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LA ESTIMACION DE PARAMETROS 1
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LA ESTIMACION DE PARAMETROS
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CONTENIDO
Principio fundamental de la estimación de parámetros
Un metodo grafico para la estimacion de parametros
Ajuste de los parametros en una computadora
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PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
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EL PROCESO DEL MODELADO
Definir los objetivos
Preparar la informacion
Formular el modelo
Estimar los parametros
Validar el modelo
Qué sistema queremos modelar
Para qué queremos modelar
Bajo qué condiciones experimentales se va a usar el modelo
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EL PROCESO DEL MODELADO
Pruebas preparatorias
Definir el protocolo del experimento y
Recoger los datos
– Estimar ganancias– Constantes de tiempo– Retardos
– Tipos de señal– Lazo abierto o
cerrado
Definir los objetivos
Preparar la informacion
Formular el modelo
Estimar los parametros
Validar el modelo
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EL PROCESO DEL MODELADO
Definir la estructura y complejidad del modelo
Modelos de entrada/salida– No parametricos
– Respuesta al impulso/paso finita (FIR/FSR)– Parametricos
– Funcion de transferencia, auto-regresivo (ARX)
Espacio de estados– Modelo en espacio de estados lineales
Modelo ({})
Definir los objetivos
Preparar la informacion
Formular el modelo
Estimar los parametros
Validar el modelo
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EL PROCESO DEL MODELADO
Seleccionar el modelo que mejor se ajuste a los datos
Tres aproximaciones
– Metodos graficos – Metodos analiticos – Metodos computacionales
Modelo ({*})
Definir los objetivos
Preparar la informacion
Formular el modelo
Estimar los parametros
Validar el modelo
/318
EL PROCESO DEL MODELADO
¿Puede el modelo explicar otros datos medidos?
Los límites de confianza del modelo son aceptables?
Definir los objetivos
Preparar la informacion
Formular el modelo
Estimar los parametros
Validar el modelo
/319
LA ESTIMACION DE LOS PARAMETROS DEL MODELO
tt
YUU
YProceso
Modelo
La estimacion de los parametros consiste en ajustar los parámetros de una estructura de modelo elegida con el fin de ajustar la salida del modelo a los datos medidos de la salida
del sistema
Definir los objetivos
Preparar la informacion
Formular el modelo
Estimar los parametros
Validar el modelo
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LA ESTIMACION DE LOS PARAMETROS DEL MODELO
El ajuste de los parametros se puede realizar:
Con metodos graficos El metodo de la curva de reaccion
Mediante un procedimiento ejecutado en una computadora Minimizacion de una funcion objetivo (optimizacion)
Objetivo del curso
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UN METODO GRAFICO PARA LA ESTIMACION DE PARAMETROS
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EL METODO DE LA CURVA DE REACCIÓN DEL PROCESO
¿Por qué usar el metodo de la curva de reaccion?
Realmente no necesitamos un modelo más preciso
Estamos interesados en el diseño de un controlador PID
Otras razones
No tenemos todos los datos necesarios para desarrollar un modelo fundamental del proceso (muy complejo)
No tenemos tiempo para desarrollar un modelo fundamental del proceso (muy complejo)
Los experimentos no son faciles de realizar (especialmente en los procesos quimicos)
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PASOS DEL PROCESO DE IDENTIFICACION
Permitir que el proceso alcance el estado estacionario
Aplicar un paso en la variable de entrada
Recoger lo datos de la respuesta de salida hasta que la ganancia del proceso alcance el
estado estacionario
Llevar a cabo el cálculo gráfico de curva de reacción del proceso
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El metodo de la curva de reacción del proceso permite identificar solo algunos modelos simples:
Primer orden mas tiempo muerto (FOPDT )
Segundo orden más tiempo muerto (SOPDT)
CLASES DE MODELOS OBTENIDOS
1)(
)(
s
eK
sU
sY sP
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PRIMER ORDEN MAS TIEMPO MUERTO
/3116
PRIMER ORDEN MAS TIEMPO MUERTO
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AJUSTE DE LOS PARAMETROS EN UNA COMPUTADORA
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PROCEDIMIENTO PARA LA ESTIMACION DE LOS PARAMETROS
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LOS MODELOS PARAMETRICOS
Los denominados modelos parametricos tienen un número finito de parámetros
Relacionan las señales de interés del sistema:
Entradas Salidas posiblemente Estados y Perturbaciones
estructura y complejidad
Modelo ({})
Formular el modelo
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LA ESTRUCTURA DE LOS MODELOS
En general, la estructura del modelo podría ser cualquiera
Regresiones lineales o no lineales Modelos dinámicos (ODE) Modelos dinámicos fuzzy o redes neuronales, Otro,. . .
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SALIDA MEDIDA Y SALIDA DEL MODELO
Error del modelo
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EL ERROR DEL MODELO El error de predicción del modelo se define
como
ˆt y t y t
y t es la salida estimada por el modelo en el instante t.
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EJEMPLO: SISTEMA DE PRIMER ORDEN SIN RETARDO
Podemos asumir en el ejemplo que el sistema se puede representar con un modelo de primer orden sin retardo
El modelado experimental consiste en ajustar los parámetros del modelo
con el fin de que la salida del modelo se aproxime a los datos medidos
1
AG s
s
,A
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OBJETIVOS DE LOS MÉTODOS DE ESTIMACIÓN PARAMÉTRICOS Los métodos de estimación de parametros
tienen por objetivo entonces estimar los parámetros del modelo considerado,
de forma que, en algun sentido, el error de predicción sea mínimo.
La estimacion de los parametros involucra un proceso de
OPTIMIZACION
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OBJETIVOS DE LOS MÉTODOS DE ESTIMACIÓN PARAMÉTRICOS
Existen distintos criterios para realizar este ajuste de parámetros, entre los que cabe destacar el método de los mínimos cuadrados
La estimacion de los parametros involucra un proceso de
OPTIMIZACION
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OBJETIVOS DEL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS
El problema a resolver consiste en hallar el vector de parámetros estimados
tal que se minimize la funcion de costo:
2
1
1,
NN
Nt
V Z tN
Funcion de costo, o Funcion de perdidas
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EJEMPLO 1: MODELO CON UN PARAMETRO
Se asumen las medidas de entrada salida mostradas en la figura
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EJEMPLO 1: MODELO CON UN PARAMETRO
Se asume la estructura del modelo
1
1G s
s
Ganancia unitaria
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EJEMPLO 1: MODELO CON UN PARAMETRO
Valor de la funcion de costo para diferentes valores del parametro
(en este caso la constante de tiempo)
, NNV Z
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EJEMPLO 2: MODELO CON DOS PARAMETROS
Se asume la estructura del modelo
1
AG s
s
Ganancia tambien desconocida
A
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EJEMPLO 2: MODELO CON DOS PARAMETROS
Curvas de nivel de la funcion de costo para diferentes valores de los parametros
(en este caso la ganancia y la constante de tiempo)
A
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PRESENCIA DE PERTURBACIONES
Hay muchas fuentes y causas de perturbaciones,
YUProceso
perturbaciones
– ruido a la entrada del sistema– ruido que entra en alguna parte
dentro del sistema– ruido a la salida del sistema– entradas exógenas al sistema
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LOS PARAMETROS ESTIMADOS
Siendo obtenidos de un experimento bajo la presencia de señales aleatorias
Y es necesario estudiar sus propiedades estadisticas
¡Los parametros estimados son variables aleatorias!
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IDENTIFICABILIDAD
Si existe el vector de parámetros que minimiza el error
es denominado el vector de parámetros “verdadero”
*
*
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Se dice entonces que el modelo es identificable
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FUENTES Morten Knudsen, Experimental modelling of dynamic
systems (Lecture notes). Department of Control Engineering, Aalborg University. 2004.
