ETAPA 4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

ESTUDIO DEL CAMBIO

Recta Tangente a la gráfica de una función:

La Razón de Cambio Promedio:∆𝑦

∆𝑥=

𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥)

∆𝑥=

𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

gráficamente representa la

pendiente de la recta secante

La Derivada𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

𝛥𝑥→0

)𝑓(𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝑓(𝑥

𝛥𝑥

gráficamente representa la

pendiente de la recta tangente

Pasos para determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una

función 𝑓(𝑥):

1) Si no se conoce la coordenada “y” del punto de tangencia, calcular dicha

coordenada sustituyendo el valor “x” del punto en la función original f(x).

2) Determinar la derivada 𝑓´(𝑥) de la función 𝑓(𝑥).

3) Sustituir la coordenada x del punto de tangencia en la derivada para

calcular el valor de la pendiente “m” de la recta tangente.

4) Determinar la ecuación de la recta tangente usando la forma punto –

pendiente de la ecuación de una recta: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 .

5) Transformar la forma punto pendiente a la forma pendiente intersección

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 (y a la forma general 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 si se requiere)

Ejemplo 1: Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝒇 𝒙 = −𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟐en el punto (3, 15)

Solución:

Derivada: 𝒇´ 𝒙 = −𝟐𝒙 + 𝟒

Pendiente de la recta tangente: 𝒎 = 𝒇′ 𝟑 = −𝟐 𝟑 + 𝟒𝒎 = −𝟐

Forma Punto – Pendiente: 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 𝒙 − 𝒙𝟏

𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟔 + 𝟏𝟓

𝒚 − 𝟏𝟓 = −𝟐 𝒙 − 𝟑

Forma Pendiente – Intersección: 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟐𝟏

Forma General U Ordinaria: 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟐𝟏 = 𝟎

Ejemplo 2: Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙 en 𝒙 = −𝟐

Solución:

Derivada: 𝒇´ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔

Pendiente de la recta tangente: 𝒎 = 𝒇′ −𝟐 = 𝟑 −𝟐 𝟐-6

𝒎 = 𝟔

Forma Punto – Pendiente: 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 𝒙 − 𝒙𝟏

𝒚 = 𝟔𝒙 + 𝟏𝟐 +4

𝒚 − 𝟒 = 𝟔 𝒙 − −𝟐

Forma Pendiente – Intersección: 𝒚 = 𝟔𝒙 +16

Forma General U Ordinaria: 𝟎 = 𝟔𝒙 − 𝒚 + 𝟏𝟔 o 𝟔𝒙 − 𝒚 + 𝟏𝟔 = 𝟎

𝒚𝟏= 𝒇 𝒙𝟏 = 𝒇 −𝟐 = −𝟐 𝟑 − 𝟔 −𝟐 = 𝟒

Punto de Tangencia: (−𝟐, 𝟒)

Aplicación de la Derivada en el Trazo de Gráficas:

Para aplicar la derivada en el trazo de gráficas, aparte de identificar las

intersecciones con los ejes coordenados, se utiliza:

2) El criterio de la primera derivada para determinar los intervalos

donde la función es creciente o decreciente.

3) La segunda derivada para determinar los posibles puntos de

inflexión y los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba

y cóncava hacia abajo.

1) La primera derivada para determinar los puntos críticos.

EJEMPLO: Dada la función 𝑓 𝑥 = −𝑥3 + 9𝑥2 − 15𝑥 − 9, determina:

A) Los Puntos Críticos

B) Los intervalos donde la función es Creciente o Decreciente

C) Los Puntos Críticos Máximo Local y Mínimo Local

D) Los Puntos de Inflexión

E) Los Intervalos donde la función es Cóncava hacia arriba y Cóncava hacia abajo

F) La gráfica de la función

Solución:

A) Puntos Críticos:

Derivada de la función 𝑓´ 𝑥 = −3𝑥2 + 18𝑥 − 15

−3𝑥2 + 18𝑥 − 15 = 0

−3𝑥2+18𝑥−15

−3=

0

−3

𝑥2 − 6𝑥 + 5 = 0

𝑥 − 5 𝑥 − 1 = 0𝑥 − 5 = 0 𝑜 𝑥 − 1 = 0

𝑥 = 5 𝑜 𝑥 = 1Valores críticos

En x=1, tenemos 𝑓 1 = − 1 3 + 9 1 2 − 15 1 − 9𝑓 1 = −16, entonces P(1, -16)

En x=5, tenemos 𝑓 5 = − 5 3 + 9 5 2 − 15 5 − 9𝑓 5 = 16, entonces P(5, 16)

PUNTOS CRÍTICOS: P(1, -16) y P(5, 16)

B) Intervalos de Crecimiento o Decrecimiento:

0 1 2 3 4 5 6 7 80–1–2

Intervalo Valor de

Prueba

Signo de la Derivada f´(x) Conclusión

−∞, 1 𝑥 = 0 𝑓´ 0 = −3 0 2 + 18 0 − 15 = −15 La función es “Decreciente”

1, 5 𝑥 = 2 𝑓´ 2 = −3 2 2 + 18 2 − 15 = +9 La función es “Creciente”

5,+∞ 𝑥 = 6 𝑓´ 6 = −3 6 2 + 18 6 − 15 = −15 La función es “Decreciente”

La Función es “Creciente” en: 𝟏, 𝟓La Función es “Decreciente” en: −∞,𝟏 ∪ 𝟓,+∞

C) Máximo local y Mínimo Local:

La tabla muestra que al pasar por x = 1, la función primero es Decreciente y después es Creciente, entonces el

criterio de la primera derivada indica que el punto 𝟏,−𝟏𝟔 es un Punto Crítico Mínimo Local o Relativo

La tabla muestra que al pasar por x = 5, la función primero es Creciente y después es Decreciente, entonces el

criterio de la primera derivada indica que el punto 𝟓, 𝟏𝟔 es un Punto Crítico Máximo Local o Relativo

D) Los Puntos de Inflexión

Solución:

Segunda Derivada de la función 𝑓´´ 𝑥 = −6𝑥 + 18

−6𝑥 + 18 = 0−6𝑥 = −18

𝑥 =−18

−6𝑥 = 3

En x = 3, tenemos 𝑓 3 = − 3 3 + 9 3 2 − 15 3 − 9𝑓 3 = 0

POSIBLE PUNTO DE INFLEXIÓN: P(3, 0)

E) Intervalos de Concavidad:

Intervalo Valor de

Prueba

Signo de la Segunda Derivada f´´(x) Conclusión

−∞, 3 𝑥 = 0 𝑓´´ 0 = −6 0 + 18 = +18 La función es “Cónvaca

Hacia Arriba”

3,+∞ 𝑥 = 4 𝑓´´ 4 = −6 4 + 18 = −6 La función es “Cóncava

Hacia Abajo”

La Función es “Cóncava Hacia Arriba” en: −∞,𝟑La Función es “Cóncava Hacia Abajo” en: 𝟑,+∞

Sí hay cambio de concavidad, entonces

el punto 𝟑, 𝟎 SÍ es un Punto de Inflexión

0 1 2 3 4 5 6 7 80–1–2

La Derivada como Razón de Cambio (Razón de Cambio Instantáneo)Ejemplo 1.- La descarga total de litros de agua (Q) por una llave “t” minutos después de haber sido abierta

está dado por la expresión 𝑄 𝑡 = 𝑡 + 3 3/2. ¿Con qué rapidez sale el agua a los 13 minutos de haber

sido abierta la llave?

Solución: La rapidez con que sale el agua es la razón de cambio instantánea de la descarga con

respecto al tiempo; es decir la derivada de la descarga con respecto al tiempo:

𝑑𝑄

𝑑𝑡=3

2𝑡 + 3

32−1

𝑑𝑄

𝑑𝑡=3

2𝑡 + 3

12

Evaluamos en t = 13 minutos:

𝑑𝑄

𝑑𝑡=3

213 + 3

12 =

3

216

12 =

3

24

𝑑𝑄

𝑑𝑡= 6

𝐿

𝑚𝑖𝑛Por lo tanto, a los 13 minutos, el agua

sale a razón de 6 litros por minuto

La Derivada como Razón de Cambio (Velocidad y Aceleración)

Ejemplo 2. La función de posición de una partícula que se mueve a lo largo de un eje coordenado está

dada por 𝑆 𝑡 = 12𝑡1

2 + 4𝑡 donde la posición “s” se mide en metros y el tiempo “t” en segundos.

Encuentra: a) La velocidad a los 4 segundos.

b) La aceleración a los 4 segundos.

Solución: La velocidad es

la derivada de la

posición:

𝑣 𝑡 =𝑑𝑆

𝑑𝑡

Y sustituimos en t = 4

segundos:

𝑣(4) = 6 4 −12 = 6 0.5

𝑣(4) = 3𝑚

𝑠𝑣 𝑡 = 12

1

2𝑡12 −1 + 4(1)

𝑣 𝑡 = 6𝑡−12 + 4

𝑎 𝑡 =𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑎 𝑡 = 6 −1

2𝑡−

12 −1 + 0

𝑎 𝑡 = −3𝑡−32

Entonces en t = 4 segundos:

𝑎 4 = −3 4 −32 = −3 0.125

𝑎 4 = −0.375𝑚

𝑠2

Y la aceleración es la

derivada de la velocidad:

La Derivada como Razón de Cambio (Costo, Ingreso y Utilidad Marginal)Ejemplo 3. Una compañía encuentra que si produce x artículos diarios, el costo total en pesos está dado

por la expresión 𝐶 𝑥 = 10000 − 20𝑥 + 0.001𝑥2. La ecuación de la demanda de este artículo es

𝑝 𝑥 = 24 − 0.01𝑥. Encuentra:

A) La ecuación de la Utilidad Marginal

B) El nivel de producción que maximiza la utilidad

C) El precio que debe tener cada artículo para que la Utilidad sea máxima

Solución:

Primero determinamos la Función de Ingresos:

𝐼 𝑥 = 𝑝𝑥

Luego, la Función de Utilidades es la resta de la

Función de Ingresos y la Función de Costos:

𝑈 𝑥 = 𝐼 𝑥 − 𝐶(𝑥)

𝐼 𝑥 = 24 − 0.01𝑥 𝑥

𝐼 𝑥 = 24𝑥 − 0.01𝑥2

𝑈 𝑥 = 24𝑥 − 0.01𝑥2 − 10000 − 20𝑥 + 0.001𝑥2

𝑈 𝑥 = −0.011𝑥2 + 44𝑥 − 10000

Entonces, Utilidad Marginal:

𝑈𝑀 𝑥 = 𝑈´ 𝑥

𝑈𝑀 𝑥 = −0.011 2𝑥 + 44(1)

𝑈𝑀 𝑥 = −0.022𝑥 + 44

B) El nivel de producción que maximiza

la utilidad

Solución: La utilidad es máxima

cuando la utilidad marginal es igual a

cero. Entonces igualamos a cero la

utilidad marginal y resolvemos la

ecuación:

𝑥 = 2000 artículos

𝑈𝑀 𝑥 = −0.022𝑥 + 44 = 0

−0.022𝑥 + 44 = 0

−0.022𝑥 = −44

𝑥 =−44

−0.022

C) El precio que debe tener cada artículo

para que la utilidad sea maximiza

Solución: Sustituimos los 2000 artículos que

maximizan la utilidad en la función de la demanda:

𝑝 𝑥 = 24 − 0.01𝑥

En 𝑥 = 2000:

𝑝 200 = 24 − 0.01 2000

𝑝 2000 = 24 − 20

𝑝 = $4

GRACIAS POR TU ATENCIÒN