ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

El estudio de poblaciones estadísticas supone en general el conocimiento de la

función de probabilidad que gobierna el comportamiento aleatorio de la variable de

interés. En muchos casos sabemos o presumimos conocer la familia distribucional

de una población. Sabemos por ejemplo que la población es aproximadamente

normal; pero desconocemos la media y la varianza poblacionales. Sabemos que

la variable de interés es binomial pero desconocemos la probabilidad de éxito

poblacional o el número de pruebas de Bernoulli. Sabemos que se trata de un

proceso de Poisson pero desconocemos el número de eventos raros por

intervalos. Presumimos que la variable es exponencial pero desconocemos el

parámetro que precisa la distribución exponencial poblacional.

Lógicamente en todas estas situaciones la función de probabilidad de la variable

en estudio se concreta determinando los parámetros poblacionales

correspondientes y para lograrlo se utilizan los denominados métodos de

estimación de parámetros.

La estimación de uno o varios parámetros poblacionales desconocidos es posible

construyendo funciones de probabilidad de variables aleatorias muestrales, mas

conocidos como estimadores muestrales.

Dichos estimadores garantizaran un cálculo o una aproximación satisfactoria del

parámetro poblacional desconocido siempre que cumplan propiedades de:

insesgamiento o máxima simetría, varianza mínima o máxima concentración de

los datos alrededor del parámetro estimado y máxima probabilidad.

Estimación puntual

Cuando en una población con familia distribucional conocida θ)f(x, queremos

estimar el verdadero valor del parámetro poblacional θ utilizando como lente

para determinarlo al estimador muestral θ̂ ; procedemos a seleccionar una

muestra de tamaño n de dicha población, calculamos a partir de ella un valor θ y

afirmamos entonces que kθθ ±= es una estimación puntual de θ con un error,

por exceso o defecto, de valor k.

K depende en general de la variable aleatoria muestral θ̂ y de su desviación θ̂σ

. En los casos de muestras grandes, cuando los valores de la muestra

corresponden a variables aleatorias estadísticamente independientes (iid) y por lo

tanto se dan las condiciones del TLC, se tiene que:

30n ,nσ/ZσθMaxk α/2θα/2 ≥== ˆˆ

¿Pero como escoger el estimador θ̂ que mejor precisa el parámetro θ ?

Hay dos métodos generales: el método de momentos y el método de máxima

verosimilitud.

Método de máxima verosimilitud

El método de estimación de máxima verosimilitud permite, en el caso de un

parámetro o n vector de parámetros poblacionales desconocidos, determinar el

estimador o vector de estimadores que maximizan la función de probabilidad

conjunta de una muestra de n v.a. seleccionadas de la población en estudio.

Sea θ)f(x, la fdp de una población en la cual queremos determinar θ .

Sea x1,x2,….,xn una muestra de v.a. iid seleccionadas de dicha población, a la

función de probabilidad conjunta L( θ ) de las n v.a. de la muestra la llamaremos

funcion de verosimilitud muestral, es decir:

L ( θ )=L(x1,x2,….,xn; θ )

Pero como las v.a. son independientes tenemos: L( θ ) = f(x1, θ ) f(x2, θ )….f (xn, θ

). Es decir:

L ( θ )=

∏=

n

1ii θ),f(x

Estimador de máxima verosimilitud -EMV-

El EMV del parámetro θ es θ̂ siempre que L( θ̂ ) sea el valor de máxima

probabilidad de la función de verosimilitud L es decir:

θ̂ es el EMV de θ si y solo si L( θ̂ ) es máximo

En la expresión L( θ )=∏=

n

1ii θ),f(x la función de verosimilitud varia con el

parámetro θ y para el proceso de optimización se considera que las x i son

constantes luego de haber determinado la muestra aleatoria.

Observe que como la función logaritmo natural es siempre creciente el EMV de

L(θ ) también optimiza a Ln (L( θ )) y podemos definir:

l(θ )=Ln (L(θ ))= Ln (∏=

n

1ii θ),f(x )=∑

=

n

1ii θ),f(x ln

y optimizar así: ( ) ∑=

=′

=′n

1i i

i 0θ),f(θ),(f

θlx

x. Si θθ ˆ= maximiza a l( θ ) es claro que

0)(l θ =′ ˆ y )(l θ̂′′ <0.

Ejemplo: Considere una población Bernoulli, calcule el EMV para la probabilidad

de éxito poblacional p.

Sabemos que f(x,p)=px(1-p)1-x, x=0,1. De esta manera

L (p)= ∏∏=

−

=

−=n

1i

x1xn

1ii

ii p)(1pp),f(x

L (p)= ∑−∑ − ii x1xp)(1p

Y empleando la funcion logaritmo natural se tiene que:

[ ] ∑ ∑ −−+== p))ln(1x(n)ln(p)x(L(p)lnl(p) ii

Observe que ∑=→=′ ixn1

0(p)l p̂ y 0)(l p <′′ ˆ .

Y ademas que 10nn

1ii

x0 p ≤≤↔≤∑=

≤ ˆ .

Así si ∑ =0ix entonces L(p)=(1-p)n que es máximo en p = 0

Y si ∑ =nix entonces L(p)=pn que es máximo en p = 1

Por lo tanto n

ixp

∑=ˆ es el EMV para p Bernoulli

Ejemplo: Considere una población Poisson y calcule el EMV para la tasa

poblacional de sucesos raros λ

Sabemos que x!

xλλeλ)f(x,

−= para x = 0,1,2,…

L( λ )=∏n

1h),if(x

( )∏

∑⋅−

=∏ −=!ix

ix

ix λnλen

1!i

/xλλeλL

como∏ !ix es constante

( ) ( )[ ]

( ) Poisson λ paraEMV el es n

ixλ entonces 0

λix

nλl

lnc)lnλix(nλλLlnλl

∑==

∑+−=′

−∑+−==

ˆ

Observe que ( ) 02λ

ixλl <

∑−=′′ ˆ , ya que 0ix >∑ y 0λ > .

Ejemplo: Considere una función Pareto y calcule EMV para β si la fda es

( )β

xα

1βα,x,F

−= con xα0 << y β0 <

con α conocido y β desconocido.

Primero f(x,β)=xF

∂∂

ya que F, la fda, es la función integral de f, la fdp.

f(x,β) = αβ β x-(β+1)

La función de verosimilitud es

( ) ( )

( )( )1β

n

1i

xnβnβαβL

1)(βix

n

1ββα

n

1β,ixfβL

+−

∏⋅⋅=

+−∏ ⋅⋅=∏=

Aplicando logaritmo natural,

( )

( ) ( ) entonces 0i

lnxβ

nαlnnβl

n

1i

lnx1)(βlnβnlnαβnβl

=∑−+⋅=′

∑⋅+−⋅+⋅⋅=

Pareto de paraEMV el es

1n

1α

ix

lnnβ β−

∑

=ˆ

Si α fuese desconocido se podría estimar como el mínimo muestral

α̂ =min (x1,x2,…,xn)

observe que ( ) ( ) 02

βnβl <−⋅−=′′ ˆˆ .

Ejercicios

Hallar el EMV para

a) λ si f(x,λ)=λ e-λx, x>0.

b) α si f(x,α)=(α+1)xα, 0<x<1

calcule α si

(x1=0.3, x2=0.5, x3=0.7, x4=0.62, x5=0.7,x6=0.3, x7=0.4, x8=0.55, x9=0.60,x10=0.65)

c) Si una población es lognormal, halle EMV para μ si conoce σ2.

d) σ2 si conoce μ.

e) μ y σ2 son desconocidos.

Estimación Por Intervalos

Estamos en una población conocida y desconocemos ( ) θE θ =ˆ pero queremos

hallar un intervalo de valores que contenga a θ, además conocemos θσˆ o

podemos estimarla con un error pequeño. Para ello seleccionaremos una muestra

aleatoria ( )n321 θ,...θ,θ,θ ˆˆˆˆ . El Teorema Del Límite Central permite afirmar que

( ) ( )z,0,1nσE

Zθ

θθ →−=ˆ

ˆˆ

y podemos afirmar con un nivel α que P(-z /2α <Z< z /2α )=1-α

Equivalentemente,

P( )

−< <α/2

θα/2

zσE

z-θθ

ˆ

ˆˆ=1-α

P ( ( )θα/2

σzθE θ ˆˆ <− )=1-α

Sustituyendo E ( θ̂ )= θ , α1σzθPθ2α

θ −=

<− ˆˆ

Al efectuar la estimación puntual θθ =ˆ afirmamos con confianza al α1− , que la

diferencia absoluta entre el parámetro θ y el valor muestral θ está acotada por

θ2ασz ˆ

θ2ασzθ θ ˆ<−

Denominado intervalo Z para θ, es decir,

( ) ⇒−=<− α1σzθθP θ2α ˆˆ θ Є

±

θ2ασzθ ˆ con confianza 1-α.

Intervalo para la proporción p en una población Binomial

Seleccionamos una muestra aleatoria conformada por (p1, p2, p3,…,pn) donde las

pi son v.a iid que cumplen E(pi)=p. Es claro que si n

xp =ˆ , ( ) ppE =ˆ y

( )p1npσp −=ˆ , según el resultado previo de una población binomial se tendrá:

( ) ( )z,0,1nσE

Zp

pp →−=ˆ

ˆˆ siempre que np y n(1-p) ≥10

y que con un nivel de significación α

α1)zZP(-z 2α2α −=<<

α1)zσ

)E(P(-z 2α2α

p

pp −=<−<ˆ

ˆ

α1)σzE(p)-pP( P2α −=<

Como ( ) ppE =ˆ afirmamos con probabilidad 1-α que

( ) α1σzP p2αpp −=<− ˆˆ

pσzK 2α ˆ= es el error de estimación

( )n

p1pσp

−=ˆ es la desviación estándar de la distribución binomial

Al hacer la estimación puntual p̂ =π afirmamos con confianza 1- α que.

( )n

π1πzπp 2α

−<−

O sea

( ) ⇒−=<− α1σzppP p2α ˆˆ p

−±∈n

π)π(1zπ 2α con confianza 1- α

Intervalo para la media μ en una población normal

Intervalos Z para la media μ

Sea (x1, x2, x3,…,xn) una muestra

aleatoria, o sea que las xi son i.i.d.,

esto es la fdp conjunta de la muestra

es

f(x1,x2,…,xn;μ)= ( )∏n

1

2i σμ,,n x

Así el EMV de μ es X y también

E( X )=μ y n

σσ2

x =2

Si en una muestra con n ≥30 preestablecemos un nivel de significación α

podemos afirmar con probabilidad 1-α que:

α1n

σzXμP 2α −=

<−

Es decir que con probabilidad 1-α la diferencia absoluta máxima entre μ y x es,

n

σz 2α o sea , si estimamos xX = afirmamos que

⇒−=

<− α1

n

σzXμP 2α α1- confianza con

n

σzxμ α/2

±∈ .

Si σ2 es desconocida se debe estimar mediante s2 calculado en la muestra

particular así afirmamos que:

⇒−=

<−µ α1

n

szXP 2α α1 al confianza con

n

szxμ α/2 −

±∈

Aunque en Z= nS

μX − se introduce variabilidad en el numerador con X y en el

denominador con S este efecto se contrarresta con n grande.

¿Que pasa si σ2 es desconocida y n<30?, que ahora si aumenta la variabilidad y

necesitamos una distribución acampanada con colas robustas que permitan

mayor variabilidad, o sea, una distribución T.

P(T>tα ,v )=α E(T)=0 V(T)=2n

n

− n>2

Si la población es normal entonces T= nS

μX − se distribuye según Gosset como

una t-student con n-1 grados de libertad. Observe que S se basa en el cálculo de

xx,...,xx,xx n21 −−− de forma que en el cálculo de ∑ −xxi =0 sólo hay n-1

variables libremente determinadas. La n-ésima depende de ellas, a este número

se le denomina grados de libertad v =n-1.

Si de una población normal seleccionamos una muestra pequeña n<30 y

calculamos xX = y S=s preestableciendo un nivel de significación α podemos

construir un intervalo T bilateral de confianza 1-α con v=n-1 grados de libertad

para μ así:

α1n

stμXP

1n2α −=

<−

− ⇒ )nstx(μ 1n2,α −±∈ con confianza 1-α

PROBLEMAS SELECCIONADOS

1. Ingenieros químicos de la Universidad de Murcia (España) realizaron una

serie de experimentos para determinar cuál es la membrana más efectiva

para usarse en un muestreador pasivo (Environmental science &

Technology, Vol.27, 1993). La efectividad de un muestreador pasivo se

midió en términos de la tasa de muestreo, registrada en centímetros

cúbicos por minuto. En un experimento se colocaron seis muestreadotes

pasivos con sus caras paralelas al flujo del aire, el cual tuvo una velocidad

de 90 centímetros por segundo. Después de seis horas se determinó la

tasa de muestreo de cada muetreador. Con base en los resultados, se

calculó un intervalo de confianza al 95% de (49.66, 51.48) para la tasa de

muestreo media.

a. ¿Cuál es el coeficiente de confianza para este intervalo?

b. Haga una interpretación teórica del coeficiente de confianza del inciso a.

c. Haga una interpretación práctica del intervalo de confianza.

d. ¿Qué supuestos son necesarios para que el intervalo produzca inferencias

válidas?

2. La relación teórica entre flujo de calor y gradiente de temperatura para

materiales homogéneos es bien conocida y se describe mediante una

ecuación de Fourier. Sin embargo la relación no se cumple para materiales

no homogéneos como cuerpos porosos o con capilares, sistemas celulares,

suspensiones y pastas. Se efectuó un experimento para estimar el tiempo

de relajación térmica medio (definido como el tiempo necesario para

acumular la energía térmica que se requiera para una transferencia

propagadora de calor) de varios materiales no homogéneos (Journal of

Heat Transfer, agosto de 1990). Se determinó un intervalo de confianza al

95% de 20.0 ± 6.4 segundos para el tiempo de relajación térmica medio

de la arena.

a. Haga una interpretación práctica del intervalo de confianza de 95 por

ciento.

b. Haga una interpretación teórica del intervalo de confianza de 95 por ciento.

3. Rocas inusuales en “Las Siete Islas” situadas en la parte baja del Río San

Lorenzo en Canadá han estado atrayendo a los geólogos a ésta área

durante más de un siglo. Hace poco se completó un importante

reconocimiento geológico de “Las Siete Islas” con el propósito de crear un

modelo tridimensional de gravedad del área (Canadian Journal of Earth

Sciences, Vol. 27, 1990). Una de las claves para elaborar un modelo

objetivo es obtener una estimación exacta de la densidad de las rocas. Con

base en muestras de diversas variedades de rocas, se obtuvo la siguiente

información sobre densidad de las rocas (en gramos por centímetro

cúbico):

Tipo de roca Tamaño de muestra Densidad media Desviación estándarGabbro tardío 36 3.04 0.13

Gabbro

masivo148 2.83 0.11

Cumberlandit

a135 3.05 0.31

a. Para cada tipo de roca, estime la densidad media con un intervalo de

confianza de 90 por ciento.

b. Interprete los intervalos del inciso a.

4. En Environmental science & Technology (diciembre de 1985) se informó

una evaluación de la química y el reciclaje de metales traza en un lago

ácido de los Adirondack. Se tomaron 24 muestras de agua del Lago Darts,

Nueva Cork, y se analizaron para determinar la concentración de

particulados tanto de plomo como de aluminio.

a. Las mediciones de concentración de plomo tuvieron una media de

9.9nmol/l. Calcule un intervalo de confianza al 99% para la

verdadera concentración media de plomo en las muestras de agua

tomadas del Lago Darts.

b. Las mediciones de concentración de aluminio tuvieron una media de

6.7nmol/l y una desviación estándar de 10.8nmol/l. Calcule un

intervalo de confianza al 99% para la verdadera concentración media

de aluminio en las muestras de agua tomadas del Lago Darts.

c. ¿Qué supuestos son necesarios para que los intervalos de los

incisos a y b sean válidos?

5. Según un estudio, “la mayoría de las personas que mueren a causa del

fuego y el humo en edificios divididos en compartimentos resistentes a los

incendios –el tipo que se utiliza para hoteles, moteles, apartamentos e

instalaciones de salubridad- mueren al intentar evacuar” (Risk

Management, febrero de 1986). Los datos que siguen representan los

números de víctimas que intentaron evacuar, para una muestra de 14

incendios recientes en edificios resistentes al fuego, divididos en

compartimentos, informados en el estudio.

IncendioMurieron en intento de

evacuaciónLas Vegas Hilton (Las Vegas) 5Inn on the Park (Toronto) 5Westchase Hilton (Houston) 8Holiday Inn (Cambridge, Ohio) 10Conrad Hilton (Chicago) 4Providence College (Providence) 8Baptist Towers (Atlanta) 7Howard Johnson (New Orleans) 5Cornell University (Ithaca, New York) 9Wesport Central Apartments (Kansa City, Missouri) 4Orrington Hotel (Evanston, Illinois) 0Hartford Hospital (Hartford, Connecticut) 16Milford Plaza (New York) 0

MGM Grand (Las Vegas) 36a. Exprese el supuesto, en términos del problema, que se requiere para

que una técnica de intervalo de confianza de muestra pequeña sea

válido.

b. Utilice la información de listado MINITAB que e representa aquí para

construir un intervalo de confianza de 98% para ekl verdadero

número medio de víctimas por incendio que mueren al tratar de

evacuar edificios resistentes al fuego divididos en compartimentos.

c. Interprete el intervalo construido en el inciso b.

N MEAN STDEV SE MEAN 98.0 PERCENT C.I.numdied 14 8.36 8.94 2.39 (2.02, 14.69

6. El Journal of the American Association (21 de abril de 1993) informó de los

resultados de una encuesta de entrevistas sobre salud a nivel nacional en

EE.UU. diseñada para determinar la frecuencia del hábito de fumar entre

adultos de este país. Mas de 40.000 adultos respondieron a preguntas

como: “¿Ha fimado por lo menos 100 cigarrillos en su vida?” y “¿Fuma

cigarrillos ahora?” A los fumadores actuales (mas de 11.000 adultos en la

encuesta) también se les preguntó:”En PROMEDIO, ¿Cuántos cigarrillos

fuma al día?”, Los resultados arrojan una media de 20.0 cigarrillos por día

con un intervalo de confianza de 95% de (19.7, 20.3).

a. Interprete el intervalo de confianza de 95%.

b. Exprese cualquier supuesto sobre la población objetivo de

fumadores actuales de cigarrillos que deben satisfacerse para que

las inferencias derivadas del intervalo sean válidas.

c. Un investigador de la industria tabacalera asegura que el número

medio de cigarrillos fumados al día por fumadores consuetudinarios

de cigarrillos es menor de 15. Comente esta aseveración.

7. Las avispas tropicales fundadoras de enjambres dependen, al igual que las

hormigas y las abejas, de obreras para la cría de su prole. Resulta

interesante que las obreras de esta especie de avispas son en su mayor

parte hembras, capaces de tener sus propios descendientes. En vez de

hacerlo, crían la prole de otros miembros de la nidada. Una posible

explicación de éste extraño comportamiento es la endogamia, lo que

incrementa el grado de parentesco entre las avispas y permite a las obreras

distinguir y ayudar a sus parientes más cercanas. A fin de probar esta

teoría, se capturaron 197 avispas fundadoras de enjambres en Venezuela,

se congelaron a -70ºC y luego se sometieron a una serie de pruebas

genéticas (Science, noviembre de 1988). Los datos sirvieron para generar

un coeficiente de endogamia, x para cada espécimen de avispa, con los

siguientes resultados: 0440.x = y s = 0.884

a. Construya un intervalo de confianza de 90% para el coeficiente de

endogamia medio de esta especie de avispa.

b. Un coeficiente de cero implica que la avispa no tiene tendencia a la

endogamia. Utilice el intervalo de confianza del inciso a para hacer

una inferencia acerca de la tendencia de esta especie de avispa a la

endogamia.

8. Los números de la tabla representan tiempo de CPU (en segundos) para la

resolución de 52 problemas matemáticos polinómicos 0-1 aleatorios

resueltos empleando un algoritmo híbrido. El listado SAS que se representa

más adelante proporciona un diagrama de ramas y hojas y estadísticas

descriptivas del conjunto de datos. Utilice esta información para estimar,

con 95% de confianza, el tiempo de resolución medio del algoritmo híbrido.

0.045 0.136 8.788 0.079 3.985 1.267 0.379 0.3270.136 0.130 0.036 0.136 0.600 0.209 0.506 0.0640.088 0.194 0.118 0.258 4.170 0.554 0.412 0.0450.361 0.049 0.070 1.639 0.258 0.670 0.5670.182 1.055 0.091 0.579 1.894 0.291 0.4450.179 0.336 0.145 0.394 1.070 0.227 0.2580.182 0.242 0.209 0.333 0.912 3.046 0.888

Stem Leaf8 8 1877665544 0 2 23 9 13 0 1221 6 9 21 1 1 3 30 5 6 6 6 6 7 9 70 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 35

9. Un fabricante produce anillos para los pistones de un motor de automóvil.

Se sabe que el diámetro del anillo está distribuido aproximadamente de

manera normal, y que tiene una desviación estándar σ = 0.001mm. Una

muestra aleatoria de 15 anillos tiene un diámetro promedio de

74..036mmx =

a. Construya un intervalo de confianza bilateral del 99% para el

diámetro promedio del anillo

b. Construya un límite inferior de confianza del 95% para el diámetro

promedio del anillo

c. Supóngase que se desea una confianza del 95% en que el error en

la estimación de la duración promedio sea menor que 5 horas. ¿Qué

tamaño de muestra debe utilizarse?

d. Supóngase que se desea que el ancho total del intervalo de

confianza bilateral sea de seis horas, con una confianza del 95%.

¿Qué tamaño de muestra debe emplearse para este fin?

10.Se sabe que la duración, en horas de un foco de 75 watts tiene una

distribución aproximadamente normal, con una desviación estándar de

σ=25 horas. Se toma una muestra aleatoria de 20 focos, la cual resulta

tener una duración promedio de 1014x = horas.

11.Un ingeniero civil analiza la resistencia a la compresión del concreto. La

resistencia está distribuida aproximadamente normal, con una varianza

σ2=1000(psi)2. Al tomar una muestra aleatoria de 12 especimenes, se tiene

que 3250x = psi.

a. Construya un intervalo de confianza bilateral del 95% para la

resistencia a la compresión promedio.

b. Construya un intervalo de confianza bilateral del 99% para la

resistencia a la compresión promedio. Compare el ancho de este

intervalo de confianza con el ancho encontrado en el inciso a.

c. Suponga que se desea estimar la resistencia a la compresión con un

error menor que 15 psi para un nivel de confianza del 99%. ¿Qué

tamaño de muestra debe emplearse para este fin?

12.Se utilizan dos máquinas para llenar botellas de plástico con detergente

para máquinas lavaplatos. Se sabe que las desviaciones estándar del

volumen de llenado son σ1=0.10 onzas de líquido y σ2=0.15 onzas de

líquido para las dos máquinas, respectivamente. Se toman dos muestras

aleatorias, n1=12 botellas de la máquina 1 y n2=10 botellas de la máquina 2.

Los volúmenes promedio de llenado son

líquido. de onzas x y líquido de onzas x 68308730 21 .. ==

a. Construya un intervalo de confianza bilateral del 90% para la

diferencia entre las medias del volumen de llenado

b. Construya un intervalo de confianza bilateral del 95% para la

diferencia entre las medias del volumen de llenado. Compare el

ancho de este intervalo el ancho encontrado en el inciso a.

c. Construya un intervalo de confianza superior del 95% para la

diferencia entre las medias del volumen de llenado.

13.Se estudia la tasa de combustión de dos propelentes sólidos utilizados en

los sistemas de escape de emergencia de los aeroplanos. Se sabe que la

tasa de combustión de los dos propelentes tiene aproximadamente la

misma desviación estándar; esto es, 3cm/s.σσ 21 == Se prueban dos

muestras aleatorias de n1=20 y n2=20 especimenes; las medias muestrales

de la tasa de combustión son 24cm/sx y 18cm/sx 21 == .

a. Construya un intervalo de confianza bilateral del 99% para la

diferencia entre medias de la tasa de combustión.

b. ¿Qué tamaño de muestra debe utilizarse en cada población si se

desea que el error en la estimación de la diferencia entre las medias

de las tasas de combustión sea menor que 4cm/s con una confianza

del 99%?

14.Se prueban dos fórmulas diferentes de un combustible oxigenado para

motor en cuanto al octanaje. La varianza del octanaje para la fórmula 1 es

1.5σ21 = . Mientras que para la formula 2 es 1.2σ2

2 = . Se prueban dos

muestras aleatorias de tamaño n1=15 y n2=20. Los octanajes promedio

observados son 5922 .== x y 89.6x1 .

a. Construya un intervalo de confianza bilateral del 95% para la

diferencia en el octanaje promedio.

b. ¿Qué tamaño de muestra debe utilizarse en cada población si se

desea tener una confianza del 95% de que el error al estimar la

diferencia entre las medias de octanaje sea menor que uno?

15.Considere el intervalo de confianza para μ con desviación estándar σ

conocida:

n/zxn/zx σ+≤µ≤σ− αα 11

donde α=α+α 21 . Sea α=0.05. Encuentre el intervalo para

0250221 .=α=α=α . Ahora encuentre el intervalo para el caso donde

040.== 21 α y 0.01α . ¿Qué intervalo es mas pequeño? ¿Existe alguna

ventaja con respecto al intervalo de confianza “simétrico”?

16.En un proceso químico se fabrica cierto polímero. Normalmente, se hacen

mediciones de viscosidad después de cada corrida, y la experiencia

acumulada indica que la variabilidad en el proceso es muy estable, con

σ=20. Las siguientes son 15 mediciones de viscosidad por corrida: 724,

718, 776, 760, 745, 759, 795, 756, 742, 740, 761, 749, 739, 747, 742.

Encuentre un intervalo de confianza bilateral del 90% para la viscosidad

promedio del polímero.

17.Se piensa que la concentración del ingrediente activo de un detergente

líquido para ropa, es afectada por el tipo de catalizador utilizado en el

proceso de fabricación. Se sabe que la desviación estándar de la

concentración activa es de 3g/l, sin importar el tipo de catalizador utilizado.

Se realizan 10 observaciones con cada catalizador, y se obtienen los datos

siguientes:

Catalizador 1: 57.9, 66.2, 65.4, 65.4, 65.2, 62.6, 67.6, 63.7, 67.2, 71.0

Catalizador 2: 66.4, 71.7, 70.3, 69.3, 64.8, 69.6, 68.6, 69.4, 65.3, 65.3

a. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las

medias de las concentraciones activas para los dos catalizadores.

b. ¿Existe alguna que indique que las concentraciones activas medias

dependen del catalizador utilizado?

VALORES CRÍTICOS DE LA DISTRIBUCIÓN t

٧

α0.1

0.05

0.025

0.01

0.005

1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.6572 1.886 2.920 4.303 6.965 9.9253 1.638 2.353 3.182 4.541 5.8414 1.533 2.132 2.776 3.747 4.6045 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.7077 1.415 1.895 2.365 2.998 3.4998 1.397 1.860 2.306 2.896 3.3559 1.383 1.833 2.262 2.821 3.25010 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169

11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.10612 1.356 1.782 2.179 2.681 3.05513 1.350 1.771 2.160 2.650 3.01214 1.345 1.761 2.145 2.624 2.97715 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947

16 1.337 1.746 2.120 2.583 2.92117 1.333 1.740 2.110 2.567 2.89818 1.330 1.734 2.101 2.552 2.87819 1.328 1.729 2.093 2.539 2.86120 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845

21 1.323 1.721 2.080 2.518 2.83122 1.321 1.717 2.074 2.508 2.81923 1.319 1.714 2.069 2.500 2.80724 1.318 1.711 2.064 2.492 2.79725 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787

26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.77927 1.314 1.703 2.052 2.473 2.77128 1.313 1.701 2.048 2.467 2.76329 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756inf. 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576