Estudio de Sistemas Fisicos

8/9/2019 Estudio de Sistemas Fisicos

1/28

Tema 2.- ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE

ORDEN SUPERIORAmpliacin de Matemticas.Ingeniera Tcnica Industrial. Especialidad en Electrnica Industrial.

ndice General

1 Introduccin 1

2 Ecuaciones diferenciales lineales homogneas 3

3 Ecuaciones diferenciales lineales homogneas de coeficientes constantes. Obtencin

de la solucin general 4

4 Ecuaciones diferenciales lineales no homogneas. 6

5 Estudio de algunos sistemas fsicos que conducen a una ecuacin diferencial ordinaria 95.1 Muelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.1.1 Ausencia de rozamiento y de fuerza externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.1.2 Muelle sometido a rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.1.3 Muelle sometido a rozamiento y a una fuerza externa sinusoidal . . . . . . . . . . . 11

5.2 Pndulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.2.1 Ausencia de rozamiento y de fuerza externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.2.2 Pndulo sometido a rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2.3 Pndulo sometido a rozamiento y a una fuerza externa sinusoidal . . . . . . . . . . 14

5.3 Circuito elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3.1 Circuito LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.3.2 Circuito LCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.3.3 Circuito LCR con una fuente de tensin sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.4 Solucin de los problemas de valores iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.4.1 Ecuacin x00 + 2x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.4.2 Ecuacin x00 +1

x0 + 2x = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20


x0 + 2x = A0 cos0t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1 Introduccin

A lo largo de este tema expondremos algunas propiedades que poseen las E.D.O. lineales de orden n yse desarrollarn mtodos generales para determinar sus soluciones. Prestaremos especial atencin a lasecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.

Llamamos ecuacin diferencial lineal de orden n a toda ecuacin que se puede expresar en laforma

yn) + a1(x)yn1) + + an1(x)y

0 + an(x)y = f(x) (1)

para la que admitimos que los coeficientes ai(x), i = 1, 2, . . . , n y el segundo miembro f(x) son funcionesdefinidas en un intervalo I R.

La ecuacin (1) se dice homognea o incompleta si f(x) = 0 para todo x I. En caso contrario,se dice no homognea o completa.

1


2/28

Tema 2. E.D.O. lineales de orden superior. Ampliacin de Matemticas. Esp. Electrnica Industrial. 2

El problema de valor inicial asociado a la ecuacin diferencial (1) es

yn) + a1(x)yn1) + + an1(x)y0 + an(x)y = f(x)y(x0) = y0y0(x0) = y

0

0...

yn1)(x0) = yn1)0

(2)

donde x0 I e y0, y0

0, . . . , yn1)0 son constantes arbitrarias.

En el teorema siguiente se muestran condiciones suficientes para la existencia de una nica solucindel problema de valor inicial.

Teorema 1.1 (Existencia y unicidad)Si las funciones a1(x), a2(x), . . . , an(x) y f(x) son continuas en un intervalo abierto I que con-

tiene al punto x0, entonces el problema de valores iniciales (2) posee una nica solucin, para caday0, y

0

0, . . . , yn1)0

Rn, definida en dicho intervalo.

En lo que sigue supondremos que los coeficientes a1(x), a2(x), . . . , an(x) y el segundo miembro f(x)de la ecuacin (1) son funciones continuas en algn intervalo I. De esta forma, tendremos garantizadoque la ecuacin (1) tienen infinitas soluciones definidas en el intervalo I.

A continuacin introduciremos algunos conceptos que se utilizarn en el estudio de las propiedadesde las E.D.O. lineales.

Definicin 1.1 Sean g, g1, g2, . . . , gk funciones reales definidas en el intervalo I.Se dice que la funcin g es combinacin lineal de las funciones g1, g2, . . . , gk en el intervalo I,

cuando existen k nmeros reales C1, C2, . . . , C k tales que

g (x) = C1g1 (x) + C2g2 (x) + + Ckgk (x) , x ISe dice que las funciones g1, g2, . . . , gk son linealmente independientes (l.i.) en el intervalo I cuandolos nicos nmeros reales C1, C2, . . . , C k para los que se verifica la igualdad

C1g1 (x) + C2g2 (x) + + Ckgk (x) = 0, x I

son C1 = C2 = = Ck = 0. En caso contrario, se dice linealmente dependientes.Cuando las funciones g1, g2, . . . , gk tienen derivadas sucesivas hasta el orden k1 en el intervalo I, se

llama wronskiano de las funciones g1, g2, . . . , gk a la funcin que denotaremos por W(g1, g2, . . . , gk) osimplemente W , tal que W : I R

W(x) =

g1 (x) g2 (x) gk (x)g01 (x) g

0

2 (x) g0

k (x)

... ... ...

gk1)1 (x) g

k1)2 (x) g

k1)k (x)

, x I,

donde se debe entender que el segundo miembro es el determinante cuyas filas sucesivas estn determi-nadas por las funciones gi, y sus derivadas sucesivas hasta el orden k 1.

2 Ecuaciones diferenciales lineales homogneas

Teorema 2.1 Si las funciones y1, y2, . . . , yn son n soluciones en el intervalo I de la ecuacin linealhomognea

yn) + a1(x)yn1) + + an1(x)y

0 + an(x)y = 0, (3)

entonces, toda funcin de la forma C1y1 + C2y2 + + Cnyn, donde C1, C2, . . . , C n R, tambin essolucin de la ecuacin.


3/28


Esto es, toda combinacin lineal de soluciones de una ecuacin lineal homognea es tambin solucin

de dicha ecuacin.Lemma 1 Sean y1, y2, . . . , yn n soluciones en el intervalo I de la ecuacin

yn) + a1(x)yn1) + + an1(x)y

0 + an(x)y = 0,

y sea x0 I. Entonces:

1. y1, y2, . . . , yn son linealmente dependientes en Isi y slo si su wronskiano en el punto x0 se anula.

2. y1, y2, . . . , yn son linealmente independientes en Isi y slo si su wronskiano en el punto x0 no seanula.

Teorema 2.2 Si y1, y2, . . . , yn son n soluciones l.i. en el intervalo I de la ecuacin

yn) + a1(x)yn1) + + an1(x)y

0 + an(x)y = 0,

entonces cada solucin de la ecuacin (3) puede expresarse en la forma

C1y1 + C2y2 + + Cnyn,

para algunas constantes C1, C2, . . . , C n R.

De lo anterior se desprende que la solucin general de una ecuacin diferencial lineal homognea vienedada por todas las combinaciones lineales de tantas soluciones l.i. como orden tiene dicha ecuacin.Adems en la solucin general, estn dadas todas las soluciones que tiene dicha ecuacin.

As, el problema de encontrar la solucin general de una ecuacin lineal homognea, se reduce al deencontrar tantas soluciones particulares linealmente independientes de dicha ecuacin, como orden tengadicha ecuacin. Por ello nos surge la siguiente pregunta: Existen n soluciones linealmente independientesde la ecuacin homognea de orden n? Cuando los coeficientes a1(x), a2(x), . . . , an(x) son funcionescontinuas en algn intervalo I, como se ha venido suponiendo, del teorema 1 se puede deducir que larespuesta es afirmativa. Basta tener en cuenta que dicho teorema asegura que hay n soluciones distintaspara los n problemas de valor inicial correspondientes a la ecuacin homognea en los que

y0, y

0

0, . . . , yn1)0

sean respectivamente los vectores (1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0) , (0, 0, . . . , 1) .Adems dichas soluciones son linealmente independientes puesto que su wronskiano en el punto x0 es

no nulo.Veremos un procedimiento para obtener este conjunto de soluciones en el caso de un ecuacin dife-

rencial lineal de coeficientes constantes.

3 Ecuaciones diferenciales lineales homogneas de coeficientesconstantes. Obtencin de la solucin general

En este apartado consideraremos nicamente ecuaciones lineales homogneas con coeficientes constantes,y veremos cmo obtener soluciones linealmente independientes. Expondremos las ideas para ecuacionesde orden dos.

Partiendo de la ecuacin lineal homognea de orden dos, con coeficientes constantes

y00 + a1y0 + a2y = 0 (4)


4/28


para encontrar soluciones de esta ecuacin, ensayaremos soluciones de la forma y = erx.

As, observamos quey = erx es solucin de (4) (erx)

00

+ a1 (erx)

0

+ a2 (erx) = 0

erx

r2 + a1r + a2

= 0 r2 + a1r + a2 = 0

Por tanto, las soluciones de la ecuacin r2 + a1r + a2 = 0, llamada ecuacin caracterstica de laecuacin (4), nos determina los nmeros r para los que y = erx es solucin de (4).

Atendiendo pues, a las posibles soluciones de la ecuacin caracterstica se pueden presentar tres casos:

Caso 1: La ecuacin caracterstica tiene dos races reales distintas.Si r1, r2 son las dos soluciones reales de la ecuacin caracterstica, hemos probado que las funciones

er1x, er2x son soluciones de la ecuacin homognea (4) . Como adems son linealmente independientes,

ya que su Wronskiano en x = 0 no es nulo, tenemos que la solucin general de la ecuacin homognea es

y (x) = C1er1x + C2e

r2x

con C1, C2 R.

Caso 2: La ecuacin caracterstica tiene dos races complejas conjugadas.Cuando las races r1, r2 de la ecuacin caracterstica son complejas conjugadas, entonces las funciones

er1x, er2x son al igual que antes soluciones independientes de la ecuacin homognea, pero ahora sonfunciones complejas de la variable real x. Sin embargo, veremos que es posible, a partir de ellas, obtenersoluciones reales linealmente independientes.

Suponiendo que r1 = a + bi, y por tanto r2 = a bi, se verifica que

1

2er1x +

1

2er2x = eax cos bx

1

2ier1x

1

2ier2x = eaxsen bx

As, las funciones eax cos bx, eaxsen bx son soluciones de la ecuacin dada (por ser combinacin linealde dos soluciones de dicha ecuacin) y adems son linealmente independientes (ya que su wronskiano enx = 0 no es nulo).

Por tanto, la solucin general de la ecuacin homognea se puede expresar en la forma:

y (x) = eax (C1 cos bx + C2senbx)

con C1, C2 R.

Caso 3: La ecuacin caracterstica tiene una raz real doble.En este caso, si r es la raz doble de la ecuacin caracterstica, la funcin erx es una solucin de laecuacin homognea, y para buscar otra linealmente independiente con ella, podramos pensar en ensayarcon posibles soluciones de la forma: y(x) = u(x)erx.

Se tiene que

y = u (x) erx es solucin de (4) (u (x) erx)00

+ a1 (u (x) erx)

0

+ a2 (u (x) erx) = 0

erx

u (x)

r2 + a1r + a2

+ u0 (x) (2r + a1) + u00 (x)

= 0

r2 + a1r + a2 = 02r + a1 = 0

u00 (x) = 0 u (x) = Ax + B.


5/28


Luego en particular (para A = 1, B = 0) la funcin es solucin de la ecuacin homognea (4), y por

ser linealmente independiente con, la solucin general de la ecuacin homognea se puede expresar en laforma:

y (x) = erx (C1 + C2x)

con C1, C2 R.

Estas ideas desarrolladas para encontrar dos soluciones l.i. de una ecuacin lineal homognea de orden2 con coeficientes constantes se pueden extrapolar al caso de ecuaciones de mayor orden. La dificultadobvia que surgir es la determinacin de las races de la correspondiente ecuacin caracterstica que seruna ecuacin polinmica de grado al menos tres.

Todo el desarrollo terico anterior nos permite dar el siguiente procedimiento para obtener todas lassoluciones de una ecuacin lineal homognea de orden n, con coeficientes constantes.

PROCEDIMIENTO PARA BUSCAR LA SOLUCIN GENERAL de una ecuacin linealhomognea de orden n con coeficientes constantes.

(a) Encontrar las n races de la ecuacin caracterstica asociada (dicha ecuacin es la que resulta desustituir en la ecuacin diferencial cada derivada yk) por la potencia rk).

(b) Para cada raz real de multiplicidad algebrica 1, una solucin de la ecuacin ecuacin diferencialhomognea es y = ex.

(c) Para cada raz real de multiplicidad algebrica m > 1, m soluciones de la ecuacin diferencialhomognea son:

y1 = ex, y2 = xe

x, . . . , ym = xm1ex

(d) Si + i y i (con 6= 0) son races de multiplicidad algebrica 1, entonces dos soluciones dela ecuacin diferencial homognea son:

y1 = ex senx, y2 = e

x cosx

(e) Si + i y i (con 6= 0) son races de multiplicidad algebrica m > 1, entonces 2m solucionesde la ecuacin diferencial homognea son:

y1 = ex cosx, y2 = xe

x cosx, . . . , ym = xm1ex cosx

ym+1 = ex

senx, ym+2 = xex

senx, . . . , y2m = xm1

ex

senx

Siguiendo los pasos anteriores, las n soluciones obtenidas y1, y2, . . . , yn son l.i. Por ello, la solucingeneral de la ecuacin diferencial homognea es

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + + Cnyn(x),

donde C1, C2, . . . , C n R.

NOTA: Para las ecuaciones lineales con coeficientes variables, no se cuenta con un mtodo generalpara determinar n soluciones linealmente independientes.


6/28


4 Ecuaciones diferenciales lineales no homogneas.

Consideramos ahora el problema de encontrar la solucin general de una ecuacin lineal no homogneade orden n

yn) + a1(x)yn1) + + an1(x)y

0 + an(x)y = f(x)

y llamaremos ecuacin homognea asociada a la ecuacin no homognea dada la que resulta desustituir f(x) por cero; esto es,

yn) + a1(x)yn1) + + an1(x)y

0 + an(x)y = 0.

Se ver que para resolver una ecuacin no homognea se proceder a calcular la solucin general desu ecuacin homognea.

Teorema 4.1 Supongamos que las funciones a1(x), a2(x), . . . , an(x), f(x) son continuas en un intervaloabierto I. Si zp(x) es una solucin particular de la ecuacin no homognea e yg(x) es la solucin generalde la ecuacin homognea asociada, entonces todas las soluciones y(x) de la ecuacin no homognea sepueden expresar en la forma

y(x) = yg(x) + zp(x)

y esta expresin constituye la solucin general de la ecuacin no homognea.

MTODOS PARA OBTENER UNA SOLUCIN PARTICULAR de la ecuacin linealno homognea con coeficientes constantes.

Vamos ahora a exponer mtodos para obtener una solucin particular de la ecuacin lineal no ho-

mognea de orden n con coeficientes constantes, que desarrollaremos en el caso de la ecuacin de orden2:

y00 + a1y0 + a2y = f(x) (5)

Mtodo de variacin de constantes

El mtodo consiste en obtener una solucin particular de la ecuacin a partir de la solucin generalde la ecuacin homognea asociada, dada por

yg (x) = C1y1(x) + C2y2(x)

Para ello las constantes C1, C2 de dicha solucin se consideran funciones de x y se trata de determinar

funciones C1 (x) , C2 (x) para las que

zp (x) = C1 (x) y1(x) + C2 (x) y2(x) (6)

sea solucin de la ecuacin completa dada.La nica condicin que en definitiva deben cumplir las funciones C1 (x) y C2 (x) es que la funcin

dada en (6) y sus derivadas cumplan la ecuacin diferencial (5).En efecto, de (6) se tiene que

z0p (x) = C0

1 (x) y1(x) + C1 (x) y0

1(x) + C0

2 (x) y2(x) + C2 (x) y0

2(x)

y para simplificar los clculos y evitar derivadas de segundo orden de las funciones incgnitas C1 (x) yC2 (x), supondremos que

C01 (x) y1(x) + C0

2 (x) y2(x) = 0 (7)


7/28


con lo que z0p (x) = C1 (x) y0

1(x) + C2 (x) y0

2(x) y la derivada segunda es

z00p (x) = C0

1 (x) y0

1(x) + C1 (x) y00

1 (x) + C0

2 (x) y0

2(x) + C2 (x) y00

2 (x)

por lo que zp (x) es solucin de la ecuacin diferencial no homognea cuando

C01 (x) y0

1(x) + C1 (x) y00

1 (x) + C0

2 (x) y0

2(x) + C2 (x) y00

2 (x) +

+a1 [C1 (x) y0

1(x) + C2 (x) y0

2(x)] + a2 [C1 (x) y1(x) + C2 (x) y2(x)] = f(x)

que podemos escribir, reordenando trminos, en la forma

C1 (x) [y00

1 (x) + a1y0

1(x) + a2y1(x)] + C2 (x) [y00

2 (x) + a1y0

2(x) + a2y2(x)] +

+C0

1 (x) y0

1(x) + C0

2 (x) y0

2(x) = f(x)

Ahora, puesto que los corchetes de la expresin anterior son nulos (ya que y1, y2 son soluciones de laecuacin homognea), llegamos que bajo la hiptesis (7), zp (x) es solucin particular de la ecuacincuando se verifique que

C01 (x) y0

1(x) + C0

2 (x) y0

2(x) = f(x) (8)

En definitiva, la funcin zp (x) es solucin de la ecuacin cuando existan funciones C1 (x) y C2 (x) queverifiquen las condiciones (7), (8); esto es,

C01 (x) y1(x) + C0

2 (x) y2(x) = 0C01 (x) y

0

1(x) + C0

2 (x) y0

2(x) = f(x)

Ahora bien, el sistema de ecuaciones anterior posee solucin nica pues el determinante de la matrizde coeficientes es el wronskiano de las soluciones l.i. y1, y2.

Resolviendo este sistema, obtendremos C01 (x) y C0

2 (x). Despus por integracin se obtendrn C1 (x)y C2 (x) , y as se obtendr la expresin de una solucin particular de la ecuacin

zp (x) = y1(x)

Zf(x) y2(x)

W(x)dx + y2(x)

Zf(x) y2(x)

W (x)dx

NOTA: El razonamiento seguido en el mtodo de variacin de constantes se puede emplear paraobtener una solucin particular de cualquier ecuacin lineal completa de orden n, conocida la solucingeneral de la ecuacin homognea asociada. La dificultad obvia es que se necesita conocer la solucingeneral de la ecuacin homognea asociada, para poder aplicar este mtodo.

Mtodo de los coeficientes indeterminados

Este mtodo nos facilita el clculo de la solucin particular cuando la funcin f(x) es exponencial,polinmica, seno, coseno o sumas y productos de stas.

Seguidamente ilustramos la idea subyacente en el mtodo con algunos casos particulares.

Consideremos la ecuacin lineal no homognea de orden 2

y00 + a1y0 + a2y = f(x) (9)

Caso f(x) = ebx

Puesto que la derivacin de la funcin f reproduce dicha funcin con un posible cambio en el coeficientenumrico, es natural presuponer que la ecuacin (9) posee como solucin alguna del tipo y(x) = Bebx,para algn valor del coeficiente B.


8/28


Como resulta que

y(x) = Bebxes solucin de (9) B

b2 + a1b + a2

ebx = ebx

B =1

b2 + a1b + a2

cuando el denominador no se anula.

Por tanto, cuando b no sea raz de la ecuacin caracterstica (es decir, el denominador anterior es nonulo) tendremos una solucin particular de la ecuacin (9).

Por otra parte, si b es raz de la ecuacin caracterstica, ensayando y(x) = Bxebxcomo posible solucinde la ecuacin, tenemos

y(x) = Bxebxes solucin de (9) B

b2 + a1b + a2

xebx + B(2b + a1)ebx = ebx

B(2b + a1) = 1

ya que el primer parntesis se anula, al ser b raz de la ecuacin caracterstica.

Por consiguiente, obtenemos una solucin particular de (9) si 2b + a1 no se anula. Esto es, si b no esraz doble de la ecuacin caracterstica.

Finalmente, cuando b es raz doble de la ecuacin caracterstica, se puede comprobar que la funciny(x) = x2ebx/2 es una solucin particular de la ecuacin diferencial (9).

En definitiva, si f(x) = ebx, la ecuacin (9) tiene una solucin particular de alguna de las tres formassiguientes: Bebx,Bxebx, Bx2ebx, donde el coeficiente indeterminado B se obtendr de imponer que seasolucin particular. Obsrvese que se descartan la primera o las dos primeras posibilidades cuando laecuacin homognea asociada posee ese tipo de soluciones.

Caso f(x) = sen bx,f(x) = cos bx o cualquier combinacin lineal de ellasLas derivadas sucesivas de este tipo de funciones nos hacen pensar que la ecuacin (9) puede admitir

una solucin particular de la forma

y(x) = sen bx + cos bx

Se puede comprobar que esto es as, siempre que la ecuacin homognea asociada no posea solucionesdel tipo propuesto. En dicho caso, se ensayar con una solucin particular del tipo

y(x) = x( sen bx + cos bx)

Caso f(x) funcin polinmica de grado m en x

En este caso es lgico pensar que (9) admita como solucin particular un polinomio de grado menoro igual que m

y(x) = 0 + 1x + + mxm

Los casos reseados anteriormente se pueden generalizar a ecuaciones diferenciales de orden n. Elsiguiente cuadro muestra el tipo de solucin particular zp(x) a ensayar cuando f(x) es de los tiposanteriormente citados o su forma es an ms general.


9/28


f(x) zp(x)

Pm(x) Pm(x)

Pm(x)ebx Pm(x)e

bx

Pm(x)ebx sen(cx) + Qm(x)e

bx cos(cx) Pm(x)ebx sen(cx) + Qm(x)e

bx cos(cx)

Aqu, Pm, P

m, Qm y Q

m son polinomios de grado m.

Siempre se deber tener presente que si cualquiera de los sumandos de la solucin propuesta zp(x)es solucin de la ecuacin homognea, entonces se deber ensayar como solucin particular una del tipoxkzp(x), donde k ser el menor nmero natural tal que ningn sumando de x

kzp(x) sea solucin de laecuacin homognea.

Obsrvese que la idea bsica de este mtodo no se puede extrapolar a ecuaciones con coeficientes noconstantes.

5 Estudio de algunos sistemas fsicos que conducen a una ecua-cin diferencial ordinaria

En esta seccin vamos a estudiar algunos sistemas fsicos que pueden describirse mediante ecuacionesdiferenciales lineales, centrando nuestra atencin en distintos movimientos que se realizan en torno auna posicin llamada de equilibrio. La permanencia del mvil en una regin limitada del espacio, sedebe a la existencia de una fuerza recuperadora que produce en el mvil una aceleracin que tiende afrenarlo cuando se aleja de la posicin de equilibrio. De la accin de esta fuerza, a la que pueden sumarseotras, como el rozamiento, o fuerzas externas de diversa ndole, resulta que el mvil se precipite hacia laposicin de equilibrio, donde finalmente se detiene, o bien evolucione hasta permanecer oscilando entredos posiciones extremas, o bien oscile pero con amplitud cada vez mayor, llegando por ltimo a escapary dejar de ser un movimiento limitado (aunque antes de que ocurra eso, probablemente el sistema fsicose destruir).

De entre estos sistemas fsicos, vamos a interesarnos en unos particularmente importantes que recibenel nombre genrico de osciladores, y de ellos vamos a estudiar tres: un muelle, un pndulo y un circuitoelctrico sencillo, no tanto por su importancia tcnica, que sin duda la tienen, pero que cae fuera delalcance de esta asignatura, sino porque constituyen sistemas conocidos, los conceptos fsicos involucradosson sencillos, y es muy fcil pasar rpidamente de ellos a las ecuaciones diferenciales que constituyen susmodelos matemticos. Comprobaremos un hecho crucial: los tres, independientemente de su estructurafsica, se dejan describir por el mismo modelo matemtico, las ecuaciones diferenciales lineales. Porello, algunas veces se les llama osciladores lineales y con ms frecuencia osciladores armnicos,empleando para ello un trmino musical debido a que el tipo de oscilaciones que producen es el mismoque el que forma parte de las ondas sonoras.

5.1 Muelle

Un dispositivo elstico, como un muelle o una tira de goma, tienen la particularidad, debido al materialde que estn construidos, y a la forma (en el caso del muelle), de recuperar la longitud inicial despus


10/28


de ser estirados. Este comportamiento elstico es debido a la existencia de una fuerza recuperadora

que se opone al estiramiento y que de acuerdo con la ley experimental de Hooke, es proporcional (paraestiramientos pequeos) a la longitud estirada. Estudiaremos este primer sistema mecnico en los trescasos siguientes.

1. Ausencia de rozamiento y de fuerza externa

2. Sometido a rozamiento pero no a fuerzas externas

3. Sometido a rozamiento y a una fuerza externa

5.1.1 Ausencia de rozamiento y de fuerza externa

Supongamos que disponemos de un muelle de masa despreciable que se encuentra suspendido de unextremo, y cuya longitud es l0. Al colgar del otro extremo un cuerpo de masa m, el muelle se estira hasta

alcanzar la longitud l1, quedando entonces inmvil. En ese momento, el sistema est equilibrado, y laposicin del cuerpo se toma como origen. Cualquier desplazamiento posterior se considerar positivo sies hacia abajo de esta posicin de equilibrio, y negativo si es hacia arriba. Asimismo, las fuerzas queacten hacia abajo se tomarn positivas y las que acten hacia arriba, negativas. Dado que el problemaes unidimensional, no ser necesario el empleo de vectores.

En la posicin de equilibrio hay dos fuerzas actuando, el peso P hacia abajo, y la fuerza recuperadoradel muelle hacia arriba y que de acuerdo con la ley de Hooke, es proporcional a la longitud estirada, esdecir k(l1 l0) donde k > 0 se llama constante elstica del muelle. Pero dado que el sistema estequilibrado, la suma F de todas las fuerzas es cero

F = P k(l1 l0) = 0

l0

l1

x

Si ahora desplazamos el cuerpo hacia abajo una distancia x > 0, el estiramiento del muelle har actuarde nuevo la fuerza recuperadora proporcional al desplazamiento kx de modo que la suma F de todaslas fuerzas que actan sobre el cuerpo es ahora

F = P k(l1 l0) kx = kx

Llamando a a la aceleracin del cuerpo, la segunda ley de Newton permite escribir

ma = kx


11/28


o bien, teniendo en cuenta que a = x00

mx00 + kx = 0

y si llamamos 2 =k

m, la ecuacin diferencial queda as

x00 + 2x = 0.

5.1.2 Muelle sometido a rozamiento

La situacin descrita en el caso anterior no es realista. Un muelle que se mueve en el aire, est sometidoa fricciones que se traducen en la aparicin de una fuerza que tiende a frenarlo. Adems, en ciertasaplicaciones industriales, los muelles se disean de modo que el efecto de friccin sea importante, comoocurre con los amortiguadores que se emplean en determinados mecanismos.

Admitamos que el rozamiento del aire influye sobre el movimiento del mvil sujeto al muelle, oponiendouna fuerza proporcional y de sentido contrario a la velocidad, es decir

Fr = bv b > 0

de modo que al aadir esta nueva fuerza, la segunda ley de Newton queda as

ma = bv kx

o bien

x00 +b

mx0 +

k

mx = 0

donde hemos dividido por m y sustituido a por x00 y v por x0. Por ltimo, llamando1

=

b

my 2 =

k

m,

resulta

x00 +1

x0 + 2x = 0.

5.1.3 Muelle sometido a rozamiento y a una fuerza externa sinusoidal

Una vez analizada la influencia del rozamiento vamos a estudiar el efecto que produce la aplicacin deuna fuerza externa. Nos limitaremos, ya que es el caso ms interesante, a fuerza externas sinusoidales.

Imaginemos que ahora el punto S del que est colgado, experimenta un movimiento oscilatorio arribay abajo dado por

p(t) = cos0t > 0

p(t)


12/28


Si nos situamos en el punto S, es decir, nos colocamos en un sistema de referencia no inercial, y, puesto

quesuma de fuerzas activas = kx bvfuerza de inercia = m20 cos0t

la segunda ley de Newton, se escribir as

kx bv + m20 cos0t = ma

Recordando que x00 = a y que x0 = v, y reordenando los trminos, podemos escribir la ecuacin diferencialde esta forma

mx00 + bx0 + kx = m20 cos0t

al dividir por m, queda

x00 +1

x0 + 2x = A0 cos0t

donde, como ya es habitual, hemos llamado1

=

b

my 2 =

k

m, adems de A0 = 20.

5.2 Pndulo

Al igual que para el muelle, analizaremos el movimiento del pndulo en los tres casos anteriores.

5.2.1 Ausencia de rozamiento y de fuerza externa

Consideremos un pndulo constituido por un hilo de longitud l inextensible y de masa despreciable delque cuelga un cuerpo de masa m. Las fuerzas que actan son el peso P = mg y la tensin T del hilo.Tomaremos como positivo el sentido hacia abajo en la direccin vertical, y como origen de ngulos larecta vertical OS. Al desplazarse el pndulo hacia la derecha, el ngulo descrito se tomar positivo, ascomo el arco de circunferencia que describe el cuerpo de masa m. Llamaremos s al desplazamiento a lolargo de este arco. 0 01 10 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1SO +- T

P

Pt P

n

s


13/28


El peso P puede descomponerse en una componente tangencial Pt a la trayectoria y en otra normal

Pn. La diferencia entre esta ltima y la tensin del hilo produce una aceleracin normal en el mvilresponsable de los cambios de direccin de la velocidad en los distintos puntos de la trayectoria. Lacomponente tangencial es la que provoca cambios en el mdulo de la velocidad.

Para los vectores tangenciales seguiremos adoptando el mismo convenio: un vector tangencial en unpunto Q de la trayectoria tiene sentido positivo, si su proyeccin sobre la recta horizontal que pasa porQ, est situada a la derecha de Q, y negativo si est a la izquierda. Aplicando este convenio a Pt, vemosque tiene sentido negativo si > 0, y positivo si < 0.

Dado que no hay movimiento en la direccin normal (aunque s hay aceleracin), slo nos interesare-mos, a efectos de desplazamientos, en la direccin tangencial. De acuerdo con todo esto, la segunda leyde Newton aplicada al pndulo sera

mat = Pt

Si llamamos t al vector unitario de sentido positivo tangente a la trayectoria, podremos escribir

Pt = mg sen t

y por lo tanto

at = g sen

Pero la trayectoria es un arco de circunferencia de radio l, con lo cual s = l. Adems at =dv

dt=

d2s

dt2= s00, as que

00l = g sen

Esta ecuacin diferencial no es lineal. En su resolucin intervienen ciertos tipos de integrales llamadasintegrales elpticas, pero ello cae fuera del alcance de esta leccin. En lugar de eso vamos a hacer lasuposicin de que las oscilaciones del pndulo son de pequea amplitud, es decir, vamos a suponer que elmovimiento se realiza con valores pequeos de . En tal caso, del desarrollo en serie de la funcin seno,

sen = 3

3!+

5

5!

tomamos una aproximacin de primer orden

sen ' para valores pequeos de ||

con lo que la ecuacin diferencial ahora es lineal

00l + g = 0

y si llamamos 2 =g

ly tambin = x, queda as

x00 + 2x = 0.

5.2.2 Pndulo sometido a rozamiento

Admitamos que el rozamiento que el aire opone al movimiento del pndulo produce efecto slo sobre el

mdulo de la velocidad, pero no sobre su direccin y sentido. Es decir, que el rozamiento no afecta a laforma de la trayectoria, lo cual es una hiptesis bastante plausible. Admitamos adems que el rozamiento


14/28


es una fuerza proporcional al mdulo de la velocidad, y puesto que slo afecta a ese mdulo, su direccin

es tangencial y su sentido el opuesto a v. Es decirFr = bvt b > 0

donde t es un vector unitario tangente y de sentido positivo, de acuerdo con el criterio expuesto en laseccin 2.1. A este respecto, es conveniente resaltar el hecho de que v es la componente tangencial de v,no su mdulo, por lo que puede ser positiva o negativa.

Recordando adems, que estamos en la hiptesis de ngulos pequeos, podemos escribir la segundaley de Newton aplicada al pndulo en estas nuevas condiciones

ma = mg bv

Puesto que la trayectoria es circular, tenemos que s = l, de donde resultan s0 = 0l y s00 = 00l. Si

ahora reordenamos los trminos y dividimos por ml, queda

00 +b

m0 +

g

l = 0

Por ltimo, llamando x = ,1

=

b

my 2 =

g

l, la ecuacin diferencial queda as

x00 +1

x0 + 2x = 0.

5.2.3 Pndulo sometido a rozamiento y a una fuerza externa sinusoidal

Supongamos que el punto Sdel que est suspendido el pndulo, experimenta un desplazamiento horizontal

p que en funcin del tiempo es

p(t) = cos0t > 00 01 1O

+-

S

p(t)

Para estudiar el movimiento vamos a situarnos sobre ese punto, con lo cual estamos en un sistema dereferencia no inercial. La segunda ley de Newton en un sistema de tal tipo queda as

suma de todas las fuerzas activas + fuerza de inercia = ma


15/28


donde las fuerzas activas son el peso, la tensin del hilo y el rozamiento (si lo hay), mientras que la fuerza

de inerciaFi es

Fi = mani

donde ani es la aceleracin del sistema no inercial, que de acuerdo con la figura, tiene (y por tanto,

tambin Fi) direccin horizontal. 0011O

+-

S

p(t)

Fin

Fit

Fi

De las dos componentes, tangencial y normal (a la trayectoria) de la fuerza de inercia, slo conside-

raremos la tangencial, ya que es la nica que contribuye al movimiento y esta componente tangenciales

Fit = Fi cos ' Fi

ya que en la hiptesis de ngulos pequeos, cos ' 1.

Tomando pues slo las componentes tangenciales de las fuerzas, ya que son las nicas que contribuyenal movimiento, podemos escribir la segunda ley de Newton (en la aproximacin de ngulos pequeos) as

mg bv + m20 cos0t = ma

pero como v = s0 = 0l y a = s00 = 00l, resulta

mg b0l + m20 cos0t = m00l

si ahora reordenamos los trminos y dividimos por m y l

00 +b

m0 +

g

l =

l20 cos0t

Por ltimo, llamando x = ,1

=

b

m, 2 =

g

ly A0 =

l20, queda

x00 +1

x0 + 2x = A0 cos0t.

5.3 Circuito elctrico

En el caso del circuito elctrico, y al no ser ste un sistema mecnico, trminos como fuerza, velocidado desplazamiento carecen de sentido. No obstante las similitudes en el comportamiento de este sistemaelctrico con los anteriores sistemas mecnicos es tan grande, como quedar de manifiesto al establecer laecuacin diferencial que lo rige, que el estudio de los tres sistemas merece ser abordado conjuntamente.


16/28


5.3.1 Circuito LC

Un condensador es un componente elctrico capaz de almacenar carga establecindose como consecuenciade ello una diferencia de potencial entre sus extremos. Una autoinduccin es otro componente quereacciona a las variaciones de la corriente elctrica que la recorre, creando asimismo una diferencia depotencial entre sus extremos. Para el condensador, la relacin entre la diferencia de potencial vC y lacarga q viene dada por

vC =q

C

donde C es una constante positiva caracterstica de cada condensador llamada capacidad.

Para la autoinduccin, la relacin entre la diferencia de potencial vL y la variacin de la corrienteviene dada por la Ley de Faraday

vL = L didt

donde i es la intensidad de la corriente y L una constante positiva caracterstica de cada autoinduccin,llamada inductancia.

Supongamos que cargamos un condensador con una carga q, y a continuacin lo conectamos con unaautoinduccin.

C

L

VL

VC

i

El condensador comenzar a descargarse, establecindose un transporte de carga, es decir una corrienteelctrica variable con el tiempo a travs de la autoinduccin. Como inicialmente la corriente era cero yahora no lo es, la autoinduccin reaccionar oponiendo una diferencia de potencial entre sus extremos.De acuerdo con la ley de Kirchhoff de las tensiones

vC + vL = 0

o lo que es lo mismo

q

C+ L

di

dt= 0

pero recordando que q0 = i, podemos escribir

Li00 +1

Ci = 0

que es una ecuacin diferencial lineal. Si llamamos 2 =1

LCy tambin x = i, queda

x00 + 2x = 0.


17/28


5.3.2 Circuito LCR

Una resistencia es un dispositivo elctrico que reacciona al paso de la corriente con una cada de potencialentre sus extremos proporcional a la intensidad de la corriente que la recorre. Si llamamos vR a estacada de potencial, la Ley de Ohm establece que

vR = iR

donde R es una constante de proporcionalidad llamada tambin resistencia.

C

L

VL

VCi

R

RV

Si al circuito LC que tenamos, le aadimos una resistencia en serie, la ley de Kirchhoffde las tensionesquedar ahora as

vC + vR + vL = 0

o bien

q

C+ iR + L

di

dt= 0

Ahora derivamos esta igualdad, recordando quedq

dt= i, reordenamos los trminos y dividimos por L

i00 +R

Li0 +

1

LCi = 0

Por ltimo, llamamos x = i,1

=

R

L, 2 =

1

LC, y la ecuacin diferencial queda definitivamente

as

x00 + 1

x0 + 2x = 0.

5.3.3 Circuito LCR con una fuente de tensin sinusoidal

Una fuente de tensin es un dispositivo elctrico que a diferencia de otros, como por ejemplo las resis-tencias, mantiene entre sus extremos una diferencia de potencial determinada con independencia de laintensidad de la corriente que la atraviese.

Vamos a incorporar al circuito LCR, una fuente de tensin que mantiene entre sus extremos unadiferencia de potencial que depende del tiempo de esta forma:

v(t) = v0 sen 0t


18/28


19/28


Es costumbre escribir esta expresin de otra forma, para lo que introducimos las constantes A y de

modo queC1 = A cos C2 = A sen

siendo A > 0 y 0 < 2. De este modo resulta

x(t) = A cos(t + )

que, como puede comprobarse, es una funcin peridica de perodo T =2

, independientemente de los

valores de A y . A la expresin t + se le llama fase instantnea o simplemente fase, al nmeroA, amplitud. es la pulsacin, tambin llamada frecuencia angular, y a se llama constante defase, fase inicial o ngulo de fase.

Vamos ahora a dar condiciones iniciales que permitan calcular la amplitud y la constante de fase.Sean

x(0) = x0 x0(0) = x00

entonces, al sustituir en x y en x0 queda x0 = A cos, x00 = A sen y de aqu podemos obtener Ay para estas condiciones iniciales.

En el siguiente cuadro, se resumen algunas de las situaciones que pueden presentarse de acuerdo conlos valores de x0 y x00

Cond. iniciales Solucin Grfica Ang. de fasex0 > 0 x00 = 0x0 < 0 x

0

0 = 0x (t) = x0 cost

AB

= 0 =

x0 = 0 x00 > 0x0 = 0 x

0

0 < 0x (t) = x

00

sent C

D = 3/2 = /2

t

x(t)

x0

Grfica A

t

x(t)

x0

Grfica B


20/28


t

x(t)

Grfica C

t

x(t)

Grfica D


x0 + 2x = 0.

La correspondiente ecuacin caracterstica r2 +1

r + 2 = 0 tiene dos races que pueden ser reales

(distintas o iguales) o complejas, segn como sea el signo del discriminante1

2 42.

12 42 > 0 races reales distintas

1

2 42 = 0 races reales iguales

1

2 42 < 0 races complejas conjugadas

Races reales distintas. Sobreamortiguamiento

Cuando el discriminante es positivo, las dos races reales resultan ser, como es fcil comprobar, nega-tivas

r1 = 12

+r

142

2 < 0 r2 = 12r

142

2 < 0

y la solucin general de la ecuacin diferencial es

x(t) = C1er1t + C2e

r2t

Las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0(0) = x00 permiten calcular las constantes C1 y C2

C1 =x00 r2x0

r1 r2C2 =

x00 r1x0r1 r2

as que la solucin del problema de valores iniciales es

x(t) =

1r1 r2

(x00 r2x0)er1t (x00 r1x0)e

r2t


21/28


De la observacin de esta solucin se desprende que el oscilador pasa por la posicin de equilibrio

cuando

(x00 r2x0)er1t (x00 r1x0)e

r2t = 0

y ello slo ocurre cuando x00r2x0 y x0

0r1x0 tienen el mismo signo. El paso por la posicin de equilibriose da una sola vez en el instante

t0 =1

r1 r2ln

x00 r1x0x00 r2x0

As pues, o bien el oscilador no pasa nunca por la posicin de equilibrio, o lo hace una sola vez, osiempre permanece en ella en el caso trivial de que x00 = x0 = 0. En cualquier caso, decimos que el sistemaest sobreamortiguado. El amortiguamiento debido al trmino de friccin es tan grande que el sistemano llega a experimentar oscilaciones alrededor de la posicin de equilibrio.

A continuacin se muestran algunas de las situaciones que pueden presentarse de acuerdo con losvalores de x0 y x

0

0.

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

Races reales iguales. Amortiguamiento crtico

Cuando el discriminante es cero, slo hay una raz real (distinta) que resulta ser negativa

r =1

2< 0

La solucin general de la ecuacin diferencial es ahora

x(t) = ert(C1 + C2t)


22/28


Con las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0(0) = x00 podemos calcular C1 y C2

C1 = x0 C2 = x0

0 rx0

as que la solucin del problema de valores iniciales es

x(t) = ert[x0 + (x0

0 rx0)t]

Si (x00 rx0)t = 0, el oscilador no pasa nunca por la posicin de equilibrio a no ser que x0 = x0

0 = 0 encuyo caso no saldra de ella. Si x0 = 0 pero x00 6= 0, el oscilador parte de la posicin de equilibrio a laque no regresa jams. Cuando x0 y x00 rx0 tienen signos distintos, el oscilador pasa por la posicin deequilibrio en el instante

t0 = x0

x00 rx0

despus de haberse iniciado el movimiento, pero si tienen el mismo signo, no pasa nunca por esa posicin.

As pues, ya que excluido el caso trivial de que x0 = x0

0 = 0, el oscilador solo pasa como mximouna vez (pudiera no pasar ninguna) por la posicin de equilibrio, el movimiento no es oscilatorio. Comoantes, el amortiguamiento es tan grande que impide las oscilaciones. En este caso decimos que el sistemaest crticamente amortiguado, ya que una pequea variacin en la fuerza de friccin o en la fuerzarecuperadora har que el discriminante pase a ser positivo o negativo, es decir, el sistema seguir sinoscilar o comenzar a hacerlo.

En la realidad, el amortiguamiento crtico es extremadamente difcil de conseguir, ya que cualquiervariacin en las condiciones ambientales (por ejemplo, un pequeo cambio en la temperatura) puedeinfluir sobre los valores de la constante elstica del muelle, o sobre el valor de la resistencia elctrica, o

quiz sobre la longitud del hilo del pndulo.Races complejas conjugadas. Subamortiguamiento

Al ser negativo el discriminante, las races de la ecuacin caracterstica son complejas conjugadas

r1 = + i r2 i

donde

=1

2< 0 =

r2

1

42> 0

y la solucin general de la ecuacin diferencial es

x(t) = et(C1 cost + C2 sen t)

Ahora introducimos, como hicimos antes, las constantes A y de modo que

C1 = A cos C2 = A sen

con lo que la solucin general queda as

x(t) = Aet cos(t + )

Al sustituir las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0(0) = x00 en x(t) y en x

0(t), resulta

x0 = A cosx00 = A cos A sen


23/28


de donde podemos obtener los valores de A y de para diferentes condiciones iniciales. A continuacin

se muestran algunas de las situaciones que pueden presentarse de acuerdo con los valores de x0 y x

0

0.

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

Como se puede observar en las grficas, x(t) no es una funcin peridica, no obstante el tiempo quetarda en efectuarse un ciclo es siempre el mismo y puede calcularse, resultando T = 2/.


x0 + 2x = A0 cos0t.

La ecuacin diferencial que debemos resolver ahora, es de nuevo lineal, pero ahora tiene segundo miembro.Como ya sabemos, la solucin general viene dada por la suma de la solucin general de la correspondienteecuacin homognea que ya ha sido obtenida en el segundo caso y de una solucin particular de la ecuacin

completa. Dado que el segundo miembro de la ecuacin diferencial es una funcin coseno, para obteneresta solucin particular, emplearemos el mtodo de coeficientes indeterminados.

Vamos pues a ensayar como solucin una funcin de la forma

z(t) = A sen 0t + B cos0t

donde A y B son coeficientes a determinar con la condicin de que z sea solucin de la ecuacin diferencial.

Si derivamos z dos veces, sustituimos z, z0 y z00 en la ecuacin diferencial, igualamos coeficientes yresolvemos el sistema que se obtiene, encontramos que los valores de los coeficientes son

A =

A00

(2 20)2 +

202

B =

A0(2 20)

(2 20)2 +

202


24/28


Es conveniente expresar z(t) de otra manera. Para ello, introducimos los coeficientes

E > 0 0 0 < 2

de acuerdo con las igualdades

A = E sen 0 B = Ecos0

con lo cual resulta que

z(t) = A sen0t + B cos0t

= E sen 0 sen 0t + Ecos0 cos0t

= Ecos(0t + 0)

donde

E =A0

(2 20)2 +

202

1/2

Resulta pues que la solucin general de la ecuacin diferencial completa es

x(t) = g(t, C1, C2) + Ecos(0t + 0)

en la que g(t, C1, C2) es la solucin general de la correspondiente ecuacin homognea. Ahora bien, laforma de la funcin g depende, como hemos visto en la seccin 5.4.2, del signo del discriminante de laecuacin caracterstica. Recordemos que puede tomar una de estas tres formas

g(t, C1, C2) = C1er1t

+ C2er2t

g(t, C1, C2) = ert(C1 + C2t)

g(t, C1, C2) = et(C1 cost + C2 sen t)

que tienen en comn, como es fcil comprobar, el que

limt

g(t, C1, C2) = 0

independientemente de los valores de C1 y C2, o lo que es lo mismo, de las condiciones iniciales. As pues,el movimiento comienza como la superposicin (es decir, la suma) de un movimiento amortiguado dadopor g(t, C1, C2), y un movimiento oscilatorio no amortiguado Ecos(0t + 0). En esta situacin, se diceque el sistema se encuentra en estado transitorio. Pero conforme pasa el tiempo, el primero de ellos vadecayendo, por lo que su contribucin al movimiento va siendo cada vez menor, mientras que el segundo

permanece. Al cabo de mucho tiempo, slo este ltimo se mantiene, y entonces se dice que el sistema haalcanzado el estado estacionario, en el que permanece indefinidamente.

El estado transitorio es pasajero como indica su nombre, y ello es as por el efecto del amortiguamiento.En cambio, el estado estacionario permanece mantenido por la accin de la fuerza externa.

Vamos a centrar nuestra atencin en el estado estacionario del sistema

z(t) =A0

(2 20)2 +

202

1/2 cos(0t + 0)

Observemos que el movimiento es oscilatorio con una frecuencia angular 0 que coincide con la de la fuerzaexterna. El amortiguamiento que tendera a frenar el oscilador es compensado por la accin impulsorade la fuerza externa de tal modo, que el movimiento se lleva a cabo con una amplitud constante comosi el amortiguamiento no existiera. Pero s existe. Una simple inspeccin de la expresin que da la


25/28


amplitud de la oscilacin, permite descubrir que un aumento en el factor 1/ disminuye la amplitud.

Tambin podemos observar que una disminucin en la diferencia entre la frecuencia angular propia deloscilador y la de la fuerza externa 0, la aumenta. Estudiemos con ms detalle estos fenmenos para loque escribimos la amplitud de esta manera

E =A0

(2 20)2 +

202

1/2

e introducimos la la funcin

M(0) =1

(2 20)2 +

202

1/2

Esta funcin presenta un mximo para aquel valor de 0 en el que el denominador alcanza el mnimo, yello ocurre cuando

0 =

r2

1

22si 2

1

22> 0 o cuando 0 = 0 si

2

1

22< 0.

Veamos los dos casos:

Si 2 1

22< 0, esto es b2 > 2mk, la funcin M(0) es decreciente y el mximo se alcanza con

0 = 0.

Si 2 1

22> 0, esto es b2 < 2mk, el mximo se alcanza cuando 0 = q

2 122 . A este valor se

le llama frecuencia de resonancia del sistema.Observese que como se debe tener b2 < 2mk, para que haya resonancia, un sistema no puede estaren resonancia a menos que sea subamortiguado.

0( )M

0

b=1/4

b=1/2

b=3/2

b=2

b=1

0( )M

0

b=1/4

b=1/2

b=3/2

b=2

b=1

En la figura se muestran diversas grficas de la funcin M(0) para distintos valores del factor b.De la observacin de la misma se deduce que la amplitud del estado estacionario alcanza valores

grandes cuando ' 0.


26/28


Este aumento en el tamao de la amplitud (tanto mayor mientras ms pequeo sea el factor b) recibe

el nombre de resonancia, y por ello, las curvas de lafi

gura reciben el nombre de curvas de resonancia.El hecho de que la resonancia aumente al disminuir el valor de b es debido a que al oponer el osciladorun amortiguamiento dbil, la fuerza impulsora externa encuentra pocas dificultades para excitarlo.

Veamos qu ocurre en el caso extremo (que naturalmente no se da en la prctica) de que el amorti-guamiento fuera nulo. La ecuacin diferencial adoptara entonces la forma

x00 + 2x = A0 cos0t

que vamos a resolver. La solucin general de la correspondiente ecuacin homognea es

C1 cost + C2 sen t

y una solucin particular de la ecuacin completa puede obtenerse por el mtodo de los coeficientes

indeterminados, ensayando una del tipo


Al derivar dos veces y sustituir z y z00 en la ecuacin diferencial resulta, tras reducir trminos semejantes

A(2 20) sen 0t + B(2 20)cos0t = A0 cos0t

y por lo tanto

A = 0 B =A0

2 20

de modo que la solucin general de la ecuacin diferencial es

C1 cost + C2 sen t +A0

2 20cos0t

Al determinar el valor de las constantes C1 y C2 mediante las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0(0) = x00resulta

C1 = x0 A0

2 20C2 =

x00

de modo que el movimiento del oscilador queda descrito mediante

x (t) = x0 cost +x00

sen t +A0

2 20(cos0t cost)

que puede escribirse, empleando la expresin trigonomtrica de la diferencia de cosenos, de esta forma

x (t) = x0 cost +x00

sen t +2A0

2 20sen

0

2t

sen

+ 0

2t

De la observacin de esta ltima expresin se deduce que el movimiento del oscilador es la superposi-cin de un movimiento vibratorio armnico de amplitud constante

px20 + x

020 y de frecuencia angular

representado por los dos primeros trminos, y de un movimiento oscilatorio de amplitud

2A02 20

sen

0

2t

y de frecuencia angular + 0

2. Esta amplitud, como puede verse, no es constante, sino que vara

sinusoidalmente con el tiempo a una frecuencia angular 0

2.


27/28


t

x(t)

Supongamos por ltimo, que adems de ser nulo el amortiguamiento, ocurriera adems = 0. Laecuacin diferencial adoptara la forma

x00 + 20x = A0 cos0t

y entonces la funcin


sera solucin de la ecuacin homognea. Vamos por lo tanto a ensayar esta otra posible solucin

z(t) = t(A sen 0t + B cos0t)

Si derivamos dos veces

z0(t) = (B0t + A) sen 0t + (A0t + B)cos0tz00(t) = (A20t 2B0) sen 0t + (B

20t + 2A0)cos0t

y sustituimos z y z00 en la ecuacin diferencial, resulta al agrupar trminos semejantes

2B0 sen 0t + 2A0 cos0t = A0 cos0t

igualando coeficientes, obtenemos

A =A020

B = 0

Resulta pues que la solucin general de la ecuacin diferencial es

x(t) = C1 cos0t + C2 sen 0t +A020

t sen 0t

Si introducimos las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0(0) = x00, podemos calcular los valores de las

constantes C1 y C2, que son

C1 = x0 C2 = x0

0

0


28/28


de modo que el comportamiento del oscilador queda descrito por

x(t) = x0 cos0t +x000

sen 0t +A020

t sen 0t

que consiste en la superposicin de un movimiento vibratorio armnico representado por los dos primeros

trminos y de una oscilacin cuya amplitudA0

20t es creciente con el tiempo y cuya frecuencia angular

es 0. El movimiento resultante es oscilatorio pero con una amplitud cada vez ms grande, lo que traecomo consecuencia, desde el punto de vista matemtico que la validez de las suposiciones de linealidadhechas hasta ahora en base a considerar pequeas oscilaciones, dejara de tener lugar, y desde el puntode vista fsico, la destruccin del sistema.

t

x(t)

Estudio de Sistemas Fisicos

Documents

Transcript of Estudio de Sistemas Fisicos