Facultad de Ingeniería

Universidad Nacional de La Plata

ESTRUCTURAS IV

FLEXIÓN DIFERENCIAL Guía de clase y ejemplo de resolución

-2019-

Autores: Ing. Mariano Mundo Ing. Cristian Bottero Revisor: Ing. Marcos Actis

Estructuras IV – Departamento de Aeronáutica – UNLP

Introducción

En cursos anteriores ya ha sido abordado el estudio de estructuras compuestas por diversos elementos trabajando en paralelo frente a solicitaciones de momentos torsores. Una condición implícita en esos análisis estaba en el hecho de que los centros de giro de cada una de las secciones involucradas coincidían con el centro de giro de la estructura total. De este modo, al producirse la solicitación, todos los elementos giran alrededor del mismo punto, contribuyendo a tomar la solicitación externa de manera proporcional a sus rigideces torsionales. Sin embargo, puede presentarse el caso en el cual esta condición ya no se presente, por lo que ya no se puede garantizar que el centro de giro de cada elemento que compone la estructura coincida con el centro de giro global. En este caso entonces, lo que se observará es que estos elementos no solo experimentarán un giro, sino que pueden sufrir una traslación respecto de su posición original. Este fenómeno motiva el análisis de la estructura considerando, además del efecto del momento torsor, la existencia de un efecto de flexión sobre los distintos elementos, incluso cuando no existan cargas que a simple vista pudiesen generan flexión en la estructura. Este fenómeno es lo que se denomina flexión diferencial y será presentado mediante el estudio de un ejemplo en esta guía de clase.

Objetivo

Se plantea como objetivo el poder resolver una estructura estáticamente indeterminada compuesta por dos o más vigas sometida a una carga cualquiera la cual genera un estado de flexión y torsión sobre las mismas. Asimismo, se desea poder determinar qué porcentaje del esfuerzo en las vigas se debe a la flexión que genera el estado de carga y que porcentaje a la torsión.

Procedimiento de análisis general

Se tiene la estructura de la Figura 1 compuesta por dos vigas con sección cualquiera, en este caso una doble T y un tubo estructural cuadrado, que se encuentran empotradas en un extremo y vinculadas a una chapa considerada infinitamente rígida en el otro. La estructura se encuentra sometida a la acción de una fuerza F en un punto de la chapa frontal.

Como ejemplo de resolución se utilizará una carga vertical situada en un punto que coincide con la recta que une los centros de corte de ambas secciones (Figura 2), pero debe tenerse en cuenta que este análisis es válido para cualquier estado de carga sobre la chapa frontal contenido en el plano de la misma, teniendo en cuenta las condiciones que surjan en cada caso.

1

Estructuras IV – Departamento de Aeronáutica – UNLP

Figura 1. Vista general de la estructura

Figura 2. Vista frontal de la estructura

Como se mencionó en los objetivos, lo que se desea es conocer qué esfuerzos genera el estado de carga sobre las vigas "A" y "B".

Para realizar el análisis, el primer paso es evidenciar la posible deformación de la estructura debido a la carga aplicada. En este caso se espera que la placa frontal se desplace hacia abajo y gire en sentido horario. La Figura 3 presenta la configuración deformada en relación a la geometría original. A pesar de la deformación que sufre la estructura, la posición relativa entre las secciones de ambas vigas unidas a la chapa frontal no varía ya que se encuentran idealmente vinculadas (Esto podría materializarse como una soldadura entre las partes por ejemplo).

2

Estructuras IV – Departamento de Aeronáutica – UNLP

Figura 3. Esquema de deformación esperada para la estructura

Por lo tanto, si aislamos la chapa frontal podríamos esperar las reacciones provenientes de ambas vigas que se evidencian en la Figura 4.

Figura 4. Esquema de reacciones producidas en la chapa frontal.

Es importante destacar que las reacciones que genere cada viga consistirán en una fuerza aplicada en su centro de corte y un momento, que generará torsión sobre las mismas.

A continuación planteamos el equilibrio de fuerzas y momentos sobre la chapa:

�𝐹𝐹𝑋𝑋 = 0 (1)

�𝐹𝐹𝑌𝑌 = 𝑹𝑹𝑨𝑨 + 𝑹𝑹𝑩𝑩 − 𝐹𝐹 = 0 (2)

�𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶𝐴𝐴 = 𝑴𝑴𝒕𝒕𝑨𝑨 + 𝑴𝑴𝒕𝒕𝑩𝑩 + 𝑹𝑹𝑩𝑩.𝐷𝐷 − 𝐹𝐹. (𝐷𝐷 + 𝑑𝑑) = 0 (3)

Nota: En caso de existir un momento en la placa frontal deberá agregarse en la ecuación de momentos (3).

Podemos observar dos cuestiones. La primera es que la sumatoria de fuerzas en X no nos sirve para este caso en particular debido a que no tenemos fuerzas que actúen en esa dirección. En caso de existir tales fuerzas, habría que utilizarla así como evidenciar las reacciones en X que genere cada una de las secciones. La segunda es que hasta el momento tenemos cuatro incógnitas y dos ecuaciones, por lo que nos hacen falta dos ecuaciones más para poder resolver el problema.

3

Estructuras IV – Departamento de Aeronáutica – UNLP

Dado que el problema bajo análisis es un hiperestático, las dos ecuaciones faltantes se obtendrán de realizar la compatibilidad de deformaciones producto de estar las secciones de ambas vigas vinculadas rígidamente a la placa.

Figura 5. Compatibilidad de deformaciones en la estructura

Las ecuaciones de compatibilidad que debemos plantear en este caso particular son las siguientes:

1.- El giro de torsión de ambas secciones en el extremo vinculado con la placa es el mismo:

𝜃𝜃𝐴𝐴 .𝐿𝐿 = 𝜃𝜃𝐵𝐵 . 𝐿𝐿 (4)

2.- Valiéndonos de la trigonometría, la relación entre los desplazamientos de ambas vigas y el giro de torsión correspondiente con el giro de la chapa es el siguiente:

tan(𝜃𝜃𝐴𝐴 .𝐿𝐿) =𝛿𝛿𝐵𝐵 − 𝛿𝛿𝐴𝐴

𝐷𝐷 (5)

Teniendo en cuenta pequeños apartamientos:

𝜃𝜃𝐴𝐴 . 𝐿𝐿 =𝛿𝛿𝐵𝐵 − 𝛿𝛿𝐴𝐴

𝐷𝐷 (6)

Reemplazando la ecuación (4) con las expresiones que relacionan los giros con los esfuerzos que sufra cada viga:

𝑴𝑴𝒕𝒕𝑨𝑨

𝐺𝐺𝐴𝐴 . 𝐽𝐽𝑡𝑡𝐴𝐴=

𝑴𝑴𝒕𝒕𝑩𝑩

𝐺𝐺𝐵𝐵 . 𝐽𝐽𝑡𝑡𝐵𝐵 (7)

4

Estructuras IV – Departamento de Aeronáutica – UNLP

Reemplazando la ecuación (6) con las expresiones que relacionan los desplazamientos con los esfuerzos que sufre cada viga considerando que se encuentran en condición Empotrado-Libre:

𝑴𝑴𝒕𝒕𝑨𝑨. 𝐿𝐿𝐺𝐺𝐴𝐴 . 𝐽𝐽𝑡𝑡𝐴𝐴

=� 𝑹𝑹𝑩𝑩. 𝐿𝐿3

3.𝐸𝐸𝐵𝐵 . 𝐽𝐽𝐵𝐵− 𝑹𝑹𝑨𝑨.𝐿𝐿3

3.𝐸𝐸𝐴𝐴 . 𝐽𝐽𝐴𝐴�

𝐷𝐷 (8)

Finalmente las ecuaciones (2), (3), (7) y (8) constituyen el sistema de ecuaciones a resolver para hallar las incógnitas antes mencionadas. Una vez obtenidas dichas incógnitas estas serán los esfuerzos actuantes sobre cada una de las vigas, y se procederá a realizar los diagramas de esfuerzos característicos y a resolver las tensiones que sufra cada viga en función de los esfuerzos encontrados.

Procedimiento de análisis considerando principio de superposición

En el análisis anterior fue posible obtener la solicitación final de la estructura, pero sin conocer el detalle de la contribución de cada efecto (flexión o torsión) a la solicitación final. Si se desea conocer cuánto de la flexión de las vigas corresponde a resistir el momento flector que generen las cargas en la chapa y cuánto a la torsión se puede realizar el siguiente análisis.

Es importante recordar en este momento la definición del centro de corte o centro de giro de una estructura. Se define al centro de corte como el punto de la sección por el cual debe pasar el plano de solicitación para que la estructura no tienda a torsionarse o girar alrededor de un eje longitudinal. De manera análoga, el centro de torsión es el punto alrededor del cual la estructura gira al aplicarle un momento torsor.

Se debe tener en cuenta entonces, que toda carga aplicada en el plano de la chapa frontal que no se encuentre alineada con el centro de corte compuesto entre ambas vigas generará una rotación alrededor del mismo así como una traslación. Por otro lado, de haber momento aplicado en el plano de la chapa generará solo rotación alrededor del centro de corte compuesto.

En este caso en particular, dado que la carga se encuentra a la derecha del Centro de Corte Total una distancia "e", el movimiento de la placa puede pensarse como un movimiento compuesto por una traslación hacia las coordenadas "y" negativas producto de aplicar la carga en el Centro de Corte Total (ccT) adicionando una rotación alrededor del ccT producto del momento que se genera por trasladar dicha carga al ccT. La Figura 5 ilustra la situación.

Figura 6. Análisis de la deformada en la estructura como una superposición de efectos de flexión simple y torsión

5

Estructuras IV – Departamento de Aeronáutica – UNLP

Por lo tanto el análisis se dividirá en dos: primeramente el cálculo de los esfuerzos que genere la carga aplicada en el ccT y luego se analizarán los esfuerzos que se generan producto de trasladar la carga al ccT. Finalmente se sumarán respectivamente los esfuerzos para hallar los totales en cada viga.

Análisis de carga aplicada en el ccT

Considérese entonces el estado de carga representado en la Figura 7, en dónde el sistema de cargas externas actuantes fue trasladado al Centro de Corte Total o de la estructura.

Figura 7. Análisis de la estructura considerando únicamente el efecto de la flexión

El análisis a realizar es similar al presentado anteriormente. Como la carga fue trasladada al Centro de Corte Total la estructura solo sufrirá una deformación de flexión producto del momento flector que esta carga genere respecto al empotramiento de las vigas, como se muestra en la Figura 8.

Figura 8. Deformada de la estructura considerando únicamente el efecto de la flexión

6

Estructuras IV – Departamento de Aeronáutica – UNLP

Aislando la chapa frontal y evidenciando las reacciones que se producirán por la presencia de las vigas se obtiene el esquema de la Figura 9. Nótese que las reacciones de las vigas deben aplicarse en los centros de corte de cada una de las secciones dado que las mismas no pueden girar.

Figura 9. Esquema de reacciones producidas en la estructura considerando únicamente el efecto de la flexión

Notar que se agregó el subíndice "f" por ser las reacciones que surgen del efecto de flexión que genere la carga a las vigas, y se las quiere diferenciar de las reacciones que surjan del efecto de torsión por el momento que genera la fuerza F al ser trasladada al ccT.

A continuación planteamos equilibrio de fuerzas y momentos sobre la chapa:

�𝐹𝐹𝑋𝑋 = 0 (9)

�𝐹𝐹𝑌𝑌 = 𝑹𝑹𝑨𝑨𝑨𝑨 + 𝑹𝑹𝑩𝑩𝑨𝑨 − 𝐹𝐹 = 0 (10)

�𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶𝐴𝐴 = 𝑹𝑹𝑩𝑩𝑨𝑨.𝐷𝐷 − 𝐹𝐹. (𝑿𝑿𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄) = 0 (11)

En este caso podemos observar dos cuestiones. La primera es que la sumatoria de fuerzas en X tampoco nos sirve para este caso en particular debido a que no tenemos fuerzas que actúen en esa dirección. Como ya se comentó, en caso de existir tales fuerzas habría que utilizarlas así como evidenciar las reacciones en X que genere cada una de las secciones. La segunda es que hasta el momento tenemos tres incógnitas (RAf, RBf y XccT) y dos ecuaciones. Por lo que tendremos que valernos de la ecuación de compatibilización de deformación que genera la chapa al unir ambas vigas.

Para este caso, como el único desplazamiento de la chapa fue una traslación hacia abajo, solo debemos igualar los desplazamientos verticales de ambas vigas en el extremo vinculado a la chapa.

Figura 10. Compatibilidad de deformaciones en la estructura considerando únicamente el efecto de la flexión

7

Estructuras IV – Departamento de Aeronáutica – UNLP

𝛿𝛿𝐵𝐵 = 𝛿𝛿𝐴𝐴 (12)

Siendo que las vigas se encuentran en condición Empotrada-Libre reemplazamos con la ecuación que describe el desplazamiento en función de la carga:

𝑅𝑅𝐵𝐵𝐵𝐵 . 𝐿𝐿3

3.𝐸𝐸𝐵𝐵 . 𝐽𝐽𝐵𝐵=𝑅𝑅𝐴𝐴𝐵𝐵 . 𝐿𝐿3

3.𝐸𝐸𝐴𝐴 . 𝐽𝐽𝐴𝐴 (13)

De las ecuaciones (10), (11) y (13) se obtendrán las incógnitas antes mencionadas. Nótese que la relación entre las reacciones RBf y RAf con la carga externa aplicada dependerá de la relación de rigideces a flexión de ambas vigas (Ecuación 13) y, por consiguiente, esto también afectará la posición del XccT.

Análisis de la contribución del Mt

Una vez que se conoce la posición del centro de corte total de la estructura es posible plantear las reacciones que se generarán producto del momento que surge de trasladar el estado de cargas aplicado al centro de corte total.

Para este caso en particular tenemos lo siguiente:

Figura 11. Análisis de la estructura considerando únicamente el efecto de la torsión

La deformación esperable será una rotación alrededor del Centro de Corte Total como lo muestra la siguiente figura.

8

Estructuras IV – Departamento de Aeronáutica – UNLP

Figura 12. Deformada de la estructura considerando únicamente el efecto de la torsión

Aislando la chapa y evidenciando las reacciones se obtiene el esquema de la Figura 13. Cabe destacar que las reacciones verticales surgen del análisis de la deformada de la estructura planteada en la Figura 12, es decir, que naturalmente la deformada “sugiere” la existencia de un efecto de flexión sobre las vigas a pesar de que la carga externa aplicada era de torsión pura. Como ya fue mencionado, este fenómeno surge por el hecho de que los centros de giro de cada una de las vigas que componen a la estructura no coinciden con el centro de corte global de la misma. Asimismo, de la ecuación (14) se evidencia que el estado de fuerzas generado debe ser autoequilibrado dado que no existen fuerzas externas aplicadas.

Figura 13. Esquema de reacciones producidas en la estructura considerando únicamente el efecto de la torsión

Notar que a las fuerzas reactivas se les agregó el subíndice "t" debido a que serán reacciones que surgen del momento torsor que genere la placa frontal en las vigas.

A continuación planteamos equilibrio de fuerzas sobre la chapa:

�𝐹𝐹𝑌𝑌 = −𝑹𝑹𝑨𝑨𝒕𝒕 + 𝑹𝑹𝑩𝑩𝒕𝒕 = 0 (14)

�𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶𝐴𝐴 = 𝑴𝑴𝒕𝒕𝑨𝑨 + 𝑴𝑴𝒕𝒕𝑩𝑩 + 𝑹𝑹𝑩𝑩𝑨𝑨.𝐷𝐷 −𝑀𝑀𝑡𝑡 = 0 (15)

Nota: En caso de existir un momento en la placa frontal deberá agregarse en la ecuación de momentos (15).

9

Estructuras IV – Departamento de Aeronáutica – UNLP

Se genera el mismo inconveniente que antes, donde tenemos cuatro incógnitas y dos ecuaciones por lo que necesitamos de las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones en los extremos de las vigas solidarios a la chapa frontal, para este caso:

Figura 14. Compatibilidad de deformaciones en la estructura considerando únicamente el efecto de la torsión

Las ecuaciones de compatibilidad que debemos plantear en este caso particular son las siguientes:

1.- El giro de torsión de ambas secciones en el extremo vinculado con la placa es el mismo:

𝜃𝜃𝐴𝐴 = 𝜃𝜃𝐵𝐵 (16)

2.- Valiéndonos de la trigonometría una de las relaciones entre desplazamiento y giro de torsión, correspondiente con el giro de la chapa es el siguiente:

tan(𝜃𝜃𝐴𝐴 .𝐿𝐿) =𝛿𝛿𝐴𝐴𝑋𝑋𝑐𝑐𝑐𝑐𝑇𝑇

(17)

Teniendo en cuenta pequeños apartamientos:

𝜃𝜃𝐴𝐴 .𝐿𝐿 =𝛿𝛿𝐴𝐴𝑋𝑋𝑐𝑐𝑐𝑐𝑇𝑇

(18)

Reemplazando la ecuación (16) con su relación a los esfuerzos que sufra cada una:

𝑴𝑴𝒕𝒕𝑨𝑨

𝐺𝐺𝐴𝐴 . 𝐽𝐽𝑡𝑡𝐴𝐴=

𝑴𝑴𝒕𝒕𝑩𝑩

𝐺𝐺𝐵𝐵 . 𝐽𝐽𝑡𝑡𝐵𝐵 (19)

Reemplazando la ecuación (18) con su relación a los esfuerzos que sufra cada una:

𝑴𝑴𝒕𝒕𝑨𝑨.𝐿𝐿𝐺𝐺𝐴𝐴 . 𝐽𝐽𝑡𝑡𝐴𝐴

= �𝑹𝑹𝑨𝑨𝒕𝒕. 𝐿𝐿3

3.𝐸𝐸𝐴𝐴 . 𝐽𝐽𝐴𝐴� /𝑋𝑋𝑐𝑐𝑐𝑐𝑇𝑇 (20)

Luego las ecuaciones (14), (15), (19) y (20) constituyen el sistema de ecuaciones a resolver para hallar las incógnitas antes mencionadas. Estas incógnitas no son más que los esfuerzos a los que se verán sometidas las vigas producto del momento generado por mover la carga solicitante hasta el Centro de Corte Total.

10

Estructuras IV – Departamento de Aeronáutica – UNLP

Finalmente, adicionando a estos esfuerzos los obtenidos en el análisis de la carga en el Centro de Corte Total se obtienen los esfuerzos totales.

𝑹𝑹𝑨𝑨 = 𝑹𝑹𝑨𝑨𝑨𝑨 − 𝑹𝑹𝑨𝑨𝒕𝒕 (21) 𝑹𝑹𝑩𝑩 = 𝑹𝑹𝑩𝑩𝑨𝑨 + 𝑹𝑹𝑩𝑩𝒕𝒕 (22)

Ejemplo numérico

Visualizaremos los efectos agregando dimensiones al análisis anterior.

Perfil A JZA = 650048mm4

JtA= 356 mm4 L = 2500mm

E = 70GPa ν = 0.3

Perfil B JZA = 1255445 mm4 JtA= 1902012 mm4

L = 2500mm E = 70GPa

ν = 0.3

Analizaremos primeramente la condición de la carga aplicada en el centro de corte total. Si reemplazamos los datos de los perfiles en las ecuaciones (10), (11) y (13) se obtienen los siguientes valores:

11

Estructuras IV – Departamento de Aeronáutica – UNLP

Notar que el perfil B absorbe el 65.5% de la carga y que el centro de corte total se encuentra más cerca del centro de corte del mismo perfil debido a su mayor rigidez a flexión.

Ahora el momento producto de mover la carga hasta el centro de corte total será el siguiente:

Planteando las ecuaciones (14), (15), (19) y (20) se obtienen los siguientes valores:

𝑀𝑀𝑡𝑡𝐴𝐴 = 0,06𝑃𝑃

𝑀𝑀𝑡𝑡𝐵𝐵 = 324,3𝑃𝑃

𝑅𝑅𝐴𝐴𝑡𝑡 = 𝑅𝑅𝐵𝐵𝑡𝑡 = 0,054𝑃𝑃

Podemos observar que el momento resultante de trasladar la fuerza se ve resistido por un momento torsor en cada viga más una cupla que generará flexión en cada viga. Si calculáramos que porcentaje del momento toma cada esfuerzo obtenemos lo siguiente:

𝑀𝑀𝑡𝑡𝐴𝐴 = 0,1%𝑀𝑀𝑡𝑡

𝑀𝑀𝑡𝑡𝐵𝐵 = 90,8% 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑀𝑀𝑡𝑡

𝑀𝑀𝑅𝑅𝐵𝐵𝑡𝑡 = 9,1%𝑀𝑀𝑡𝑡

De estos resultados vemos que la mayor parte del momento es absorbida por la torsión de la viga B debido a su mayor rigidez, así como la torsión que absorberá la doble T es casi nula debido a que su rigidez a la torsión es muy pequeña en relación a la viga B.

12

Estructuras IV – Departamento de Aeronáutica – UNLP

De la relación entre la carga de corte obtenida para el caso de la fuerza aplicada en el ccT y del caso que contempla el momento por trasladarla obtenemos que el mayor porcentaje (un 84% para la viga A y un 92% para la viga B) se debe a la flexión que genere la carga y no a la torsión.

Si, finalmente, adicionamos los valores a los obtenidos para el análisis de la carga aplicada en el centro de corte total se obtendrán las reacciones finales, y por lo tanto las cargas a las que se ven sometidas ambas vigas.

Ahora suponiendo que en la viga B se genera un corte en el centro de su lateral izquierdo como se muestra en la siguiente imagen.

En este caso tenemos dos efectos que considerar. Por un lado, que la rigidez torsional de la sección cortada caerá del propio de una sección cerrada al de una sección abierta y por otro, que el centro de corte cambiará de posición.

Las propiedades de las secciones serán las siguientes:

Perfil A JZA = 650048mm4

JtA= 356 mm4 L = 2500mm

E = 70GPa ν = 0.3

Perfil B JZA = 1255445 mm4

JtA= 1158 mm4 L = 2500mm

E = 70GPa ν = 0.3

13

Estructuras IV – Departamento de Aeronáutica – UNLP

Recalculando el caso de la carga aplicada en el centro de corte total obtenemos lo siguiente:

Vemos que las reacciones no alteran su valor debido a que las rigideces a flexión no han cambiado. Pero si lo ha hecho la posición del centro de corte total, debido a que el centro de corte de la sección B se ha movido.

𝑀𝑀𝑡𝑡𝐴𝐴 = 0,37𝑃𝑃

𝑀𝑀𝑡𝑡𝐵𝐵 = 1,21𝑃𝑃

𝑅𝑅𝐴𝐴𝑡𝑡 = 𝑅𝑅𝐵𝐵𝑡𝑡 = 0,39𝑃𝑃

Si calculáramos nuevamente que porcentaje del momento toma cada esfuerzo obtenemos lo siguiente:

𝑀𝑀𝑡𝑡𝐴𝐴 = 0,17%𝑀𝑀𝑀𝑀

𝑀𝑀𝑡𝑡𝐵𝐵 = 0,43% 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑀𝑀𝑀𝑀

𝑀𝑀𝑅𝑅𝐵𝐵𝑡𝑡 = 99,4%𝑀𝑀𝑀𝑀

De estos resultados vemos que dado que la rigidez a torsión de la viga C se redujo notablemente, la torsión se termina absorbiendo por medio de flexión casi en su totalidad.

De la relación entre la carga de corte obtenida para el caso de la fuerza aplicada en el ccT y del caso que contempla el momento por trasladarla obtenemos que ambos efectos son considerables.

14

Estructuras IV – Departamento de Aeronáutica – UNLP

Si, finalmente, adicionamos los valores a los obtenidos para el análisis de la carga aplicada en el centro de corte total se obtendrán las reacciones finales, y por lo tanto las cargas a las que se ven sometidas ambas vigas.

15