Euler - Matemáticas I Tema: 11 1 Funciones. Gráficas de funciones Final Concepto de función R...

Euler - Matemáticas I Tema:

11 1Funciones. Gráficas de funciones

Final

Concepto de función

R

Dominio y recorrido

• El dominio, Dom(f), de una función es el conjunto de valores para los que está definida la función. Para que la función quede determinada se ha de definir su dominio.

• El recorrido, Rec(f), de una función es el conjunto de todas las imágenes.

Una función es una ley que asigna a cada elemento x, de un conjunto un único elemento, f(x) llamado imagen, de otro o del mismo conjunto

R

• 4• 5,29• 25

RecorridoDominio

• 2• 2,3• 5

f(x) = x2

f(2) = 4

f(2,3) = 5,29

f(5) = 25



Final

Dominio y recorrido

- 2 - 1 1 2- 0.5

0.5

1

1.5

2

X

Y

Dom(f) = [-2, 2]

Rec(f) =

[0, 2 ]

f(1) = 3

(1, 3 )

Variableindependiente

Ley deasociación

Variable dependiente

x f f(x)Dom(f) = [-2, 2] f(x) = 4 - x2 Rec(f) = f([-2 2]) = [0, 2]

3

y = f(x) = 4 - x2



Final

Gráfica de una función

Ver cómo dibuja el ordenador una

función: pasa el ratón por encima

La gráfica de una función y = f(x) es el conjunto de todos los pares (x, y), donde x pertenece a dominio de la función e y = f(x) es el valor que toma

la función f en el elemento x

• El ordenador puede dibujar funciones punto a punto. En el ejemplo la primera vez dibuja con puntos separados. La segunda vez con puntos muy cercanos.

• Si los puntos no están adecuadamente elegidos incluso el ordenador puede fracasar, y no ser capaz de darnos el aspecto de la función.

Gráfica de la función y = x

1 + x2



Final

Gráficas de algunas funciones (II)

• Es una parábola• Dom (f) = R• Rec(f) = [0, +)

• Es una cúbica• Dom (f) = R• Rec(f) = R

Función f(x)=x

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

X

Y

2 Función f(x)=x -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

X

Y

3



Final

Gráficas de algunas funciones (III)

• Es una hipérbola• Dom (f) = R - {0}• Rec(f) = R - {0}

• Dom (f) = [0, +)• Rec(f) = [0, +)

Función f(x)=1/x -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

X

Y

Función f(x) = raíz de x -1

0

1

2

3

4

5

-1 0 1 2 3 4 5

X

Y



Final

Gráficas de algunas funciones (IV)

• Dom (f) = R• Rec(f) = R

Función f(x) = raíz cúbica de x -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

X

Y



Final

Funciones definidas a trozos

f (x) = x + 1 si x 0x - 1 si x > 0

x + 1 si x 0 x - 1 si x >0

X

Y

• Dom (f) = R• Rec (f) = R

1

-1

-1

1



Final

Función y = |x|

| x | = -x si x 0x si x > 0

- x si x 0 x si x >0

X

Y

• Dom (f) = R• Rec (f) = [0, +)



1 32-1-2

Final

Función y = [ x ]

f(x) = [ x ] =

.......-3 si -3 x<-2-2 si -2 x<-1-1 si -1 x<00 si 0 x<11 si 1 x<2.......

X

Y

• Dom (f) = R• Rec (f) = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, ....}



Final

Funciones obtenidas a partir de otras: traslaciones en la variable dependiente

Si la función y =f(x) pasa por el punto (xo,yo) entonces la función y =f(x)+a pasa por el punto (xo, yo+a). La gráfica de y = f(x)+a se obtiene trasladando a unidades hacia la arriba (abajo) la gráfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0)

X

Y

Gráfica de y = f(x)

Gráfica de y = f(x)+2

X

Y

Trasladamos la gráfica de y = f(x), 2

unidades hacia arriba



Final

Funciones obtenidas a partir de otras: traslaciones en la variable independiente

Si la función y =f(x) pasa por el punto (xo, yo) entonces la función y =f(x+a) pasa por el punto (xo - a, yo). La gráfica de y = f(x+a) se obtiene trasladando a unidades hacia la izquierda (derecha) la gráfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0)

X

Y


Gráfica de y = f(x+2)

Trasladamos la gráfica de y = f(x) 2 unidades

a la izquierda

X

Y



Final

Funciones obtenidas a partir de otras: dilataciones en la variable dependiente


Gráfica de y = 2f(x)

Se dilata la gráfica verticalmente al

doble

Si y = f(x) pasa por (xo,yo) entonces y = af(x) pasa por (xo, ayo). Por ello para a>1 esta transformación dilata verticalmente la gráfica, y para 0 < a < 1 la contrae verticalmente

X

Y

X

Y



Final

Gráficas de f(x) y de - f(x) (I)

Conocida la gráfica de y = f(x), la gráfica de g(x) = - f(x) es simétrica respecto al eje de abcisas, ya que los puntos (x, f(x)), y (x, g(x)) = (x, -f(x)) son simétricos respecto a este eje

X

Y

X

Y


Gráfica de y = - f(x)

Se simetriza la gráfica respecto al eje OX



Final

Funciones obtenidas a partir de otras: dilataciones en la variable independiente

Si la función y = f(x) pasa por el punto (xo,yo) entonces y = f(ax) pasa por el punto (xo/a, yo). Si a > 1 la gráfica se contrae horizontalmente. Si 0 < a < 1 la gráfica se dilata horizontalmente

X

Y


Gráfica de y = f(2x)

Se contrae la gráfica horizontalmente a la

mitadX

Y



Final

Gráficas de f(x) y de f(-x) (II)

Las gráficas de f(x) y de g(x) = f(-x) son simétricas respecto al eje de ordenadas ya que los puntos (x, f(x)) y (-x, g(-x)) = (-x, f(x)) son simétricos respecto a este eje

X

Y


Gráfica de y = f(-x)

X

Y

Se simetriza la gráfica respecto al eje OY



Final

Funciones pares

X

Y

f(x) = x4 - 2x2 presenta simetría respecto a la recta x = 0 (Eje Y) ya que f(-x) = f(x) x D. Se dice que es una función par

x-xx = 0

P(x, f(x))• P(-x, f(-x)) •



Final

Funciones impares

X

Y

f(x) = x3/(x2-1) presenta simetría respecto al origen de coordenadas ya que f(-x) = - f(x) x D. Se dice que es una función impar

x

• P(x, f(x))

-x

P(-x, f(-x)) •

f(x)

f(-x)

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