Examenes Junio 05
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Departamento de Economía Aplicada
(Matemáticas)
Matemáticas para la Empresa 20-06-2005 Diplomado en Empresariales TIPO A
Apellidos:__________________________________ Nombre_________________
D.N.I.:___________________________ Grupo_______
1. (4 puntos) Dada la función ( )2( ) sen2
f x x x
π
= ⋅ :
a) Calcule su dominio. b) Calcule su derivada en el punto 1x = .
c) Calcule su derivada segunda en el punto 1x = .
2.
(3 puntos) Calcule la siguiente integral:
2 sen( )x x dx ∫
3. (3 puntos)
a) Determine los valores propios de la siguiente matriz:
5 2 30 1 1
0 5 3
A⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ − ⎟⎜⎝ ⎠
b) Dados los vectores: {(1, 2, 4), (0, 1, 1)} ¿con cuál(es) de los siguientes
podremos formar una base de 3 ? Justifique su respuesta.
b1) (1, 3, 5)
b2) (4, 6)
b3) (5, 3, 2)b4) (−1, −1, −3)
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Departamento de Economía Aplicada
(Matemáticas)
Matemáticas para la Empresa 20-06-2005 Diplomado en Empresariales TIPO B
Apellidos:__________________________________ Nombre_________________
D.N.I.:___________________________ Grupo_______
1. (4 puntos). Dada la siguiente función:
2 2( ) ( )x f x x x e = −
se pide:
a) Determinar sus puntos críticos.
b) Calcular su derivada segunda.
c)
Hallar los máximos y mínimos de la función.
2. (3 puntos) Calcular la siguiente integral:
3
32
1
2 dx
x −∫
3. (3 puntos)
a) Calcule los valores propios de la siguiente matriz
3 1 0
1 2 1
0 1 3
⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ − ⎟⎜⎝ ⎠
b) Dados los vectores (0, 1, 0) y (1, 1, 1), determine con cual se los siguientes
forman una base de 3 :
a)
(−1, 0, −1)
b) (1, 2)
c) (1, 2, 1)
c) (1, 2, 3)
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(Matemáticas)
Matemáticas para la Empresa 20/06/2005
Diplomado en Empresariales TIPO A
Apellidos:__________________________________Nombre_______________
D.N.I.:___________________________ Grupo_______
1. a) Dadas las funciones:
( )2
( , ) Ln
( ) ( , 1 )z
y z f x y
x
g z e z
= =
= +
determínese la matriz jacobiana de g f , en el punto (1, 1), mediante la regla de
la cadena.
b) Calcúlese el valor de la derivada direccional de g f en el punto del apartado
anterior, según la dirección del vector )0,1(=v
c) Estúdiese la homogeneidad de ( , ) f x y , determinando, en su caso, el grado.
2. Se sabe que la relación entre la cantidad de producción de un bien, q , y las
cantidades x e y de los factores productivos utilizados es:
( )2 2 2xy q x y q + − = .
Sabiendo que, para x = y = 1, la producción es q = 2, calcular, para estos niveles:
a) Las productividades marginales de los dos factores productivos en ese punto.
b) La relación marginal técnica de sustitución de y por x , (RMS yx = x
y
∂∂
), de manera
que se mantenga el nivel de producción.
3. Una empresa fabrica un solo producto, donde el coste depende de dos factores
productivos, representados por x e y , según la expresión siguiente:
3 21( , ) 10
2C x y x y = − +
El contrato con el proveedor obliga a la empresa a consumir la misma cantidad de los
dos factores. Se pide:
a) Determine las cantidades a consumir de los dos factores de forma que se minimice
el coste, utilizando la función de Lagrange.
b) Compruebe los teoremas de Weiertrass y Local-Global, y aplique sus consecuencias
a la solución del apartado a).
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(Matemáticas)
Matemáticas para la Empresa 20/06/2005
Diplomado en Empresariales TIPO B
Apellidos:__________________________________Nombre_______________
D.N.I.:___________________________ Grupo_______
1. a) Dadas las funciones:
2 2
2
( , )
( ) ( , ln( 1))
z f x y x y xy
g z z z
= = + −
= +
determínese la matriz jacobiana de g f , en el punto (1, 1), mediante la regla de
la cadena.
b) Calcúlese el valor de la derivada direccional de g f en el punto del apartado
anterior, según la dirección del vector )0,1(=v
c) Estúdiese la homogeneidad de ( , ) f x y , determinando, en su caso, su grado.
2. Se sabe que la relación entre la cantidad de producción de un bien, q , y las
cantidades x e y de los factores productivos utilizados es:( )3 3 2xy q x y q + − = .
Sabiendo que, para x = y = 1, la producción es q = 2, calcular, para estos niveles:
a)
Las productividades marginales de los dos factores productivos en ese punto.
b)
La relación marginal técnica de sustitución de y por x , (RMS yx = x
y
∂∂
), de
manera que se mantenga el nivel de producción.
3. Dado el siguiente problema
2 2
2. . 2 1
, 0
Opt x y
s a x y
x y
++ =
≥
a) ¿Se puede asegurar que tiene solución? ¿Los óptimos obtenidos van a ser
globales?
b) Resuélvalo mediante la función de Lagrange.