Introduccin a la GeoestadsticaIntroduccin a la Geoestadstica

Ing. Marco A. Hernndez Garca.GEOMATICA -

CESAVEGIng. Marco A. Hernndez Garca.

GEOMATICA -

CESAVEG

Qu

es la geoestadstica?

Por utilizar geoestadstica?

Aplicacin de la geoestadstica

Un poco de historia ...

Pasos de un estudio geoestadstico

Contenido

Estadstica aplicada a datos geogrficos

Estadstica espacial

Gestin, tratamiento e interpretacin de datos espaciales

Qu

es la geoestadstica

?

Definicin:

Estudio estadstico de fenmenos naturales que sedistribuyen de forma continua en el espacio y/o el tiempo

Tradicionalmente:GEO

= geologa (minera)Ahora:

GEO

= geogrfico (SIG)

Definiciones alternativas:

(Chils

y Delfiner, 1999)

Descripcin cuantitativa de variables naturales que se distribuyen en el espacio o en el espacio y el tiempo

Por utilizar geoestadstica

?

Un agricultor quiere que se le determine la distribucin de la fertilidad del suelo de su rancho. No quiere el valor promedios de cada parcela, sino informacin ms detallada, de modo que pueda fertilizar solamente donde el suelo resulta deficiente.

El agricultor quiere informacin continua, en todos los puntos de sus rancho.

Contenido NPK en todos lospuntos de muestreo

Cmo obtener informacin en puntos no muestreados?

Cmo se relacionan los pequeos volmenes de suelo de las muestras con la superficie total que maneja el agricultor.

Cuntas muestras de suelo hay que tomar, y dnde, para que esta informacin sea confiable.

Costo para obtener esta informacin (muestreo de suelo + anlisis)

Argumentos agronmicos y ambientales

Beneficio econmico de la aplicacin localizada de NPK (Agricultura de Precisin)

Usar datos dispersos para estimar, o predecir, el contenido medio en NPK en bloques de suelo muestreado.

?

Posicionar su maquinaria en el campo con una precisin de < 2 m

Puede medir y registrar la produccin de los cultivos continuamente durante la cosecha

Puede regular la cantidad de fertilizante suministrada segn la cantidad requerida

Pero cmo puede obtener la informacin sobre el estado nutricional del suelo, distribucin de plagas y enfermedades a un precio razonable?

Un agricultor (tecnolgicamente avanzado)puede actualmente:

Campos de aplicacin

La geoestadstica

ha sido ampliamente aplicada en diversas ramas de las ciencias y en las ingenieras, entre otras tenemos:

petrleo, minera, pesca, agricultura, ciencias del mar, hidrogeologa, medio ambiente, estudios forestales, salud pblica, ingeniera civil, procesamiento de imgenes, cartografa, finanzas, meteorologa, edafologa, etc.

PROPSITO DE LA GEOESTADSTICA

A partir de escasa informacin conocidaestimar o predecir el valor de una variableen localidades donde no se conoce

Geoestadstica: Estimar, o predecir espacialmente,sin sesgo y con un error mnimo.

La Geoestadstica

es la aplicacin de la teora de las variables regionalizadasDe manera general, diremos que un fenmeno es regionalizado cuando se desplaza en el espacio, manifestando una cierta estructura.

Un aspecto estructurado(la V.R. debe reflejar a su manera las caractersticas estructurales de un fenmeno regionalizado)

La teora de las V.R. se propone entonces dos objetivos principales:

en el plano terico, expresar estas caractersticas estructuralesen una forma matemtica adecuada

en el plano prctico, resolver el problema de la estimacin de unaV.R. a partir de un muestreo fragmentario.

Un aspecto aleatorio(alta irregularidad, y variaciones de un punto a otro)

En los aos 60, Matheron

acu

el trmino de Geoestadstica.

Un poco de historia

Matheron

formaliz

y generaliz

matemticamente un conjunto de tcnicas desarrolladas por D. G. Krige

(1941) queexplotaban la correlacin espacial para hacer predicciones en la evaluacin de reservas de las minas de oro en Sudfrica.

Matheron

defini

a la Geoestadstica

como

"la aplicacin del formalismo de las funciones aleatorias al reconocimiento y estimacin de fenmenos naturales"

(Matheron, 1962).

Geo-EAS, GSLIB, GSTAT, VARIOWIN, VESPER, R+, SADA, WINGSLIB,GS+, S+, MATLAB, IDRISI, SURFER, ARCGIS GEOSTATISTICALANALIST

Programas informticos

1.

Anlisis exploratorio de los datos

2.

Anlisis estructural contraccin del variograma

3.

Interpolacin o estimacin espacial

kriging

4.

Validacin del modelo geoestadstico

Pasos de un estudio geoestadstico.

Qu

es el Anlisis Exploratorio de Datos (AED)?

Es un conjunto de tcnicas estadsticas y grficas que permiten establecer un buen entendimiento bsico del comportamiento de los datos y de las relaciones existentes entre las variables que se estudian.

El AED es un paso previo e indispensable para la aplicacin exitosade cualquier mtodo estadstico.

En particular permite la deteccin de fallos en el diseo y toma de datos, el tratamiento y/o la evaluacin de datos ausentes, la identificacin devalores atpicos y la comprobacin de los supuestos requeridos por parte de las tcnicas geoestadsticas.

Etapas de un AED

Realizar un examen grfico de la naturaleza de las variables individuales y un anlisis descriptivo numrico que permita cuantificar algunos aspectos grficos de los datos.

Realizar un examen grfico de las relaciones entre las variables y un anlisis descriptivo numrico que cuantifique el grado de interrelacin existente entre ellas.

Evaluar algunos supuestos bsicos subyacentes a muchas tcnicas estadsticas, por ejemplo, normalidad, linealidad y homocedasticidad.

Identificar los posibles valores atpicos (outliers) y evaluar el impacto potencial que puedan ejercer en anlisis estadsticos posteriores.

Evaluar, el impacto potencial que pueden tener los datos ausentes (missing) sobre la representatividad de los datos analizados.

Herramientas del AED

Estadstica univariada

Estadstica multivariada

Regresin lineal y mnimos cuadrados

Primer paso de cualquier anlisis (geoestadstico

o no).

Go beyond the data

o familiarizacin con el conjunto de datos.

Representar los datos en figuras y diagramas en vez de analizar

directamente listados en formato tabular

Identificar observaciones sospechosas

Calcular los estadsticos descriptivos: resumir los datos

Datos geogrficos: controlar la posicin

Identificar las poblaciones

Caracterizar la funcin de distribucin y proponer algunatransformacin de los datos si no es normal.

Anlisis exploratorio

Variable Aleatoria (V.A.):

Es una variable Z que puede tomar una serie de valores o realizaciones (zi) cada una de las cuales tienen asociadas una probabilidad de ocurrencia (pi).

Ejemplo: Al lanzar un dado puede resultar {1, 2,3, 4, 5 o 6} con una probabilidad de ocurrencia igual a 1/6.

Variable Aleatoria Discreta: cuando el nmero de ocurrencias es finito o contable, se conoce como variable aleatoria discreta. Ejemplo: tipos de facies

en un yacimiento.

Variable Aleatoria Continua: si el nmero de ocurrencias posibles es infinito.

Ejemplo: el valor de la porosidad de un medio se encuentra en el intervalo [0,100%].

Para qu sirve el histograma?

Estimacin de la funcin de densidad

Tipo de distribucin (Normal, log-normal, ...)

Distribucin uni-modal, multi-modal

Aparicin de valores extremos y outliers

Variabilidad del fenmeno

Funcin de Distribucin de Probabilidad (FDP)

caracteriza completamente a la VA.

Su grfica es el histograma acumulativo

Funcin de Densidad de Probabilidad (fdp).

Su grfica es el histograma.

Tratar datos con una distribucin sesgada:transformacin logartmica

Percentiles

o cuantiles

de una distribucin

El percentil de una distribucin F(z) es el valor zp de la V.A. que corresponde a un valor p de probabilidad acumulada, es decir:

Algunos cuantiles

de inters: Mediana, p=0.5 Cuartiles

(primer cuartil

o inferior) p=0.25

(tercer cuartil

o superior) p=0.75

Rango o intervalo intercuartil

(IR)

Varianza de una VA

caracteriza la dispersin de la distribucin alrededor de la media.

Distribucin Normal o Gaussiana.

Esta distribucin est

completamentecaracterizada por sus dos parmetros: media y varianza

Distribucin LogNormal

Una VA positiva Y se dice que tiene unadistribucin lognormal

si su logaritmo ln(Y) esta normalmente distribuido.

Desviacin Estndar

Coeficiente de variacin (dispersin relativa)

Coeficiente de simetra (medida de la simetra)

Coeficiente de curtosis

(medida del achatamiento)

Simetra y Curtosis

de una distribucin

Medidas de dispersin

La varianza: cuantifica la dispersin entorno a la media en unidades de medicin al cuadrado aditivo muy sensible para valores extremos raz cuadrada: la desviacin tpica, s

Hay que corregir la frmula anterior porque no podemos muestrear la poblacin entera, solamente disponemos de una muestra que consiste de un limitado numero de observaciones

Medidas de dispersin ...

Expresa

la dispersin en trminos relativos

P.ej.: cuando una propiedad ha sido medida en dos zonasdiferentes con valores similares de s, pero diferentes de m.

Medida

de la asimetra de distribuciones positivamente sesgadas

Indicador preliminar de posibles problemas para la estimacin local

200 % grandes dificultades con valores extremos

El coeficiente de sesgo (CS):

Mide la asimetra de la distribucinCS

= 0 distribucin simtricaCS

> 0 sesgo positivo(la funcin de densidad

muestra una cola larga por la derecha)CS

< 0 sesgo negativo(la funcin de densidad

muestra una cola larga por la izquierda)

Anlisis estructural o variografa

Cuantificacin de la correlacin espacial y su estructura

Clculo del semivariograma

muestral

o experimental

Analizarlo e interpretarlo

Ajustar un modelo terico

Hiptesis de Estacionariedad:

Suponer estacionariedad

para poder tratar los datos en diferentes puntos como si fueran diferentes realizaciones de la propiedad.

Estacionariedad

significa que la funcin de distribucin del proceso aleatorio tiene caractersticos que son iguales en todos los puntos (primer y segundo momento).

Cmo calcular el variograma?

(semi)variograma

experimental = (semi)variograma

muestral

se calcula mediante un algoritmo que depende de la configuracinespacial de los datos (1D, regular e irregular o 2D, regular e irregular).

N(h): nmero de pares de observaciones separadas por el vector h

h: vector de separacin, determina la distancia entre dos observaciones en una cierta direccin

Cmo calcular el variograma?

Muestreo regular en una dimensin:

Muestreo irregular en una dimensin:

Elegir h con cuidado: demasiado grande

(variograma

demasiado suavizado) demasiado pequeo

(variograma

errtico porque no hay bastante pares de puntos en cada clase de h)

Variabilidad anisotrpica:

1.

Isotropa: La variacin espacial de la variable bajo estudio es igual en todas la direcciones

2. Anisotropa: la semivarianza

no depende solamente de h, pero tambin de la direccin

Algunas reglas generales:

N

>100 en el caso de isotropa y N > 250 en el caso de anisotropa

Cuanto ms puntos mejor

(el nmero de observaciones es en muchas ocasiones restrictivo para la aplicacin de geoestadstica)

El

nmero total de pares de observaciones = N(N-1)/2

El

nmero de pares en el que se basa el clculo de cada punto del variograma

debera ser por lo menos 30

50.

El

paso h mximo del variograma

experimental deberia

ser inferior a la mitad de la dimensin mxima de la zona de estudio: hmax

L/2

efecto pepita = variabilidad inexplicada. Se debera de incorporar en cada diseo de muestreo algunas observaciones a pequeas distancias de otros para obtener informacin sobre el comportamiento del variograma

en la cercana el origen.

Esto permitir

una descripcin completa de la variabilidad espacial

e incrementar

la precisin de la interpolacin espacial.

El rango:

es la distancia a la que la semivarianza

deja de aumentar, indica la distancia a partir de la cual las muestras son espacialmente independientes unas de otras y representa el tamao de grano o mancha que representa la variable

El nugget: es la varianza no explicada por el modelo, y se calcula como la intercepcin con el eje Y. Se conoce tambin como varianza error

El sill:

es la mxima semivarianza

encontrada entre pares de puntos y debe coincidir con la varianza de la poblacin y nos representa el grado de variacin espacial, y por tanto el grado de incertidumbre

a la hora de interpolar puntos en el espacio.

El ajuste a una funcin permite extraer una serie de parmetros que son los que van a ser usados para la interpolacin geostadstica

(kriging) y que definen el grado y escala de variacin espacial.

El rango, El nugget y El sill

Modelar el variograma

Modelar el variograma

Ajustar un variograma

terico al variograma

experimental que se hacalculado a partir de los datos

Variograma

terico = funcin que representa el variograma

real delfenmeno.

Uno de los temas ms controvertidos de la geoestadstica

Por qu?

1. La mayora de los modelos son no-lineales en uno o ms parmetros.2. La fiabilidad de los valores de semivarianza

no es igual para todos los h3. La dispersin en el variograma

experimental puede hacer el ajuste automatizado numricamente inestable

ajuste a ojo

ajuste por mnimos cuadrados

programa VARIOWIN : combinacin de ambos

Ponderar los valores experimentales del variograma

segn el nmero de pares de observaciones que se han empleado para su clculo

Cmo ajustar un modelo al variograma

experimental?

Interpolacin o estimacin espacial

1. Polgonos de Thiessen

(Voronoi, Dirichlet)

2. Triangulacincada prediccin se basa en solamente tres observaciones

3. Inverso de la distancia IDW

4. Regresin polinmica

5. Krigeado

Ordinario

El Kriging es un trmino que ha sido acuado para designar al mejorestimador lineal insesgado.

Este nombre apareci

alrededor de 1960 para nombrar una tcnica creada en Francia por Matheron

a partir de los trabajos de D. G. Krige

quin fue probablemente el primero que hizo uso de la correlacin espacial.

El estimador Kriging se considera ptimo ya que es

1. Insesgado, es decir, el valor esperado del error es cero2. minimiza la varianza de la estimacin, reduce al mnimo la varianza del error.

Tipos de Kriging

lineales ms usados

Kriging

Simple

Kriging

Ordinario

Kriging

Universal

Kriging

Residual

Kriging

Estimacin en puntos donde no se dispone de observaciones(nodos de una retcula regular)

Tener en cuenta la correlacin espacial(el semivariograma)

Estimacin puntual o en bloques (2, 3 D)

Krigeado

simple, krigeado

ordinario, krigeado

universal, ...

Incorporar toda la informacin disponible: variables secundarias, imgenes de satlite, MDEs

Estimacin basada en el conocimientode las covarianzas

(semivariograma), direccion

y distancia entre los VA en los puntos de observacin.

Aspectos prcticos del Kriging

1.-

Definir una malla de estimacin:Si bien no hay restricciones para la malla de estimacin usualmente se eligen mallas regulares debido a que su geometra facilita la representacin grfica de los resultados en forma de mapas de contornos, relieves, etc.

Una recomendacin prctica respecto al tamao de la celda de la malla es que debe ser de un orden aproximadamente igual a la distancia mnima de separacin de los datos, puesto que sta es la resolucin de la informacin que se dispone.

2.-

Definir una vecindad de vecindad de bsqueda:La vecindad de bsqueda se define con respecto al punto a estimar y determina cuales puntos vecinos potencialmente sern tomados en la estimacin.

Caso isotrpico: tomar una circunferencia con centro en el punto a estimar y radio igual o menor al alcance del variograma.

Caso anisotrpico: tomar una elipse con centro en el punto a estimar y semiejes iguales o menores a los alcances del variograma

anisotrpico.

3.-

Definir cantidad de punto de la estimacin:Una vez definida la vecindad de bsqueda hay que especificar cuantos puntos intervendrn en la estimacin. Esto determina el tamao de la matriz del Kriging.

Para toda la vecindad se pueden tomar como valores prcticos:

Mnimo de puntos: entre 4 y 6 puntos.

Mximo de puntos: entre 10 y 25 puntos.Tambin se pueden establecer cantidades min. y mx. por cuadrante, octante, etc.

Validacin del modelo geoestadstico

Validacin cruzada y Jack-knifing

Validar el modelo terico del semivariograma

Validar los parmetros del algoritmo de interpolacin

Comparar y evaluar diferentes procedimientos de interpolacin

Existen varios parmetros en el Krigeado

que se pueden optimizar antes de interpolar y elaborar el mapa

1.

Los parmetros del semivariograma

terico: efecto pepita, alcance y meseta.

2. Importancia de considerar anisotropa o no3. El mnimo nmero de puntos vecinos que van a participaren el krigeado4. El mximo nmero de puntos vecinos que van a participaren el krigeado5. El radio del rea de bsqueda alrededor del punto u6. El grado del polinomio en KD (K)

Existen dos maneras:

1.

Retirar cada dato a su vez del conjunto y estimar su valor con los datos que quedan comparar los valores estimados con los observados

Evala el modelo solamente en los puntos donde disponemos de datos

No disponemos de informacin sobre la exactitud de la interpolacin en otros puntos

2. Eliminar

25 % de los datos y calcular el semivariograma

y interpolar con el 75 % restante compara los valores estimados con los observados

Despilfarro

de informacin

Solamente

apto para trabajos de investigacin

CUADRADO MEDIO DEL ERROR DE KRIGING

CUADRADO MEDIO DEL ERROR DE IDW

CUADRADO MEDIO DEL ERROR DE SPLINE

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