ESTRUCTURA CRISTALINA

•    Es la disposición periódica y ordenada en el espacio de tres

dimensiones de los constituyentes atómicos de un sólido en estado

cristalino.

•    Ejemplo:

El cristal de halita (Figura 2.2). Está constituido por iones cloro y

iones de sodio dispuestos en el espacio (Estructura cristalina Figura

2.1).

TIPOS DE CRISTALES

- MONOCRISTAL:

Se define como cristal único.

Ejemplo:

Cada uno de los cristales de granate espesartita de la imagen

inferior constituye un monocristal porque está constituido por un

único cristal.

                                                                        FIGURA 3.

(MONOCRISTAL DE CALCITA MEXICO).

FIGURA 4.

(MONOCCRISTAL DE GRANATE CHINA).

ALGUNAS APLICACIONES EN INGENIERÍA REQUIEREN

MONOCRISTALES:

FIGURA 5.

(MONOCRISTAL DE DIAMANTE PARA ABRASIVOS).

http://www.urgelesdiamant.com/monocristal.htm

 FIGURA 6.

(ASPAS DE TURBINAS FABRICAS A PARTIR DE MONOCRISTALES).

http://es.123rf.com/photo_9938372_aspas-de-turbina-de-un-avion-jet-

motor.html

Las propiedades de los materiales cristalinos se relacionan con su

estructura.

Ejemplo: el cuarzo se fractura más fácilmente a lo largo de algunos

planos que de otros.

                                                                       

FIGURA 7.

(ESTRUCTURA DE CUARZO).

estrelladanzante.wordpress.com

Ejemplo: cada uno de los cristales de granate espesartita (Figura 7).

Constituye un monocristal porque está constituido por un único

cristal

FIGURA 8.

http://www.publiboda.com/granates/index.html

 - POLICRISTALES

Un policristal o material policristalino es un agregado de pequeños

cristales de cualquier sustancia, a los cuales, por su forma irregular,

a menudo se les denomina cristalitos o granos cristalinos. Muchos

materiales de origen tanto natural (minerales y metales) como

sintético (metales, aleaciones, cerámica, etcétera) son policristales.

- Propiedades:

Las propiedades de los policristales están condicionadas por las

propiedades de los granos cristalinos componentes, tales como:

Tamaño medio. Comúnmente varía entre 1 y 2 micrones («micras»),

de símbolo μ, hasta unos cuantos milímetros, y en algunos casos

hasta unos cuantos metros.

Orientación cristalográfica de los granos. Si los granos están

orientados caóticamente y son pequeños comparados con el

policristal, en éste no se detecta anisotropía de las propiedades

físicas, la cual es propia de monocristales.

Estructura del borde de grano. Así mismo, si en el policristalino hay

una predominante orientación cristalográfica de los granos, el

policristal se denomina texturizado. En este caso existe anisotropía

de las propiedades. Puesto que en los bordes de los granos hay

dispersión de electrones de conductibilidad, fotones, frenaje de

dislocaciones, etcétera, los bordes influyen esencialmente en las

propiedades físicas –especialmente en las mecánicas– de los

policristales.

Los policristales se generan por cristalización, o por

transformaciones polimórficas, o como resultado de aglomeración de

polvos cristalinos. Son menos estables que los monocristales. Por lo

tanto, al someter un policristal ha recocido prolongado se puede

producir recristalización: crecimiento preponderante de unos

cuantos granos a costa de otros, que culmina en formación de

grandes bloques cristalinos.

FIGURA 9.

(POLICRISTALES).

INTRODUCCION A LA CIENCIA DE LOS MATERIALES.

http://132.248.12.175/mbizarro/4-Defectos%20cristalinos.pdf

 FIGURA

10.

Fotografía de la estructura policristalina (cubierta removida) de un

acero eléctrico.

 - MONOCRISTALES VS POLICRISTALES

 

FIGURA 11.

(ESTRUCTURAS).

 http://docencia.udea.edu.co/cen/fisicadelestadosolido/

capitulo2/capitulo2_intro.php

 

- MONOCRISTALES:

Las propiedades cambian con la dirección: anisotropicos.

Ejemplo: el modulo elástico (E) en el hierro BCC

- POLICRISTALES:                  

- Las propiedades pueden o no variar con la dirección.

- Si los granos están orientados al azar serán isotrópicos.

- Si los granos están texturizados serán  anisotropicos.

PROPIEDADES DE LOS SOLIDOS EN ESTADO CRISTALINO

La principal propiedad es la Periodicidad, de la que se derivan otras

características macroscópicas que son la: homogeneidad, anisotropía

y simetría.

- HOMOGENEIDAD:

Desde el punto de vista macroscópico, significa, invariabilidad de

una propiedad F medida en un punto X, en relación a su medida en

otro punto X + X’, es decir:

F(x) = F ( x+x’)

Ecuación 1.

De la condición de la homogeneidad se obtiene, a nivel

macroscópico,

La constancia de la composición química y estado de fase a través de

todo el volumen de la sustancia en estado cristalino.

El concepto de homogeneidad hace que Se pueda considerar a una

sustancia en estado cristalino como un continuo.

Este concepto es muy importante en cristalografía ya que se pueden

dar descripciones fenomenológicas de muchas propiedades físicas de

los cristales sin hacer referencia en su estructura atómica discreta.

Cuando se consideran las propiedades físicas de los cristales a nivel

macroscópico, se tratan con distancias considerables mayores que el

espacio interplanar y con volúmenes que exceden con mucho el de la

celda unidad.

- ANISTROPIA

Existen ciertas propiedades de los cristales que son independientes

de la dirección en la que se miden; se dice que son propiedades

escalares, como el peso especifico, la capacidad calorífica, entre

otros.

Existen otras propiedades que dependen de la dirección en la que se

miden; de algunas se dice que son propiedades vectoriales, y de

otras, tensoriales, como la conductividad térmica, la constante

dieléctrica, el índice de refracción, etc.

Si la descripción de una propiedad es independiente de cualquier

orientación, se dice que la sustancia es isótropa respecto a esa

propiedad.

Si una propiedad es dependiente de la orientación, se dice que la

sustancia es anisótropa para dicha propiedad.

En cualquier caso, una sustancia en estado cristalino siempre será

anisótropa para alguna propiedad, como puede ser la diferente

disposición de los átomos a lo largo de distintas direcciones

(anisotropía estructural).

- SIMETRIA

Es la propiedad que hace que un objeto no se distinga de su posición

original después de haberle aplicado una transformación.

Teniendo en cuenta estas características, a nivel macroscópico,

podemos definir a una sustancia en estado cristalino como un medio:

homogéneo continuo, anisótropo y simétrico

Sin embargo como se vera mas adelante, una sustancia en estado

cristalino no es un ente estático, ya que los átomos vibran y lo hacen

en mayor grado cuando aumenta la temperatura. Esto afecta sus

propiedades físicas. Muestra defectos y variaciones locales de su

composición y también una desviación de la estructura respecto de la

ideal. Estas imperfecciones no se consideran cuando se trata del

medio cristalino desde un punto de vista macroscópico.

Habrá sustancias cuyas propiedades sean poco sensibles a defectos

estructurales y puedan ser descritos utilizando un modelo de cristal

ideal; en otras habrá que considerar su estructura real, ya que

presentan propiedades que dependerán en mayor o menor extensión

de los defectos estructurales.

- AGREGADO CRISTALINO

Se define como un grupo de cristalitos (cristales de tamaño pequeño)

que crecen juntos. Pueden aparecer con diversas formas.

Ejemplos de agregados:

En la figura (Figura 12.1). Puede apreciarse un agregado radial de

cristales de wavelita, en la del centro (Figura 12.2). Un agregado

botroidal y una geoda de cuarzo amastita (Figura12.3).

                      FIGURA 12.1          FIGURA 12.2          FIGURA 12.3

 

- POLIMORFISMO

Se define el polimorfismo como la posibilidad de que en un

determinado elemento o compuesto químico pueda cristalizar según

estructuras distintas. Las sustancias que así se comportan se

denominan polimorfas.

El adoptar una u otra forma depende primordialmente de las

condiciones de presión y temperatura que regían en el ambiente

durante su formación.

En los polimorfos en que una de las especies cristalinas pasa

rápidamente a otra modificación polimórfica cuando se rebasa un

cierto límite la temperatura, se dice que la primera es meta estable

(diamante) y la segunda estable (grafito), efectivamente, el grafito es

la forma estable a presiones y temperaturas bajas. Se puede

convertir en diamante aumentando la temperatura y la presión, y

utilizando un catalizador para aumentar la velocidad.

En los casos de los átomos de carbono, además de formar el

diamante según las características estructurales que han sido

descriptas, dicho elemento químico es también constituyente de otra

especie cristalina, un polimorfo del diamante es el grafito.

 

                                                                  FIGURA 13.

(POLIMORFISMO).

http://www.emagister.com/curso-todo-sobre-diamantes/polimorfismo

Cuando hay dos más estructuras cristalinas diferentes para el mismo

material se  denomina polimorfismo o alotropía.

FIGURA 14.

 

- CONCEPTO DE MINERAL

Mineral es aquella sustancia sólida, natural, homogénea, de origen

normalmente inorgánico, de composición química definida (pero

variable dentro de ciertos límites) y cuyos átomos poseen una

disposición ordenada.

La clasificación de Strunz es un método generalmente aceptado para

clasificar los minerales.

En muchos casos desarrollan superficies planas conocidas como

caras. Si el mineral ha sido capaz de crecer sin interferencias,

pueden generar formas geométricas características, conocidas como

cristales.

FIGURA 15.

http://es.wikipedia.org/wiki/Mineral

 

- IMPORTANCIA DE LOS MINERALES EN EL MUNDO

Los minerales tienen gran importancia por sus múltiples aplicaciones

en los diversos campos de la actividad humana. La industria moderna

depende directa o indirectamente de los minerales; se usan para

fabricar múltiples productos de la moderna civilización. Así, de

distintos tipos de cuarzo y silicatos, se produce el vidrio. Los nitratos

y fosfatos son utilizados como abono para la agricultura. Ciertos

materiales, como el yeso, son utilizados profusamente en la

construcción. Los minerales que entran en la categoría de piedras

preciosas o semipreciosas, como los diamantes, topacios, rubíes, se

destinan a la confección de joyas.

Los minerales son un recurso natural de gran importancia para la

economía de un país, muchos productos comerciales son minerales, o

se obtienen a partir de un mineral. Muchos elementos de los

minerales resultan esenciales para la vida, presentes en los

organismos vivos en cantidades mínimas.

* (Hernández, E… «¿Qué es un Mineral?». Museo de Mineralogía.

Universidad Autónoma de Madrid. Consultado el 14 de marzo de

2012.)

CréditosRecopilación y edición realizada por Juan Diego Valencia

Escarria, Hector Julian Arias Lopez,Oscar Ipial

Fuertes,estudiantes de ingenierica mecanica de

la universidad Tecnologica de Pereira 2012.

- BIBLIOGRAFIA

Todo sobre los diamantes, capitulo 3: poliformismo

http://www.emagister.com/curso-todo-sobre-diamantes/polimorfismo

Cristalografía y metalografía, universidad de Oviedo

http://ocw.uniovi.es/file.php/11/1C_C11812_A_1011/contenidos

%20en%20pdf%20para%20descargar/1.pdf

Fuente principal de investigación, universidad de Oviedo

http://ocw.uniovi.es/ocw/

Defectos cristalinos, introducción a la ciencia base, M.Bizarro

http://132.248.12.175/mbizarro/4-Defectos%20cristalinos.pdf

Definición de policristal, pagina Wikipedia, imagen de policristal

http://es.wikipedia.org/wiki/Policristalino

Imagen de diamantes

http://www.urgelesdiamant.com/monocristal.htm

Imagen de turbinas de avión, pagina de internet 123rf.com

http://es.123rf.com/photo_9938372_aspas-de-turbina-de-un-avion-jet-

motor.html

Física de estado sólido, facultad de ciencias exactas y naturales,

universidad de Antioquia

http://docencia.udea.edu.co/cen/fisicadelestadosolido/capitulo2/

capitulo2_intro.php

3.1 REDES DE BRAVAIS

El nombre de bravais viene del Físico y mineralogista francés.

Profesor de física y de astronomía Auguste Bravais que  estableció la

teoría reticular, según la cual las moléculas de los cristales están

dispuestas en redes tridimensionales. Esta teoría, que explica los

fenómenos de simetría y anisotropía de las sustancias cristalinas, fue

posteriormente demostrada gracias a la difracción por rayos X.

Las redes de bravais son una disposición infinita de puntos

conformando una estructura bajo cierto grupo de traslaciones, en la

mayoría de casos no se dan cambios bajo rotaciones o simetría

rotacional. Estas hacen que desde todos los nodos de una red de

bravais tengan la misma perspectiva de red, por esto se dice que los

puntos de una red son equivalentes.

GEOMETRÍA DE LAS REDES DE BRAVAIS

Estructura algebraica conocida por grupos que tiene una secuencia

ordenada, sus objetivos son entre otros  la clasificación de los

grupos, sus propiedades y sus aplicaciones.

Por la teoría de grupos se ha demostrado que solo existe una única

red de bravais unidimensional (simple secuencia de nodos

equidistantes entre sí), 5 redes bidimensionales paralelogramos (2D)

y 14 modelos distintos de redes tridimensionales paralelepípedo

(3D).

los cristalografos han mostrado que solo son necesarios  7  sistemas

cristalinos para describir todas las posibles redes.

Redes Unidimensionales: La red unidimensional es elemental

siendo ésta una simple secuencia de nodos equidistantes entre sí.

Redes bidimensionales: Según los ángulos y la distancia entre los

nodos se distinguen 5 redes distintas, un caso ejemplar sería el

grafito cuya estructura sigue un patrón de red en panal.

Redes tridimensionales: Para las redes de Bravais

tridimensionales existen solamente siete grupos puntuales posibles y

14 grupos espaciales. Obviamente, varios grupos espaciales

comportan el mismo grupo puntual. Esto permite clasificar todos los

cristales en siete sistemas cristalinos (según el grupo puntual) y en

14 redes de Bravais (según el grupo espacial).

Las redes tridimensionales están formadas por la repetición de

celdas unidad tridimensionales. Estas celdas vienen definidas por

tres traslaciones: a, b y c, siendo a y b las traslaciones de la red

plana, y c la traslación de dicha red plana en una dirección diferente

(generalmente correspondiente al plano vertical).

Además, vienen definidos tres ángulos:

α : es el ángulo que forman entre sí los vectores b y c.

β : es el ángulo que forman entre sí los vectores a y c.

γ : es el ángulo que forman entre sí los vectores a y b (los de la red

plana).

De acuerdo con Bravais, existen 14 tipos distintos de redes

tridimensionales, de las más conocidas son:

BIBLIOGRAFIA:

http://elcrisoluspt.files.wordpress.com/2008/09/estructura11.pdf

http://www.qi.fcen.uba.ar/materias/qi2/_teoricas/

solidos_primera_parte.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Redes_de_Bravais

william F. Smith (autor)Introducción a la ciencia de materiales

para ingenieros:Shackerlford,   James F. (Autor) , Martin, Nuria

(Traductor), Smith, William F. (Autor),Hashemi, Javad (Autor)

3.2 SISTEMA CÚBICO Y HEXAGONAL. CRISTALES BCC, FCC,

HCP. 3.3 FACTOR DE EMPAQUETAMIENTO

INTRODUCCIÓN

El estudio de las siguientes estructuras cristalinas las cuales

pertenecen en gran proporción a los cerámicos y  metales puros

solidifican en tres  estructuras cristalinas compactas  BCC, FCC y

HCP,  éstas estructuras son estudiadas a partir de una pequeña

porción que contenga el patrón de ordenamiento, las cuales tienen

un arreglo asignado debido a su distribución atómica y que tienen un

gran uso  en la actualidad para semiconductores, circuitos

integrados  y otros sistemas modernos; a continuación se estudiarán

dichas estructuras.

ESTRUCTURA CÚBICA DE CUERPO CENTRADO

Se denomina estructura de cuerpo centrado (body centred cubic)

porque   uno de los átomos se encuentra  contenido justo en el centro

del cubo o  celda unitaria, y es equidistante de los ocho átomos de

las esquinas, se dice por lo tanto que tiene un número

de coordinación  (NC) de 8, es decir que 8 es el indice de la

eficiencia de la condensación átomica . en la figura 3.2-1 se puede

observar dicha estructura;  Ahora , ¿cuantos átomos contiene la

estructura cristalina  BCC en cada celda unitaria?

(a) (b) 

figura 3.2-1, modelos esquemáticos de la estructura BCC: (a)arreglo

abierto; (b) átomos que se aproxíman entre sí

McMaster_BCC_Unit_Cells_(C)_2007_Ehsan_Shojaei

De la estructura cristalina BCC los átomos que cortan las esquinas

son octavos de dichos vecinos próximos, además está contenido

un átomo en su totalidad en el centro, por lo tanto tenemos :

Esquinas: (1/8) × 8 átomos = 1 átomo.

Centro:                   1 átomos = 1 átomo.

Total        = 2 átomos/ celda unidad.

¿Se puede afirmar esto sin temor a alguna equivocación? la

respuesta es acertada pues se debe recordar que cada átomo de

cristal está rodeado por un arreglo idéntico de átomos en el látice

espacial repetitivo, lo que significa que  el látice que conforma el

conjunto parcialmente ordenado que consta de dos elementos (en

este caso átomos) tiene una mínima cota superior y una máxima cota

inferior, donde los elementos cumplen las operaciones de simetría de

una estructura, y está dotado de una ley de composición interna de

aplicación sucesiva que se puede modelar matemáticamente.

figura 3.2-2estructura cristalina BCC donde se muestra la relación

entra la constante de red a y el radio atómico R

En la celda unidad BCC los átomos de cada vértice contactan entre sí

a través de la diagonal del cubo, como se muestra en la figura 4.2-2,

por que la relacipon entre la arista del cubo a y el radio atómico R 

es

√3 a=4R     o    a=4R/√3              (4.1)

4R es el número de radios que atraviesa la diagonal de las esquinas

opuestas

La demostración de 4.1 se hace simple y por trigonometria.

Otro factor importante a calcular es el volúmen  de la celda unidad

BCC  y de cualquier celda que está ocupada por átomos , para esto

se asume que las esferas son rígidas, y determinados el  parámetro

de látice  (a) y el radio atómico (R); se  define un factor de

condensación atómica o factor de empaquetamiento.

FACTOR DE EMPAQUETAMIENTO (APF)

Generalmente se acepta que la naturaleza favorece los arreglos y

estados de la materia que tienden a minimizar los niveles de energía

(energía potencial). por ello podemos preguntarnos qué tan eficiente

es en verdad el arreglo de un cristal y si es razonable asumir un

empaquetamiento denso; para este ultimo se realiza la convención

de:

Generalmente sólo está presente un elemento, por lo que todos

los radios atómicos son iguales.

El enlace metálico no es direccional.

La distancia a los primeros vecinos tienden a ser cortas para

disminuir la energía de enlace.

la nube electrónica cubre a los núcleos.

Entonces,  Para evaluar la eficiencia de la estructura cristalina o

cuán eficiente estan arreglados los átomos se  calculará el volúmen

atómico contenido en la celda unitaria en relación con el volúmen

total de la celda unitaria como sigue:

APF= volúmen de átomos en una celda unidad/ volúmen de la celda

unidad

Es el porcentaje (%) que se encuentra ocupado por átomos el cristal.

F.E = # equivalente de átomos en la celda * vol del átomo*100/vol

total de la celda.

Ejemplo 3.2 a

Calcule el factor de empaquetamiento atómico para la celda unidad

BCC, considerando los átomos como esferas rígidas

solución:

APF=Volumen de los átomos en la celda unidad BCC / Volumen de la

celda unidad BCC

Puesto que tenemos dos átomos por celda unidad BCC, el volumen

de los átomos de radio R en una celda unidad es,

V_átomos= (2)(4/3 Π R^3)

El volumen de la celda unidad es:

V_celda unidad= a^3

Donde a es la constante de red. La relación entre a y R se obtiene a

partir de la figura 3.2-2, que muestra cómo los átomos de la celda

unidad contactan a través de la diagonal del cubo. así,

√3 a=4R

Así,

V_celda unidad= a^3=12,32 R^3

El factor de empaquetamiento atómico para la celda unidad BCC

resulta ser,

APF= (V_átomos/celda unidad) / V_celda unidad = 8,373 R^3 /

12,32R^3 = 0,68

Ahora, se establecerán las siguientes relaciones de constante de red

a y radio atómico para materiales que tienen estructura cristalina

BCC a temperatura ambiente de (20°C).

metal

Constante de

red  a (nm) radio atómico R (nm)

Cromo 0,289 0,125

Hierro 0,287 0,124

Molibdeno 0,315 0,136

Potasio 0,533 0,231

Sodio 0,429 0,186

Tántalo 0,330 0,143

Volframio 0,316 0,137

Vanadio 0,304 0,132

Ejemplo 3.2-b

El tántalo a 20°C es BCC con átomos de radio atómico  0,143nm.

Calcule la constante de celda a para la arista del cubo de la celda

unidad del tántalo

Solución:   en la figura 3.2-2 se ve que los átomos de tántalo en la

celda unidad BCC se tocan a través de la diagonal del cubo.Así , si a

es la arista del cubo, tenemos:

√3 a=4R

Donde R es el radio atómico del tántalo, entonces:

a= (4(0,143nm))/√3 = 0,330nm

ESTRUCTURA CÙBICA CENTRADA EN LAS CARAS

figura 3.2-3 estructura cristalina FCC

Otro tipo de arreglo cristalino cùbico es el FCC (face centred cubic),

su diferencia entre las estructuras cristalinas difiere porque en cada

faz (cara) existe un átomo colocado en ella y en los vértices de las

celdilla unidad, o sea, en las posiciones de los nudos de la red de

Bravais del mismo nombre (figura 4.3-1). El nùmero de coordinacion

la estructura FCC es de 12, la forma mas sencilla de comprender

esto,  es situandose mentalmente en el àtomo del centro de una de

las caras  y contar todos los átomos en contacto con él.

De nuevo se separó mucho el arreglo de la celda (fig.4.3-2) con la

intención de que la localizacion de los átomos sea clara; examinando

el cristal, además de los ocho átomos de esquina, existen seis átomos

centrados en las caras que se comporten entre esta celda y sus

vecinas inmediatas. La mitad de cuaquier átomo se la faz se

encuentra en una celda unitaria y la otra mitad  está en la celda

adyacente; por lo tanto, se puede determinar la cantida de átomos

asociados con la celda unitaria de esta estructura como sigue:

figura 3.2-4. Celda unidad FCC con su respectivo arreglo atómico

McMaster_FCC_Unit_Cells_(C)_2007_Ehsan_Shojaei

Esquinas: 8 × 1/8 = 1 àtomo

Caras:       6 × 1/2 = 3 àtomos

Total   = 4 àtomos /celda unitaria

Nótese que la cantidad de átomos por celda unitaria se duplicaron

con  relación a la del sistema BCC, que contiene el equivalente de

dos átomos por celda unidad, con seguridad, éste es el indicio de una

condensación atómica mas eficiente en el látice.

En la celda FCC los átomos contactan en la diagonal de la cara del

cubo como se indica en la figura 4.3-3, por lo que la relación entre la

arista del cubo a y el radio atómico R es:

√2 a =4R  o  a= 4R/ √2   (4.3)

F.E (.F.C.C) =  4 átomos*(4/3 ΠR³)/(4/√2 * R)³=0.74= 74%  ocupado

por átomos

                                                                                             26% vació

El APF para la estructura cristalina FCC es de 0,74, que es mayor

que el factor 0,68 de la estructura BCC. Un APF de 0,74 es el

máximo de compacto posible para átomos esféricos. Muchos metales

como el aluminio, cobre, plomo, níquel y hierro a termperatura

elevada ( de 912 a 1.394 °C) cristalizan en la estructura FCC.

Metales que tienen estructura cristalina FCC a temperatura

ambiente (20°C) y su constante de red y radio atómico.

metal

Constante de red  a

(nm)

radio atòmico r

(nm)

Aluminio 0,405 0,143

Cobre 0,3615 0,128

Oro 0,408 0,144

Plomo 0,495 0,175

Níquel 0,352 0,125

Platino 0,393 0,139

Plata 0,409 0,144

ESTRUCTURA HEXAGONAL DE EMPAQUETAMIENTO

CERRADO

El tercer tipo principal de estructura cristalina es HCP, presenta un

arreglo de alta densiad  en sus átomos, los cuales en su tercer capa o

plano se encuentran directamente por encima de los átomos del

primer plano como indica en a figura 3.2-3.

(a)  

(b)

figura 4.4-1. celda unidad HCP. a) de esferas rígidas; b) de

posiciones atómicas.

McMaster_HCPs_Unit_Cells_(C)_2007_Ehsan_Shojaei

El número de coordinación de los cristales HCP es el mismo que para

los FCC e igual a 12. Se puede verificar esta cantidad con los átomos

vecinos más próximos, considerando el átomo central en un plano

base, este átomo está rodeado por tres átomos en su propio plano

base, más tres átomos que se localizan cada uno en el plano

adyacente paralelo, lo que hace un total de 12 átomos vecinos más

próximos. El factor de condensaciòn atómica es e mismo que el de

FCC e igual a 0.74; generalmente se conocen las estructuras FCC y

HCP como empaquetamiento cerrado por que son las dos formas de

arreglar esferas idéntica con la densidad mas grande posible y que

aún exhiben periocidad.

Una celda HCP tiene un equivalente a seis átomos por celda unidad:

Tres átomos forman un triángulo en la capa intermedia como queda

reflejado por las posiciones atómicas en la figura 4.2-2 b. Hay seis ×

1/6 secciones de átomos en las capas superior e inferior,

contribuyendo  con un equivalente de dos átomos mas por celdilla

( 2  × 6 ×  1/6 =2). Finalmente, hay medio átomo más por celdilla.

Así, el número toral de átomos por celdilla unidad en la estructura

HCP es de 3 + 2+1 = 6. La relación entre la altura c del prisma

hexagonal de la estructura y el lado a de su base se llama relación

c/a para algunos metales HCP. De entre los metales cinc, cadmio,

entre otros, tiene una relación c/a superior a la ideal lo que indica

que los átomos en estas estructuras están ligeramente elongados a lo

largo del eje c en la celdilla unidad HCP. Los metales como el

magnesio, cobalto, circonio, titanio y berilio tienen una relacion c/A

menor que la ideal, por tanto, en estos metales los átomos están

ligeramente comprimidos en la dirección del eje c. Así, estos metales

presentan ciertas desviaciones del modelo ideal de esferas rígidas.

A continuación se hará la comprobación del valor del factor de

empaquetamiento en una estructura cristalina HCP

figura 4.4-2 diagramas para calcular el volumen de la celda unidad

HCP

                                                                       = 74% ocupado

por átomos

                                                                        = 26% vacio     

Ejemplo 4.4-A

 

Calcular el volumen de la celdilla unidad de la estructura cristalina

del cinc a partir de los  siguientes datos: el cinc puro tiene una

estructura cristalina HCP con constantes de red  a=0,2665 nm  y c=

0,4947 nm. solucion:

El volumen de la celdilla unidad  HCP puede obtenerse determinando

el área de la base de la celdilla unidad y multiplicando ésta por la

altura figura 4.4-2.

El área de la base de la celdilla unidad es el área de la parte inferior

del hexagono, de forma que el área total es la suma e las áreas de los

seís triángulos equiláteros de área, a partir de la figura 4.4-2

podemos deducir lo siguiente:

Área del trinángulo ( figura 4.4-2 b)= 1/2 (base)(altura)

= 1/2 (a)(asen 60°) = 1/2 a^2 sen60°

A partir de la figura 4.4-2b;

Área toal de la base HCP = (6)(1/2 a^2 sen60°)

= 3 a^2 sen 60°

A partir de la figura 4.4-2a;

Volumen de la celdilla unidad del cinc HCP = (3a^2 sen 60°)(c)

= (3)(0,2665 nm)^2 (0,8660) (0,4947 nm)

= 0,0913 nm^3

Materiales con estructura cristalina HCP a temperatura ambiente

(20°C) y sus constantes reticulares, su radio atómico y su relación 

c/a

Metal

Constante de red

a ( nm )

Radio

atómic

o r

Relación (c/

a)

%

desviaci

ón de la

relación

ideala c

Cadmio

0,297

3

0,561

8 0,149 1,800 +15,7

Cinc

0,266

5

0,494

7 0,133 1,856 +13,6

HCP

ideal 1,633 0

Magnes

io

0,320

9

0,520

9 0,160 1,623 -0,66

Cobalto

0,250

7

0,406

9 0,125 1,623 -0,66

Circoni

o

0,323

1

0,514

8 0,160 1,593 -2,45

Titanio

0,295

0

0,468

3 0,147 1,587 -2,81

Berilio

0,228

6

0,358

4 0,113 1,568 -3,98

BIBLIOGRAFÍA

- CIENCIA E INGENIERIA DE LOS MATERIALES . ASKELAND

-CIENCIA E INGENIERIA DE LOS MATERIALES . SMITH

- INTRODUCCION A LA CIENCIA E INGENIERIA DE  LOS

MATERIALES . VOL 1. WILLIAM CALLISTER

-APORTES DE PAGINAS WEB.

3.4 DENSIDAD VOLUMÉTRICA

Utilizando el modelo de esferas rígidas para la estructura cristalina

de la celda unidad de un metal, un valor de radio atómico del metal

obtenido por análisis de difracción de rayos X y utilizando la

siguiente  ecuación obtenemos la densidad volumétrica de un metal:

Densidad volumétrica de un metal =  ρv  = (Masa Celda unidad) /

(Volumen celda unidad)

Para aplicar la fórmula mencionada debemos recordar los

parámetros de red de las estructuras cristalinas presentes en

los metales (BCC, FCC, HCP).

BCC: a = 4r/√3 volumen: a³

FCC: a = 4r/√2 volumen: a³

HCP: a = 2r   c = [√ (2/3)]*4r  volumen: (3/2)*√3*a²*c

También podemos expresar esta ecuación de forma más general

teniendo en cuenta que lamasa celda unidad es:

(Número de átomos celda unidad) * (Peso molecular de los átomos)

Y  volumen celda unidad es:

(Volumen celda unidad)*(Número de avogadro)

Número de avogadro = 6.02×1023  átomos/mol

Obteniendo:

ρv = [número de átomos por celda * peso molecular de los

átomos] / [volumen de la celda unitaria * número de avogadro]

El valor obtenido mediante ésta ecuación puede variar ligeramente

del valor experimental consignado en tablas, lo cual debe atribuirse

a la ausencia de algunas posiciones atómicas, defectos de línea, y

uniones defectuosas entre los granos (limites de grano). Otra causa

de esta situación puede deberse también a que los átomos no son

esferas perfectas.

EJEMPLOS

Ejemplo 3.4.1:

El cobre tiene una estructura cristalina FCC y un radio atómico de

0.1278 nm. Considerando a los átomos como esferas rígidas que se

colocan entre sí a lo largo de la diagonal de la celda unitaria FCC,

calcule el valor teórico de la densidad del cobre en mega metros por

metro cubico. La masa atómica del cobre es de 63.54 g/mol.

Solución

Para la celda unitaria FCC, √2a  =4R, donde a es la constante de red

en la celda unitaria y R es el radio del átomo de cobre. Así:

a = 4R/√2 = (4*0.1278 nm)/√2 = 0.361 nm

Densidad volumétrica de un metal = ρv  = (Masa Celda unidad) /

(Volumen celda unidad)

En la celda unitaria FCC hay cuatro átomos/celda unitaria. Cada

átomo de cobre tiene una masa de (53.54

g/mol)*(6.02×1023 átomos/mol). Así, la masa m de los átomos de Cu

en la celda unitaria es:

m = [(4 átomos)*(63.54 g/mol)/(6.02×10²³ átomos/mol)] * (10*10-6

Mg)/g

m = 4.22 * 10 -28 Mg

El volumen V de la celda unitaria del Cu es:

V = a³ = [0.361 nm * (10 -9 m)/nm]³

V = 4.70 * 10 -29 m³

Así la densidad del cobre es:

ρv = m/v = (4.22 * 10 -28 Mg)/(4.70 * 10 -29) = 8.98 Mg/m³

Respuesta: ρv (cobre) =   8.98 Mg/m³

Ejemplo 3.4.2:

Determine la densidad del hierro BCC, cuyo parámetro de red es

0.2866 nm.

Solución

Para una celda BCC,

Átomos por celda = 2

a = 0.2866 nm

Masa atómica  = 55,847 g/mol

Volumen de la celda unitaria = a³ = (2.866 * 10 -8 cm)³ = 23.54 * 10

-24 cm³/celda

Número de avogadro = Na = 6.02 * 10 ²³ átomos/mol

ρv = [numero de átomos por celda * peso molecular de los

átomos]/ [volumen de la celda unitaria * numero de avogadro]

ρv = (2*55.847) / (23.54* 10 -24 * 6.02 * 10 ²³) = 7.882 g/cm³

Respuesta: ρv (hierro) =   7.882 g/cm³

La densidad medida es 7.870 g/cm³. La pequeña discrepancia entre

las densidades teórica y medida es una consecuencia de los defectos

en el material. Como se dijo antes el término “defecto” en este

contexto, significa imperfecciones respecto al arreglo atómico.

Ejemplo 3.4.3:

La plata  tiene una estructura cristalina FCC con un radio atómico de

0.144 nm. Calcule el valor teórico de la densidad de la plata en

g/cm³.

Solución:

Masa atómica (Ag) = 107.87 g/mol

Masa = [(4 átomos * 107.87 g/mol) / (6.02 * 10²³ átomos/mol)]

Masa = 7.167 * 10-²² g

Volumen para una celda BCC = a³ donde a =4r/√2

Entonces tenemos:

Volumen en cm³ = [((4 * 0.144*10-9 m) / √2)*(100 cm / 1 m)]³

Volumen = 6.756 * 10-²³ cm³

Así la densidad teórica de la plata es:

ρv = m/v = 7.167 * 10-²² g / 6.756 * 10-²³ cm³

Respuesta: ρv (plata)   = 10.608 g/cm³

Ejemplo 3.4.4:

La densidad del torio que tiene una estructura FCC es de 11.72

g/cm³. El peso atómico del torio es de 232 g/mol. Calcule:

a) El parámetro de red.

b) El radio atómico del torio.

Solución.

a) Como es una es una estructura FCC el parámetro de red a = 4r/√2

y el volumen de la celda es a³.

Utilizando

ρv = [número de átomos por celda * peso molecular de los

átomos] / [volumen de la celda unitaria * número de avogadro]

Tenemos:

11.72 g/cm³ = (4 átomos * 232 g/mol) / [(4r/√2)³ * 6.02*10²³

átomos/mol]

Despejando r:

r³ * 11.72 /cm³ = 928 / 1.36*10 25

r³ = 6.82*10-²³ cm³ / 11.72

Respuesta: r = 1.799*10-8 cm

b)   Usando   a = 4r/√2   tenemos:

a = (4 * 1.799*10-8 cm) / √2

Respuesta: a = 5.088*10-8 cm

Ejemplo 3.4.5:

El bismuto tiene una estructura hexagonal, con a = 0.4546 nm y c

= 1.186 nm. La densidad es 9.808 g/cm³ y el peso atómico es de

208.98 g/mol. Determine:

a) El volumen de la celda unitaria.

b) Cuantos átomos Existen en cada Celda unitaria.

Solución.

a) Mirando la figura de la celda hexagonal compacta y teniendo en

cuenta que el volumen es la base multiplicada por la altura (c) y

además descomponiendo esta base en 6 triángulos equiláteros,

podemos llegar a la conclusión de que el volumen de la celda es:

V = (3/2)*√3*a²*c

Reemplazando tenemos:

V = (3/2) * √3 * (0.4546 nm)² *9.808 nm

Respuesta: V= 0.637 nm³

b) V = 0.637 nm³ = 0.637*10-²¹ cm³

Reemplazando todos los datos en

ρv = [número de átomos por celda * peso molecular de los

átomos] / [volumen de la celda unitaria * número de avogadro]

Y tomando como N = numero de átomos tenemos:

9.808 g/cm³ = (N * 208.98 g/mol) / (0.637*10-²¹ cm³ * 6.02*10²³

átomos/mol)

Despejando N

Respuesta: N = 18 átomos

Ejemplo 3.4.6:

La densidad del potasio, que tiene una estructura BCC es 0.855

g/cm³. El peso atómico del potasio es 39.09 g/mol. Calcule:

a) El parámetro de red.

b) El radio atómico del potasio.

Solución

a) Sabemos que al ser una celda BCC tiene 2 átomos en su interior.

Reemplazando todos los datos otorgados en

ρv = [número de átomos por celda * peso molecular de los

átomos] / [volumen de la celda unitaria * número de avogadro]

Tenemos:

0.855 g/cm³ = [(2 átomos * 39.09 g/mol) / (a³ * 6.02*10²³

átomos/mol)]

Despejando a:

a³ =  1.519*10-²² cm³

Respuesta: a = 5.336*10-8 cm

b) a = 4r/√3

Despejando r:

r = [(5.336*10-8 cm) √3] / 4

Respuesta: r = 2.31*10-8 cm

BIBLIOGRAFÍA

- Ciencia E Ingeniería De Los Materiales-Donald Askeland

- Ciencia E Ingeniería De Los Materiales-Smith

3.5 INDICES DE MILLER

Estos se utilizan para identificar los planos cristalinos por donde es

susceptible de deslizar unos átomos sobre otros átomos en la celda

cristalina.

Para poder identificar unívocamente un sistema de planos

cristalográficos se les asigna un juego de tres números que reciben

el nombre de índices de Miller. Los índices de un sistema de planos

se indican genéricamente con las letras (h k l)

Los índices de Miller son números enteros, que pueden ser negativos

o positivos, y son primos entre sí. El signo negativo de un índice de

Miller debe ser colocado sobre dicho número.

Ejes y celdas unitarias:

Se utilizan los tres ejes conocidos normalmente, el eje X positivo se

usa saliendo del papel, el eje Y positivo hacia la derecha y finalmente

el eje Z positivo hacia la parte superior; en sentidos opuestos se

encuentran sus respectivas zonas y cuadrantes negativos

Se utilizan celdas unitarias para

situar tanto puntos, como planos. Dichas celdas unitarias son cubos

los cuales se encuentran situados sobre el sistema de coordenadas X,

Y, Z. Generalmente se asume un origen, el cual está ubicado en la

arista inferior izquierda posterior.

Direcciones  en la celda unitaria:

Existen direcciones y posiciones en una celda unitaria de gran

interés, dichas direcciones son los denominados Índices De Miller y

son particularmente las posiciones o lugares por donde es más

susceptible un elemento en sufrir dislocaciones y movimientos en su

interior cristalino.

Para hallar los Índices De Miller de las direcciones se procede de la

siguiente manera:

1. usar un sistema de ejes coordenados completamente definidos

(zonas positivas y zonas negativas).

2. Restar las coordenadas de los puntos a direccionar (cabeza menos

cola), generando de esta manera el vector dirección y la cantidad

de parámetros de red recorridos

3. Eliminar o reducir de la resta de puntos las fracciones hasta su

mínima expresión

4. Encerrar los números resultantes entre corchetes   , sin comas, si

el resultado es negativo en cualquier eje (X, Y, Z) debe situarse

una barra o raya encima de dicho numero, o números.

Ejemplo 3.5.1

Determinar los índices de Miller de las direcciones A, B y C.

Dirección A

1. Dos puntos son:  1,0,0  y  0,0,0

2. Se restan ambos puntos, situando en primer lugar el punto que se

desea tener como dirección y sentido (cabeza del vector)       

1,0,0 –  0,0,0 = 1,0,0

3. No existen fracciones que eliminar ni enteros que reducir

4. [ 100 ]

Dirección B

Dos puntos son: 1,1,1  y 0,0,0

1. Se procede de igual manera, se restan ambos puntos     1,1,1 - 

0,0,0 = 1,1,1

2. No existen fracciones que eliminar ni enteros que reducir

3. [ 111  ]

Dirección C

1. Dos puntos son: 0,0,1  y  ½,-1,0

2. Se procede de igual manera, se restan ambos puntos     0,0,1  - 

½,-1,0 =  - ½,-1, 1

3. Esta vez el resultado debemos llevarlo a una conversión de

enteros.

4. 2(- ½,-1, 1)=-1,-2,2

5. Como el resultado es negativo en las direcciones  de los ejes X y

Y, se sitúan con una barra en la parte superior los valores para

dichos ejes.

6.

Aspectos  importantes en el análisis y creación de  las

direcciones en los Índices De Miller:

1. las direcciones de Miller son vectores, por ende este puede ser

positivo o negativo, y con ello poseer la  misma línea de acción

pero diferente sentido.

2. una dirección y sus múltiplos son idénticos solo que estos aun no

han sido reducidos.

3. ciertos grupos de direcciones poseen equivalentes, esto en un

sistema cubico es ocasionado por el orden y el sentido de los

vectores, ya que es posible redefinir el sistema coordenado para

una misma combinación de coordenadas. Estos grupos reciben el

nombre de direcciones de una forma o familia, y se denota entre

paréntesis especiales <>. Es importante resaltar que un material

posee las mismas propiedades en todas y cada una de las

diferentes direcciones de una familia.

Tabla 3.5.a

Direcciones de la familia <100> en el sistema cubico

Direcciones de la familia <110> en el sistema cubico

Direcciones de la familia <111> en el sistema cubico

Importancia de las direcciones cristalográficas:

Es necesario conocer las direcciones cristalográficas para así

asegurar la orientación de un solo cristal o de un material poli

cristalino. En muchas ocasiones es necesario describir dichas

orientaciones; en los metales por ejemplo es más fácil deformarlos

en la dirección a lo largo de la cual los átomos están en mayor

contacto. En la industria esto es de vital importancia para el uso,

deformación y construcción de nuevos elementos y materiales. Caso

ejemplar es el de los elementos magnéticos los cuales funcionan

como medios de grabación con mejor y mayor eficiencia si se

encuentran alineados en cierta dirección cristalográfica, para así

almacenar de manera segura y duradera la información. En general

es necesario encontrar o tener en cuenta la posición y dirección

cristalográfica de los elementos ya que así podrá aprovecharse al

máximo sus propiedades mecánicas.

Planos en la celda unitaria:

Los planos cristalinos son con mayor precisión los lugares por donde

un material facilita su deslizamiento y transformación física; dichos

lugares o planos son en  donde existe la mayor posibilidad de que el

elemento sufra una dislocación. Como se mencionó anteriormente los

metales se deforman con mayor facilidad a lo largo de los planos en

los cuales los átomos están compactados de manera más estrecha o

cercana en la celda unitaria. Es importante resaltar la orientación y

forma en la que puede crecer el cristal, para ello es necesario

analizar las tensiones superficiales producidas en los principales

planos de una celda unitaria. Igualmente para una mejor orientación

en los planos de un material podrá existir un mejor rendimiento y

aprovechamiento en las propiedades y usos mecánicos.

Los Índices de Miller para planos se representan equivalentemente

al sistema cartesiano

(X, Y, Z) = (h, k, l) respectivamente.

Para identificar los planos de importancia se procede de la siguiente

manera:

1. identificar los puntos donde cruza al plano de coordenadas X,Y,Z

o  también (h,k,l ) en función de los parámetros de red (si el plano

pasa por el origen se debe trasladar el origen del sistema de

coordenadas).

2. los Índices de Miller para los planos cristalinos son el inverso a

los puntos de un plano cartesiano.

3. se calculan los recíprocos o inversos de los puntos o

intersecciones.

4. se multiplican o dividen estos  números por un factor comun.

5. si el reciproco es N/∞, donde N es cualquier numero entero real,

esto significara en el plano que para este eje el plano quedara

paralelo a él sin tocarlo.

6. la cantidad obtenida siempre es menor a la unidad, caso que no

ocurre en el estudio de las direcciones de  los Índices de Miller.

Ejemplo 3.5.8

Determine los índices de Miller de los planos A,B y C (h,k,l)

Plano A

1. x=1  y=1  z=1

2. 1/x=1 ,  1/y=1, 1/z=1

3. No existen fracciones que eliminar

4. (111)

Plano B

1. Debe aclararse el plano no cruza al eje z, esto es debido al

cociente entre 1/∞ lo cual con su respectivo limite tiende a ser

cero (0)

2. X=1 ,  y= 2,  z=∞

3. 1/x=1, 1/y=1/2, 1/z= 0

4. Debemos eliminar las fracciones; 2(1, ½,0)

5. (210)

Plano C

1. Es necesario cambiar el origen, ya que el plano pasa por el origen,

ubicaremos el nuevo origen a la derecha del inicial, moviéndo en

dirección del eje Y positivo

2. Con el nuevo origen se tiene:  x=∞, y=-1, z=∞

3. 1/x=0, 1/y=-1, 1/z=0

4. No existen fracciones que eliminar

5.

mas ejemplos de planos:

Aspectos importantes para los planos en los Índices de Miller:

1. los planos positivos y negativos son idénticos.

2. los planos y sus múltiplos no son idénticos. Esto se demuestra por

medio de la densidad planar y el factor de empaquetamiento.

3. los planos de forma o familia de planos son equivalentes. Se

representan con llaves {}

4. en los sistemas cúbicos, una dirección es perpendicular a un

plano si tiene los mismos Índices de Miller que dicho plano.

Ejemplo 3.5.3

Familia de planos {110} en los sistemas cúbicos

Estos planos son inversos en muchos aspectos de estudio, análisis y

construcción.

Índices de Miller para celdas hexagonales

Para este tipo de estructura se ha desarrollado un especial conjunto

de índices de Miller-Bravais, debido a la simetría de la estructura. En

este se usan ya cuatro ejes, aunque es de tenerse en cuenta que el

eje a3 es redundante.

El procedimiento para la obtención de planos y direcciones es el ya

estudiado, aunque para el cálculo de las direcciones existen los

métodos para tres ejes o el de cuatro ejes, siendo este último algo

más tedioso.

En esta nueva estructura se tomaran los índices (h, k, i, l), para los

cuales se asignara un eje respectivo (a1=h, a2=k, a3=i, c=l),

teniendo en cuenta que para el eje a3 su existencia radicara en la

relación h + k = -i; y la descomposición en cuatro vectores (creación

de direcciones en cuatro ejes a partir de los índices en los tres ejes)

Relaciones:

H= 1/3(2h – k)

K=1/3(2k – h)

I=-1/3(h + k)

L=l

Ejemplo 3.5.6

Determine los índices de Miller-Bravais para los planos A y B y par

las direcciones C y D.

Plano A

1. a1=a2=a3=∞, c=1

2. 1/a1=1/a2=1/a3=0, 1/c=1

3. No existen fracciones que simplificar

4. (0001)

Plano B

1. A1=1, a2=1, a3=-1/2, c=1

2. 1/a1=1, 1/a2=1, 1/a3=-2, 1/c=1

3. No hay fracciones que simplificar

4.

Dirección C

1. Dos puntos:  0,0,1  y  1,0,0

2. Realizando la resta y tomando al punto 0,0,1 como cabeza del

vector, se tiene: 0,0,1 – 1,0,0 = -1,0,1

3. No existen fracciones que eliminar o enteros que reducir

4.

Dirección D

1. Los puntos son: 0,1,0  y 1,0,0

2. La resta genera el vector:  0,1,0 – 1,0,0 = -1,1,0

3. No existen fracciones que eliminar ni enteros que reducir

4.

Comportamiento isotrópico y anisotrópico:

A causa de los arreglos en los diferentes planos y direcciones

cristalográficas los materiales  presentan comportamientos y

desempeños diversos en sus propiedades mecánicas. Se dice que un

material es cristalográficamente anisotropico si sus propiedades

dependen de la dirección cristalográfica en la cual se mide la

propiedad. Si sus propiedades son idénticas en cualquier dirección el

material se conoce cristalográficamente como isotrópico. Puede

suceder que un material pase de ser anisotropico a isotrópico si sus

arreglos son aleatorios en forma policristalina. En genera los

materiales policristalino as muestran propiedades isotrópicas.

Ejemplo de ello tenernos el aluminio, el cual si posee idénticas

propiedades en todas las direcciones diremos que es un elemento

cristalográficamente isotrópico, pero si se presenta en forma

policristalina se puede asumir o comportar como anisotropico.

BIBLIOGRAFÍA

Askeland, Donald R; Phule, Pracleep; Ciencia e Ingeniería de los

Materiales; International Thomson Editores, cuarta edición,

México, 2004.

Smith, William F (Autor); Hashemi, Javad ( Colaborador); Cruells

Cadevall, Montesrrat ( Revisor); Roca Vallmajor, Antoni ( Revisor);

España, Mcgraw- Hill Interamericana S.A, C2004

3.6 PLANOS CRISTALINOS

Dirección en la celda

A menudo, es necesario referirnos a posiciones específicas en las

redes cristalinas. Esto es especialmente importante para metales y

aleaciones con propiedades que varían con la orientación

cristalográfica. Para cristales cúbicos los indices de las direcciones

cristalográficas son los componentes vectoriales de las direcciones

resueltos a lo largo de cada eje coordenado y reducido a los enteros

mas pequeños.

Para indicar en un diagrama la dirección en una celda cúbica

unitaria dibujamos un vector de dirección desde el origen (que es

normalmente una esquina de la celda cúbica) hasta que sale la

superficie del cubo. Las coordenadas de posición de la celda unidad

donde el vector de posición sale de la superficie del cubo después de

ser convertidas a enteros son los indices de dirección. Los indices de

dirección se encierran entre corchetes sin separación por comas.

Planos en una celda unitaria

Las superficise cristalinas en celdillas unidad HCP pueden ser

identificadas comúnmente utilizando cuatro indices en lugar de tres.

Los indices para los planos cristalinos HCP ,llamados indices Miller-

Bravais, son designados por las letras h, k, i, l y encerrados entre

parentesis ( hkil ). estos indices hexagonales de 4indices estan

basados en un sistema coordenado de 4 ejes.

Existen 3 ejes básicos, a1, a2, a3, que forman 1200 entre si. El

cuarto eje o eje c es el eje vertical y esta localizado en el centro de la

celdilla unidad. La unidad a de medida a lo largo de los ejes a1 a2 a3

es la distancia entre los átomos a lo largo de estos ejes. La unidad de

medida a lo largo del eje es la altura de la celdilla unidad. Los

recíprocos de las intersecciones que un plano cristalino determina

con los ejes, a1, a2, a3 proporciona los indices h, k e i mientras el

recíproco de la intersección con el eje c da el índice l.

Notación para planos

Los planos basales de la celdilla unidad HCP son muy importantes

para esta celdilla unidad puesto que el plano basal de la celdilla HCP

es pralelo a los ejes, a1, a2, a3 las intersecciones de este plano con

estos ejes serán todas de valor infinito. Así, a1 = ” , a2 = ” a3 = ” El

eje c, sin embargo, es único puesto que el plano basal superior

intersecciona con el eje c a una distancia unidad. Tomando

los recíprocos de estas intersecciones tenemos los indices de Miller-

Bravais para el plano Basal HCP. Así , H =0 K=0 I = 0 y L=1. El

plano basal es, por tanto un plano cero-cero-cero-uno o plano

(0001) .

BIBLIOGRAFÍA:

http://html.rincondelvago.com/principios-fundamentales-de-la-

estructura-cristalina-de-los-materiales.html

http://www.esi2.us.es/IMM2/estructuras_cristalinas/planos.html

http://www.slideshare.net/laguado86/3-estructura-cristalina

3.7 DENSIDAD PLANAR DE FAMILIAS 100, 110 Y

111. PROTECCIÓNDESCRIPTIVA DE PLANOS Y CORTE DE

ÁTOMOS.

INTRODUCCIÓN

Inicialmente podemos definir la densidad planar, coma la cantidad

de átomos que hay en un determinado plano ejemplo: familia de

planos (100). Pero una definición más formal la densidad planar es el

número de átomos que tienen sus centros localizados dentro de un

área dada sobre un plano. El área planar seleccionada debe ser

representativa de los grupos de átomos repetitivos dentro del plano.

Cuando ocurre deslizamiento bajo esfuerzo (deformación plástica),

éste ocurre en los planos sobre los cuales los átomos están más

densamente empacados.

La densidad planar en cristalografía nos muestra que tan lleno de

átomos esta un plano lo cual es muy importante porque podemos

conocer como se van a deslizar estos planos unos con respecto a

otros; con su respectiva dirección de deslizamiento ( densidad lineal)

; la combinación de estos dos densidad planar y lineal me dan a

conocer la deformación del material, A la combinación de un plano

de deslizamiento con una dirección, es a lo que se le denomina

sistema de deslizamiento, y es a través de estos sistemas por donde

se produce la deformación de los materiales, de tal forma que cuanto

mayor es el número de ellos mayor será la capacidad de deformación

de éstos. Para poder determinar cuáles son sistemas existentes,

primero tenemos que ver cuáles son los planos y direcciones

preferentes. Pues bien los planos de deslizamiento son los que

poseen la fracción atómica planar (FAP) más grande o lo que es lo

mismo, son los planos de mayor compacidad en la estructura

cristalina. Se define la fracción (1) atómica planar como:

∂= #ATOMOS INTERSECTADOS/AREA DEL PLANO

REDES CRISTALINAS BCC Y FCC

Estructura cúbica centrada en cuerpo (BCC)

Esta estructura

recibe la designación de I y en ella todos los ejes son iguales a = b =

c y sus ángulos son de 90º. El parámetro reticular es a. Sí se coloca

un átomo en cada punto de la red de Bravais cúbica centrada en

cuerpo, tengo 8 átomos en los vértices y uno en el interior. El átomo

central toca a todos los átomos de los vértices a través de la diagonal

del cubo. Éste nº de átomos que tocan al átomo central son los

vecinos inmediatos y es lo que se denomina nº de coordinación.

Luego en esta estructura NC = 8.

Estructura cúbica centrada en caras FCC

Se designa con la letra FCC. Todos los ejes unitarios son iguales y

sus ángulos son de 90º, siendo el parámetro reticular a. Si colocamos

un átomo en cada punto de la red de Bravais cúbica centrada en

caras, tendremos 6 átomos en los seis centros de caras, además de

los 8 de los vértices.

CALCULO DE LA DENSIDAD PLANAR

Para calcular la densidad planar usamos la siguiente convención. Si

un átomo pertenece totalmente a un área dada, tal como la del átomo

localizado en el centro de una cara en una estructura FCC, notamos

que la huella de la intersección del átomo sobre el plano es un

círculo. Entonces, dentro del área  contamos un átomo en el centro y

un cuarto de átomo en cada una de las esquinas, ya que cada uno

intercepta solamente un cuarto de círculo en el área. La densidad

planar o del plano es 2/a2. Debemos agregar que en estos cálculos

de la densidad, una de las reglas básicas es que un plano o una línea

debe pasar a través del centro de un átomo  no se cuenta el átomo en

los cálculos.

Si determinamos la densidad  planar de las distintas familias de

planos de las diferentes estructuras, veremos que para el caso de la

FCC, la familia de planos de mayor densidad planar es la {111},

mientras que para la estructura BCC, es la {110}.Luego los planos

pertenecientes a estas familias constituyen los planos de

deslizamientos de sus estructuras cristalinas correspondientes. Por

lo que ya solo necesitamos conocer, Para poder determinar los

sistemas, cuales son las direcciones de deslizamientos.

A continuación veremos el cálculo de la densidad atómica planar de

la familia de planos (100), (110), (111):

http://blog.utp.edu.co/metalografia/files/2011/05/METALOGRAFIA1.jpg

Con los resultados anteriores, y después de hallar la densidad planar

para diferentes planos de la familia (100) se llega a la conclusión que

para FCC es igual a 78,5% y para BCC es igual a 58,9%.

Como ya quedó dicho en la introducción, para calcular la densidad

planar, el área del plano debe pasar por el centro del átomo, para

poder tener en cuenta a éste como un átomo representativo, por eso,

para calcular la densidad planar en una red cristalina BCC debemos

garantizar que el plano no intercepte el átomo central. Aquello es

posible saberlo haciendo proyección del área y del plano, utilizando

geometría analítica.

Para el plano (111) BCC se ha hecho con anterioridad una

proyección y se ha deducido que el átomo central no corta lo

suficiente al área del plano como para tomarse como un átomo

representativo, después de esto se pasa a hacer un cálculo de la

densidad planar, sin tenerlo en cuenta. A continuación se mostrará el

desarrollo de lo anteriormente mencionado:

Con los resultados anteriores, y después de hallar la densidad planar

para diferentes planos de la familia (111) se llega a la conclusión que

para FCC es igual a 90,7% y para BCC es igual a 34%.

Con los resultados anteriores, y después de hallar la densidad planar

para diferentes planos de la familia (110) se llega a la conclusión que

para FCC es igual a 55,53% y para BCC es igual a 83,3%.

BIBLIOGRAFIA:

http://www.uhu.es/beatriz.aranda/apuntesciemat/TEMA

%201funcmat.pdf (1)

SMITH, F WILLIAM, Fundamentos de la ciencia e ingeniería de

materiales

3.8 DIFRACCIÓN DE RAYOS X

INTRODUCCIÓN

Los rayos X interactúan con los electrones que rodean los átomos por

ser su longitud de onda del mismo orden de magnitud que el radio

atómico. El haz de rayos X emergente tras esta interacción contiene

información sobre la posición y tipo de átomos encontrados en su

camino. Los cristales, gracias a su estructura periódica, dispersan

elásticamente los haces de rayos X en ciertas direcciones y los

amplifican por interferencia constructiva, originando un patrón

de difracción.

Existen varios tipos de detectores especiales para observar y medir

la intensidad y posición de los rayos X difractados, y su análisis

posterior por medios matemáticos permite obtener una

representación a escala atómica de los átomos y moléculas del

material estudiado.

Existen varios tipos de detectores especiales para observar y medir

la intensidad y posición de los rayos X difractados, y su análisis

posterior por medios matemáticos permite obtener una

representación a escala atómica de los átomos y moléculas del

material estudiado.

No es posible visualizar directamente los átomos, salvo en

situaciones muy particulares, con alto costo y baja resolución (no se

puede hacer microscopía a nivel atómico en forma rutinaria). Las

técnicas habituales para estudiar las estructuras cristalinas se basan

en el fenómeno de difracción.

La difracción hablando en términos físicos, es un proceso que ocurre

en todo tipo de ondas cuando éstas se esparcen o se curvan frente a

la presencia de un obstáculo u orificio.  Dicho fenómeno se da

cuando la longitud de onda es mucho mayor que las dimensiones del

obstáculo. Entre mayor sea el tamaño del objeto en comparación con

la longitud de onda, más difícil será detectar la difracción.

En el espectro electromagnético, los rayos x tienen longitudes de

onda cercanos a las distancias interatómicas de la materia, a esto se

debe su utilidad en el estudio de las estructuras cristalinas.

OBJETIVO GENERAL

Comprender la aplicación de la difracción de rayos x en la

cristalografía.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Deducir la fórmula que relaciona la longitud de onda (λ), la

distancia entre planos cristalinos (d), el parámetro de red (a) y el

ángulo de incidencia de los rayos x (θ).

Conocer algunos equipos que intervienen en el uso de rayos x

para el estudio de la cristalografía.

Resolver algunos ejemplos sobre la aplicación de difracción de

rayos x en la cristalografía.

CRISTALOGRAFÍA DE RAYOS X

La cristalografía de rayos x es una técnica que consiste en hacer

pasar un haz de luz a través de un cristal de la sustancia o el

material en estudio. El haz se dispersa en varias direcciones debido

al orden de los átomos en el cristal y,  por difracción, se puede

observar un patrón de intensidades que se interpreta según la

ubicación de los átomos, haciendo uso de la LEY DE BRAGG.

Una de las limitaciones de esta técnica es que solo se puede usar en

materiales cristalinos, por lo tanto, no puede ser usada en sustancias

como gases, disoluciones, a sistemas amorfos, entre otros.

LEY DE BRAGG

Para interpretar los diagramas de difracción se requiere una teoría.

W. Bragg fue pionero en el tema y desarrolló una sencilla teoría, que

es la que veremos. En este modelo se analiza la interacción de un

haz de radiación sobre un conjunto de planos paralelos,

equiespaciados y semitransparentes a la radiación. Para efectos

de la reflexión se aplica que el ángulo de incidencia es igual al de

reflexión.

La interferencia es constructiva cuando la diferencia de fase entre la

radiación emitida por diferentes átomos es proporcional a 2π. Esta

condición se expresa en la ley de Bragg:

Donde:

n es un número entero.

λ es la longitud de onda de los rayos X.

d es la distancia entre los planos de la red cristalina y.

θ es el ángulo entre los rayos incidentes y los planos de

dispersión.

De acuerdo al ángulo de desviación (2θ), el cambio de fase de las

ondas produce interferencia constructiva (figura izquierda) o

destructiva (figura derecha).

DEDUCCIÓN LEY DE BRAGG

Consideramos la figura de abajo conformada por planos de átomos

distanciados a una longitud d. Para el primer plano, las

rayos 1 y 1a golpean los átomos K y P los cuales son dispersados en

todas la direcciones; pero para cierta dirección, estos rayos (1’ y 1a’)

se encuentran en fase y por lo tanto se cumple que:

QK − PR = PKcosθ − PKcosθ = 0

Esta condición se cumple para cada plano.

DEDUCCIÓN DE LA LEY DE BRAGG POR DIFERENCIA DE

CAMINO ÓPTICO

Para analizar los rayos dispersados por átomos en diferentes planos

se toma los rayos 1 y 2 de la figura de arriba. Estos rayos son

dispersados por los átomos K y L, la diferencia en sus caminos

ópticos es:

ML + LN = dsenθ + dsenθ

Así estos rayos estarán completamente en fase si su diferencia de

caminos es igual a un número entero (n) de longitudes de onda λ, de

tal manera que se cumple que:

INTERPRETACIONES Y SOLUCIONES DE LA LEY DE BRAGG

La Ley de Bragg establece que nλ=2dsinθ.

Suponiendo que λ, d y θ son dados:

Sabemos que n es un número entero mayor o igual a la unidad.

¿Cómo se interpreta el número n? Revisando la deducción de esa ley,

tenemos que n es el número entero de veces que λ cabe en la

diferencia de camino óptico de dos planos sucesivos de la familia de

planos paralelos considerada. Para que los haces emergentes estén

en fase, n tiene que ser un entero.

Se observará que no siempre hay solución; en tal caso no habrá

reflexiones.

Analicemos ahora las soluciones de Bragg en que solo λ y d

son datos fijos:

Nos quedan como variables n y θ. Aquí se trata de buscar las parejas

(n, θ) que son soluciones de la ecuación. Primero verificamos si λ

puede caber al menos justo una vez en la diferencia de camino

óptico, y buscamos el ángulo apropiado. Nótese que si los datos

iniciales son tales que λ es mayor que 2d, no habrá ni siquiera

solución para n=1; en tal caso el problema no tiene soluciones.

Si hay solución en θ para n=1, podemos seguir buscando las

soluciones de orden superior (para n mayores). Si siguiendo este

procedimiento, y probando con n crecientes y sin saltarse ninguno,

se encuentra que una solución de orden n´ (por ejemplo, n´=5) por

primera vez no es posible, entonces sólo habrá soluciones entre 1 y n

´-1, ambos valores incluidos.

La ecuación de Bragg da la relación entre las posiciones

angulares de los haces difractados reforzados en función de la

longitud de onda (λ) de la radiación de rayos x incidente y del

espaciado interplanar dhkl de los planos cristalinos. En muchos

casos se utiliza el primer orden de difracción, donde n=1, y en

este caso la ley de Bragg resulta:

La esfera de Ewald:

Para visualizar fácilmente los planos de Miller que contribuyen a la

difracción en una dirección dada y determinar la relación entre la

orientación del cristal y el patrón de difracción, se utiliza la

construcción conocida como esfera de Ewald. La esfera de Ewald

ilustra todas las posibles direcciones en que los rayos X pueden ser

reflejados por el cristal. El radio de esta esfera es  y su extremo en la

dirección del haz de rayos X incidente coincide con el origen de la

red recíproca.

Si un punto de la red recíproca de coordenadas  se encuentra sobre

la superficie de la esfera de Ewald, los planos de Miller con

índices  darán lugar a un punto de difracción en la dirección definida

por el centro de la esfera y ese punto de la red recíproca. La

distancia entre el origen y  es , por lo que se puede demostrar

geométricamente que esta condición de difracción es equivalente a

la ley de Bragg.

ACERCA DE LA DISTANCIA INTERPLANAR (d) Y EL

PARÁMETRO DE RED (a)

En las estructuras cristalinas cúbicas, el espaciado interplanar entre

dos planos paralelos con los paralelos con los mismos índices de

Miller se indica como dhkl, donde h, k y l son los índices de Miller de

los planos.  Este espaciado representa la distancia desde un origen

elegido que contiene a un plano a otro paralelo con los mismos

índices que sea cercano al primero.

Por simple geometría, se puede demostrar que para las estructuras

cristalinas cúbicas:

Donde:

dhkl= espaciado interplanar entre planos paralelos contiguos con

índices de Miller h, k y l.

a = constante de red (arista del cubo unidad).

h, k, l = índices de Miller de los planos cúbicos considerados.

ANÁLISIS POR DIFRACCIÓN DE RAYOS X DE LAS

ESTRUCTURAS CRISTALINAS

MÉTODO DE ANÁLISIS DE POLVO POR DIFRACCIÓN DE

RAYOS X:

La técnica comúnmente utilizada en difracción de rayos x es

el método de polvo. En ésta técnica se utiliza una muestra

pulverizada de muchos cristales para que tenga lugar una

orientación al azar y asegurar que algunas partículas estarán

orientadas en el haz de rayos x para que cumplan las condiciones de

difracción de la ley de Bragg.

Los datos de los análisis de rayos x por difracción de las celdas

unitarias pueden simplificarse expresando la longitud de onda así:

Finalmente:   

Empleando la anterior ecuación junto con los datos de difracción de

rayos x podemos determinar si una estructura es cúbica centrada en

el cuerpo (BCC) o cúbica centrada en las caras (FCC). Para esto debe

conocerse cuáles planos cristalinos son planos de difracción para

cada tipo de estructura cristalina:

Para la red cúbica sencilla, todos los planos (hkl) son planos de

reflexión.

Para la estructura BCC la difracción solo se da en los planos

cuyos índices de Miller sumados (h+k+l) dan un número par.

En la estructura FCC los principales planos de difracción son los

que sus índices son todos pares o todos impares (el cero se

considera par).

Reglas para determinar los planos de difracción {hkl} en los

cristales cúbicos:

Índices de Miller de los planos de difracción para las redes BCC y

FCC:

Un caso sencillo que permite ilustrar cómo se puede emplear este

análisis es diferenciar entre las estructuras cristalinas BCC y FCC de

un metal cúbico. Supóngase que se tiene un metal con una

estructura cristalina BCC o FCC y que se pueden identificar los

planos de difracción principales y los valores de 2θ correspondientes.

Despejando  y elevando al cuadrado ambos lados se tiene:

A partir de los resultados experimentales de difracción de rayos x se

pueden obtener los valores de 2θ para una serie de planos

principales de difracción {hkl}. Como y se pueden eliminar estos

valores con la relación de dos valores de sin2θ.

θA y θB: son los dos ángulos de difracción asociados a los planos

principales escogidos.

Para la estructura cristalina BCC los dos primeros planos principales

son {1 1 0} y {2 0 0}. Sustituyendo h, k y l en la ecuación anterior se

tiene:

Del resultado anterior podemos concluir que un metal es BCC si la

relación de  de los planos primeros planos principales de difracción

es 0,5.

Para la estructura cristalina FCC los dos primeros planos principales

son {1 1 1} y {2 0 0}. Sustituyendo h, k y l en la ecuación anterior se

tiene:

Del resultado anterior podemos concluir que

un metal es FCC si la relación de  de los planos primeros planos

principales de difracción es 0,75.

EL DIFRACTÓMETRO

El difractómetro de rayos X es capaz de detectar la radiación que

emana una muestra determinada al ser excitada por una fuente de

energía. La respuesta generada depende del ordenamiento interno

de sus átomos. El difractómetro está compuesto de un portamuestras

móvil que irá moviendo el objeto estudiado con el fin de variar el

ángulo de incidencia de los rayos X. De este modo la estructura

atómica de la muestra quedará registrada en un difractograma.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

1. Una muestra de hierro BCC se coloca en un difractómetro de

rayos X utilizando rayos X incidentes de longitud de onda λ = 0,1541

nm. La difracción a partir de los planos {1 1 0} se obtiene a 2θ =

44,704 º. Calcule el valor de la constante de red a para el hierro

BCC, suponga un orden de difracción de n = 1.

Solución:

2. El difractograma de un elemento que tiene estructura cúbica BCC

o FCC presenta picos de difracción en los ángulos 2θ siguientes: 40,

58, 73, 86.8, 100.4 y 114.7. La longitud de onda de los rayos X

incidentes utilizados es de 0. 154 nm.

a) Determine la estructura cúbica del elemento.

b)Determine la constante de red del elemento.c)Identifique al

elemento.

Solución:

a) Determinación de la estructura cristalina del

elemento. Primero se calculan los valores de sin2θ a partir de los

valores de 2θ de los ángulos de difracción.

A continuación se calcula la relación entre los valores de sin2θ de los

ángulos primero y segundo:

La estructura cristalina es BCC ya que la relación es de ≈ 0.5. Si la

relación hubiera sido ≈ 0.75, la estructura seria FCC.

b) Determinación de la constante de red.

Sustituyendo h = 1, k = 1 y l = 0 en la ecuación anterior para los

índices de Miller h, k y l de la primera serie de planos principales de

difracción para la estructura BCC, que son planos {1 1 0}, el valor

correspondiente a sin2θ es 0.117, y para una radiación incidente de λ,

0.154 nm, se obtiene:

c) Identificación del elemento. El elemento es el volframio, dado

que el elemento tiene una constante de red de 0.316 nm y es BCC.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Una muestra de metal BCC se coloca en un difractómetro de rayos

X utilizando rayos X de longitud λ = 0.1541 nm. La difracción de los

planos {2 2 1} se obtiene a   2θ = 88.838º. Calcule un valor para la

constante de red para este metal BCC. (Suponga una difracción de

primer orden, n = 1).

2. Rayos X de longitud de onda desconocida se difractan por una

muestra de oro. El ángulo 2θ es de 64.582º para los planos {2 2 0}.

¿Cuál es la longitud de onda de los rayos X utilizados? (La constante

de celda del oro es = 0.40788 nm; suponga una difracción de primer

orden, n = 1).

3. Un difractograma para un elemento que tiene una estructura

cristalina BCC o FCC presenta picos de difracción a los valores de

ángulo 2θ siguientes: 41.069 º, 47.782º, 69.879º y 84.396º. (La

longitud de onda de la radiación incidente es de 0.15405 nm).

a)      Determine la estructura cristalina del elemento.

b)      Determine la constante de red del elemento.

c)      Identifique el elemento.

4. Un difractograma para un elemento que tiene una estructura

cristalina BCC o FCC presenta picos de difracción a los valores de

ángulo 2θ siguientes: 38.68º, 55.71º, 69.70º, 82.55º, 95.00º y

107.67º. (La longitud de onda de la radiación incidente es de

0.15405 nm).

a)      Determine la estructura cristalina del elemento.

b)      Determine la constante de red del elemento.

c)      Identifique el elemento.

BIBLIOGRAFÍA

Fundamentos de la ciencia e ingeniería de materiales 4a edición –

Smith, William F.

http://es.wikipedia.org/wiki/Difracción

http://es.wikipedia.org/wiki/Difracción_de_rayos_X

http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Bragg

https://www.u-cursos.cl/ingenieria/2007/2/ME32A/1/

material_docente/objeto/145075

http://malagainnova.wordpress.com/2008/09/03/el-difractometro-

de-rayos-x-de-la-uma-permite-conocer-el-ordenamiento-interno-de-

los-materiales/