media es aplicable en este casopara determinar el error muestral asociado aproporción muestral con respecto a lapoblacional

.

/ 2 pp za s

(1 )p

p p

ns

(1 )p

p p

ns

• En la práctica cuando necesitemos tener unaaproximación del parámetro poblacional, p, sepueden elegir los siguientes procedimientos:

– Usar un estimador de una muestra anterior de lasmisma unidades

– Hacer un estudio piloto para seleccionar unamuestra preliminar de unidades

– Usar juicio o un estimado mejor del valor de p

– Si no se aplica alguna alternativa usar p=0.5

¿Es grande n?

n>30

¿Se conoce valor de s?¿Es aproximadamente

normal la población?

Usar s de la muestra

para estimar s

Usar s

de la muestra

para estimar s

Aumentar tamaño

de la muestra

para determinar un

estimado de intervalo

¿Se conoce valor de s?

/ 2X zn

a

s / 2

sX z

na

/ 2X zn

a

s

/ 2Xs

tn

a

Si No

Si Si

Si

No No

No

Ejercicios

• Para un determinado modelo de automóvil sellevan a cabo pruebas de rendimiento degasolina. Si la precisión que se desea es unintervalo de confianza de 95% con un margende error de 1 milla por galón, ¿Cuántosautomóviles deben participar en la prueba?.Suponga que pruebas preliminares derendimiento indican que la desviación estándarfue de 2.6 millas por galón

•Un banco internacional encuentra que el uso de los cajeroselectrónicos reduce el costo de las transacciones bancariasde rutina. Este banco instaló un cajero para uso exclusivo deuna empresa de 605 trabajadores. Después de varios meses,una muestra de 100 empleados reveló que en un mes usan lamáquina como sigue:

¿Cuál es la estimación de proporción de empleados que nousan el cajero en un mes?

Establezca con un intervalo del 95% de confianza. ¿Puedetener el banco la seguridad de que cuando menos 40% de losempleados utilizará el equipo?

¿Cuantas transacciones al mes realiza un empleadopromedio?

Nº de veces Frecuencia

0 25

1 30

2 20

3 10

4 10

5 5

TOTAL 100

• Al ensayar un nuevo método de producción seseleccionaron 18 empleados al azar, y se lespidió lo probarán. La tasa de producciónmuestral fue de 80 partes por hora, y ladesviación estándar muestral fue 10 partes porhora. Determine intervalos de confianza del 90y 95% de la tasa de producción promediopoblacional con el nuevo método. Suponga queexiste distribución normal y t de student. Sesabe que la desviación estándar muestral es un10% más que la poblacional