MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS II Unidades 1,2,4 24 de noviembre de 2014 Nombre: Nota:

1.- Emplear el método de Gauss para resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = 24𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 5

2𝑥 + 4𝑦 − 7𝑧 = 1

2.- Calcular la matriz inversa de la matriz

𝐴 = 1 0 −11 −1 10 1 −1

3.- a) Comprobar que la matriz 𝐴−1 = 5 −2

−7 3 es la inversa de 𝐴 =

3 27 5

.

(Comprobar que 𝐴−1 · 𝐴 = 𝐼)

b) Despejar la matriz 𝑋 en la ecuación matricial 𝐴 · 𝑋 + 𝐶 = 𝐵

c) Calcular 𝑋, siendo 𝐵 = 2 −31 3

y 𝐶 = 4 02 −1

.

4.- Resolver el siguiente problema de programación lineal:

Maximizar la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 80𝑥 + 20𝑦 sujeta a las restricciones

𝑦 ≥ 𝑥 + 20𝑥 + 𝑦 ≤ 150

𝑥 ≥ 20𝑦 ≥ 50

5.- Una empresa constructora cuenta con 60.000 m2 disponibles para urbanizar. Decide construir dos tipos de viviendas unifamiliares: Viviendas tipo A en parcelas de 200 m2, que albergarán a familias con una media de 5 miembros y que tendrá un precio de venta de 180.000 €; y Viviendas tipo B en parcelas de 300 m2, donde vivirán familias de 4 miembros y que tendrán un precio de 240.000 €. Las autoridades municipales le imponen las siguientes condiciones:

a) El número de viviendas no podrá superar las 225 unidades. b) El número de habitantes esperado no puede ser superior a 1.000 personas.

¿Cuántas vivendas de cada tipo deben construirse para maximizar los ingresos por la venta? (Escribir la función objetivo y el conjunto de restricciones )

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS II Unidades 1,2,4 24 de noviembre de 2014

Soluciones

1.- Emplear el método de Gauss para resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = 24𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 5

2𝑥 + 4𝑦 − 7𝑧 = 1

1 −1 −34 2 −12 4 −7

251

𝐹2 − 4𝐹1

𝐹3 − 2𝐹1

1 −1 −30 6 110 6 −1

2

−3−3

𝐹3 − 𝐹2 1 −1 −30 6 110 0 −12

2

−30

𝐹3 : − 12𝑧 = 0 → 𝑧 = 0

𝐹2: 6𝑦 + 11𝑧 = −3 → 6𝑦 = −3 → 𝑦 =−3

6= −

1

2

𝐹1: 𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = 2 → 𝑥 − −1

2 − 3 · 0 = 2 → 𝑥 = 2 +

1

2=

3

2

Solución:

𝒙 = 𝟑

𝟐

𝒚 = −𝟏

𝟐

𝒛 = 𝟎

2.- Calcular la matriz inversa de la matriz

𝐴 = 1 0 −11 −1 10 1 −1

1 0 −11 −1 10 1 −1

1 0 00 1 00 0 1

𝐹2 − 𝐹1 1 0 −10 −1 20 1 −1

1 0 0

−1 1 00 0 1

𝐹2 · (−1)

1 0 −10 1 −20 1 −1

1 0 01 −1 00 0 1

𝐹3 − 𝐹2 1 0 −10 1 −20 0 1

1 0 01 −1 0

−1 1 1

𝐹1 + 𝐹3

𝐹2 + 2𝐹3

1 0 00 1 00 0 1

0 1 1

−1 1 2−1 1 1

Solución: 𝑨−𝟏 = 𝟎 𝟏 𝟏

−𝟏 𝟏 𝟐−𝟏 𝟏 𝟏

3.- a) Comprobar que la matriz 𝐴−1 = 5 −2

−7 3 es la inversa de 𝐴 =

3 27 5

.

(Comprobar que 𝐴−1 · 𝐴 = 𝐼)

b) Despejar la matriz 𝑋 en la ecuación matricial 𝐴 · 𝑋 + 𝐶 = 𝐵

c) Calcular 𝑋, siendo 𝐵 = 2 −31 3

y 𝐶 = 4 02 −1

.

Solución a)

𝑨−𝟏 · 𝑨 = 𝑰 ∶ 𝟓 −𝟐

−𝟕 𝟑 ·

𝟑 𝟐𝟕 𝟓

= 𝟏 𝟎𝟎 𝟏

𝑨 · 𝑨−𝟏 = 𝑰 ∶ 𝟑 𝟐𝟕 𝟓

· 𝟓 −𝟐

−𝟕 𝟑 =

𝟏 𝟎𝟎 𝟏

Solución b)

𝐴 · 𝑋 + 𝐶 = 𝐵 ⟹ 𝐴 · 𝑋 = 𝐵 − 𝐶 ⟹ 𝐴−1 · 𝐴 · 𝑋 = 𝐴−1 · 𝐵 − 𝐶

𝑿 = 𝑨−𝟏 · 𝑩 − 𝑪 Solución c)

𝑋 = 5 −2

−7 3 ·

2 −31 3

− 4 02 −1

= 5 −2

−7 3 ·

−2 −3−1 4

𝑿 = −𝟖 −𝟐𝟑𝟏𝟏 𝟑𝟑

4.- Resolver el siguiente problema de programación lineal: Maximizar la función

𝑓 𝑥, 𝑦 = 80𝑥 + 20𝑦 sujeta a las restricciones

𝑦 ≥ 𝑥 + 20𝑥 + 𝑦 ≤ 150

𝑥 ≥ 20𝑦 ≥ 50

𝑦 ≥ 𝑥 + 20𝑥 + 𝑦 ≤ 150

𝑥 ≥ 20𝑦 ≥ 50

→

𝑦 ≥ 𝑥 + 20𝑦 ≤ 150 − 𝑥

𝑥 ≥ 20𝑦 ≥ 50

Se representan las rectas 𝑦 = 𝑥 + 20, 𝑦 = 150 − 𝑥, 𝑥 = 20 , 𝑦 = 50 Queda determinada la región factible que se muestra en el siguiente gráfico:

Cálculo de los vértices de la región fractible:

𝐴: 𝑥 = 20𝑦 = 50

𝐴 20,50

𝐵: 𝑥 = 20

𝑦 = 150 − 𝑥

𝑥 = 20𝑦 = 150 − 20 = 130

𝐵 20,130

𝐶: 𝑦 = 150 − 𝑥𝑦 = 𝑥 + 20

𝑥 + 20 = 150 − 𝑥 → 2𝑥 = 130 → 𝑥 =130

2= 65 𝐶 65,85

𝐷: 𝑦 = 50

𝑦 = 𝑥 + 20 → 50 = 𝑥 + 20 → 𝑥 = 30 → 𝐷 30,50

Valoración de la función objetivo en cada uno de los vértices: 𝐴: 𝑓 20,50 = 80 · 20 + 20 · 50 = 2600 𝐵: 𝑓 20,130 = 80 · 20 + 20 · 130 = 4200 𝐶: 𝑓 65,85 = 80 · 65 + 20 · 85 = 6900 𝐷: 𝑓 30,50 = 80 · 30 + 20 · 50 = 3400

Solución: La función se maximiza en el vértice 𝐂 𝟔𝟓, 𝟖𝟓 La solución óptima es 𝐱 = 𝟔𝟓, 𝐲 = 𝟖𝟓

El valor máximo es 𝐟 𝟔𝟓, 𝟖𝟓 = 𝟖𝟎 · 𝟔𝟓 + 𝟐𝟎 · 𝟖𝟓 = 𝟔𝟗𝟎𝟎

5.- Una empresa constructora cuenta con 60.000 m2 disponibles para urbanizar. Decide construir dos tipos de viviendas unifamiliares: Viviendas tipo A en parcelas de 200 m2, que albergarán a familias con una media de 5 miembros y que tendrá un precio de venta de 180.000 €; y Viviendas tipo B en parcelas de 300 m2, donde vivirán familias de 4 miembros y que tendrán un precio de 240.000 €. Las autoridades municipales le imponen las siguientes condiciones:

a) El número de viviendas no podrá superar las 225 unidades. b) El número de habitantes esperado no puede ser superior a 1.000 personas.

¿Cuántas vivendas de cada tipo deben construirse para maximizar los ingresos por la venta? Número de viviendas tipo A: 𝑥 Número de viviendas tipo B: 𝑦

Función objetivo: 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟏𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙 + 𝟐𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝒚 Conjunto de restricciones:

𝒙 ≥ 𝟎𝒚 ≥ 𝟎

𝟐𝟎𝟎𝒙 + 𝟑𝟎𝟎𝒚 ≤ 𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝒙 + 𝟒𝒚 ≤ 𝟏𝟎𝟎𝟎

𝒙 + 𝒚 ≤ 𝟐𝟐𝟓