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Material de ayuda al profesor

Programa del Diploma

Matemáticas NM Evaluación interna

Primeros exámenes: 2006

Organización del Bachillerato Internacional

Buenos Aires Cardiff Ginebra Nueva York Singapur


Primeros exámenes: 2006

Material de ayuda al profesor deMatemáticas NM

Evaluación interna

5002

Impreso en el Reino Unido por Anthony Rowe Ltd (Chippenham, Wiltshire)


Material de ayuda al profesor de Matemáticas NM: evaluación interna

Versión en español del documento publicado en septiembre de 2005 con el título Mathematics SL: internal assessment—teacher support material

Publicada en septiembre de 2005

por la Organización del Bachillerato InternacionalPeterson House, Malthouse Avenue, Cardiff Gate

Cardiff, Wales GB CF23 8GLReino Unido

Tel.: + 44 29 2054 7777Fax: + 44 29 2054 7778Sitio web: www.ibo.org

© Organización del Bachillerato Internacional, 2005

La Organización del Bachillerato Internacional es una fundación educativa internacional sin fines de lucro. Fue creada en 1968 y tiene sede legal en Suiza.

IBO agradece la autorización para reproducir en esta publicación material protegido por derechos de autor. Cuando procede, se han citado las fuentes originales y, de serle notificado, IBO enmendará cualquier error u omisión con la mayor brevedad posible.

El uso del género masculino en esta publicación no tiene un propósito discriminatorio y se justifica únicamente como medio para hacer el texto más fluido. Se pretende que el español utilizado sea comprensible para todos los hablantes de esta lengua y no refleje una variante particular o regional de la misma.

Los artículos promocionales y las publicaciones de IBO en sus lenguas oficiales y de trabajo pueden adquirirse a través del catálogo en línea, disponible en www.ibo.org al seleccionar Publicaciones en el menú de atajos. Las consultas sobre pedidos deben dirigirse al departamento de ventas en Cardiff.

Tel.: +44 29 2054 7746Fax: +44 29 2054 7779

Correo-e: [email protected]

Índice

Introducción 1

Generalidades 1

Criterios de evaluación 4

Introducción 4

Niveles de logro 6

Cómo orientar a los alumnos 12

Cómo iniciar a los alumnos en el trabajo de la carpeta 12

Organización y desarrollo de la carpeta 14

Tareas preparadas por los profesores 17

Ejemplos de tareas de la carpeta 23

Introducción 23

Tareas de tipo I 24

Tareas de tipo II 31

Ejemplos de trabajos de alumnos y su evaluación 37

Introducción 37

Tareas de tipo I 38

Tareas de tipo II 66

Generalidades

© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 1

Los primeros exámenes del nuevo programa de Matemáticas Nivel Medio (NM) se realizarán en mayo de 2006.

Esta publicación complementa la guía de Matemáticas NM, publicada en abril de 2004, que contiene el programa y los requisitos de evaluación del curso. Se han reproducido extractos de la guía cuando se consideraba adecuado para facilitar la referencia. El objetivo de esta publicación es ofrecer sugerencias y orientación para la implementación del componente de evaluación interna, la carpeta. No se han reproducido ni el reglamento general ni los procedimientos relacionados con la evaluación interna, que pueden encontrarse en la edición correspondiente del Vademécum.

Todos los alumnos deben presentar una carpeta con dos trabajos que habrán realizado durante el curso. El profesor evalúa internamente cada uno de los trabajos de la carpeta según los criterios relacionados con los objetivos del programa de Matemáticas NM. Después, se modera externamente una muestra de carpetas de alumnos por cada colegio, para asegurar la uniformidad de los estándares de corrección. La calificación de la carpeta representa el 20% de la puntuación total de la asignatura de Matemáticas NM.

El profesor es quien asigna las tareas de la carpeta, que deben estar basadas en distintas áreas del programa y representar dos tipos de tareas: investigación matemática (tipo I) y utilización de modelos matemáticos (tipo II). Las definiciones de los distintos tipos de tareas vienen dadas en las páginas 2 y 3. Los alumnos deben presentar una carpeta con dos trabajos, y se recomienda que los profesores establezcan más de dos tareas.

Esta publicación contiene material de apoyo que ejemplifica los estándares de corrección de la carpeta junto a ejemplos de tareas y trabajos de alumnos, así como orientación sobre el modo de integrar y organizar el trabajo en la clase. Este material ha sido aportado por profesores para ayudar a otros profesores en todos los aspectos del trabajo de la carpeta. Se debe recordar que las tareas escritas para el anterior programa de la asignatura no se prestan para obtener los mayores niveles en algunos criterios.

IBO agradecerá a los profesores los comentarios que deseen hacer sobre esta publicación, así como las ideas que deseen aportar para la enseñanza de la asignatura, que puedan resultar útiles para otros profesores de colegios que imparten el Programa del Diploma. Los comentarios deben dirigirse a los responsables de las asignaturas del Grupo 5 en las oficinas de IBO en Cardiff (Reino Unido).

Propósito de la carpetaEl propósito de la carpeta es proporcionar al alumno la oportunidad de obtener una calificación por los trabajos matemáticos desarrollados en circunstancias normales, es decir, sin la presión ni las limitaciones de tiempo impuestas por los exámenes escritos. Por lo tanto, se debe poner especial énfasis en una redacción correcta junto a una seria reflexión matemática.

Asimismo, la intención de la carpeta es ofrecer a los alumnos oportunidades para comprender mejor ciertos conceptos y procesos matemáticos. Se espera que, al realizar los trabajos, los alumnos saquen provecho de estas actividades matemáticas y que les resulten motivadoras y gratificantes.

Con la carpeta se pretende:

• que los estudiantes desarrollen una perspectiva propia acerca de la naturaleza de las matemáticas, así como la capacidad para plantearse sus propias preguntas sobre la disciplina

• proporcionar a los estudiantes oportunidades de realizar trabajos matemáticos extensos sin las limitaciones de tiempo impuestas por los exámenes escritos

Introducción

Generalidades

2 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005

• que los estudiantes sean capaces de desarrollar destrezas y técnicas propias y sentir la satisfacción de aplicar procedimientos matemáticos según su criterio

• proporcionar a los estudiantes oportunidades de experimentar la belleza, las posibilidades y la utilidad de las matemáticas

• proporcionar a los estudiantes oportunidades de descubrir, utilizar y apreciar las posibilidades de las calculadoras o los computadores como herramientas para el trabajo matemático

• que los estudiantes sean capaces de desarrollar cualidades tales como la paciencia y la perseverancia, así como de reflexionar sobre el significado de los resultados que obtienen

• proporcionar a los estudiantes oportunidades de exponer con confianza lo que saben y lo que son capaces de hacer.

Objetivos específicosLa carpeta la evalúa internamente el profesor y la modera externamente IBO. Los criterios de evaluación interna se han desarrollado teniendo en cuenta los objetivos específicos para Matemáticas NM, pero en especial los que aquí se incluyen, puesto que se evalúan mejor sin las limitaciones de tiempo que imponen los exámenes escritos.

En relación con la carpeta, y cuando corresponda, se espera que los alumnos sean capaces de:

• conocer y usar la terminología y la notación adecuadas

• organizar y representar la información y los datos en forma de tablas, gráficas y diagramas

• reconocer modelos y estructuras en situaciones diversas y hacer generalizaciones

• demostrar la comprensión de los modelos matemáticos y saber utilizarlos apropiadamente

• reconocer las aplicaciones prácticas de las matemáticas y demostrar su comprensión

• utilizar como herramientas matemáticas los instrumentos tecnológicos apropiados.

Tareas

Tareas de tipo I: investigación matemáticaAunque muchos profesores utilizan en sus clases un enfoque orientado a la resolución de problemas, los alumnos también han de tener la oportunidad formal de llevar a cabo un trabajo de investigación. Con la investigación matemática se pretende destacar que:

• la idea de investigación es fundamental en el estudio de las matemáticas

• el trabajo de investigación conduce con frecuencia a la compresión del modo en que las matemáticas se pueden aplicar a la resolución de problemas en diversos campos

• el aspecto relativo al descubrimiento, inherente a un trabajo de investigación, profundiza la comprensión y proporciona una motivación intrínseca

• durante el proceso de investigación, los alumnos adquieren conocimientos matemáticos, técnicas de resolución de problemas, conocimientos de conceptos fundamentales y una mayor confianza en sí mismos.

Toda investigación se desarrolla a partir de un problema inicial. El mismo se debe establecer claramente, sin ambigüedades, y debe:

• suponer un desafío y una oportunidad para utilizar la creatividad

• admitir múltiples vías de solución, es decir, incluir posibilidades de que los alumnos elijan distintas formas de proceder de entre una gama de opciones.

Generalidades


Destrezas básicas que se evalúan• Elaboración de una estrategia

• Generación de datos

• Reconocimiento de modelos o estructuras

• Búsqueda de otros casos

• Formulación de una proposición general

• Comprobación de la proposición general

• Justificación de la proposición general

• Uso adecuado de las tecnologías

Tareas de tipo II: utilización de modelos matemáticosLa resolución de problemas induce, por lo general, a un enfoque orientado al proceso, mientras que la utilización de modelos matemáticos requiere un enfoque experimental. Al considerar distintas opciones, los alumnos pueden utilizar los modelos para llegar a una conclusión determinada, a partir de la cual poder resolver el problema. La evaluación del proceso de utilización de modelos deberá centrarse en si el modelo seleccionado es apropiado a la situación dada, y en la interpretación crítica de los resultados del modelo en la situación tomada de la realidad.

La utilización de modelos matemáticos implica las siguientes destrezas:

• formulación matemática del problema tomado de la realidad

• construcción de un modelo

• resolución del problema

• interpretación de la solución en la situación tomada de la realidad (es decir, mediante la modificación o ampliación del problema)

• reconocimiento de que se pueden utilizar distintos modelos para resolver el mismo problema

• comparación entre los distintos modelos

• identificación de los ámbitos de validez de los modelos

• identificación de las posibles limitaciones de las tecnologías

• manejo de datos.

Destrezas básicas que se evalúan• Identificación de las variables del problema

• Construcción de las relaciones entre estas variables

• Manejo de los datos relativos al problema

• Estimación de los valores de los parámetros del modelo que no se pueden medir o calcular a partir de los datos

• Valoración de la utilidad del modelo

• Comunicación de todo el proceso

• Uso adecuado de las tecnologías

Las definiciones correspondientes a tareas de tipo I (investigación matemática) y de tipo II (utilización de modelos matemáticos) se pueden encontrar en las páginas 2 y 3. Cada uno de los trabajos de la carpeta se debe evaluar según los seis criterios siguientes.

Tareas de tipo I: investigación matemática Tareas de tipo II: utilización de modelos matemáticos

A Uso de la notación y de la terminología A Uso de la notación y de la terminología

B Comunicación B Comunicación

C Procedimientos matemáticos: búsqueda de modelos

C Procedimientos matemáticos: desarrollo de un modelo

D Resultados: generalización D Resultados: interpretación

E Uso de medios tecnológicos E Uso de medios tecnológicos

F Calidad del trabajo F Calidad del trabajo

Los descriptores de los niveles de logro para cada uno de los seis criterios aparecen en la guía de Matemáticas NM y se reproducen en esta sección para facilitar la referencia. Las instrucciones para aplicar los criterios también se incluyen en la guía. Obsérvese que los criterios C y D son distintos para cada tipo de tarea. Es especialmente importante tener en cuenta que cada nivel de logro establece los requisitos mínimos para alcanzar ese nivel.

Nota final de la carpetaCada carpeta ha de contener dos trabajos (si se han realizado más de dos, se deben elegir los dos mejores para entregar). La puntuación final de cada carpeta se obtiene sumando los niveles de logro de los dos trabajos para obtener el total sobre 40. Por ejemplo:

A B C D E F

Tipo I 1 3 3 2 3 2

Tipo II 2 3 4 2 2 2

3 + 6 + 7 + 4 + 5 + 4 = 29

La puntuación final es 29.

Carpetas incompletasSi sólo se entrega un trabajo, se asignará cero en cada uno de los criterios para el trabajo que falta. Por ejemplo:

A B C D E F

Tipo I 1 3 3 2 3 2

Tipo II 0 0 0 0 0 0

1 + 3 + 3 + 2 + 3 + 2 = 14


Introducción


Criterios de evaluación

Introducción

Carpetas que no cumplen con los requisitosSi se entregan dos trabajos, pero no corresponden uno a las tareas de tipo I (investigación matemática) y otro a las tareas de tipo II (utilización de modelos matemáticos), según se definen en las páginas 2 y 3, se calificarán los dos trabajos y se aplicará una penalización de 10 puntos al resultado final. Por ejemplo:

A B C D E F

Tipo I 1 3 3 2 3 2

Tipo II 2 3 4 2 2 2

3 + 6 + 7 + 4 + 5 + 4 = 29

Y aplicando la penalización de 10 puntos, quedará: 29 – 10 = 19.


Nivel de las tareasLas tareas que establezca el profesor deben ser adecuadas al nivel del curso. Se deben elegir tareas adecuadas a un curso del Nivel Medio, y no a un curso del Nivel Superior.


Criterio A: uso de la notación y de la terminologíaNivel de logro Descriptor

0 El alumno no utiliza la notación ni la terminología adecuadas.

1 El alumno utiliza alguna notación o terminología adecuada.

2 El alumno utiliza la notación y la terminología adecuadas de forma sistemática a lo largo de todo el trabajo.

Es posible que las tareas se asignen antes de que los alumnos hayan estudiado la notación y la terminología que necesitan utilizar. Por tanto, la idea clave que subyace en este criterio es evaluar si la terminología que utiliza el alumno describe bien el contexto. El profesor ha de proporcionar un nivel adecuado del conocimiento que necesitan los alumnos por medio de notas entregadas en el momento de asignarles la tarea.

Se requiere una notación matemática correcta, pero puede ir acompañada de la notación que ofrecen las calculadoras, en especial cuando los alumnos están validando su uso de las tecnologías.

Este criterio se refiere al uso adecuado de los símbolos matemáticos (por ejemplo, el uso de “ ≈ ” en lugar de “=” o la notación correcta para los vectores).

La presentación del trabajo mediante un procesador de textos no incrementa el nivel de logro en este criterio, como tampoco en el criterio B.

El alumno ha de tener cuidado al escribir los símbolos matemáticos si el programa de procesador de textos que utiliza no los incorpora. Por ejemplo, si utilizase x^2 en lugar de x2, se consideraría que el uso no es adecuado, y no conseguiría el nivel 2.

Criterio B: comunicaciónNivel de logro Descriptor

0 El alumno no proporciona explicaciones ni utiliza formas de representación apropiadas (por ejemplo, símbolos, tablas, gráficas o diagramas).

1 El alumno intenta proporcionar explicaciones o utiliza algunas formas de representación apropiadas (por ejemplo, símbolos, tablas, gráficas o diagramas).

2 El alumno proporciona explicaciones o razonamientos adecuados y los expone utilizando formas de representación apropiadas (por ejemplo, símbolos, tablas, gráficas o diagramas).

3 El alumno proporciona explicaciones o razonamientos completos y coherentes y los expone utilizando formas de representación apropiadas (por ejemplo, símbolos, tablas, gráficas o diagramas).

Niveles de logro


Criterios de evaluación

Niveles de logro

Este criterio también evalúa la coherencia. El trabajo puede obtener una buena puntuación si el lector no necesita recurrir a la formulación utilizada para establecer la tarea. En otras palabras, si la tarea se puede calificar de forma independiente.

El nivel 2 no se puede alcanzar si el alumno se limita a presentar las operaciones matemáticas, sin explicaciones.

Se deben insertar las gráficas, tablas y diagramas donde corresponda en el trabajo y no adjuntarlas como anexos al final del documento. Las gráficas han de dibujarse cuidadosamente en papel milimetrado y aparecer correctamente rotuladas. Se admiten gráficas que hayan sido generadas por un programa de computador o con una calculadora con volcado de pantalla, siempre que estén correctamente rotuladas, aunque sea a mano. La utilización de colores en las gráficas puede ayudar a que resulten más claras.

Criterio C: procedimientos matemáticos

Tareas de tipo I: investigación matemática – Búsqueda de modelos

Nivel de logro Descriptor

0 El alumno no realiza ningún intento de utilizar una estrategia matemática.

1 El alumno utiliza una estrategia matemática para producir los datos.

2 El alumno organiza los datos obtenidos.

3 El alumno intenta analizar los datos de modo que sea posible formular una proposición general.

4 El alumno analiza de forma satisfactoria los datos correctos de modo que sea posible formular una proposición general.

5 El alumno comprueba la validez de la proposición general por medio de otros ejemplos.

Los alumnos sólo pueden alcanzar el nivel 3 si la cantidad de datos generados es suficiente para justificar un análisis.

Tareas de tipo II: utilización de modelos matemáticos – Desarrollo de un modelo


0 El alumno no define las variables, los parámetros o las restricciones de la tarea.

1 El alumno define algunas variables, parámetros o restricciones de la tarea.

2 El alumno define las variables, los parámetros y las restricciones de la tarea e intenta crear un modelo matemático.

3 El alumno analiza correctamente las variables, los parámetros y las restricciones de la tarea de modo que sea posible establecer un modelo matemático pertinente a la misma y adecuado al nivel del curso.

4 El alumno estudia si el modelo se ajusta bien a los datos.

5 El alumno aplica el modelo a otras situaciones.

En el nivel de logro 5, la aplicación del modelo a otras situaciones podría incluir, por ejemplo, un cambio de parámetro o una mayor cantidad de datos.


Niveles de logro

Criterio D: resultados

Tareas de tipo I: investigación matemática – Generalización


0 El alumno no formula ninguna proposición general coherente con los modelos o estructuras generados.

1 El alumno intenta formular una proposición general coherente con los modelos o estructuras generados.

2 El alumno formula correctamente una proposición general coherente con los modelos o estructuras generados.

3 El alumno expresa la proposición general correcta utilizando la terminología matemática adecuada.

4 El alumno establece correctamente el alcance o las limitaciones de la proposición general.

5 El alumno ofrece una justificación informal, correcta, de la proposición general.

Si un alumno ofrece una demostración formal correcta de la proposición general, pero que no tiene en cuenta el alcance o las limitaciones, se le ha de asignar el nivel 4.

Tareas de tipo II: utilización de modelos matemáticos – Interpretación


0 El alumno no ha llegado a ningún resultado.

1 El alumno ha llegado a algunos resultados.

2 El alumno no ha interpretado si los resultados del modelo en el contexto de la tarea son razonables.

3 El alumno ha intentado interpretar si los resultados del modelo en el contexto de la tarea son razonables, con el nivel de precisión adecuado.

4 El alumno ha interpretado correctamente si los resultados del modelo en el contexto de la tarea son razonables, con el nivel de precisión adecuado.

5 El alumno ha interpretado correctamente y de forma crítica si los resultados del modelo en el contexto de la tarea son razonables, para incluir posibles limitaciones y modificaciones de los resultados, con el nivel de precisión adecuado.


Niveles de logro

Criterio E: uso de medios tecnológicosNivel de logro Descriptor

0 El alumno utiliza la calculadora o el computador sólo para cálculos iterativos.

1 El alumno intenta utilizar la calculadora o el computador de un modo que podría contribuir a un mejor desarrollo de la tarea.

2 El alumno hace uso limitado de la calculadora o el computador de un modo que contribuye a un mejor desarrollo de la tarea.

3 El alumno hace uso completo y eficaz de la calculadora o el computador de un modo que contribuye significativamente a un mejor desarrollo de la tarea.

El nivel de tecnología de las calculadoras o los computadores varía de un colegio a otro. Por lo tanto, el profesor ha de establecer el nivel de medios tecnológicos a los que sus alumnos tienen acceso.

El uso de un computador o de una calculadora de pantalla gráfica sólo para generar gráficas o tablas puede no resultar una contribución significativa al desarrollo de la tarea.

Criterio F: calidad del trabajoNivel de logro Descriptor

0 La calidad del trabajo del alumno es baja.

1 La calidad del trabajo del alumno es satisfactoria.

2 La calidad del trabajo del alumno es destacada.

A los alumnos que satisfacen todos los requisitos correctamente se les ha de asignar el nivel 1. Para que un alumno alcance el nivel 2, su trabajo debe demostrar precisión, conocimiento y un alto nivel de comprensión matemática.


Niveles de logro

Resumen de los criterios de evaluación de las tareas de tipo I

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Niveles de logro

Resumen de los criterios de evaluación de las tareas de tipo II

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Cómo iniciar a los alumnos en el trabajo de la carpeta

En esta sección se tratan las cuestiones a las que se enfrenta el profesor al integrar el trabajo de la carpeta en la clase. En concreto:

• iniciar a los alumnos en el trabajo de la carpeta

• aconsejar a los alumnos

• realizar un seguimiento y proporcionar orientación a los alumnos tras la finalización de cada tarea

• asegurarse de que el trabajo entregado fue efectivamente realizado por el alumno.

Utilización de trabajos de años anterioresSe pueden dedicar horas lectivas a que los alumnos califiquen trabajos de alumnos de años anteriores (o trabajos presentados en este documento) según los criterios de evaluación correspondientes.

Además, los alumnos pueden intercambiar los trabajos que realizaron para calificarlos ellos mismos, en grupos o individualmente, según los criterios. También se podría hacer de modo que cada alumno o grupo de alumnos calificase su propio trabajo. Ello contribuiría a que se familiarizasen con los criterios y comprendiesen el objetivo de los mismos.

Redacción matemática correctaUno de los principales objetivos del trabajo de la carpeta es ayudar a los alumnos a comprender la importancia de una redacción matemática “correcta”. Para ello se sugiere que desde el principio del curso se les anime a leer trabajos matemáticos publicados.

Por ejemplo, se podría pedir a los alumnos que leyesen una sección adecuada de un libro de texto de matemáticas o un artículo de una revista matemática con objeto de prepararse para analizarlo de forma crítica en clase. Se debería poner el énfasis no sólo en la comprensión del contenido matemático sino también en la comprensión de lo que se requiere para comunicar con claridad ideas matemáticas a los lectores.

Se pueden encontrar artículos adecuados en revistas tales como Elementos de Matemática (Universidad CAECE, Argentina), UNO - Revista de didáctica de las matemáticas (Editorial GRAO, España), SUMA - Revista sobre el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas (Federación española de sociedades de profesores de matemáticas, España) y en el sitio web de Olimpíada Matemática Argentina (OmaNet, Argentina).

Los alumnos deben comprender que los trabajos que realizan son para que otras personas los lean. Por tanto, su redacción matemática debe ser clara y lógica, y las relaciones que se establecen, así como las explicaciones que se dan, deben ser adecuadas.

Tareas de introducciónUna vez establecida la necesidad de una buena redacción matemática, se podría iniciar el trabajo de la carpeta mediante pequeñas tareas de introducción que abordasen todos los alumnos de la clase en conjunto, o bien en grupos más pequeños, o de forma individual.

Las tareas de introducción podrían incluir un trabajo guiado, y de este modo emplear horas lectivas en la discusión de cada uno de los pasos. También se podría discutir la forma de estructurar el trabajo, con especial énfasis en la redacción. Estas tareas deben ser sencillas y basarse en trabajos que resulten familiares, de manera que el interés se centre en el proceso de desarrollo de las mismas.


Cómo orientar a los alumnos

Cómo iniciar a los alumnos en el trabajo de la carpeta

Tareas tales como ajustar una función a un conjunto de datos (ajuste de una función cuadrática a determinados datos mediante la resolución de sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas) o establecer términos generales de sucesiones podrían resultar adecuadas a modo de introducción. El uso de una herramienta de regresión para hallar una curva de ajuste óptimo contribuirá al desarrollo de las tareas que implican la utilización de modelos. Cualquiera sea el tema elegido, deberá integrarse en la programación relacionándolo directamente con lo que los alumnos están estudiando en ese momento y no constituir un trabajo matemático aislado.

Aconsejar a los alumnosDespués de leer el contenido de la tarea, es probable que los alumnos tengan algunas dudas. Se les debe animar a que busquen las respuestas a sus preguntas en ejemplos de sus propios trabajos, o en cualquier libro de texto disponible, o por medio de la discusión de esas cuestiones con el profesor o con otros alumnos. Se supone que los alumnos no trabajan completamente aislados en la realización de una tarea. En particular, los profesores deben intentar no reproducir las condiciones de examen.

Es posible que algunos alumnos necesiten una atención especial para superar las dificultades o la falta de comprensión iniciales, y los profesores no deben dudar en ofrecerles consejo. Si los alumnos hacen preguntas concretas, el profesor, cuando corresponda, debe orientarlos hacia líneas de investigación fructíferas en lugar de proporcionarles una respuesta directa. Si los alumnos realizan por sí solos las operaciones matemáticas y redactan sus conclusiones sin ayuda, entonces se puede considerar que su trabajo es una creación personal.

Realizar un seguimiento y proporcionar orientaciónEn la mayoría de las tareas será necesario realizar un seguimiento para asegurarse de que los alumnos han comprendido los objetivos de las mismas, en especial cuando la tarea se utiliza además para introducir un tema o consolidar la comprensión de un concepto. El tiempo dedicado a ello se consideran horas lectivas regulares.

También es necesario proporcionar comentarios a los alumnos sobre los niveles de logro alcanzados en cada criterio, de modo que puedan tenerlos en cuenta para mejorar los trabajos siguientes. Por tanto, es importante que se proporcione a los alumnos copias de los criterios de evaluación y que se les explique cómo se asignan los niveles de logro. En la guía de Matemáticas NM, en el apartado sobre organización y desarrollo de la carpeta, se ofrecen sugerencias sobre la forma de brindar orientación a los alumnos.

Asegurarse de que el trabajo entregado fue realizado por el alumnoLos alumnos deben tener presente desde el principio que todos los trabajos que entregan en la carpeta para ser evaluados han de ser de creación completamente personal. Es necesario tomar algunas medidas para asegurarse de que esto es así. Se incluyen sugerencias al respecto en la guía de Matemáticas NM, en el apartado sobre orientación y autoría original dentro de la descripción detallada de la evaluación interna.

Los alumnos pueden utilizar información que encuentren en Internet, materiales en CD-ROM y otras fuentes similares. Y aunque la técnica de “copiar y pegar” puede resultar tentadora, se debe dejar claro que esta práctica no está permitida, a menos que se proporcione el nombre del autor y los detalles de la fuente.

También es posible que los alumnos deseen consultar a expertos fuera del colegio. Aunque no se les debe desanimar si desean ampliar sus conocimientos, deben tener en cuenta los límites permitidos para obtener ayuda de fuentes externas. En general, es aceptable comentar una tarea y discutir los conceptos matemáticos relacionados con la misma. Sin embargo, no es aceptable que los alumnos reciban información escrita sobre aspectos específicos de una tarea, o que alguien haga parte del trabajo por ellos.


Esta sección trata sobre la organización y el desarrollo de la carpeta. Es un resumen de los requisitos establecidos en la guía de Matemáticas NM y ofrece sugerencias sobre la planificación, el registro del profesor y la necesidad de guardar los trabajos de los alumnos.

Estas sugerencias han sido planteadas por profesores en actividad para ayudar a proporcionar un marco adecuado que permita contar con toda la información pertinente cuando se la necesite. Sin embargo, cada profesor puede desarrollar su propio sistema.

PlanificaciónEl trabajo de la carpeta debe integrarse en la programación del curso de modo que favorezca el aprendizaje, ya sea al introducir un tema, al reforzar un significado matemático o como ejercicio de repaso. Por tanto, todas las tareas deben estar relacionadas con la programación del curso que ha desarrollado cada profesor en función del conocimiento y las destrezas que el alumno ha de adquirir.

La integración del trabajo de la carpeta será menos forzada si los profesores preparan las tareas ellos mismos. Si se utiliza una tarea elaborada por otra persona (por ejemplo un colega del mismo colegio, de otro colegio o de IBO), entonces será necesario realizar ciertos ajustes para asegurar que las matemáticas utilizadas están relacionadas con los temas que se enseñan en clase y con la formación de los alumnos.

Además, es importante que cada una de las tareas:

• sea exhaustiva respecto a la información que los alumnos necesitan para desarrollarla

• tenga un título, para facilitar la referencia

• especifique de qué tipo de tarea se trata (es decir, tipo I o tipo II)

• se imprima un número de veces suficiente para que cada alumno pueda tener su propia copia como referencia.

Registro del profesorEs importante que, durante los dos años del curso, se lleve un registro bien documentado para que el profesor cuente con la información necesaria para completar los impresos que se adjuntan a las muestras enviadas para la moderación. La información sobre los requisitos para enviar una muestra para la moderación, junto con los impresos necesarios, se encuentra en el apartado correspondiente del Vademécum.

Resulta útil registrar los siguientes detalles cuando se establece y se evalúa cada tarea:

• áreas del programa de estudios relacionadas con la tarea

• fecha en que se asignó la tarea al alumno y fecha de entrega (que debe ser aproximadamente entre tres y diez días más tarde)

• tipo de tarea (tipo I o tipo II)

• indicaciones para la corrección (por ejemplo, resultados algebraicos o numéricos esperados, o cuestiones determinadas que se buscan para cada criterio)

Organización y desarrollo de la carpeta




• toda la información relativa a destrezas y conceptos del programa de estudios, y si ya se habían estudiado en el momento en que se asignó la tarea o no

• disponibilidad de medios tecnológicos.

Esta información es necesaria para que los moderadores puedan conocer el contexto en el que se asignó la tarea. Así por ejemplo, las expectativas de rendimiento en una tarea que se utiliza para introducir un tema serían distintas de las expectativas en una tarea similar realizada por alumnos que ya hubieran estudiado los conceptos matemáticos pertinentes.

Para registrar estos pormenores se podría utilizar un impreso similar al impreso A que se incluye al final de esta sección.

Orientación para los alumnosComo se ha dicho en el apartado sobre orientación a los alumnos, y en la guía de Matemáticas NM, es importante que los alumnos reciban comentarios sobre sus trabajos para poder mejorar su rendimiento.

El impreso B, que se encuentra al final de esta sección, ha sido diseñado para este propósito, aunque los profesores pueden modificarlo para adaptarlo a sus necesidades. En él los profesores pueden hacer comentarios sobre el trabajo entregado en relación con los niveles de logro alcanzados en cada uno de los criterios, y también ofrecer orientación sobre el modo en que se podrían mejorar. Se podrían imprimir los criterios de evaluación en la parte de atrás para facilitar la referencia al alumno. Antes de entregar estos comentarios a los alumnos, los profesores deben hacer copias para uso propio, de modo que puedan llevar un registro de los niveles de logro alcanzados.

Los comentarios a los alumnos también se pueden proporcionar, por supuesto, mediante charlas individuales, en grupos pequeños o con toda la clase. Se recomienda a los profesores que escriban sus comentarios en el trabajo entregado por el alumno.

Información para moderadores y alumnosAl corregir el trabajo del alumno, se recomienda a los profesores que indiquen las correcciones (por ejemplo, con marcas o cruces) e incluyan comentarios para explicar los distintos niveles de logro otorgados.

El moderador necesita una explicación sobre el modo en que se otorgaron los niveles de logro. Se debe completar el impreso correspondiente del Vademécum y entregarlo con la muestra. No obstante, si los profesores han utilizado el impreso B (o uno similar) para escribir sus comentarios, se puede adjuntar al impreso del Vademécum.

Guardar los trabajosUna vez terminado el trabajo de seguimiento, se recomienda especialmente que los alumnos devuelvan su trabajo al profesor para que quede guardado en un lugar seguro. De este modo, se garantiza que no se pierda ningún trabajo y que no quede ninguna carpeta incompleta (es decir, con menos de dos trabajos).



Selección del trabajo que se va a incluir en la carpetaSi los alumnos han realizado más de dos trabajos (como se recomienda) tendrán que seleccionar los dos mejores para la carpeta. Para este propósito se puede utilizar el impreso C (que se encuentra al final de esta sección) u otro similar, que el alumno puede completar durante el curso a modo de registro general de lo logrado.

Se sugiere que la selección final la realice el alumno con la orientación del profesor. Esto se puede llevar a cabo en horas de clase y, por tanto, se debe incluir al planificar el uso de las 10 horas reservadas para el trabajo de la carpeta.

La selección final se debe realizar con cuidado para garantizar que se cumpla con todos los requisitos y que se logre la máxima puntuación. En especial, se debe recordar que cada carpeta debe contener dos trabajos, uno de cada tipo de tarea (tipo I y tipo II).

Selección de la muestraLos profesores deben asegurarse de comprender claramente los requisitos con que debe cumplir la muestra que envían. No se debe incluir trabajo incompleto: una carpeta que contenga menos de dos trabajos no debe formar parte de la muestra. Si la muestra seleccionada por IBIS incluye una carpeta incompleta, se debe enviar también otra carpeta que tenga la misma puntuación (o similar) junto con la incompleta.

Cuando en un colegio hay dos o más profesores de la asignatura, deben acordar estándares comunes antes de llegar a la puntuación final de cada alumno. Es decir, se debe realizar una estandarización interna de la corrección en el colegio.

Fechas de entregaLas fechas límite para enviar las muestras al moderador se encuentran en el Vademécum. Los profesores también deben comprobar a través de su coordinador del Programa del Diploma si se han establecido o no otras fechas de entrega internas en el colegio.


Tareas preparadas por los profesores

IntroducciónSegún se establece en la guía de Matemáticas NM, el trabajo de la carpeta debe integrarse en la programación del curso. Antes del comienzo del mismo se debe planificar la programación e identificar las tareas adecuadas que se puedan incorporar para reforzar el proceso de aprendizaje. Los alumnos tienen que entregar dos trabajos, pero se recomienda que realicen más de dos y elijan luego los mejores.

Al asignar las tareas, se debe tener en cuenta la formación de los alumnos y el objetivo de cada tarea, así como los medios tecnológicos de que disponen. Las tareas deben:

• proponerse periódicamente a los alumnos en momentos adecuados a lo largo de los dos años del curso

• ser significativas y estar relacionadas con los temas que se estén estudiando en ese momento

• considerarse parte del trabajo regular de clase y de deberes, no como algo adicional.

Puede resultar útil proporcionar a los alumnos un calendario para las tareas en una etapa temprana del curso, para ayudarles a distribuir el tiempo. Esta sección trata del proceso de preparación de las tareas, desde posibles puntos de partida hasta su redacción final.

Punto de partidaEl proceso de preparación de una tarea puede tener distintos puntos de partida.

Una tarea preparada por otra personaSerá necesario, en primer lugar, hacer la tarea uno mismo para comprobar que es adecuada. Es casi seguro que será necesario realizar modificaciones para poder incorporar la tarea en una programación específica. Esto se hace extensivo a las tareas incluidas en este documento.

Un tema del programa de estudiosAlgunos temas del programa de estudios son particularmente adecuados para determinados tipos de tareas. Por ejemplo, el tema de sucesiones y series invita al trabajo de investigación con la calculadora de pantalla gráfica, y las funciones exponenciales se pueden aplicar en una tarea que implique la utilización de modelos.

Fuentes externasLos artículos de periódicos o revistas proporcionan con frecuencia el punto de partida para realizar una tarea que conlleve la utilización de modelos o una investigación. Tales artículos proporcionan una oportunidad excelente para aplicar las matemáticas a contextos de la vida cotidiana. No es muy probable que salgan publicados en el momento justo del curso, así que, por lo general, el uso de puntos de partida de este tipo debe planificarse con antelación.




Cuestiones de interés que surgen en discusiones de claseA veces los profesores intercambian problemas de matemáticas interesantes, o éstos surgen a partir de una discusión de clase. Siempre que estén relacionados con el programa de estudios, se pueden utilizar para elaborar una tarea para la carpeta.

Preguntas previasEs necesario plantearse las siguientes preguntas antes de comenzar a preparar una tarea para la carpeta.

¿Cuál es el objetivo de la tarea?Se debe comprender claramente el objetivo de cada tarea en cuanto a su utilización para introducir un tema, para reforzar un concepto matemático o como ejercicio de repaso.

¿De qué tipo debe ser (tipo I o tipo II)?Es importante tomar la decisión sobre el tipo de tarea en una etapa inicial y asegurarse de que la tarea satisface los requisitos específicos del tipo correspondiente.

¿Qué parte del programa de estudios evalúa?Las tareas de la carpeta deben estar directamente relacionadas con el programa de estudios. La elección de temas no incluidos en el mismo, o la ampliación de los trabajos por encima del nivel de estudios que se pretende, implicaría trabajo adicional tanto para el alumno como para el profesor.

¿Cuáles son las destrezas y los conocimientos necesarios?Los profesores deben tener en cuenta las destrezas y los conocimientos previos necesarios para que los alumnos realicen la tarea de forma satisfactoria. También deben tener en cuenta los conocimientos matemáticos y las destrezas que pretenden que los alumnos adquieran, desarrollen y repasen al realizar la tarea.

¿Qué trabajo de seguimiento será necesario realizar?El trabajo de seguimiento que se necesite variará según la naturaleza de la tarea y debe planificarse con antelación.

Proceso de preparaciónLa preparación de una tarea para la carpeta deberá llevarse a cabo a través de una serie de pasos.

Paso 1Hacer un borrador de la tarea, o seleccionar una que haya elaborado otra persona. En este punto se deben consultar los criterios de evaluación.

Paso 2Realizar uno mismo por completo la tarea, como si fuese el alumno.



Paso 3Consultar los criterios de evaluación. ¿Esta tarea va a proporcionar a los alumnos la oportunidad de obtener los niveles de logro más altos?

Paso 4Considerar si la tarea satisface los objetivos. ¿Tiene la extensión adecuada? ¿Tiene el nivel adecuado? ¿Qué van a aprender los alumnos?

Paso 5¿Qué fallas se han detectado en la tarea? ¿Cómo se podría mejorar?

Paso 6Hacer una nueva versión de la tarea de modo que quede preparada para que los alumnos la utilicen.

Paso 7Proponer la tarea a los alumnos y repetir después los pasos 3 a 6.



Matemáticas NMCarpeta

Registro del profesor

Impreso A

Título de la tarea: Tipo: I II

Fecha de asignación: Fecha de entrega:

Unidades del programa de estudios relacionadas con la tarea

Formación de los alumnos

Objetivo de la tarea

Conocimientos previos de destrezas o conceptos relacionados

Conocimientos previos de la terminología relacionada

Tecnología disponible

Expectativas del profesor en relación con la tecnología



Matemáticas NM

Carpeta

Comentarios para el alumno

Impreso B

Nombre:

Título de la tarea: Tipo: I II


A Uso de la notación y de la terminología / 2

B Comunicación / 3

C Procedimientos matemáticos / 5

D Resultados / 5

E Uso de medios tecnológicos / 3

F Calidad del trabajo / 2



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Esta sección contiene ocho ejemplos de tareas preparadas por profesores. A continuación se enumeran los títulos junto con información sobre el tipo de tarea y las áreas de la asignatura que tratan. En la lista también se indica si se dispone de ejemplos de impresos A y trabajos de alumnos (véase la sección que presenta ejemplos de trabajos de alumnos y su evaluación).

Título de la tarea Tipo Áreas del programa de estudios

Ejemplo de impreso A

Trabajo del alumno

1. Fracciones continuas I 1.1, 7.1

2. El copo de nieve de Koch I 1.1, 7.1

3. Potencias con matrices I 4.2, 4.3 � �

4. Derivadas de la función seno I 7.1, 7.2 � �

5. Distancias recorridas para frenar un vehículo

II 2.2, 2.3, 2.5�

6. Salida del sol en Nueva York II 2.2, 2.3, 3.4

7. Modelos para las mareas II 2.2, 2.3, 3.4

8. Modelo de cantidad de medicamento en la sangre

II 2.2, 2.3, 2.8�

Cada tarea se clasifica de acuerdo a su tipo como sigue:

• Tareas de tipo I: investigación matemática

• Tareas de tipo II: utilización de modelos matemáticos

Los profesores deben tener en cuenta que si utilizan las tareas que aquí se presentan, es importante que las consideren cuidadosamente y verifiquen que las instrucciones sean claras y el material adecuado para sus alumnos. (Véase también el apartado sobre tareas preparadas por los profesores.) No existe un estilo predeterminado para el formato de las tareas. Las que se encuentran en esta publicación tienen un formato determinado, pero no es necesario que los profesores lo adopten.

Introducción


Ejemplos de tareas de la carpeta

Tareas de tipo I

1 Fracciones continuas Tarea de tipo I, NM

DescripciónConsidere la siguiente fracción continua.

11

11

11

11

11

11

11

++

++

++

+⋅⋅ ⋅

Se puede considerar esta “fracción infinita” como una sucesión de términos, tn , donde

t1 = 1 1+

t2 = 11

1 1+

+

t3 = 11

11

1 1

++

+

•

•

•

Método1. Determine una fórmula general para tn +1 en función de tn .

2. Calcule los números decimales correspondientes a los 10 primeros términos. Construya una tabla de datos con estos términos y represente gráficamente la relación entre n y tn utilizando una calculadora de pantalla gráfica o un computador. Obtenga una copia impresa del resultado.¿Qué observa? ¿Qué es lo que esto sugiere acerca del valor de tn – tn +1 cuando n se hace muy grande?

3. ¿Qué problemas surgen al tratar de calcular el término que ocupa el lugar 200?

4. Utilizando los resultados de los pasos 1 y 2, establezca un valor exacto para la fracción continua.



Tareas de tipo I

5. Considere ahora otra fracción continua.

21

21

21

21

21

21

21

++

++

++

+⋅⋅ ⋅

Repita los pasos 1 a 4 anteriores utilizando esta fracción continua.

6. Considere ahora la fracción continua general.

kk

kk

kk

k

++

++

++

+⋅⋅ ⋅

11

11

11

1

Después de considerar diversos valores de k , determine un enunciado general para el valor exacto de cualquier función continua de este tipo. ¿Para qué valores de k es cierto el enunciado general que ha formulado? ¿Por qué puede afirmarlo? Proporcione pruebas que confirmen su respuesta.


Tareas de tipo I

2 El copo de nieve de Koch Tarea de tipo I, NM

DescripciónEn 1904 Helge von Koch identificó un fractal que parecía responder al modelo de un copo de nieve. El fractal se construye comenzando con un triángulo equilátero; sobre el tercio medio de cada lado se construye otro triángulo equilátero, y se repite el proceso indefinidamente. A continuación se muestra claramente el proceso con el triángulo original en la fase 0 y las figuras que resultan tras una, dos y tres iteraciones.

Fase 0 Fase 1 Fase 2 Fase 3

MétodoSea Nn = número de lados, ln = longitud de un lado, Pn = longitud del perímetro y An = área del copo de nieve, en la fase n-ésima.

1. Tomando la longitud inicial del lado igual a 1, elabore una tabla que muestre los valores de Nn , ln , Pn y An para n = 0, 1, 2 y 3. Utilice valores exactos para los cálculos. Explique la relación entre los términos sucesivos de la tabla para cada cantidad Nn , ln , Pn y An.

2. Mediante una calculadora de pantalla gráfica o un paquete de programas adecuado, cree las gráficas de los cuatro conjuntos de valores determinados según el valor de n . Imprima cada gráfica por separado.

3. Para cada una de las gráficas anteriores, elabore un enunciado en función de n que generalice el comportamiento que muestra la gráfica. Explique cómo ha llegado a estas generalizaciones. Verifique si las generalizaciones realizadas son coherentes con los conjuntos de valores obtenidos en la tabla.

4. Investigue lo que sucede para n = 4. Utilice las conjeturas elaboradas en el paso 3 para obtener los valores de N4 , l4 , P4 , y A4 . Dibuje ahora un diagrama grande de un “lado” (es decir, un lado que ha sido transformado del triángulo original) del fractal en la fase 4 y verifique claramente sus predicciones.

5. Calcule los valores de N6 , l6 , P6 y A6. No es necesario que verifique estos resultados.

6. Escriba los valores sucesivos de An en función de A0. ¿Qué modelo surge?

7. Explique qué le sucede al perímetro y al área cuando n se hace muy grande. ¿Qué conclusión se puede extraer acerca del área cuando ? Comente los resultados obtenidos.


Tareas de tipo I

3 Potencias con matrices Tarea de tipo I, NM

Método

1. Considere la matriz M =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2 0

0 2.

Calcule Mn para n = 2, 3, 4, 5, 10, 20, 50.

Describa con palabras cualquier patrón que observe.

Utilice ese patrón para hallar una expresión general de la matriz Mn en función de n.

2. Considere las matrices P =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3 1

1 3 y S =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

4 2

2 4.

P 2 =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3 1

1 3

10 6

6 102

5 3

3 5

2

; S 2 =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

4 2

2 4

20 16

16 202

10 8

8 10

2

Calcule Pn y Sn para otros valores de n y describa el patrón o patrones que observe.

3. Considere ahora las matrices de la forma k k

k k

+ −− +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 1

1 1 .

Los apartados 1 y 2 son ejemplos de estas matrices para k = 1, 2 y 3.

Considere otros valores de k y describa el patrón o patrones que observe.

Generalice estos resultados en función de k y n.

4. Utilice algún medio tecnológico para investigar lo que ocurre con otros valores de k y n. Establezca el alcance o las limitaciones de k y n.

5. Explique la razón por la que sus resultados son ciertos en general.


Tareas de tipo I

Matemáticas NM

Carpeta


Impreso A

Título de la tarea: Potencias con matrices Tipo: I II

Fecha de asignación: 12/03/05 Fecha de entrega: 20/03/05


4.2 y 4.3



Proporcionar una mayor práctica y comprensión de las potencias de matrices. Al considerar el alcance y las limitaciones se espera que los alumnos descubran que sólo se definen potencias de exponente entero.


Los alumnos conocían el producto de matrices, pero no habían trabajado las potencias de matrices.


Los alumnos están familiarizados con la terminología relacionada, excepto en lo que se refiere a la inversa de una matriz.


Cada alumno posee una calculadora Texas Instruments – 83 plus™ , y en la sala de informática está siempre disponible el programa Windows Graphlink®. Los alumnos también tienen acceso al programa Autograph®.


En esta tarea no se espera que los alumnos presenten resultados impresos; es suficiente con las matrices escritas a mano. Sin embargo, sí se espera que indiquen en qué casos han utilizado la calculadora de pantalla gráfica u otro medio tecnológico. En sesiones de clase al inicio y al final de la tarea he podido constatar el uso de calculadoras.


Tareas de tipo I

4 Derivadas de la función seno

Tarea de tipo I, NM

Téngase en cuenta que esta tarea sólo es adecuada cuando los alumnos todavía no han estudiado la derivada de la función seno ni la regla de la cadena. Constituye una forma de introducción gráfica a estos temas.

Método1. Investigue la derivada de la función f x x( ) = sen .

• Represente gráficamente f x x( ) = sen para − ≤ ≤2 2π πx .

• Basándose únicamente en esta gráfica, describa con todo detalle cómo se comporta la pendiente de la función en el dominio dado. Realice un dibujo aproximado de la gráfica de y f x= ′( ) .

• Haga una conjetura sobre la función derivada.

• Utilice la calculadora para comprobar gráficamente dicha conjetura. La opción derivada n-ésima (nDeriv) puede resultar de utilidad. Explique el método empleado y sus conclusiones. Modifique su conjetura si es necesario.

• Utilice la calculadora para verificar numéricamente dicha conjetura. Explique el método empleado y sus conclusiones. Modifique su conjetura si es necesario.

2. Investigue de un modo similar la derivada de las funciones de la forma g x a x( ) = sen .

• Considere varios valores distintos de a.

• Haga una conjetura para ′g x( ) .

• Compruebe la conjetura con otros ejemplos.

• Establezca para qué valores de a la conjetura es cierta.

3. Investigue de un modo similar la derivada de las funciones de la forma h x bx( ) = sen .

4. Investigue de un modo similar la derivada de las funciones de la forma j x x c( ) ( )= +sen .

5. Utilice los resultados de los apartados 1 a 4 para hacer una conjetura sobre la derivada de k x a b x c( ) ( )= +sen . Elija un valor para a , uno para b y uno para c . Verifique su conjetura para estos valores.

6. Considere m x x( ) = sen2. Investigue la derivada de esta función del mismo modo que antes, y

compruebe que se puede escribir como ′ =m x x x( ) cos2sen .


Tareas de tipo I

Matemáticas NM

Carpeta


Impreso A

Título de la tarea: Derivadas de la función seno Tipo: I II



7.1 y 7.2



Introducir y hacer justificables las derivadas de la función sen x y de composiciones sencillas con sen x.


Los alumnos están familiarizados con la derivada como función que describe la pendiente, y también con las transformaciones de las gráficas de las funciones circulares y con algunas fórmulas del ángulo doble.


Los alumnos están familiarizados con toda la terminología relacionada.


Cada alumno posee una calculadora Texas Instruments – 83 plus™ , y en la sala de informática está siempre disponible el programa Windows Graphlink®. Los alumnos también tienen acceso al programa Autograph®.


Los alumnos ya han usado la opción de derivada n-ésima (nDeriv) para representar gráficamente la función de las pendientes y saben manejar tablas. Esto es lo que se espera que utilicen.

Como fundamentación del trabajo se espera que se realicen volcados de pantalla de calculadora o impresión de gráficas con el Autograph®.


Tareas de tipo II

5 Distancias recorridas para frenar un vehículo

Tarea de tipo II, NM

DescripciónCuando un conductor frena, primero debe tomar la decisión de pisar el pedal. Después los frenos actúan para detener el vehículo.

La siguiente tabla muestra los tiempos medios de estos dos procesos a distintas velocidades.

Velocidad (km/h) Distancia de toma de decisión (m) Distancia de frenada (m)

32 6 6

48 9 14

64 12 24

80 15 38

96 18 55

112 21 75

En esta tarea se pretende desarrollar funciones que ofrezcan modelos de las relaciones entre velocidad y distancia de toma de decisión, así como entre velocidad y distancia de frenada. También se desarrollará un modelo para la relación entre velocidad y distancia total de parada.

Método1. Utilice una calculadora de pantalla gráfica o un programa de representación gráfica de computador

para crear dos gráficas: velocidad frente a distancia de toma de decisión y velocidad frente distancia de frenada. Describa los resultados obtenidos.

2. Utilizando sus conocimientos sobre funciones, escriba funciones que se ajusten al modelo de comportamiento observado en el apartado 1. Explique el trabajo que realiza.

3. La distancia total de parada se obtiene sumando la distancia de toma de decisión y la distancia de frenada. Cree una tabla con la velocidad y la distancia total de parada. Represente gráficamente estos datos y describa los resultados.

4. Cree una función que ofrezca un modelo para la relación entre la velocidad y la distancia total de parada. ¿Qué relación existe entre esta función y las funciones obtenidas en el apartado 2?

5. A continuación se muestran las distancias totales para otras velocidades. Comente si el modelo obtenido se ajusta a estos datos y qué modificaciones podrían ser necesarias.

Velocidad (km/h) Distancia de parada (m)

10 2.5

40 17

90 65

160 180



Tareas de tipo II

6 Salida del sol en Nueva York Tarea de tipo II, NM

DescripciónLa siguiente tabla muestra las horas de la salida del sol en Nueva York a intervalos de una semana durante el año 2003, comenzando el 1 de enero. Los datos vienen dados en horas y minutos para la zona horaria EST (hora de la costa este de Estados Unidos).

Hora Semana Hora Semana Hora Semana

07.20 1 04.34 21 06.06 41

07.20 2 04.29 22 06.14 42

07.18 3 04.26 23 06.22 43

07.14 4 04.24 24 06.30 44

07.09 5 04.26 25 06.39 45

07.02 6 04.29 26 06.47 46

06.54 7 04.33 27 06.55 47

06.45 8 04.38 28 07.02 48

06.35 9 04.44 29 07.08 49

06.24 10 04.50 30 07.14 50

06.13 11 04.57 31 07.18 51

06.01 12 05.04 32 07.18 52

05.50 13 05.11 33

05.38 14 05.17 34

05.27 15 05.24 35

05.16 16 05.31 36

05.06 17 05.38 37

04.56 18 05.45 38

04.47 19 05.52 39

04.40 20 05.59 40

Fuente: http://aa.usno.navy.mil/


Tareas de tipo II

Método1. Utilice un paquete gráfico o una hoja de cálculo para dibujar una gráfica con estos datos.

2. ¿Qué tipo de función podría ofrecer un modelo adecuado para estos datos? Explique qué suposiciones emplea en su respuesta.

3. Utilice sus conocimientos sobre las gráficas de ese tipo de funciones para hallar una función adecuada que ofrezca un modelo del comportamiento. Identifique claramente todas las variables y los parámetros, y explique el modo en que los ha determinado. Comente sobre el ajuste de la función a los datos.

4. Utilice alguna herramienta de regresión para hallar la función de ajuste óptimo. Comente todas las diferencias que encuentre con la función obtenida en el apartado 3.

5. Compare la utilidad de los dos modelos para:

(a) una persona que se propone salir a correr al amanecer

(b) una persona que se encarga de programar el apagado del alumbrado público.

6. ¿De qué modo cambiarían cada uno de los dos modelos si nos trasladamos 1000 km hacia el

(a) norte

(b) sur

(c) oeste?

Utilice Internet para hallar datos que confirmen sus respuestas.

7. La siguiente gráfica muestra las horas correspondientes de las puestas del sol.

Utilizando esta información junto con uno de los modelos para las salidas del sol, halle estimaciones para:

(a) la duración del día más corto

(b) las fechas aproximadas entre las cuales el día dura más de 12 horas.

ho

ra d

e la

pu

esta

del

so

l

número de semana

Puestas del sol en Nueva York


Tareas de tipo II

7 Modelos para las mareas Tarea de tipo II, NM

DescripciónSe cree que la Bahía de Fundy en Nueva Escocia (Canadá) tiene las mayores variaciones medias entre mareas del mundo. En la siguiente tabla se presentan los datos de las mareas correspondientes al 27 de diciembre de 2003 según la hora de la zona horaria AST (hora del Atlántico). Las mediciones se realizaron en la isla de Grindstone.

Hora(AST)

00.00 01.00 02.00 03.00 04.00 05.00 06.00 07.00 08.00 09.00 10.00 11.00

Altura (m)

7,5 10,2 11,8 12,0 10,9 8,9 6,3 3,6 1,6 0,9 1,8 4,0

Hora(AST)

12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00 19.00 20.00 21.00 22.00 23.00

Altura (m)

6,9 9,7 11,6 12,3 11,6 9,9 7,3 4,5 2,1 0,7 0,8 2,4

Fuente: http://www.lau.chs-shc.dfo-mpo.gc.ca

En esta tarea deberá desarrollar una función modelo para la relación entre la hora del día y la altura de la marea. Tenga en cuenta lo que se espera de una tarea de utilización de modelos a la hora de realizar el trabajo.

Método1. Mediante una calculadora de pantalla gráfica o un programa de representación gráfica de computador,

represente la gráfica de la hora frente a altura. Describa el resultado.

2. Utilice sus conocimientos sobre funciones para desarrollar una función que ofrezca un modelo para el comportamiento observado en la gráfica. Describa todas las variables, parámetros o restricciones del modelo. Explique claramente cómo establece el valor de los parámetros.

3. Sobre los mismos ejes de la gráfica del apartado 1, dibuje la gráfica de la función obtenida. ¿Se ajusta bien la función a los datos?

4. Modifique la función para crear un mejor ajuste. Describa las cuestiones que ha tenido en cuenta.

5. Los buenos marineros salen con sus barcos cuando la marea está bajando. Utilice su modelo para determinar entre qué horas se haría a la mar con su barco un buen marinero el 27 de diciembre de 2003 .

6. Mediante la opción de regresión de la calculadora de pantalla gráfica o de un programa de computador, desarrolle una función de ajuste óptimo para estos datos. Compare esta función con la que obtuvo de forma analítica.

7. La siguiente tabla muestra la altura de las mareas el 28 de diciembre de 2003. ¿Se ajusta la función que obtuvo a estos datos? ¿Qué modificaciones serían necesarias? Confirme que el modelo modificado se ajusta a los datos.


Tareas de tipo II

Hora(AST)

00.00 01.00 02.00 03.00 04.00 05.00 06.00 07.00 08.00 09.00 10.00 11.00

Altura (m)

5,0 7,9 10,2 11,6 11,6 10,5 8,5 6,0 3,5 1,7 1,2 2,2

Hora(AST)

12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00 19.00 20.00 21.00 22.00 23.00

Altura (m)

4,4 7,2 9,7 11,3 11,8 11,1 9,4 7,0 4,4 2,2 1,0 1,3


Tareas de tipo II

8 Modelo de cantidad de medicamento en la sangre


DescripciónLa gráfica que aparece a continuación ofrece un registro de la cantidad en flujo sanguíneo de un medicamento utilizado para la malaria durante las 10 horas siguientes a la ingestión de una dosis inicial de 10µg.

Parece que la tasa de variación del medicamento es aproximadamente proporcional a la cantidad remanente.

MétodoApartado A1. Con ayuda de esta información halle una función que ofrezca un modelo adecuado para estos datos.

2. Dibuje la gráfica de la función hallada y compárela con la de la figura anterior.

3. Comente la adecuación del modelo.

Apartado BSe indica a un paciente que tome 10µg del medicamento cada seis horas.

1. Dibuje aproximadamente un diagrama que muestre la cantidad de medicamento en el flujo sanguíneo durante un período de 24 horas y enuncie las posibles suposiciones que haya utilizado.

2. Utilizando la calculadora de pantalla gráfica o un programa de computador de representación gráfica y el modelo hallado en el apartado A, dibuje una gráfica precisa que represente esta situación.

3. Establezca los niveles máximo y mínimo durante este período.

4. Describa lo que ocurriría con estos valores durante la semana siguiente si:

(a) el paciente no toma más dosis

(b) el paciente continúa tomando una dosis cada seis horas.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 2 4 6 8 10 12

µ

µ

can

tid

ad d

e m

edic

amen

to e

n µ

g

tiempo en horas

cantidad de medicamento en el flujo sanguíneo


Esta sección presenta ejemplos de trabajos de alumnos que se realizaron a partir de tareas incluidas en la sección anterior.

Alumno Título Número de la tarea

A Potencias con matrices 3

B Derivadas de la función seno 4

C Distancias recorridas para frenar un vehículo 5

D Modelo de cantidad de medicamento en la sangre 8

El número de tarea que se indica en la tercera columna se refiere al orden en el que aparecen en la sección titulada “Ejemplos de tareas de la carpeta”.

La evaluación de cada trabajo se incluye al final del mismo. Con ello se pretende mostrar el nivel general requerido para Matemáticas NM e ilustrar el modo en que se deben otorgar los niveles de logro en cada criterio.

Un equipo formado por profesores experimentados y examinadores supervisores estuvo a cargo de realizar estas evaluaciones. Cada trabajo fue calificado por varias personas, que se pusieron de acuerdo sobre el nivel de logro que se debía otorgar. Se ofrecen explicaciones sobre la asignación de cada uno de estos niveles y, cuando corresponde, se hacen referencias específicas al trabajo del alumno.

Los profesores podrían calificar primero los trabajos ellos mismos antes de ver la evaluación que se ofrece, para comparar sus estándares de calificación con los de los examinadores.

Introducción


Ejemplos de trabajos de alumnos y su evaluación

Tareas de tipo I

Potencias con matrices – Alumno A

Tarea de tipo I, NM



Tareas de tipo I


Tareas de tipo I

Matemáticas NM

Carpeta


Impreso B

Nombre: Alumno A

Título de la tarea: Potencias con matrices Tipo: I II


A Uso de la notación y de la terminología 2 / 2

La notación es correcta a lo largo de todo el trabajo.

B Comunicación 2 / 3

El alumno se limita a presentar las operaciones matemáticas, casi sin explicaciones. Una introducción y más explicaciones habrían permitido alcanzar el nivel máximo. La tarea requiere recurrir al enunciado para entender lo que el alumno hace.

C Procedimientos matemáticos 4 / 5

La validez de la proposición general no siempre es comprobada con distintos ejemplos, ver por ejemplo el apartado 1.

D Resultados 3 / 5

El alumno no establece el alcance o las limitaciones de la proposición general, ni siquiera se plantea qué ocurre para exponentes negativos o fraccionarios. La proposición general ha sido probada para valores determinados de n, n=2 y n=3, como no ha sido probada formalmente para todo n natural no alcanza el nivel 4.

E Uso de medios tecnológicos 2 / 3

Aunque hace uso de la tecnología, no lo hace de forma que contribuya significativamente al desarrollo de la tarea. Así, por ejemplo, ésta podría haber sido utilizada para aplicar a otros casos y ver posibles limitaciones.

F Calidad del trabajo 1 / 2

Satisfactorio.


Tareas de tipo I

Derivadas de la función seno – Alumno B

Tarea de tipo I, NM


Tareas de tipo I


Tareas de tipo I

Matemáticas NM

Carpeta


Impreso B

Nombre: Alumno B

Título de la tarea: Derivadas de la función seno Tipo: I II



Correcta. Buena explicación sobre el uso de la notación del computador, que no está permitida.


Hace una buena introducción y una buena síntesis. En algunos puntos, hacen falta más explicaciones (páginas 2 y 15). Falta algún título (páginas 11 y 12) pero no será penalizado por ello. En general es completo, coherente y ha distinguido las gráficas con color.


Buen análisis. Comprueba la validez.

D Resultados 5 / 5

En esta tarea, los enunciados no tienen limitaciones. Valen para todos los valores de los parámetros. Da justificaciones informales de las propiedades.


La actividad fue desarrollada con el aporte tecnológico.


Ha realizado satisfactoriamente lo que se le ha solicitado. Con el trabajo hecho podía haber logrado otras propiedades. Por ejemplo, las derivadas enésimas de la función coseno.


Tareas de tipo I I

Distancias recorridas para frenar un vehículo – Alumno C




Tareas de tipo I I


Tareas de tipo I I

Matemáticas NM

Carpeta


Impreso B

Nombre: Alumno C

Título de la tarea: Distancias recorridas al frenar un vehículo Tipo: I II



Usa la notación de forma sistemática a lo largo de la tarea.


Buen nivel de comunicación. Explica la metodología usada. Falta una introducción con los objetivos del trabajo y la gráfica de F1. En las gráficas falta nombrar los ejes y título.


Desarrolla un modelo.

Distingue a las funciones obtenidas con distintos nombres, F1, F2 y F3 aunque conserva para las variables los de x, d y D. Hace consideraciones sobre los ajustes de los datos al modelo.

D Resultados 4 / 5

Se ha interpretado correctamente si los resultados son razonables, pero las limitaciones no han sido consideradas.


La calculadora de pantalla gráfica y el graficador han contribuido a la resolución de la tarea pero su uso hubiera sido significativo si la tarea se hubiera ampliado.


El trabajo muestra una calidad satisfactoria. Podría haber profundizado la tarea, en distintos aspectos.


Tareas de tipo I I

Modelo de cantidad de medicamento en la sangre – Alumno D



Tareas de tipo I I


Tareas de tipo I I

Matemáticas NM

Carpeta


Impreso B

Nombre: Alumno D

Título de la tarea: Modelo de cantidad de medicamento en la sangre Tipo: I II



La notación es correcta a lo largo de todo el trabajo.


La tarea se lee perfectamente sin necesidad de recurrir a ningún enunciado. El objetivo está definido, existen explicaciones a lo largo de todo el trabajo y las gráficas y tablas se integran bien en el documento.


Las variables y los parámetros se definen claramente estableciendo un modelo matemático que se ajusta bien a los datos. El alumno aplica el modelo inicial a otras situaciones como es el caso de la repetición de dosis en el tiempo.

D Resultados 4 / 5

El alumno ha interpretado si los resultados del modelo son razonables con el nivel de precisión adecuado; por ejemplo, cuando define la función en el apartado A y calcula el valor de λ . Sin embargo, no hay una crítica total y un buen estudio de las posibles limitaciones en el apartado B.


El alumno hace un uso eficiente de la tecnología aplicándola de modo que contribuye a un buen desarrollo de la tarea.


Satisfactorio.

Para conseguir el nivel de logro máximo falta una mayor comprensión matemática del apartado B.


Evaluación interna Primeros exámenes: 2006coamed.pbworks.com/f/d_5_matsl_tsm_0509_1_s.pdfEn...

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