EXERCICIS PROPOSATS · 2019. 10. 11. · EXERCICIS PROPOSATS EXAMEN PARCIAL. LESTAD ETSEIAT UPC...

EEXXEERRCCIICCIISSPPRROOPPOOSSAATTSS

EEXXAAMMEENN PPAARRCCIIAALL

LESTAD

ETSEIAT UPC

Enunciats exercicis examen parcial

M. Albareda I. Algaba S. Casadesús M. Pepió

7

Sigui la densitat de probabilitat de la figura, on a=1,1.

1. Què val V(X)?0,605 0,720 0,845 0,980 1,125 1,280 1,445

1,620 1,805 2,000 ........................................

2. Si X < 0,8, què val la probabilitat de X < 0,2?0,7115 0,7425 0,7692 0,7924 0,8125 0,6757

0,8300 0,8454 0,8588 0,8707 ...........

3. En un interval de 2 h, d�un procés de Poisson amb = 1 per h, la primera arribada ha estat als 30 minuts. Quina és la probabilitat que la propera arribada triguimés que la primera?0,3679 0,3329 0,3012 0,2725 0,2466

0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0,4066 ..............

4. Essent X N(m; 2 = 36), amb una mostra de grandària 4, en una prova d�hipòtesis les regions críti

ques són { X 104,5 i X < 96,5}, quin és el risc associat a m = 96?0,49621 0,38060 0,39189 0,40718 0,41869

0,43018 0,44573 0,45737 0,46893 0,48457 ................

5. Essent X N(m; 2), l�amplitud de l�interval de probabilitat 0,99094 és 52,2, què val 2?25 121 144 100 81

64 49 36 169 196 ...........................

6. X1, X2 i X3 són valors independents de X N(10; 2 = 36), què val P(0,9 X1 + 1,1 X2 > 2,1 X3)?0,35197 0,30854 0,27425 0,20327 0,18943

0,24510 0,22363 0,17619 0,47210 0,40517 ...........

7. Amb X N(10; 2 = 36), hom pren dues mostres, de n1 = 9 i n2 = 5, si P(S1 < a S2) = 0,05, què val a?0,510 0,539 0,567 0,563 0,535

0,543 0,546 0,521 0,529 0,557 ..................

8. Mesurada en dècimes de mil límetre, una excentricitat segueix una llei de 2 ( = 9). La peça és bonaquan X < 19. Hom pren una mostra de n = 3, quina és la probabilitat de no trobar cap defectuosa?

0,7290 0,8574 0,9851 0,9970 0,92690,9703 0,7093 0,7770 0,8021 0,6469 ..................

LESTAD

ETSEIAT UPC



8

9. Per estimar E(X) = m, essent X1, X2 i X3 una mostra, hom pren l�estimador 0,1 X1 + 0,1 X2 + 0,8 X3. Quinés el quocient entre la seva variància i la de l�estimador més usual?3,03 2,73 2,43 3,21 3,93

1,98 1,62 1,38 1,26 1,86 .....................

10. Siguin X b(n = 10; p = 0,1) i Y b(n = 12; p = 0,2) independents. Què val E[(X + Y)2]14,38 15,94 17,58 19,30 21,10 22,98

24,94 26,98 29,10 31,30 .........................

11. Les avaries d�un procés segueixen una llei de Poisson amb 2 avaries cada 100 hores de mitjana.Quina és la probabilitat que el nombre d�avaries en 250 hores sigui com a mínim 2 i com a màxim6?

0,5889 0,6728 0,6982 0,7218 0,7431 0,76170,7773 0,7895 0,7977 0,8017 ...........................

12. El nombre d�equips venuts diàriament per un concessionari és una variable aleatòria tal queP(X = 0) = 0,1; P(X = 1) = 0,5; P(X = 2) = 0,3 i P(X = 3) = 0,1. Quina és la probabilitat que en 81 diesles vendes no superin els 124 equips?

0,8389 0,8544 0,8962 0,9088 0,9382 0,94640,9656 0,9705 0,9913 0,9927 ..............................

13. El pes d�un envàs es distribueix N(100g; 16g2) i el cost és de 0,2�/g. Quina és la probabilitat que elcost total de 5 envasos sigui superior a 95�?

0,288 0,401 0,599 0,712 0,773 0,8410,894 0,954 0,987 0,997 ................................

14. La durada en anys, X, d�un component és tal que F(x) =2x1 e per x 0. Sabent que ja fa 12 me

sos que funciona, quina és la probabilitat de durar, com amínim, altres 10 mesos?0,0172 0,0249 0,0498 0,0690 0,0943 0,2096

0,2564 0,3679 0,4316 0,4994 .............................

15. El diàmetre d�una peça és N(100; 0,25) i es considera defectuós si està fora de l�interval 100 0,8.Quina és la probabilitat que en una caixa de 10 peces n�hi hagi 1 defectuosa?

0,0046 0,0136 0,0264 0,0489 0,0857 0,14130,2157 0,2992 0,3673 0,3855 ...........................

16. Essent X N(mx; 9) i Y N(my; 9) independents. Amb nx = ny = 16; X = 15; Y = 18, quin és el valormàxim en que es pot estimar (3 mx 2 my), amb un risc del 2,5%?12,53 12,64 12,75 13,33 13,52 13,74

14,00 14,30 14,67 15,12 ..................................

LESTAD

ETSEIAT UPC



9

17. Es llença 2 cops un dau tal que P(X = x) = x/21 per x ={1; ...; 6}. Sigui X el nombre de punts de la pri

mera tirada i Y el nombre de resultats senars. Què val P(1 X < 2 0 Y < 2)?

0,020 0,027 0,041 0,054 0,061 0,0820,102 0,109 0,136 0,163 .......................

18. El risc que el temps entre avaries en un procés de Poisson sigui inferior a 102,5 hores és igual a 0,05.Quina és la probabilitat que en 400 hores es produeixin 2 avaries?

0,016 0,024 0,033 0,043 0,054 0,0650,076 0,087 0,099 0,110 ..............................

19. Un dau tal que P(X = x) = x/21 per x = {1, ..., 6} es llença 250 cops. Quina és la probabilitat que el total de punts obtingut sigui superior o igual a 1135?0,0142 0,0150 0,2398 0,2451 0,6382 0,6443

0,9214 0,9251 0,9670 0,9686 ..........................

20. La distància en Km recorreguda per un vehicle amb un dipòsit ple de combustible (70 litres) és una

variable aleatòria N(m = 530; 2 = 64). Quina és la distància màxima que recorrerà amb 4 dipòsitsplens, amb un risc del 2,5%?2151 2183 2191 2223 2231 2263

2271 2303 2311 2343 ..................................

21. La durada en milers de Km d�uns pneumàtics és tal que F(x) = 1 (1 + 0,01 x) 0,01xe . Si ja porten100 mil Km de marxa, quina és la probabilitat que, com amínim, aguantin altres 25 mil Km?0,8280 0,8423 0,8519 0,8616 0,8762 0,9513

0,9585 0,9631 0,9674 0,9735 .............................

22. L�excentricitat d�un forat en mm és X exp( = 10). Es considera defectuós si l�excentricitat supera0,3 mm. Quina és la probabilitat que una xapa amb 10 forats en tingui 2 defectuosos?

0,013 0,019 0,027 0,038 0,054 0,0740,101 0,153 0,173 0,216 .....................

23. Siguin X N(15; 9) i Y N(18; 4) independents amb nx = ny = 9. Quin és el valor mínim que pot

prendre 2 2x yS / S amb un risc del 5%?

0,38 0,45 0,52 0,56 0,59 0,610,65 0,70 0,77 0,84 ..................................

24. El coeficient de fregament dels rodets d�una fotocopiadora s�aproxima auna distribució trapezial com la de la figura. Quina és la probabilitat que elcoeficient de fregament sigui inferior a 0,7?

0,30 0,34 0,40 0,46 0,50 0,540,60 0,70 0,80 0,90 .................

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1x

f(x)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1x

f(x)

LESTAD

ETSEIAT UPC



10

El desgast X de la mordaça primària d�un sistema de frens de tambor, per un cert kilome

tratge, es distribueix N(mX = 120;2X = 36) i el desgast de la secundària és igual al 81% del de la

primària.

25. Quin és el valor màxim del desgast de la secundària amb un risc del 2,5%?102,8 103,4 104,2 105,2 106,7 108,5

109,0 109,7 110,9 112,2 .....................

26. Què val la probabilitat que el màxim desgast de les primàries de les 4 rodes d�un remolc superi 132?0,002 0,025 0,088 0,320 0,597 0,686

0,771 0,938 .................

27. Què val la probabilitat que el desgast mitjà de les 4 secundàries d�un remolc sigui inferior a102?

0,181 0,312 0,468 0,629 0,8750,941 0,976 0,992 .................

28. S�estudia un tractament que no altera la variabilitat del desgast però sembla que pot disminuirl�esperança matemàtica. Una mostra de 8 primàries ha donat un desgast mitjà de 100 i una variància igual a 38. Quin és el valor màxim en que es pot estimar mX amb un risc del 2,5%?102,16 103,15 104,16 105,15 106,16

107,15 108,16 109,15 114,16 115,15 ................

29. Què val l�extrem superior de l�interval de probabilitat 0,95 pel desgast de la primària?126,24 126,90 128,64 129,06 130,50 131,76

132,72 133,02 133,98 138,54 .................

30. Si el desgast de la primària supera a 132, què val la probabilitat que el de la secundària superi a 110?0,036 0,050 0,099 0,135 0,188

0,332 0,581 0,953 ......................

31. La màxima desviació tipus del desgast de les 4 primàries d�un vehicle, amb una seguretat del95%, és igual a

0,93 1,17 1,61 2,05 2,65 8,669,68 10,59 11,67 12,41 ..............

L�accés dels usuaris al sistema en una xarxa informàtica, és un procés de Poisson de mitjana 30 accessos cada hora.32. Quina és la probabilitat que el temps entre dos accessos consecutius superi els 4 minuts?

0,030 0,050 0,082 0,135 0,2230,368 0,472 0,607 .................

LESTAD

ETSEIAT UPC



11

33. Quina és la probabilitat que en una hora hi hagi com a mínim 18 accessos?0,157 0,203 0,452 0,524 0,792 0,843

0,965 0,978 0,987 0,993 .................

34. Es registren el nombre d�accessos durant cada hora al llarg de 8 hores consecutives. Què valla probabilitat que el nombremàxim d�accessos registrat superi 40?0,049 0,112 0,164 0,231 0,3160,415 0,526 0,639 ..............................

Una cisalla circular talla discos d�una xapa que pesa 1,5 g/cm2 i el diàmetre, mesurat en cm, es distri

bueix N(m = 50; 2 = 0,25).35. Sabent que el pes d�un disc és superior a 2,8 Kg, quina és la probabilitat que el diàmetre su

peri 51cm?0,005 0,023 0,116 0,276 0,793

0,951 0,970 0,983 .......................

36. Després de reajustar la màquina per modificar m sense canviar , en una mostra de 9 discos

s�han mesurat els diàmetres i s�ha obtingut X = 40 i S = 0,64. Quin és el valor màxim en que es potestimar m amb un risc del 2,5%?

40,327 40,492 44,327 44,492 52,32752,492 54,327 54, 492 60,327 60,492 .................

37. Sigui X b(n = 10; p = 0,1) i Y, independent de X, pren els valors 0; 2; 4 i 6 de forma equiprobable.

Calcular P(XY 0)0,488 0,541 0,584 0,619 0,6470,669 0,687 0,702 .......................

38. Essent X1 i X2 independents, distribuïdes Poisson amb 1 = 1 i 2 = 2. Calcular P(X1X2 0)0,318 0,348 0,400 0,422 0,491 0,547

0,562 0,565 .................

39. En una empresa el 40% dels empleats són titulats universitaris i no parlen alemany, el 20% són titulats universitaris i parlen alemany i el 30% ni són titulats ni parlen alemany. Quina proporciód�empleats parla alemany?

0 0,10 0,20 0,25 0,30 0,350,40 0,45 0,50 0,60 ..................................

40. Un equip està format per 50 components. El nombre de components avariats cada setmana, X, ésuna variable aleatòria tal que P(X = x) = x/1275 per x = 0; 1, ...; 50. Calcula P(19,3 X < 24)0,049 0,061 0,067 0,080 0,086 0,099

0,106 0,119 0,126 0,140 ..................................

LESTAD

ETSEIAT UPC



12

41. El temps en dies, X, entre avaries d�un procés és exponencial amb P(X < 105,5) = 0,10. Quina és laprobabilitat de tenir 1 avaria en 160 dies?

0,038 0,057 0,074 0,090 0,122 0,1280,136 0,150 0,177 0,189 ..................................

42. La durada d�unes reparacions (hores) és X log Normal (m = 2; 2 = 0,04). Calcula la probabilitatque el temps mínim de 5 reparacions superi les 5 hores

0,023 0,220 0,446 0,501 0,601 0,6510,698 0,878 0,903 0,995 ..................................

43. La vida d�uns fluorescents (hores) és X W( = 0,4; = 4). Què val l�esperança matemàtica de Xen mostres de grandària 6?

7,9 9,0 11,7 13,3 15,4 17,118,0 20,2 22,3 22,6 ..................................

Un ascensor admet una càrrega màxima de 700 Kg. El pes dels usuaris es pot admetre distribuït

Normal amb m = 70 Kg i = 7,8 Kg.44. Quina és la probabilitat que amb 9 usuaris hi hagi sobrecàrrega?

0,0014 0,0022 0,0034 0,1587 0,1711 0,18410,7704 0,7939 0,9929 0,9966 ..............................

45. Quin és el valormínim de la mitjana del pes de 16 usuaris, amb un risc del 2,5 %?64,64 65,79 66,18 66,63 66,94 67,19

67,45 67,59 67,70 67,82 .....................

46. S�estima que el cost d�un viatge és de 2 unitats monetàries per Kg transportat. Quin és el costmàxim d�un viatge amb 3 usuaris amb un risc del 2,5%?473 512 1206 1361 1365 1563

1791 2066 2951 3474 .....................

47. Es llencen 2 daus tals que qualsevol parell té doble probabilitat de sortir que qualsevol senar. Essent Al�esdeveniment �sortir 1, 2 o 3 a la primera tirada� i B el �la suma de les dues tirades igual a 9�. Calcular la probabilitat que esdevingui A o B.

0,4568 0,4815 0,5185 0,5432 0,5900 0,59380,6000 0,6296 0,6543 0,6563 ...........................

48. Una variable aleatòria té com funció de densitat f(x) = x per 0 < x < 0,5; f(x) = 0,5 per 0,5 < x < 1,5;f(x) = 1 � x/3 per 1,5 < x < 3 i f(x) = 0 e.q.a.c. Calcula P(0,25 < X < 2)

0,483 0,547 0,651 0,708 0,752 0,8020,875 0,927 0,958 0,996 ..................................

49. Les trucades a un parc de bombers, durant el mes de gener, es pot considerar Poisson amb mitjana24,5 trucades cada setmana. Quina és la probabilitat que passin més de dos dies sense cap trucada?

0,0009 0,0030 0,0101 0,0273 0,0498 0,32080,4460 0,5960 0,7306 0,8088 ............................

LESTAD

ETSEIAT UPC



13

50. La vida d�uns fluorescents (hores) és X W( = 0,4; = 4). Calcula la probabilitat que la durada màxima d�un lot de 12 sigui superior a 100 hores.

0,014 0,020 0,027 0,036 0,052 0,1570,218 0,277 0,359 0,474 ..................................

51. La durada d�unes reparacions (hores) és X log Normal (m = 2; 2 = 0,04). Què val la variància de Xen mostres de grandària 4?

0,069 0,086 0,103 0,121 0,138 0,2900,331 0,387 0,464 0,580 ..................................

52. Un aparell està format per 2 components tipus A i 3 tipus B. Els temps, en minuts, de fabricació de ca

dascun d�ells és XA N(10; 0,82) i XB N( 15; 1) i el temps de muntatge, també en minuts, és XM N(8;0,52). Es considera que el cost per minut, ja sigui de fabricació o de muntatge, és 2�. Calcula la probabilitat que el cost total d�un aparell sigui inferior a 150�.

0,079 0,174 0,192 0,281 0,560 0,5910,719 0,808 0,826 0,921 ..................................

53. Es llença un dau en el que la probabilitat de sortir qualsevol resultat menor o igual a 3 és la quartapart de la de qualsevol altre superior a 3. Sigui A = {resultat múltiple de 3} i B = {resultat inferior a4}. Calcula la probabilitat que no passi ni A ni B.

0,013 0,028 0,049 0,095 0,333 0,4760,500 0,533 0,556 0,593 .................

54. Sigui X una v.a. tal que f(x) = 1,5(x + 1)2 si 2 < x < 1; f(x) = 1,5(x 1)2 si 1 < x < 2 i f(x) = 0 e.q.a.c.

Calcula P(X 1,5)0,008 0,064 0,125 0,216 0,504 0,512

0,532 0,563 0,608 0,756 .................

55. El nombre d�avaries és un procés de Poisson amb 20 avaries mensuals de mitjana. Es considerenmesos de 4 setmanes de dilluns a diumenge. En un moment de la setmana ja es porten registrades2 avaries, quina és la probabilitat d�acabar la setmana amb menys de 4 avaries?0,011 0,022 0,040 0,045 0,075 0,084

0,136 0,147 0,234 0,376 .................

El consum de combustible d�un vehicle en trajectes de 1 Km és N(0,07 litres; 0,0025 litres2).56. Si el combustible es paga a 0,95 � el litre, quin és el cost total màxim (�) de 500 Km amb un

risc del 2,5%?28,46 35,33 42,18 49,01 55,83 63,84

79,80 95,76 111,72 127,68 .................

57. Quina és la probabilitat que el consum mitjà per Km després de fer 25 Km superi els 0,065 litres (ajuda: n = 25)?.0,0015 0,3975 0,5160 0,6064 0,6915 0,8413

0,9332 0,9773 0,9938 0,9999 .................

LESTAD

ETSEIAT UPC



14

58. La durada (anys) d�un electrodomèstic és W( = 2; = 11). Si ja fa 10 anys que funciona quina és laprobabilitat d�espatllar se abans dels 15 anys?0,033 0,187 0,305 0,333 0,411 0,562

0,644 0,790 0,843 0,916 .................

59. Les mesures de la resistència d�unes pales de turbina ha estat 25,4; 28,5; 27,2; 30,3 i 26,8. Adme

tent llei Normal, quin és el valor mínim en que es pot estimar 2 amb un risc del 5%?1,23 1,45 2,46 2,89 3,34 3,92

4,19 4,92 10,84 12,73 .................

60. La durada d�unes reparacions, distribuïda log Normal (m; 2), ha estat 11; 28; 61; 19 i 41 minuts. Estima el paràmetrem.2,7 3,3 4,0 4,7 4,9 17,2

32,0 64,6 127,2 159,0 .................

61. Una urna té 20 boles numerades de 0 a 9 amb 2 boles de cada valor. Se�n treuen 3 sense reposició.Sabent que la primera ha estat un 5, calcula la probabilitat que les altres dues siguin senars.0,018 0,088 0,211 0,250 0,263 0,322

0,423 0,548 0,602 0,658 .................

62. En un edifici de 8 plantes, la probabilitat que �ascensor hagi de pujar fins la planta x és igual a(3x � 2)/92 per x = 1; ...; 8. Si l�ascensor ja ha passat de la planta 2 i segueix pujant, quina és la probabilitat que hagi de sobrepassar la planta 6?0,228 0,239 0,253 0,446 0,471 0,500

0,513 0,586 0,761 0,875 .................

63. El temps mitjà entre accessos consecutius a una Web és de 5 minuts i es pot admetre que es tractad�un procés de Poisson. Quina és la probabilitat que entre les 9:00 i les 10:00 hi hagi menys de 15accessos si entre les 9:00 i les 9:15 ja s�han produït 5 accessos?0,055 0,116 0,207 0,324 0,587 0,706

0,876 0,926 0,959 0,978 .................

El cost d�un metall és de 0,050 �/g i la quantitat necessària per recobrir una placa és N(80g; 2 = 16g2)

64. Quin és el cost total mínim, amb un risc del 1,5%, del metall per recobrir 35 plaques?71,32 78,06 106,98 117,62 124,81 137,43

142,64 157,26 178,30 196,93 .................

65. Quina és la probabilitat que en el recobriment de 50 plaques en cap d�elles s�hagi gastat mésde 90 g de metall?0,0315 0,3164 0,4539 0,5874 0,6560 0,7324

0,8758 0,9101 0,9347 0,9886 .................

LESTAD

ETSEIAT UPC



15

66. La durada (minuts) d�una reparació és log Normal amb mitjana 57,1 minuts i variància 307,1 minuts2. Quina és la probabilitat que una reparació s�acabi abans de 50 minuts?0,061 0,213 0,334 0,386 0,616 0,625

0,719 0,780 0,855 0,953 .................

67. Els valors dels diàmetres de 8 peces han donat una variància igual a 32. Admetent llei Normal, quin

és l�extrem superior de l�interval de confiança al 95% per 2?86,98 99,41 115,98 132,54 144,97 165,68

173,96 198,82 202,96 231,95 .................

68. El nombre mitjà de cotxes que arriben a una benzinera és constant. La mitjana d�arribades cada hora és de 180 cotxes. Com a màxim en pot atendre 2 cada minut. Què val la probabilitat que en unminut arribin més cotxes dels que pot atendre?

0,093 0,143 0,181 0,243 0,264 0,3230,353 0,377 0,482 0,577 .................

69. Una moneda amb P(cara) = 0,4 es llença fins tenir 2 cares seguides o bé fins tenir en total 3 creus(no necessàriament consecutives). Què val la probabilitat de necessitar més de 3 llançaments peracabar el joc?0,112 0,224 0,347 0,416 0,432 0,504

0,528 0,626 0,752 0,818 .................

70. Un sistema de seguretat està format per 5 components idèntics i independents que assenyalen lapresència de gas tòxic. L�alarma salta quan, com amínim, 4 components assenyalen gas. Se sap quecadascun té probabilitat 0,2 de detectar indegudament el gas i probabilitat 0,1 de no detectar lo,quan realment n�hi ha. Què val la probabilitat que no salti l�alarma quan hi ha emissió de gas?0,012 0,016 0,047 0,074 0,082 0,114

0,165 0,224 0,410 0,556 .................

71. Sigui X tal que P(X = x) = x2/91 per x = 1, 2, ..., 6. Què val P(X 5|X > 2)?0,291 0,322 0,532 0,581 0,600 0,621

0,628 0,632 0,641 0,714 .................

El consum de combustible (litres) per hora de vol d�un helicòpter es pot considerar

N(m = 380; 2 = 25), i el dipòsit és de 900 litres.

72. Què val la probabilitat que amb 2 hores de vol consumeixi més del 85% del dipòsit?0,03 0,08 0,10 0,18 0,24 0,31

0,44 0,46 0,62 0,66 .................

73. Quin és el consum mínim per hora amb una seguretat del 97,5%?364,80 366,20 366,80 368,20 368,80 370,20

370,80 372,20 372,80 374,20 .................

LESTAD

ETSEIAT UPC



16

74. S�han fet 12 vols d�una hora de durada cadascun. Què val la probabilitat que el màxim consum hagi superat 390 litres?0,003 0,008 0,023 0,030 0,055 0,094

0,115 0,241 0,492 0,769 .................

75. La durada, X, d�una reparació en minuts és X logN(4; 1). Si es fan 225 reparacions, què val la probabilitat que la durada mitjana sigui superior a 95 minuts?0,067 0,102 0,145 0,200 0,264 0,309

0,337 0,444 0,484 0,664 .................

76. Al mesurar el contingut en nicotina de 20 cigarrets, s�ha obtingut una mitjana igual a 0,65 mg i unadesviació tipus igual a 0,05 mg. Suposant distribució Normal, quin és el valor màxim, amb un riscdel 5%, en que es pot estimar l�esperança matemàtica del contingut de nicotina en un cigarret?0,6655 0,6671 0,6687 0,6693 0,6706 0,6727

0,6734 0,6777 0,6790 0,6858 .............

77. Tenim 25 daus equilibrats i 10 amb una càrrega que fa que P(X = 6) = 2 P(X = x) per x = 1, 2, ... 5.Agafant un dau a l�atzar ha sortit un 6. Calcula la probabilitat que s�hagi llançat un dels daus equilibrats.

0,200 0,226 0,429 0,467 0,556 0,5930,600 0,636 0,714 0,745 .................

78. Per veure si la resistència d�uns cables, distribuïda N(m; 2 = 225), és superior o igual a 2000 amb

un risc del 2,5%, es disposa d�una mostra de grandària 9 amb X = 2030 i S2 = 214,9. Què val el riscassociat a m = 2001?0,0015 0,0029 0,0052 0,0091 0,0154 0,9846

0,9909 0,9948 0,9971 0,9985 .................

79. Essent F(x) = x2 per 0 < x < 1; F(x) = 0 per x 0 i F(x) = 1 per x > 1, calcula P(X 0,5 | X > 0,2)0,050 0,125 0,176 0,219 0,222 0,400

0,500 0,600 0,636 0,802 .................

Un prototipus de cotxe híbrid té un consum de combustible per Km distribuït N(0,02 litres; 0,072 litres2). La capacitat del dipòsit és de 8 litres i la bateria totalment carregada té una autonomia dis

tribuïda N(m = 20 Km; 2 = 1 Km2).

80. Si surt amb el dipòsit ple, calcula la probabilitat que necessiti utilitzar la bateria en un viatgede 450 Km.0,04 0,20 0,47 0,48 0,51 0,520,54 0,75 0,90 0,99 .................

81. Quina és la distància màxima que pot fer només amb la bateria amb una seguretat del97,5%?18,04 18,54 19,04 19,54 20,04 21,96

22,46 22,96 23,46 23,96 .................

LESTAD

ETSEIAT UPC



17

82. Si es fan 10 desplaçaments només amb la bateria fins esgotar la cada cop, quina és la probabilitat que lamàxima distància recorreguda amb una càrrega sigui superior a 22,5 Km?0,0604 0,2056 0,4992 0,6915 0,8223 0,8413

0,9332 0,9750 0,9773 0,9938 .................

83. La durada d�unes piles es distribueix Weibull amb esperança matemàtica 50 hores i desviació tipus10 hores. Quin és l�extrem superior de l�interval de probabilitat 0,95 per la durada mitjana de les piles contingudes en una caixa de 1000?

48,35 48,42 49,37 49,44 50,52 50,6251,42 51,51 52,39 52,46 .................

84. Al mesurar el contingut en nicotina de 20 cigarrets, s�ha obtingut una mitjana igual a 0,65 mg i unadesviació tipus igual a 0,05 mg. Suposant distribució Normal, quin és el valor màxim, amb un riscdel 5%, en què es pot estimar la desviació tipus del contingut de nicotina en un cigarret?0,0685 0,0719 0,0730 0,0774 0,0797 0,0877

0,0899 0,1018 0,1186 0,1437 .................

La producció d�una empresa es reparteix amb un 20% de producte A, un 40% de B, un 25% de C i laresta d�altres productes. Al client M se li ven el 10% de la producció de A, el 50% de la de B i el70% de la de C. Al client N se li ven un 5% de la de A, un 10% de la de B, un 20% de la de C i la totalitat de la resta de productes.

85. Quina proporció (%) de la producció de l�empresa compra el client N?15 17 21 25 29 30

33 35 40 45 .................86. Què val la probabilitat que una unitat venuda a un client que no és ni M ni N sigui de producte C?

0,0052 0,0192 0,0278 0,0354 0,0435 0,05710,0656 0,0704 0,0833 0,0959 .................

87. Els accessos diaris a un caixer tenen mitjana constant i igual a 150. Del dia 1 al 15 de març, inclosos,ha tingut 2000 accessos. Què val la probabilitat que en tot el mes de març es superin els 4500 accessos?0,0202 0,0823 0,1531 0,2504 0,3409 0,4598

0,6074 0,7088 0,8924 0,9641 .................

Les làmines d�acer galvanitzat SAE1006 d�ample 700 mm, tenen un pes de 183 g/m2 i es serveixen en

forma de bobina. La longitud enrotllada és N(m = 4285 m; 2 = 1600 m2). Amb un risc del 2,5%,

88. Quina és la longitud màxima enrotllada en una bobina?4330,8 4340,8 4343,4 4350,8 4353,4 4360,8

4363,4 4365,8 4373,4 4378,4 .................

89. Què pesen, com amínim, 4 bobines (Kg)?2145,21 2150,34 2155,46 2160,59 2163,15 2165,30

2170,42 2175,55 2180,67 2183,23 .................

LESTAD

ETSEIAT UPC



18

El pes d�una persona de determinat grup ètnic es pot considerar N(m = 58 Kg; 2 = 100 Kg2). S�agafen16 persones d�aquest grup

90. Quin és el valor màxim de la variànciamostral amb un risc del 5%?151,73 158,65 162,28 164,02 166,64 172,91

177,59 178,86 183,25 199,27 .................

91. Quina és la probabilitat que el més prim no arribi a pesar 40 Kg?0,036 0,125 0,267 0,355 0,443 0,482

0,519 0,599 0,678 0,701 .................

92. La resistència a la tracció de l�aliatge U 700 es distribueix Normal. Mesurades 36 provetes, s�ha ob

tingut un interval de confiança per m igual a [11,694; 14,306] amb 2i

i

x = 7344. Quin és el risc de

l�interval?0,001 0,002 0,005 0,010 0,020 0,025

0,050 0,100 0,200 0,250 .................

Per anar a treballar una persona va per l�itinerari A el 40% dels dies, pel B el 20%, pel C el 15% i la resta de dies agafa el tren. Troba caravana el 10% dels dies que va per A, el 20% dels que va per B i el30% dels que va per C.

93. Què val la probabilitat de trobar caravana un dia qualsevol?0,006 0,105 0,125 0,135 0,145 0,165

0,250 0,333 0,500 0,600 .................94. Si no ha trobat caravana, quina és la probabilitat que hagi estat en l�itinerari C?

0,0278 0,1056 0,1173 0,1200 0,1214 0,12280,1257 0,1354 0,1520 0,1920 .................

95. La probabilitat que una màquina no serveixi la beguda demanada és constant i igual a 0,05. Quinaés la probabilitat que estudiant 1000 peticions es detecti que ha servit la beguda menys de 950vegades?0,0502 0,1587 0,3567 0,4721 0,6274 0,7324

0,8293 0,8962 0,9686 0,9922 .................

La distància(m) recorreguda per un cotxe cada segon es pot considerar N(m = 27; 2 = 4) i fa una pa

rada tècnica, exactament, cada 3 hores. Una moto necessita un temps(h) N(m = 1,25; 2 = 0,0025)per fer 100 Km.

96. Amb un risc del 2,5%, quina és la distància màxima (Km) recorreguda pel cotxe entre 2 paradestècniques consecutives?272,8 274,5 286,0 291,2 292,0 308,3

321,2 333,9 336,5 338,9 .................

97. Amb un risc del 2,5%, quin és el temps mínim (h) que necessita la moto per fer 300 Km?2,30 2,36 3,46 3,58 4,61 4,80

5,76 6,03 6,91 7,26 .................

LESTAD

ETSEIAT UPC



19

98. La resistència al trencament (Kg) d�un cinturó de seguretat és N(m = 3000; 2 = 8100). S�agafen 9cinturons d�aquest tipus. Quina és la probabilitat que la mitjana de les resistències no superi els2950Kg?0,0027 0,0066 0,0091 0,0274 0,0475 0,9525

0,9726 0,9909 0,9934 0,9973 .................

99. Es llencen simultàniament 2 daus, el primer és equilibrat i en el segon la probabilitat de qualsevolparell és un 150% la de qualsevol senar. Si la suma ha donat 8, quina és la probabilitat que el primer dau hagi donat un 2?

0,091 0,121 0,133 0,148 0,176 0,1900,217 0,231 0,241 0,267 .................

100. En les taquilles de venda d�entrades d�un estadi esportiu, el 5% dels assistents compra 1 entrada,el 70% en compra 2, el 10% 3 i el 15% 4. Quina és la probabilitat que amb 2000 compradorss�hagin venut més de 4640 entrades?

0,24 0,10 0,24 0,34 0,44 0,550,75 0,85 0,92 0,95 .................

El temps (minuts) necessari per l�evacuació d�un edifici ésW(2,5; 10).

101. Què val la probabilitat que amb 4 simulacres d�evacuació, més de la meitat durin més de 7minuts cadascun?0,030 0,144 0,243 0,336 0,414 0,436

0,587 0,632 0,749 0,793 .................

102. Sigui X ~ exp( = 0,5). Què val l�esperança matemàtica del valor mínim de les mostres degrandària 5?0,08 0,10 0,12 0,25 0,40 0,54

0,75 1,29 1,50 2,00 .................

103. El gramatge (g/m2) del paper tipus A és N(80; 0,25) i el de tipus B és N(90; 0,16). Es fan 10 determinacions del gramatge de paper A i 25 de paper B. Quin és el valor màxim del quocient entre lavariància de la mostra de A i la de la de B amb un risc del 5%?

2,30 2,42 2,65 2,90 3,59 3,683,78 4,14 4,53 5,75 .................

El temps per anar (o tornar) des de casa a l�estació és N(15; 2 = 1). El temps d�espera a l�estació és

N(8; 2 = 4) i la durada del viatge de tren és N(45; 2 = 1) (tot en minuts).

104. Quina és la probabilitat que el temps setmanal (5 dies) dedicat a anar i tornar des de casa al�estació de destí superi 11 hores?0,099 0,302 0,341 0,436 0,579 0,674

0,742 0,794 0,922 0,995 .................

LESTAD

ETSEIAT UPC



20

105. En 4 setmanes (de 5 dies), quina és la probabilitat que el viatge més ràpid en tren entre lesdues estacions hagi estat inferior a 44 minuts?

0,060 0,206 0,499 0,691 0,822 0,8410,933 0,975 0,977 0,994 .................

106. L�usuari comença el dilluns al matí un llibre de 224 pàgines i només llegeix dins el tren. El

temps de lectura d�una pàgina (minuts) és N(2; 2 = 0,04). Quina és la probabilitat que enacabar la setmana (5dies) encara no hagi acabat el llibre?0,010 0,084 0,323 0,413 0,448 0,484

0,516 0,583 0,677 0,989 .................

107. El contingut d�uns envasos és Normal. La quantitat de producte mesurada en 5 envasos ha estat9,42; 11,14; 4,78; 8,49 i 10,38. Quin és el valor mínim en què es pot estimar la variància del contingut dels envasos amb un risc del 5%?

0,93 1,09 2,02 2,21 2,37 2,593,33 3,91 5,22 6,13 .................

108. En un operador telefònic el 70% dels cops que es marca un número s�estableix la connexió correcta. Quina és la probabilitat d�haver de marcar el número correcte, com amínim 3 cops, per poderparlar hi?0,023 0,040 0,063 0,090 0,160 0,216

0,343 0,422 0,512 0,614 .................

109. En les taquilles de venda d�entrades d�un estadi esportiu, el 5% dels assistents compra 1 entrada,el 70% en compra 2, el 10% 3 i el 15% 4. Quina és la probabilitat que amb els tres primers compradors s�hagin venut 10 entrades?0,0518 0,0540 0,0585 0,0653 0,0743 0,0882

0,0995 0,1215 0,1664 0,2746 .................

110. La durada de les reparacions (hores) d�una escalamecànica és logN(1,14; 2 = 0,9). Calcular laprobabilitat que, després d�haver efectuat 20 reparacions, com amàxim 2 hagin duratmés de 20hores cadascuna.0,0014 0,0130 0,0882 0,0995 0,1774 0,2882

0,4962 0,9118 0,9870 0,9986 .................

111. Sigui X ~ U[0; 1]. Calcular l�esperança matemàtica del valor màxim de les mostres de grandària 100,131 0,356 0,500 0,689 0,752 0,889

0,909 0,923 0,933 0,941 .................

112. El contingut dels iogurts de la marca A és N(125 g; 9 g2). El de la B és N(120 g; 10 g2). Es compra unpack de 4 iogurts de cada marca. Quina és la probabilitat que el contingut mitjà per envàs delpack de B superi al del pack A?0,001 0,008 0,011 0,015 0,018 0,023

0,032 0,046 0,054 0,065 .................

LESTAD

ETSEIAT UPC



21

El temps (minuts) d�una cançó és N(3; 2 = 0,25), el d�aplaudiments entre cançons és N(0,8; 2 = 0,02)

i el dels aplaudiments de final de concert N(5; 2 = 0,90). Es considera que els aplaudiments desprésde l�última cançó són els de final de concert i que no hi ha cap repetició de cançons en acabar niaplaudiments abans de la primera cançó.

113. Amb un risc del 1,5%, quina és la durada mínima (minuts) d�un concert amb 20 cançons.52,96 56,60 57,64 59,82 61,90 73,63

74,51 74,76 75,29 75,79 .................

114. S�ha fet una gira de 10 concerts (de 20 cançons cadascun), calcula la probabilitat quel�aplaudiment final més curt no hagi superat els 4 minuts.0,004 0,017 0,041 0,057 0,147 0,161

0,298 0,444 0,796 0,971 .................

115. L�equip de so (que només funciona mentre canten) és de 80000 w. El preu de l�electricitat ésde 0,14 �/kWh. Calcula la desviació tipus del cost (�) de l�energia elèctrica consumida en l�emissiód�un concert de 20 cançons.0,313 0,365 0,417 0,470 0,522 1,400

1,633 1,867 2,100 2,333 .................

116. El contingut d�uns envasos és Normal. La quantitat de producte mesurada en 5 envasos ha estat9,42; 11,14; 4,78; 8,49 i 10,38. Quin és el valor mínim en què es pot estimar l�esperança matemàtica del contingut dels envasos amb un risc del 5%?5,76 6,48 6,81 7,91 8,06 8,73

9,55 9,64 9,96 10,26 .................

SSOOLLUUCCIIOONNSSEEXXAAMMEENN PPAARRCCIIAALL

LESTAD

ETSEIAT UPC

Solucions exercicis examen parcial


35

Sigui la densitat de probabilitat de la figura, on a = 1,1.

1. Què val V(X)?0,605 0,720 0,845 0,980 1,125 1,280 1,445

1,620 1,805 2,000 ........................................

Per la simetria de la figura, l�àrea de cada triangle és 0,5 i, essent a la base, l�alçaria val1/a. Com, amés, la densitat de probabilitat és no negativa, resulta

2

2

xsi a x 0

af(x)

xsi 0 x a

a

E(X) = 0, per simetria, i

V(X) =

0 a0 a 4 4 22 2 2

2 2 2 2a 0 0a

x x x x aE X x dx x dx

2a a 4a 4a

2. Si X < 0,8, què val la probabilitat de X < 0,2?0,7115 0,7425 0,7692 0,7924 0,8125 0,6757

0,8300 0,8454 0,8588 0,8707 ...........

Cal calcular la probabilitat condicional següent

P(X < 0,2 | X < 0,8) =2

2

1 0,20,5 0,2P(X 0,2;X 0,8) P(X 0,2) 2 a 0,6757

1 0,8P(X 0,8) P(X 0,8) 0,5 0,82 a

-3 -2 -1 0 1 2 3-a 0 a X

f(x)

3X

f(x)

Xa a0

-3 -2 -1 0 1 2 3-a 0 a X

f(x)

3X

f(x)

Xa a0

1/a 1/a

xx

LESTAD

ETSEIAT UPC



36

3. En un interval de 2 h, d�un procés de Poisson amb = 1 per h, la primera arribada ha estatals 30 minuts. Quina és la probabilitat que la propera arribada triguimés que la primera?

0,3679 0,3329 0,3012 0,2725 0,24660,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0,4066 ..............

Designant X el temps des de la primera arribada fins la propera, es tracta d�una variable

aleatòria exponencial de = 1 per h. Llavors,

P(X > 30) = exp( � x) =1

exp 30 0,606560

4. Essent X N(m; 2 = 36), amb una mostra de grandària 4, en una prova d�hipòtesis les regions crítiques són { X 104,5 i X < 96,5}, quin és el risc associat a m = 96?

0,49621 0,38060 0,39189 0,40718 0,418690,43018 0,44573 0,45737 0,46893 0,48457 ................

Com hi ha dues regions crítiques, es tracta d�una prova d�hipòtesis bilateral.

A més, el valor m = 96 està a la regió crítica de l�esquerra, és, doncs, un valor de la hipòtesi alternativa i el risc és acceptar H0, llavors

1P(X A m H ) P(96,5 X 104,5 m 96) P(0,17 Z 2,83) 0,43018

5. Essent X N(m; 2), l�amplitud de l�interval de probabilitat 0,99094 és 52,2, què val 2?25 121 144 100 81

64 49 36 169 196 ...........................

L�amplitud de l�interval de probabilitat 1 (A.I.P.) és igual a la de l�interval ± z /2 . Així

/2 = (1 0,99094)/2 = 0,00453 z0,0453 = 2,61

/2A.I.P. 52,2

z 26,12 2

= 10 i 2 = 100

LESTAD

ETSEIAT UPC



37

6. X1, X2 i X3 són valors independents de X N(10; 2 = 36), què val P(0,9 X1 + 1,1 X2 > 2,1 X3)?0,35197 0,30854 0,27425 0,20327 0,18943

0,24510 0,22363 0,17619 0,47210 0,40517 ...........

Atès que

P(0,9 X1 + 1,1 X2 > 2,1 X3) = P(0,9 X1 + 1,1 X2 � 2,1 X3 > 0)

Y = 0,9 X1 + 1,1 X2 � 2,1 X3 és una combinació lineal de variables normals independents i,com a tal, segueix una llei normal de mitjana my = m (0,9 + 1,1 � 2,1) = � 0,1 m = 1 i va

riància 2y = 2 (0,92 + 1,12 + (� 2,1)2) = 231,48. La probabilitat demanada és

P(Y > 0 ) =( 1)

P Z231,48

= 0,47210

7. Amb X N(m = 10; 2 = 36), hom pren dues mostres, de n1 = 9 i n2 = 5, si P(S1 < a S2) = 0,05,què val a?

0,510 0,539 0,567 0,563 0,5350,543 0,546 0,521 0,529 0,557 ..................

L�esdeveniment {S1 < a S2}, que sols té sentit si a > 0, relaciona les desviacions tipus dedues mostres de la mateixa població normal i la distribució de probabilitat fa referència alquocient de variàncies. Així, doncs, s�ha de manipular adequadament l�esdeveniment esmentat per relacionar lo amb aquesta distribució. A més, per l�estructura de les taules deSnedecor és avinent que la transformació sigui del tipus variable més gran que el valorrequerit. Aleshores

0,05 = P(S1 < a S2) =1 2

22 2 2 21 2 ,2 2

1

S 1P(S a S ) P P F F

S a

on, tenint en compte la manera com s�ha establert el quocient de variàncies, els graus dellibertat són 1 = n2 � 1 = 4 i 2 = n1 � 1 = 8 i, segons la taula de = 0,05, F = 3,84. Llavors

1a 0,510

F

LESTAD

ETSEIAT UPC



38

8. Mesurada en dècimes de mil límetre, una excentricitat segueix una llei de 2 ( = 9). La peça és bona quan X < 19. Hom pren una mostra de n = 3, quina és la probabilitat de no trobar cap defectuosa?

0,7290 0,8574 0,9851 0,9970 0,92690,9703 0,7093 0,7770 0,8021 0,6469 ..................

A la taula de la llei de 2 ( = 9) hom troba P( 2 > 19,023 ) = 0,025; aleshores, la proporcióde peces bones és 0,975 i el percentatge de peces defectuoses és p = 0,025. Designant Xel nombre de peces defectuoses en una mostra de n = 3, resulta

P(X = 0) = (1 � p)n = 0,9753 = 0,9269

9. Per estimar E(X) = m, essent X1, X2 i X3 una mostra, hom pren l�estimador 0,1 X1 + 0,1 X2 +0,8 X3. Quin és el quocient entre la seva variància i la de l�estimador més usual?3,03 2,73 2,43 3,21 3,93

1,98 1,62 1,38 1,26 1,86 .....................

La variància de l�estimador proposat és

V(0,1 X1 + 0,1 X2 + 0,8 X3) = 2 (0,12 + 0,12 +0,82) = 0,66 2

i la del estimador usual, X , és 2/n. Llavors, el quocient demanat és

2

2

0,660,66 3 1,98

n

10. Siguin X b(n = 10; p = 0,1) i Y b(n = 12; p = 0,2) independents. Què val E[(X + Y)2]14,38 15,94 17,58 19,30 21,10 22,98

24,94 26,98 29,10 31,30 .........................

Denotant W = X + Y i recordant que V(W) = E(W2) [E(W)]2, al ser X i Y independents, resulta V(X + Y) = V(X) +V(Y). En X b(n, p), E(X) = np i V(X) = np(1 p). Atenent a les propietats de l�operador esperança matemàtica, resulta

E(W) = E(X + Y) = 10 0,1 + 12 0,2 = 3,4

V(W) = V(X) +V(Y) = 10 0,1 0,9 + 12 0,2 0,8 = 2,82

E[(X + Y)2] = E(W2) = V(W) + [E(W)]2 = 2,82 + 3,42 = 14,38

LESTAD

ETSEIAT UPC



39

11. Les avaries d�un procés segueixen una llei de Poisson amb 2 avaries cada 100 hores demitjana. Quina és la probabilitat que el nombre d�avaries en 250 hores sigui com amínim 2 i com amàxim 6?

0,5889 0,6728 0,6982 0,7218 0,7431 0,76170,7773 0,7895 0,7977 0,8017 ...........................

Essent la unitat de temps l�hora, resulta 0 = 0,02 avaries cada hora.

Definint X com el nombre d�avaries cada 250 hores, X P( = 250 0,02 = 5). Així

P( 2 X 6) = F(6) F(1) = 0,7622 0,0404 = 0,7218

12. El nombre d�equips venuts diàriament per un concessionari és una variable aleatòria talque P(X = 0) = 0,1; P(X = 1) = 0,5; P(X = 2) = 0,3 i P(X = 3) = 0,1. Quina és la probabilitatque en 81 dies les vendes no superin els 124 equips?

0,8389 0,8544 0,8962 0,9088 0,9382 0,94640,9656 0,9705 0,9913 0,9927 ..............................

x P(X = x)0123

0,10,50,30,1

E(X) = 1,4

V(X) = 2,6 1,42 = 0,64

D(X) = 0,8

Les vendes en 81 dies seran una variable aleatòria, Y, formada per la suma de 81 variables aleatòries independents i idènticament distribuïdes, és a dir

81

ii 1

Y X amb E(Y) = 81 1,4 = 113,4 V(Y) = 81 0,64 = 51,84

Aplicant el Teorema Límit Central, aquesta variable es pot aproximar raonablement peruna Normal, de tal forma que

Y N(113,4; 51,84)

i aplicant la correcció per continuïtat al aproximar una variable discreta per una contínua,tenim

P(Y 124) =124,5 113,4

P Z51,84

= P(Z 1,54) = 0,93822

LESTAD

ETSEIAT UPC



40

13. El pes d�un envàs es distribueix N(100g; 16g2) i el cost és de 0,2�/g. Quina és la probabilitat que el cost total de 5 envasos sigui superior a 95�?

0,288 0,401 0,599 0,712 0,773 0,8410,894 0,954 0,987 0,997 ................................

El cost de 5 envasos es pot escriure com5

ii 1

C 0,2 X . Essent les Xi (pes d�un envàs)

normals independents i idènticament distribuïdes, resulta

C N(m = 0,2 5 100 = 100; 2 = 0,22 5 16 =3,2)

P(C > 95) =95 100

P Z3,2

= P(Z > 2,80) = P(Z 2,80) = 0,99744

14. La durada en anys, X, d�un component és tal que F(x) =2x1 e per x 0. Sabent que ja fa

12 mesos que funciona, quina és la probabilitat de durar, com amínim, altres 10 mesos?0,0172 0,0249 0,0498 0,0690 0,0943 0,2096

0,2564 0,3679 0,4316 0,4994 .............................

Cal calcular2

2

(22/12)

(12/12)

12 P(X 22/12) e22P X X

12 12 P(X 12/12) e= 0,0943

15. El diàmetre d�una peça és N(100; 0,25) i es considera defectuós si està fora de l�interval100 0,8. Quina és la probabilitat que en una caixa de 10 peces n�hi hagi 1 defectuosa?

0,0046 0,0136 0,0264 0,0489 0,0857 0,14130,2157 0,2992 0,3673 0,3855 ...........................La probabilitat que un component sigui defectuós és

p = 1 P(99,2 X 100,8) =99,2 100 100,8 100

P Z0,25 0,25

= P( 1,6 Z 1,6) = 0,1096

El nombre de peces defectuoses en una caixa de 10 és Y b(n = 10; p = 0,1096)

P(Y = 1) = 9100,1096 (1 0,1096)

1= 0,3855

LESTAD

ETSEIAT UPC



41

16. Essent X N(mx; 9) i Y N(my; 9) independents. Amb nx = ny = 16; X = 15; Y = 18, quin ésel valormàxim en que es pot estimar (3 mx 2 my), amb un risc del 2,5%?12,53 12,64 12,75 13,33 13,52 13,74

14,00 14,30 14,67 15,12 ..................................

L�estimador de 3 mx 2 my és 3 X 2 Y , que en aquest cas segueix la llei Normal

3 X 2 Y 2 2x y

9 9N 3m 2m ;3 2

16 16 x yN 3m 2m ;7,3125

Amb un risc del 2,5%, el valormàxim de l�estimació serà

3 X 2 Y + z0,025 7,3125 = 3 15 2 18 + 1,96 7,3125 = 14,30

17. Es llença 2 cops un dau tal que P(X = x) = x/21 per x ={1; ...; 6}. Sigui X el nombre de punts

de la primera tirada i Y el nombre de resultats senars. Què val P(1 X < 2 0 Y < 2)?

0,020 0,027 0,041 0,054 0,061 0,0820,102 0,109 0,136 0,163 .......................

Els valors presos per X i per Y són : X = {1; ..., 6} i Y = {0, 1, 2}.

L�esdeveniment (1 X < 2) és el mateix que X = 1 i el (0 Y < 2) és (Y = 0) (Y = 1)

Per tant

(1 X < 2) (0 Y < 2) = (X = 1) [(Y = 0) (Y = 1)]

= [(X = 1) (Y = 0)] [(X = 1) (Y = 1)]

En trobar nos davant la unió de dos esdeveniments incompatibles, la seva probabilitat ésigual a la suma de les probabilitats de cadascun

P(1 X < 2 0 Y < 2) = P [(X = 1) (Y = 0)] + P[(X = 1) (Y = 1)]

= P(X = 1) P(Y = 0 | X = 1) + P(X = 1) P(Y = 1 | X = 1)

= P(X1 = 1) 0 + P(X1 = 1) P(X2 = 2, 4, 6)

P(1 X < 2; 0 Y < 2)1 1 2 4 6

021 21 21 21 21 2

12

21= 0,027

LESTAD

ETSEIAT UPC



42

18. El risc que el temps entre avaries en un procés de Poisson sigui inferior a 102,5 hores ésigual a 0,05. Quina és la probabilitat que en 400 hores es produeixin 2 avaries?

0,016 0,024 0,033 0,043 0,054 0,0650,076 0,087 0,099 0,110 ..............................

T, temps en hores entre avaries d�un procés de Poisson, segueix un llei exponencial de paràmetre avaries cada hora.

Per l�enunciat, se sap que

0,05 = P(T 102,5) = 1 e 102,5 en conseqüència

= ( ln 0,95) / 102,5 = 0,0005 avaries cada hora

El nombre d�avaries en 400 hores, X, correspon a un Poisson de = 400 0,0005 = 0,2

P(X = 2) =2 0,20,2 e2!

= 0,01637

19. Un dau tal que P(X = x) = x/21 per x = {1, ..., 6} es llença 250 cops. Quina és la probabilitatque el total de punts obtingut sigui superior o igual a 1135?0,0142 0,0150 0,2398 0,2451 0,6382 0,6443

0,9214 0,9251 0,9670 0,9686 ..........................

El nombre total de punts en 250 llançaments, Y, correspon a la suma de 250 variables aleatòries independents i igualment distribuïdes. Aquesta situació permet aplicar el TeoremaLímit Central i aproximar per una llei Normal, amb la corresponent correcció de continuïtat al passar d�una variable discreta a una contínua.

6 6 62

x 1 x 1 x 1

x 1 13E(X) xp(x) x x

21 21 3

6 6 62 2 2 3

x 1 x 1 x 1

x 1E(X ) x p(x) x x 21

21 21

V(X) = E(X2) [E(X)]2 = 21 (13/3)2 = 20/9

L�aproximació condueix a

LESTAD

ETSEIAT UPC



43

250

ii 1

13 20Y X N 250 ; 250

3 9

P(Y 1135) = P(Y > 1134,5) = 1 P(Y 1134,5)

= 1 P(Z 2,17) = 1 0,9850 = 0,015

20. La distància en Km recorreguda per un vehicle amb un dipòsit ple de combustible (70 litres) és una variable aleatòria N(m = 530; 2 = 64). Quina és la distància màxima que recorrerà amb 4 dipòsits plens, amb un risc del 2,5%?2151 2183 2191 2223 2231 2263

2271 2303 2311 2343 ..................................

La distància recorreguda amb 4 dipòsits plens és igual a la suma de les que recorre ambcadascun dels dipòsits, o sigui, la suma de 4 variables aleatòries normals independentsamb la mateixa mitjana i la mateixa variància.

4

ii 1

X(4) X X(4) N(4 530; 4 64) N( 2120; 256)

X(4)max = 2120 + z0,025 256 = 2120 + 1,96 256 = 2151

21. La durada en milers de Km d�uns pneumàtics és tal que F(x) = 1 (1 + 0,01 x) 0,01xe . Si japorten 100 mil Km de marxa, quina és la probabilitat que, com a mínim, aguantin altres25 mil Km?0,8280 0,8423 0,8519 0,8616 0,8762 0,9513

0,9585 0,9631 0,9674 0,9735 .............................

P(X > 125 | X > 100) = P(X >125 | X > 100)

0,01 125

0,01 100

P(X 125) (1 0,01 125)e 0,6446P(X 100) 0,7358(1 0,01 100)e

= 0,8762

LESTAD

ETSEIAT UPC



44

22. L�excentricitat d�un forat en mm és X exp( = 10). Es considera defectuós sil�excentricitat supera 0,3 mm. Quina és la probabilitat que una xapa amb 10 forats en tingui 2 defectuosos?

0,013 0,019 0,027 0,038 0,054 0,0740,101 0,153 0,173 0,216 .....................

En llei exponencial P(X > x) = e x, per tant

P(defectuós) = P(X > 0,3) = e 10 0,3 = 0,0498

Sigui Y el nombre de forats defectuosos entre un total de 10

Y b(n = 10; p = 0,0498)

P(Y = 2) = b(2; 10; 0,0498) = 2 8100,0498 0,9502

2= 0,0742

23. Siguin X N(15; 9) i Y N(18; 4) independents amb nx = ny = 9. Quin és el valor mínim

que pot prendre 2 2x yS /S amb un risc del 5%?

0,38 0,45 0,52 0,56 0,59 0,610,65 0,70 0,77 0,84 ..................................

Atès quex x y y

2 2x x

n 1; n 12 2y y

S /F

S /

1 2

22 2 2yx x x

8; 82 2 2 2y y y x

S S / 4 A0,05 P A P A P F

9S S /

Així

4A9

= F8; 8; 0,95 =8; 8; 0,05

1 1F 3,44

= 0,29

El valormínim que pot prendre 2 2x yS / S amb un risc del 5%, és

A = 9 0,29/4 = 0,65

LESTAD

ETSEIAT UPC



45

24. El coeficient de fregament dels rodets d�una fotocopiadoras�aproxima a una distribució trapezial com la de la figura. Quina és laprobabilitat que el coeficient de fregament sigui inferior a 0,7?

0,30 0,34 0,40 0,46 0,50 0,540,60 0,70 0,80 0,90 .................

És un exercici que es pot resoldre geomètricament. Per això cal calcular l�alçària del trapezi (triangle + rectangle + triangle), i atès que és igual a la unitat, es podrà trobar el valorde l�alçària (h).

1 = 0,3 h/2 + 0,3 h + 0,1 h/2 = h/2

O sigui, h = 2 i

P(X < 0,75) = 0,3 h/2 + (0,7 0,5)h = 0,3 + 0,4 = 0,7

El desgast X de la mordaça primària d�un sistema de frens de tambor, per un cert

kilometratge, es distribueix N(mX = 120; 2X = 36) i el desgast de la secundària és igual al

81% del de la primària.

25. Quin és el valormàxim del desgast de la secundària amb un risc del 2,5%?102,8 103,4 104,2 105,2 106,7 108,5

109,0 109,7 110,9 112,2 .....................

Sigui Y el desgast de la secundària. Com transformació lineal d�una Normal és Normal

Y = 0,81 X Y N( mY = 0,81 120 = 97,2; 2Y = 0,81

2 36 = 4,862)

Ymàx = mY + z /2 Y = 97,2 + 1,96 4,86 = 106,706

26. Què val la probabilitat que el màxim desgast de les primàries de les 4 rodes d�unremolc superi 132?0,002 0,025 0,088 0,320 0,597 0,686

0,771 0,938 .................

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1x

f(x)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1x

f(x)

YmYYmàx

0,025

YmYYmàx

0,025

LESTAD

ETSEIAT UPC



46

Es tracta de la distribució del valor màxim d�una mostra de grandària 4 formada perles 4 rodes del remolc. Així

P(màx(X1, ..., X4) > 132) = 1 P(màx(X1, ..., X4) 132) = 1 [FX(132)]4

=4 4132 120

1 P Z 1 P(Z 2)6

= 1 0,977254 = 0,088

27. Què val la probabilitat que el desgastmitjà de les 4 secundàries d�un remolc sigui inferior a 102?0,181 0,312 0,468 0,629 0,875

0,941 0,976 0,992 .................

Essent Y N( mY = 97,2;2

Y= 4,862), per n = 4, sabem que

24,86Y N 97,2;

4, per tant,

102 97,2P Y 102 P Z

4,86 /2= P(Z < 1,98) = 0,976

28. S�estudia un tractament que no altera la variabilitat del desgast però sembla quepot disminuir l�esperança matemàtica. Una mostra de 8 primàries ha donat un desgastmitjà de 100 i una variància igual a 38. Quin és el valormàxim en que es pot estimar mX amb un risc del 2,5%?102,16 103,15 104,16 105,15 106,16

107,15 108,16 109,15 114,16 115,15 ........

Si el tractament no altera la variabilitat, estem en una situació de variància coneguda, i el valor extrem de l�estimació de m cal buscar lo utilitzant la llei Normal. Per això resulta

max(0,025)

XX 0,025

�m X zn

= 100 + 1,9668

= 104,16

LESTAD

ETSEIAT UPC



47

29. Què val l�extrem superior de l�interval de probabilitat 0,95 pel desgast de la primària?126,24 126,90 128,64 129,06 130,50 131,76

132,72 133,02 133,98 138,54 .................

L�extrem superior de l�interval de probabilitat 1 per X és igual a mX + z /2 X.

EXS(IP0,95) = 120 + 1,96 6 = 131,76

30. Si el desgast de la primària supera a 132, què val la probabilitat que el de la secundària superi a 110?0,036 0,050 0,099 0,135 0,188

0,332 0,581 0,953 ...............

Designant per Y el desgast de lamordaça secundària sabem que Y = 0,81 X. Per tant

Y N(mY = 120 0,81; 2Y = 0,81

2 36)

P Y 110|X 132 P(Y 110| Y 0,81 132) P(Y 110| Y 106,92)

=P Y 110 P Z 2,63 0,00427

0,188P Y 106,92 P Z 2 0,02275

31. La màxima desviació tipus del desgast de les 4 primàries d�un vehicle, amb una seguretat del 95%, és igual a0,93 1,17 1,61 2,05 2,65 8,66

9,68 10,59 11,67 12,41 ..............

Cal calcular el valor de Smàx tal que P(S < Smàx) = 0,95

Essent X N(mX = 120;2X = 36), les mostres de grandària n d�aquesta llei verifiquen

22

n 12

(n 1)S, i en l�actual situació

2 22

3

(4 1)S S36 12

De taules s�obté 23; 0,05 = 7,815. Per tant

2SP 7,815

12= 0,95

maxS 12 7,815 = 9,68

LESTAD

ETSEIAT UPC



48

L�accés dels usuaris al sistema en una xarxa informàtica, és un procés de Poisson de mitjana 30 accessos cada hora

32. Quina és la probabilitat que el temps entre dos accessos consecutius superi els 4minuts?

0,030 0,050 0,082 0,135 0,2230,368 0,472 0,607 ..............

El temps entre esdeveniments de Poisson consecutius segueix una llei exponencial.

Considerant com unitat de temps el minut, el nombremitjà d�accessos per minut és

0 = 30/60 = 0,5.

Designant W el temps entre accessos consecutius, mesurat en minuts, tenim que

W exp ( = 0,5)

P(W > 4) = e 0,5 4 = 0,135

33. Quina és la probabilitat que en una hora hi hagi com amínim 18 accessos?0,157 0,203 0,452 0,524 0,792 0,843

0,965 0,978 0,987 0,993 .................

Sigui X la variable aleatòria nombre d�accessos cada hora, X P( = 30)

P(X 18) = 1 P(X 17) = 1 F =30(17) = 1 0,0073 = 0,9927

34. Es registren el nombre d�accessos durant cada hora al llarg de 8 hores consecutives.Què val la probabilitat que el nombremàxim d�accessos registrat superi 40?

0,049 0,112 0,164 0,231 0,3160,415 0,526 0,639 .................

Els registres durant 8 hores representen una mostra de grandària 8 d�una llei dePoisson de mitjana 30 esdeveniments cada hora, per tant

P(màx(X1; ...; X8) > 40) = 1 P(màx(X1; ...; X8) 40)

= 1 (F =30(40))8 = 1 0,96778 = 0,231

LESTAD

ETSEIAT UPC



49

Una cisalla circular talla discos d�una xapa que pesa 1,5 g/cm2 i el diàmetre,mesurat en cm,es distribueix N(m = 50; 2 = 0,25).

35. Sabent que el pes d�un disc és superior a 2,8 Kg, quina és la probabilitat que el diàmetre superi 51cm?0,005 0,023 0,116 0,276 0,793

0,951 0,970 0,983 .......................

Un pes superior a 2,8 Kg vol dir una superfície superior a2

2800 g

1,5 g / cm= 1866,6667 cm2

que equival a un diàmetre superior a4 1866,6667

= 48,752 cm

per tant

P(D > 51| D > 48,752) =P(D 51) P(Z 2) 0,02275

P(D 48,752) P(Z 2,5) 0,99379= 0,023

36. Després de reajustar la màquina per modificar m sense canviar , en una mostra de9 discos s�han mesurat els diàmetres i s�ha obtingut una mitjana igual a 40 i una desviació tipus igual a 0,64. Quin és el valor màxim en que es pot estimar m amb un riscdel 2,5%?

40,327 40,492 44,327 44,492 52,32752,492 54,327 54, 492 60,327 60,492 .................

Al conèixer el valor de la variància poblacional, no és correcte utilitzar el valor de la variància mostral i la distribució T d�Student per calcular l�interval de confiança de l�esperançamatemàtica, si no que cal utilitzar la llei Normal. En aquest context, l�estimador serà

2 0,25X N m; N m;

n 9

El valormàxim en que es pot estimar m, amb un risc , és

0,5X z 40 1,96

n 9= 40,327 cm

LESTAD

ETSEIAT UPC



50

37. Sigui X b(n = 10; p = 0,1) i Y, independent de X, pren els valors 0; 2; 4 i 6 de forma equiprobable. Calcular P(XY 0)

0,488 0,541 0,584 0,619 0,6470,669 0,687 0,702 .......................

El producte d�aquestes dues lleis independents no té una distribució coneguda, per tant

P(XY 0) = 1 P(XY = 0) = 1 [P(X = 0) + P(Y = 0) P(X = 0) P( Y = 0)]

= 1 (0,910 + 0,25 0,910 0,25) = 0,488

38. Essent X1 i X2 independents, distribuïdes Poisson amb 1 = 1 i 2 = 2. Calcular P(X1X2 0)0,318 0,348 0,400 0,422 0,491 0,547

0,562 0,565 .................

La distribució del producte de lleis de Poisson independents no correspon a cap dels models probabilístics estudiats, per tant

P(X1X2 0) = 1 P(X1X2 = 0) = 1 [P(X1 = 0) + P(X2 = 0) P(X1 = 0) P(X2 = 0)]

= 1 [0,3679 + 0,1353 0,3679 0,1353] = 0,547

39. En una empresa el 40% dels empleats són titulats universitaris i no parlen alemany, el20% són titulats universitaris i parlen alemany i el 30% ni són titulats ni parlen alemany.Quina proporció d�empleats parla alemany?

0 0,10 0,20 0,25 0,30 0,350,40 0,45 0,50 0,60 ..................................

Sigui A l�esdeveniment �ser titulat universitari� i B el �parlar alemany�.Les dades es poden traduir a

P(A B ) = 0,40P(A B) = 0,20

P( A B ) = 0,3

Atès que P(A B ) + P(A B) + P(A B) + P( A B ) = P( ) =1, resulta

P( A B ) = 0,1 i

P(B) = P(A B) + P(A B) = 0,3

0,40

AB

0,20

0,30

LESTAD

ETSEIAT UPC



51

40. Un equip està format per 50 components. El nombre de components avariats cada setmana, X, és una variable aleatòria tal que P(X = x) = x/1275 per x = 0; 1, ...; 50.Calcula P(19,3 X < 24)

0,049 0,061 0,067 0,080 0,086 0,0990,106 0,119 0,126 0,140 ..................................

Es tracta d�una variable discreta que pren valors enters entre 0 i 50. Així

P(19,3 X < 24) = P(X = 20) + P(X = 21) + P(X = 22) + P(X = 23)

=20 21 22 23

1275= 0,067

41. El temps en dies, X, entre avaries d�un procés és exponencial amb P(X < 105,5) = 0,10.Quina és la probabilitat de tenir 1 avaria en 160 dies?

0,038 0,057 0,074 0,090 0,122 0,1280,136 0,150 0,177 0,189 ..................................

Resulta que X exp( = ?), però sabem que F(105,5) = 0,10 = 1 e 105,5, per tant

= ln 0,9 / 105,5 = 0,001 avaries/dia

El nombre d�avaries en 160 dies, Y, és una Poisson de = 160 0,001 = 0,16

0,1610,16 eP(Y 1)

1!= 0,136

42. La durada d�unes reparacions (hores) és X log Normal (m = 2; 2 = 0,04). Calcula la probabilitat que el tempsmínim de 5 reparacions superi les 5 hores

0,023 0,220 0,446 0,501 0,601 0,6510,698 0,878 0,903 0,995 ..................................

La distribució delmínim de la mostra és tal que

P(min(X1;..., Xn) > a) = [1 FX(a)]n

En llei logN,

FX(a) = P( X < a) = P(ln X < ln a) =lna m

P Z

LESTAD

ETSEIAT UPC



52

FX(5) =ln 5 2

P Z0,04

= P( Z < 1,95) = 1 0,97441 = 0,02559

P(min(X1;..., X5) > 5) = [1 FX(5)]5 = [0,97441]5 = 0,878

43. La vida d�uns fluorescents (hores) és X W( = 0,4; = 4). Què val l�esperança matemàtica de X en mostres de grandària 6?

7,9 9,0 11,7 13,3 15,4 17,118,0 20,2 22,3 22,6 ..................................

Per qualsevol distribució de probabilitat, E( X ) = E(X). Així, el que cal és calcularl�esperança matemàtica de la Weibull

1 1E(X) = 1 4 1 4 (3,5)

0,4

= 4 2,5 (2,5) = 4 2,5 1,32934 = 13,29

Un ascensor admet una càrrega màxima de 700 Kg. El pes dels usuaris es pot admetre distribuït Normal amb m = 70 Kg i = 7,8 Kg.

44. Quina és la probabilitat que amb 9 usuaris hi hagi sobrecàrrega?0,0014 0,0022 0,0034 0,1587 0,1711 0,1841

0,7704 0,7939 0,9929 0,9966 ..............................

Essent el pes d�un usuari X N(700; 7,82), el pes de 9 usuaris és

9

9 ii 1

Q X que es distribueix Normal

E(Q9) = 9 70 = 630 Kg

V(Q9) = 9 7,82 = 23,42 Kg2.

P(Q9 > 700) = P(Z > 2,99) = 1 0,99861 = 0,0014

45. Quin és el valormínim de la mitjana del pes de 16 usuaris, amb un risc del 2,5 %?64,64 65,79 66,18 66,63 66,94 67,19

67,45 67,59 67,70 67,82 .....................

LESTAD

ETSEIAT UPC



53

2

16

7,8X N 70;

16

min = 70 1,96 7,8/4 = 66,18

46. S�estima que el cost d�un viatge és de 2 unitats monetàries per Kg transportat. Quinés el costmàxim d�un viatge amb 3 usuaris amb un risc del 2,5%?473 512 1206 1361 1365 1563

1791 2066 2951 3474 .....................

Sigui C el cost d�un viatge de 3 usuaris, llavors

32 2

ii 1

C 2 X C N(2 3 70; 2 3 7,8 ) N(420;730,08)

0,025 = P(C > max) = P(Z > 1,96)

max = 420 + 1,96 730,08 = 472,96

47. Es llencen 2 daus tals que qualsevol parell té doble probabilitat de sortir que qualsevol senar. Essent A l�esdeveniment �sortir 1, 2 o 3 a la primera tirada� i B el �la suma de les duestirades igual a 9�. Calcular la probabilitat que esdevingui A o B.

0,4568 0,4815 0,5185 0,5432 0,5900 0,59380,6000 0,6296 0,6543 0,6563 ...........................

En aquest cas P(1) = P(3) = P(5) = 1/9 i P(2) = P(4) = P(6) = 2/9

Atès que els esdeveniments A i B no són incompatibles,

P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

P(A) = P(1) + P(2) + P(3) = 4/9

P(B) = P(3 6) + P(6 3) + P(4 5) + P(5 4) = 4 1/9 2/9 = 8/81

P(A B) = P(3 6) = 1/9 2/9 = 2/81

P(A B) = 4/9 + 8/81 2/81 = 0,5185

0,025

16Xmin

LESTAD

ETSEIAT UPC



54

Alternativament

El conjunt fonamental dels resultat de les tirades de dos daus és

= { 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 ... 2 6 3 1 ... 3 6 4 1 ... 4 6 5 1 .. 5 6 6 1 ... 6 6}

El conjunt A B està format pels esdeveniments

1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 4 5 5 4 6 3

que són incompatibles entre ells i, cadascun està format per la intersecció de 2 independents.

P(A B) = P(1) P[1 2 ... 6] + P(2) P[1 2 ... 6] + P(3) P[1 2 ... 6] +

+ P(4)P(5) + P(5) P(4) +P(6) P(3)

= P(1) + P(2) + P(3) + P(4)P(5) + P(5) P(4) +P(6) P(3)

= 1/9 + 2/9 + 1/9 + 2/9 1/9 + 1/9 2/9 + 2/9 1/9 = 0,5185

48. Una variable aleatòria té com funció de densitat f(x) = x per 0 < x < 0,5; f(x) = 0,5 per0,5 < x < 1,5; f(x) = 1 � x/3 per 1,5 < x < 3 i f(x) = 0 e.q.a.c. Calcula P(0,25 < X < 2)

0,483 0,547 0,651 0,708 0,752 0,8020,875 0,927 0,958 0,996 ..................................

La funció de densitat es pot dibuixar com

P(0,25 < X < 2) = 1 P(X < 0,25) � P(X > 2)

P(X < 0,25) és l�àrea d�un triangle de base 0,25 i alçaria 0,25, per tant

P(X < 0,25) = 1/32

P(X > 2) és l�àrea d�un triangle de base 1 i alçaria 1 � x/3 = 1 2/3 = 1/3, per tant

P(X > 2) = 1/6

P(0,25 < X < 2) = 1 1/32 1/6 = 0,802

0

0,25

0,5

0 1 2 3

LESTAD

ETSEIAT UPC



55

49. Les trucades a un parc de bombers, durant el mes de gener, es pot considerar Poisson ambmitjana 24,5 trucades cada setmana. Quina és la probabilitat que passin més de dos diessense cap trucada?

0,0009 0,0030 0,0101 0,0273 0,0498 0,32080,4460 0,5960 0,7306 0,8088 ............................

Si, en mitjana hi ha 24,5 trucades setmanals, cada dia n�hi hauran 24,5/7 en mitjana. És adir, el nombre de trucades diàries és Poisson amb = 24,5/7 = 3,5

El temps entre trucades, en dies, Y, és una exponencial = 3,5

P(T > 2) = e 2 3,5 = 0,0009

50. La vida d�uns fluorescents (hores) és X W( = 0,4; = 4). Calcula la probabilitat que laduradamàxima d�un lot de 12 sigui superior a 100 hores.

0,014 0,020 0,027 0,036 0,052 0,1570,218 0,277 0,359 0,474 ..................................

Per una n = 12, P(màx (X1, ..., X12) > 100) = 1 [FX(100)]12. En llei de Weibull0,4100

4XP(X 100) F (100) 1 e 0,9733

P(màx (X1, ..., X12) > 100) = 1 0,973312 = 0,277

51. La durada d�unes reparacions (hores) és X log Normal (m = 2; 2 = 0,04). Què val la variància de X en mostres de grandària 4?

0,069 0,086 0,103 0,121 0,138 0,2900,331 0,387 0,464 0,580 ..................................

Atès que V( X ) = V(X)/n

Essent X log Normal (m = 2; 2 = 0,04).

V(X) =2 22m 2 2 0,04 0,04e e 1 e e 1 2,319

V( X ) = 2,319/4 = 0,580

LESTAD

ETSEIAT UPC



56

52. Un aparell està format per 2 components tipus A i 3 tipus B. Els temps, en minuts, de fabricació de cadascun d�ells és XA N(10; 0,82) i XB N( 15; 1) i el temps de muntatge, també enminuts, és XM N(8; 0,52). Es considera que el cost per minut, ja sigui de fabricació o demuntatge, és 2�. Calcula la probabilitat que el cost total d�un aparell sigui inferior a 150�.

0,079 0,174 0,192 0,281 0,560 0,5910,719 0,808 0,826 0,921 ..................................

Atès que tots els temps es poden considerar independents, el cost es pot escriure com

C =2 3

Ai Bi Mi 1 i 1

2 X X X que es distribueix Normal amb

E(C) = 2 (2 10 + 3 15 + 8) = 146

V(C) = 22 (2 0,64 + 3 1 + 0,25) = 18,12

P(C < 150) = P(Z < 0,94) = 0,82639

53. Es llença un dau en el que la probabilitat de sortir qualsevol resultat menor o igual a 3 ésla quarta part de la de qualsevol altre superior a 3. Sigui A = {resultat múltiple de 3} i B ={resultat inferior a 4}. Calcula la probabilitat que no passi ni A ni B.

0,013 0,028 0,049 0,095 0,333 0,4760,500 0,533 0,556 0,593 .................

El dau té 6 resultats possibles, 3 d�ells (1 � 2 � 3) amb probabilitat p i els altres (4 � 5 i 6)amb probabilitat 4p.

Totes les probabilitats han de sumar la unitat: 3 p + 3 4 p = 1; o sigui p = 1/15

Així P(1) = P(2) = P(3) = 1/15 i P(4) = P(5) = P(6) = 4/15. Gràficament, els esdeveniments A i B i els seus complementaris, dins l�espai de , es representen com

P(A B ) = P({1; 2; 4, 5} {4; 5; 6}) = P({4; 5}) = P(4) + P(5) = 8/15 = 0,533

3

6

12

54AA

BB 3

6

12

54

AA

BB

3

6

12

54AA

BB3

6

12

54AA

BB 3

6

12

54

AA

BB

3

6

12

54

AAAA

BBBB

LESTAD

ETSEIAT UPC



57

54. Sigui X una v.a. tal que f(x) = 1,5(x + 1)2 si 2 < x < 1; f(x) = 1,5(x 1)2 si 1 < x < 2 i f(x) =0 e.q.a.c. Calcula P(X 1,5)0,008 0,064 0,125 0,216 0,504 0,512

0,532 0,563 0,608 0,756 .................

Gràficament, la funció de densitat és

P(X 1,5) =1,531 1,52 2

2 11

(x 1)1,5(x 1) dx 1,5(x 1) dx 0,5 1,5 0,5625

3

55. El nombre d�avaries és un procés de Poisson amb 20 avaries mensuals de mitjana. Es consideren mesos de 4 setmanes de dilluns a diumenge. En un moment de la setmana ja es portenregistrades 2 avaries, quina és la probabilitat d�acabar la setmana amb menys de 4 avaries?0,011 0,022 0,040 0,045 0,075 0,084

0,136 0,147 0,234 0,376 .................

Definint com X el nombre d�avaries setmanals, resulta X ~ P( = 20/4 = 5)

P(2 X 3) F(3) F(1) 0,2650 0,0404P(X < 4 | X 2) = 0,234

1 P(X 1) 1 F(1) 1 0,0404

El consum de combustible d�un vehicle en trajectes de 1 Km és N(0,07 litres; 0,0025 litres2).

56. Si el combustible es paga a 0,95 � el litre, quin és el cost totalmàxim (�) de 500 Kmamb un risc del 2,5%?28,46 35,33 42,18 49,01 55,83 63,8479,80 95,76 111,72 127,68 .................

Sigui X els litres consumits en 1 Km X ~ N( 0,07; 0,052)

X500 litres per fer 500 Km X500 =500

ii 1

X ~ N(500 0,07; 500 0,052)

f(x)

x1,5

f(x)

x1,5

LESTAD

ETSEIAT UPC



58

C500 cost(�) per fer 500 Km C500 = 0,95 X500 ~ N(0,95 500 0,07; 0,952 500 0,052)

C500 ~ N(33,25; 1,06212)

cmàx = m + z0,025 = 33,25 + 1,96 1,0621 = 35,33 �

57. Quina és la probabilitat que el consum mitjà per Km després de fer 25 Km superi els0,065 litres (ajuda: n = 25)?.0,0015 0,3975 0,5160 0,6064 0,6915 0,8413

0,9332 0,9773 0,9938 0,9999 .................

El consummitjà per Km en un trajecte de 25 Km correspon a la mitjana d�unamostrade grandària 25 extreta de la població X, litres consumits en 1 Km, tal que

X ~ N( 0,07; 0,052). Llavors

2

(25)0,05

X N 0,07;25

0,065 0,07P(X 0,065) P Z P(Z 0,5) 0,69146

0,05/ 5

58. La durada (anys) d�un electrodomèstic ésW( = 2; = 11). Si ja fa 10 anys que funcionaquina és la probabilitat d�espatllar se abans dels 15 anys?0,033 0,187 0,305 0,333 0,411 0,562

0,644 0,790 0,843 0,916 .................

Sigui X la durada (anys) d�un electrodomèstic, llavors X ~ W( = 2; = 11)

P(X < 15 | X > 10) =

2 2

2

10 1511 11

1011

P(10 X 15) e eP(X 10)

e

0,644

0,025

C500cmàx

0,025

C500cmàx

LESTAD

ETSEIAT UPC



59

59. Les mesures de la resistència d�unes pales de turbina ha estat 25,4; 28,5; 27,2; 30,3 i 26,8. Admetent llei Normal, quin és el valormínim en que es pot estimar 2 amb un risc del 5%?1,23 1,45 2,46 2,89 3,34 3,92

4,19 4,92 10,84 12,73 .................

A partir de la mostra obtenim

n2

i2 i 1

(X X)S

n 1= 3,433

Si X ~ N(m; 2) sabem que2

2n 12

(n 1) Si el valor mínim en que es pot estimar 2

amb un risc del 5% correspon a l�extrem inferior de l�interval de confiança de 2 amb unrisc del 10%. Així

22

2 2min/2;n 1 0,05;4

(n 1) S (5 1) 3,433 13,732� 1,44739,488

60. La durada d�unes reparacions, distribuïda log Normal (m; 2), ha estat 11; 28; 61; 19 i 41minuts. Estima el paràmetrem.2,7 3,3 4,0 4,7 4,9 17,2

32,0 64,6 127,2 159,0 .................

Si X ~ logN(m; 2) vol dir que ln X ~ N(m; 2), on m és l�esperança matemàtica dels logaritmes neperians de la variable X. El millor estimador de l�esperança és la mitjana de lamostra, per tant,

5

ii 1

lnx�m

53,30

61. Una urna té 20 boles numerades de 0 a 9 amb 2 boles de cada valor. Se�n treuen 3 sensereposició. Sabent que la primera ha estat un 5, calcula la probabilitat que les altres duessiguin senars.0,018 0,088 0,211 0,250 0,263 0,322

0,423 0,548 0,602 0,658 .................

LESTAD

ETSEIAT UPC



60

La informació referent a que ja s�ha extret una bola i que aquesta té el número 5, enscondueix a la composició actual de la urna: 19 boles en total que estan formades per unabola amb el nº 5 i, de les altres 18 boles, n�hi ha 2 amb cadascun dels números restants, osigui, 2 uns, 2 dosos, ....., 2 nous.

També es pot dir que la composició actual consta de 10 boles parells i 9 senars.

La probabilitat de dos senars, sense reposició, en la nova urna és

p = P(1ª senar 2ª senar) = P(1ª senar) P(2ª senar|1ª senar) =

=9 8 419 18 19

= 0,21053

62. En un edifici de 8 plantes, la probabilitat que l�ascensor hagi de pujar fins la planta x ésigual a (3x � 2)/92 per x = 1; ...; 8. Si l�ascensor ja ha passat de la planta 2 i segueix pujant,quina és la probabilitat que hagi de sobrepassar la planta 6?0,228 0,239 0,253 0,446 0,471 0,5000,513 0,586 0,761 0,875 .................

Sigui X la variable aleatòria �planta fins la que puja l�ascensor�, x = {1; 2; ... , 8}

P(X = x) =3x 292

Cal calcular

P(X > 6 | X > 2) =P(X 6 X 2) P(X 6)

P(X 2) P(X 2)

P(X 7) P(X 8) 19/92 22/921 P(X 1) P(X 2) 1 (1/92 4 /92)

= 0,4713

63. El tempsmitjà entre accessos consecutius a una Web és de 5 minuts i es pot admetre quees tracta d�un procés de Poisson. Quina és la probabilitat que entre les 9:00 i les 10:00 hihagi menys de 15 accessos si entre les 9:00 i les 9:15 ja s�han produït 5 accessos?0,055 0,116 0,207 0,324 0,587 0,706

0,876 0,926 0,959 0,978 .................

En un procés de Poisson intervals de temps disjunts són independents, per tant, l�espai detemps de 9 a 10 es pot considerar format pers dos intervals independents: el dels primers

LESTAD

ETSEIAT UPC



61

15 minuts i el dels 45 següents. Si en el primer ja s�han produïts 5 accessos, i en total se�nvolen menys de 15, caldrà que en el segons interval se�n produeixin menys de 10.

Per tant el problema es redueix a calcular la probabilitat que en 45 minuts hi hagi menysde 10 accessos, dins un procés de Poisson amb una mitjana de 1 accés cada 5 minuts, o sigui, amb = 9. Essent X el nombre d�accessos en 45 minuts

P(X < 10) = F =9(9) = 0,5874

El cost d�unmetall és de 0,050 �/g i la quantitat necessària per recobrir una placa és N(80g;2 = 16g2)

64. Quin és el cost totalmínim, amb un risc del 1,5%, del metall consumit per recobrir35 plaques?71,32 78,06 106,98 117,62 124,81 137,43

142,64 157,26 178,30 196,93 .................

Sigui X el metall (grams) necessari per recobrir una placa: X ~ N(80; 16)

El metall que, en total, es necessita per recobrir ne 35 , T35, es pot escriure com

35

35 ii 1

T X i, evidentment, T35 ~ N(35 80; 35 16) N(2800; 560)

El cost total del metall necessari per recobrir 35 plaques, C35, serà

C35 = 0,050 T35 i C35 ~ N(0,050 2800; 0,0502 560) N(140; 1,4)

C35 min = m + z1 0,015 = m + z0,985

= 140 2,17 1,4 = 137,432

65. Quina és la probabilitat que en el recobriment de 50 plaques en cap d�elles s�hagigastatmés de 90 g de metall?

0,0315 0,3164 0,4539 0,5874 0,6560 0,73240,8758 0,9101 0,9347 0,9886 .................

La probabilitat de gastarmés de 90 g de metall per recobrir una placa és

C35min 140 C35

0,015

C35minC35min 140 C35

0,015

LESTAD

ETSEIAT UPC



62

p = P(X > 90) =90 80

P Z16

= P (Z > 2,5) ) = 1 0,99379 = 0,00621

La probabilitat que en cap de les 50 se�n hagi gastatmés de 90 g és

P(X1 < 90 X2 < 90 ... X50 < 90) = (1 p)50 = (1 0,00621)50 = 0,732371

66. La durada (minuts) d�una reparació és log Normal amb mitjana 57,1 minuts i variància307,1 minuts2. Quina és la probabilitat que una reparació s�acabi abans de 50 minuts?

0,061 0,213 0,334 0,386 0,616 0,6250,719 0,780 0,855 0,953 .................

Essent X la durada en minuts de la reparació, X ~ logN(m; 2)

Per les dades tenim E(X) = 57,1min ; V(X) = 307,1 min2 i cal calcular m i .

2

2

2 2m 2 22

2 2 2

V(X) 307,1ln 1 ln 1

E(X) e E(X) 57,1

V(X) E(X) e 1m lnE(X) m ln57,1

2 2

2 = 0,0900 m = 4

P(X < 50) = P(ln X < ln 50) =ln 50 4

P Z0,09

= P( Z < 0,29) = 1 0,61409 = 0,3859

67. Els valors dels diàmetres de 8 peces, han donat una variància igual a 32. Admetent lleiNormal, quin és l�extrem superior de l�interval de confiança al 95% per 2?86,98 99,41 115,98 132,54 144,97 165,68

173,96 198,82 202,96 231,95 .................

L�extrem superior de l�interval de confiança del 95% per la variància d�una poblacióNormal és igual a

22

0,95 21 /2; n 1

(n 1) S 7 32EXS( )

1,690132,544

LESTAD

ETSEIAT UPC



63

68. El nombremitjà de cotxes que arriben a una benzinera és constant. La mitjana d�arribadescada hora és de 180 cotxes. Com amàxim en pot atendre 2 cada minut. Què val la probabilitat que en un minut arribinmés cotxes dels que pot atendre?

0,093 0,143 0,181 0,243 0,264 0,3230,353 0,377 0,482 0,577 .................

Si el nombre mitjà per unitat de temps es manté constant, en una variable aleatòria quecompta el nombre d�arribades en un cert període de temps, es pot admetre que es compleixen totes les condicions requerides per la llei de Poisson. Essent X les arribades en unminut,

X P( = 180/60 = 3)

Si només en pot atendre 2, la probabilitat que quedi algú en espera, és igual a

P(X > 2) = 1 P(X 2) = 1 0,4232 = 0,5768

69. Una moneda amb P(cara) = 0,4 es llença fins tenir 2 cares seguides o bé fins tenir en total3 creus (no necessàriament consecutives). Què val la probabilitat de necessitarmés de 3llançaments per acabar el joc?

0,112 0,224 0,347 0,416 0,432 0,5040,528 0,626 0,752 0,818 .................

En forma d�arbre tenimHi ha 4 situacions incompatibles on, després de 3 tirades, encara no s�ha acabatel joc.

Al ser P(C) = 0,4; P(X) = 0,6 i tots el llançaments independents, la probabilitatdemanada és

p = P(CXC) + P(CXX) + P(XCX) + P(XXC)= 0,42 0,6 + 3 0,4 0,62 = 0,528

Alternativament

P(no acabar el joc en 3 tirades) = 1 P(acabar en 3) = 1 (P(CC) + P(XCC) + P(XXX))

= 1 (0,42 + 0,6 0,42 + 0,63) = 0,528

C

X

C

X

C

X

C

X

C

X

FI

FI

C

X FI

LESTAD

ETSEIAT UPC



64

70. Un sistema de seguretat està format per 5 components idèntics i independents que assenyalen la presència de gas tòxic. L�alarma salta quan, com amínim, 4 components assenyalen gas. Se sap que cadascun té probabilitat 0,2 de detectar indegudament el gas iprobabilitat 0,1 de no detectar lo, quan realment n�hi ha. Què val la probabilitat que nosalti l�alarma quan hi ha emissió de gas?

0,012 0,016 0,047 0,074 0,082 0,1140,165 0,224 0,410 0,556 .................

Sigui X la variable aleatòria �nombre de components que no detecten gas quan realmentn�hi ha�, llavors X b(n = 5; p = 0,1)

L�alarma no salta quan el nombre de components que detecten el gas és, com a màxim, 3;o sigui, que dels 5 n�hi ha, com amínim, 2 que fallen

P(X 2) = 1 P(X 1) = 1 B(1; 5; 0,1) = 1 0,9185 = 0,0815

71. Sigui X tal que P(X = x) = x2/91 per x = 1, 2, ..., 6. Què val P(X 5|X > 2)?0,291 0,322 0,532 0,581 0,600 0,621

0,628 0,632 0,641 0,714 .................

2 2 2

2 2P(3 X 5) (3 4 5 )/91 50

P(X 5|X 2)P(X 2) 861 (1 2 )/91

= 0,5814

El consum de combustible (litres) per hora de vol d�un helicòpter es pot considerarN(m = 380; 2 = 25), i el dipòsit és de 900 litres.

72. Què val la probabilitat que amb 2 hores de vol consumeiximés del 85% del dipòsit?0,03 0,08 0,10 0,18 0,24 0,31

0,44 0,46 0,62 0,66 .................

Sigui X els litres de combustible consumit en una hora de vol

X N(m = 380; 2 = 25)

Sigui Y els litres de combustible consumit en dues hores de vol

Y = X1 + X2 N(m = 760; 2 = 50)

P(Y > 0,85 900) =765 760

P Z50

= P(Z > 0,71) = 1 0,76115 = 0,23885

LESTAD

ETSEIAT UPC



65

73. Quin és el consummínim per hora amb una seguretat del 97,5%?364,80 366,20 366,80 368,20 368,80 370,20

370,80 372,20 372,80 374,20 .................

Es tracta de calcular el valor de la variable aleatòria X que deixa a la seva esquerrauna probabilitat igual a 0,025. El valor z0,975 = 1,96. Per tant Xmin = 380 1,96 5 =370,2 litres

74. S�han fet 12 vols d�una hora de durada cadascun. Què val la probabilitat que elmàxim consum hagi superat 390 litres?0,003 0,008 0,023 0,030 0,055 0,094

0,115 0,241 0,492 0,769 .................

Tenim una mostra de grandària 12 de la variable aleatòria X i cal calcular la probabilitat que elmàxim de la mostra superi 390, això és

P[màx(X1, ..., X12) > 390] = 1 [FX(390)]12

= 112

12390 380P Z 1 P(Z 2)

5

= 1 0,9772512 = 0,2413

75. La durada, X, d�una reparació en minuts és X logN(4; 1). Si es fan 225 reparacions, quèval la probabilitat que la durada mitjana sigui superior a 95 minuts?

0,067 0,102 0,145 0,200 0,264 0,3090,337 0,444 0,484 0,664 .................

Atès que la grandària de mostra és considerable, es pot aplicar el teorema límit central

2

2

1m 4 4,52 2

2 9

E(X) E(X) e e e 90,017

V(X) V(X)/n E(X) e 1 / 225 e (e 1)/225 61,88

95 90,017P X 95 P Z

61,88= P(Z > 0,63) = 1 0,73565 = 0,26435

LESTAD

ETSEIAT UPC



66

76. Al mesurar el contingut en nicotina de 20 cigarrets, s�ha obtingut una mitjana igual a 0,65mg i una desviació tipus igual a 0,05 mg. Suposant distribució Normal, quin és el valormàxim, amb un risc del 5%, en que es pot estimar l�esperança matemàtica del contingutde nicotina en un cigarret?0,6655 0,6671 0,6687 0,6693 0,6706 0,6727

0,6734 0,6777 0,6790 0,6858 .............

Cal trobar l�extrem superior de l�interval de confiança de l�esperança matemàtica d�unallei normal amb variància desconeguda, amb un risc del 10% (5% per cadascun dels extrems).

0,05; n 1S 0,05

EXS X t 0,65 1,729n 20

= 0,66933

77. Tenim 25 daus equilibrats i 10 amb una càrrega que fa que P(X = 6) = 2 P(X = x) per x = 1,2, ... 5. Agafant un dau a l�atzar ha sortit un 6. Calcula la probabilitat que s�hagi llançat undels daus equilibrats.

0,200 0,226 0,429 0,467 0,556 0,5930,600 0,636 0,714 0,745 .................

En el dau carregat resulta que P(X = x) = 1/7 per x = 1, 2, ..., 5 iP(X = 6) = 2/7

Representant per E al dau equilibrat i per C el carregat, i sabentque ha sortit un 6, la probabilitat que procedeixi d�un dau equilibrat és

P(E) P(X 6|E) P(E) P(X 6|E)P(E|X 6)

P(X 6) P(E) P(X 6|E) P(C) P(X 6|C)

25 135 6 0,593225 1 10 2

35 6 35 7

78. Per veure si la resistència d�uns cables, distribuïda N(m; 2 = 225), és superior o igual a

2000 amb = 0,025, es disposa d�una mostra de n = 9 amb X = 2030 i S2 = 214,9. Què valel risc associat a m = 2001?0,0015 0,0029 0,0052 0,0091 0,0154 0,9846

0,9909 0,9948 0,9971 0,9985 .................

equilibrat

carregat

25/35

10/35

12

3456

12

3456

1/6

1/6

2/7

1/61/61/61/6

1/7 1/71/71/71/7

LESTAD

ETSEIAT UPC



67

Es tracta d�una prova d�hipòtesi amb H0: m 2000 contra H1: m < 2000, aplicada a una llei

Normal de variància coneguda. Utilitzant X com estadístic de la prova, la regió crítica és el

conjunt de valors de X inferiors a X L

Numèricament,

L 015

X m z 2000 1,96 1990,23n

El risc associat a m = 2001 és un risc de primeraespècie, doncs 2001 és un valor de la hipòtesinul la.

Aquest risc és la probabilitat de rebutjar H0 quan és certa, o sigui, la probabilitat quel�estadístic pertanyi a la regió crítica quan m = 2001.

m 2001 L1990,2 2001

P X X |m 2001 P Z P(Z 2,16)225/9

= 1 0,98461 = 0,01539

79. Essent F(x) = x2 per 0 < x < 1; F(x) = 0 per x 0 i F(x) = 1 per x > 1, calcula P(X 0,5|X > 0,2)0,050 0,125 0,176 0,219 0,222 0,400

0,500 0,600 0,636 0,802 .................

2 2

2

F(0,5) F(0,2) 0,5 0,2P(0,2 < X 0,5)P(X 0,5 | X > 0,2)= 0,21875

1 P(X 0,2) 1 F(0,2) 1 0,2

Un prototipus de cotxe híbrid té un consum de combustible per Km distribuït N(m = 0,02litres; 2 = 0,072 litres2). La capacitat del dipòsit és de 8 litres i la bateria totalment carregada té una autonomia distribuïda N(m = 20 Km; 2 = 1 Km2).

80. Si surt amb el dipòsit ple, calcula la probabilitat que necessiti utilitzar la bateria enun viatge de 450 Km.0,04 0,20 0,47 0,48 0,51 0,52

0,54 0,75 0,90 0,99 .................

H0: m m0 H1: m < m0

C A

Xm0

LX

LESTAD

ETSEIAT UPC



68

Sigui X el consum en 1 Km, X N(m = 0,02 litres; 2 = 0,072 litres2). Llavors, el consum en 450 Km serà igual a la suma de 450 variables aleatòries independents i ambla mateixa distribució Normal cadascuna d�elles. Per tant,

X(450) N(m = 450 0,02 = 9; 2 = 450 0,072 = 2,205).

Necessitarà utilitzar la bateria quan el consum en els 450 Km superi la càrrega deldipòsit, és a dir, siguimés gran que 8 litres. Així

P(X(450) > 8) =8 9

P Z P(Z 0,67) 0,748572,205

81. Quina és la distància màxima que pot fer només amb la bateria amb una seguretatdel 97,5%?18,04 18,54 19,04 19,54 20,04 21,96

22,46 22,96 23,46 23,96 .................

Sigui Y la distància (Km) recorreguda amb una bateria carregada: Y N(m = 20; 2 = 1).

Ymàx = m + z0,025 = 20 + 1,96 1 = 21,96 Km

82. Si es fan 10 desplaçaments només amb la bateria fins esgotar la cada cop, quina ésla probabilitat que lamàxima distància recorreguda amb una càrrega sigui superiora 22,5 Km?0,0604 0,2056 0,4992 0,6915 0,8223 0,8413

0,9332 0,9750 0,9773 0,9938 .................

Això representa una mostra de grandària n = 10 de la variable aleatòria Y N(20; 1).

P(màx(Y1, ..., Y10) > 22,5) = 1 P(màx(Y1, ..., Y10) 22,5) = 1 [FY(22,5)]10 =

1010 1022,5 20

1 P Z 1 P(Z 2,5) 1 0,99379 0,060391

Ymàx

Y

0,025

m = 20

0,975

Z0,025 = 1,96

LESTAD

ETSEIAT UPC



69

83. La durada d�unes piles es distribueix Weibull amb esperança matemàtica 50 hores i desviació tipus 10 hores. Quin és l�extrem superior de l�interval de probabilitat 0,95 per la durada mitjana de les piles contingudes en una caixa de 1000?

48,35 48,42 49,37 49,44 50,52 50,6251,42 51,51 52,39 52,46 .................

La distribució de la mitjana de les mostres d�una Weibull no és una de les lleis conegudes,però, quan la grandària de mostra és suficientment important, es pot aplicar el teoremalímit central i aproximar la per una Normal.

Així doncs, si X és la durada d�una pila, X W( ; ), amb E(X) = 50 h i V(X) = 100 h2 i, per nprou gran

aproxX N E(X); V(X) que, en aquest cas, passa a ser

2aprox 10

X N 50;1000

L�extrem superior de l�interval de probabilitat 1 � , per X considerada Normal, és

/2E(X) z V(X) 50 1,96 0,1 50,6198

84. Al mesurar el contingut en nicotina de 20 cigarrets, s�ha obtingut una mitjana igual a 0,65mg i una desviació tipus igual a 0,05 mg. Suposant distribució Normal, quin és el valormàxim, amb un risc del 5%, en què es pot estimar la desviació tipus del contingut de nicotina en un cigarret?0,0685 0,0719 0,0730 0,0774 0,0797 0,0877

0,0899 0,1018 0,1186 0,1437 .................

Cal trobar l�extrem superior de l�interval de confiança de la desviació tipus d�una llei Normal, amb un risc del 10% (5% per cadascun dels extrems).

EXS (I.C. de 2) =2 2

21 /2; n 1

(n 1) S 19 0,050,004695

10,117

EXS(I.C. de ) = 0,004695 0,06852

LESTAD

ETSEIAT UPC



70

La producció d�una empresa es reparteix amb un 20% de producte A, un 40% de B, un25% de C i la resta d�altres productes. Al client M se li ven el 10% de la producció de A, el50% de la de B i el 70% de la de C. Al client N se li ven un 5% de la de A, un 10% de la deB, un 20% de la de C i la totalitat de la resta de productes.

85. Quina proporció (%) de la producció de l�empresa compra el client N?15 17 21 25 29 30

33 35 40 45 .................

La probabilitat que el client N compri un producte qualsevol és

P(N) = P(A) P(N|A) + P(B) P(N|B) + P(C) P(N|C) + P(R) P(N|R) =

= 0,20 0,05 + 0,40 0,10 + 0,25 0,20 + 0,15 1 = 0,25

Això representa un 25% de la producció

86. Què val la probabilitat que una unitat venuda a un client que no és ni M ni N siguide producte C?

0,0052 0,0192 0,0278 0,0354 0,0435 0,05710,0656 0,0704 0,0833 0,0959 .................

És una situació que correspon a la regla de Bayes, cal calcular

P(C) P(Q |C) 0,25 0,10P C|(M N) P(C|Q)

P(Q) 0,20 0,85 0,40 0,40 0,25 0,10 0,15 0= 0,0704

A

B

R

C

0,20

0,40

0,25

0,15

MNQMNQ

MNQMNQ

0,10

0,50

0,70

0,10

0,20

0,05

10

0

0,85

0,40

0,10

LESTAD

ETSEIAT UPC



71

87. Els accessos diaris a un caixer tenen mitjana constant i igual a 150. Del dia 1 al 15demarç, inclosos, ha tingut 2000 accessos. Què val la probabilitat que en tot el mesdemarç es superin els 4500 accessos?

0,0202 0,0823 0,1531 0,2504 0,3409 0,45980,6074 0,7088 0,8924 0,9641 .................

Si la mitjana és constant, la resta de condicions necessàries per seguir una llei dePoisson són perfectament admissibles en un caixer automàtic. Per tant, essent X elnombre d�accessos diaris, resulta que X Poisson ( = 150).

Pel fet de la independència entre esdeveniments de Poisson d�intervals de temps incompatibles, si entre els primers 15 dies de març han esdevingut 2000 accessos, i esvol que en tot el mes es superin els 4500, cal que en els 16 dies restants se�n produeixinmés de 2500.

Sigui Y el nombre d�accessos en 16 dies, Y Poisson ( = 16 150 = 2400).

Atesa l�envergadura del paràmetre , el teorema límit central ens permet aproximarper una llei Normal, així doncs

Y Poisson ( = 16 150 = 2400) N(m = = 2400; 2 = = 2400)

L�aproximació amb la correcció per continuïtat dóna lloc a

P(Y > 2500) = 1 � P(Y 2500) = 1 � P(Y 2500,5) = 12500,5 2400

P Z2400

=

= 1 P(Z 2,05) = 1 � 0,97982 = 0,02018

Les làmines d�acer galvanitzat SAE1006 d�ample 700 mm, tenen un pes de 183 g/m2

i es serveixen en forma de bobina. La longitud enrotllada és N(m = 4285 m; 2 = 1600m2). Amb un risc del 2,5%,

88. Quina és la longitudmàxima enrotllada en una bobina?4330,8 4340,8 4343,4 4350,8 4353,4 4360,8

4363,4 4365,8 4373,4 4378,4 .................

Sigui X la longitud, en metres, enrotllada en una bobina, X N(4285 m; 1600 m2)

LESTAD

ETSEIAT UPC



72

Xmàx = m + z0,025 = 4285 + 1,96 40 = 4363,4 metres.

89. Què pesen, com amínim, 4 bobines (Kg)?2145,21 2150,34 2155,46 2160,59 2163,15 2165,30

2170,42 2175,55 2180,67 2183,23 ..............

El pes d�una bobina, PB, és igual a

PB = X(m) 0,700 (m) 0,183 (Kg/m2) = 0,1281 X (Kg)

El pes de 4 bobines, PB(4) serà

PB(4) =4 4

i ii 1 i 1

PB 0,1281 X

i la seva distribució és

PB(4) N( m = 4 0,1281 4285=2195,634; 2 = 4 0,12812 1600=105,0215)

PB(4)mín = m + z0,975

= 2195,634 � 1,96 105,0215

= 2175,55 Kg

El pes d�una persona de determinat grup ètnic es pot considerar N(m = 58 Kg; 2 =100 Kg2). S�agafen 16 persones d�aquest grup

90. Quin és el valormàxim de la variànciamostral amb un risc del 5%?151,73 158,65 162,28 164,02 166,64 172,91

177,59 178,86 183,25 199,27 .................

0,025

m X

Xmàx

0,025

m PB(4)

PB(4)mín

LESTAD

ETSEIAT UPC



73

Sigui X el pes (Kg) d�una persona, se sap que X N(m = 58 Kg; 2 = 100 Kg2)

En llei Normal, la variànciamostral segueix la distribució2

2n 12

(n 1) S

Per un risc = 0,05 i grandària de mostra n = 16 tenim, a taules, 20,05; 15 = 24,996

2 2max max

2(n 1) S 15 S

24,996100

2max

2499,6S

15= 166,64

91. Quina és la probabilitat que elmés prim no arribi a pesar 40 Kg?0,036 0,125 0,267 0,355 0,443 0,482

0,519 0,599 0,678 0,701 .................

Es tracta de calcular la probabilitat que el mínim de la mostra de grandària 16 noarribi 40, o sigui

P(min(X1, ..., X16) < 40) = 1 � [1 FX(40)]16

FX(40) = P(X < 40) = P(Z < (40 � 58) / 10) = P(Z < 1,8) = 1 � 0,96407 = 0,03593

P(min(X1, ..., X16) < 40) = 0,443

92. La resistència a la tracció de l�aliatge U 700 es distribueix Normal. Mesurades 36provetes, s�ha obtingut un interval de confiança per m igual a [11,694; 14,306] amb

2i

i

x = 7344. Quin és el risc de l�interval?

0,001 0,002 0,005 0,010 0,020 0,0250,050 0,100 0,200 0,250 .................

En llei Normal de variància desconeguda, l�interval de confiança 1 per m és

LESTAD

ETSEIAT UPC



74

/2; n 1S

X tn

O sigui el centre del interval és la mitjana mostral, per tant,

11,694 14,306X 13

2Amés

n n n2 2 2

i i i2 2 2i 1 i 1 i 1

(X X) (X X) Xn n 36 7344

S X 13 36n 1 n 1 n n 1 n 35 36

D�aquí que /2; 35n 36

t (EXSup IC X) (14,306 13) 1,306S 36

A taules es troba que = 2 P(T =35 > 1,306) = 2 0,10 = 0,20

Per anar a treballar una persona va per l�itinerari A el 40% dels dies, pel B el 20%, pel C el15% i la resta de dies agafa el tren. Troba caravana el 10% dels dies que va per A, el 20%dels que va per B i el 30% dels que va per C.

93. Què val la probabilitat de trobar caravana un dia qualsevol?0,006 0,105 0,125 0,135 0,145 0,165

0,250 0,333 0,500 0,600 .................

P(Caravana) = P(A) × P(Caravana|A) + P(B) × P(Caravana|B) + P(C) × P(Caravana|C) ++ P(tren) × P(Caravana|tren)

= 0,40 × 0,10 + 0,20 × 0,20 + 0,15 × 0,30 + 0,25 × 0 = 0,125

0,70

A

B

tren

C

0,40

0,20

0,15

0,25

Caravana

NO Caravana

Caravana

NO Caravana

CaravanaNO Caravana

Caravana

NO Caravana

0,10

0,20

0,30

0

1

0,90

0,80

LESTAD

ETSEIAT UPC



75

94. Si no ha trobat caravana, quina és la probabilitat que hagi estat en l�itinerari C?0,0278 0,1056 0,1173 0,1200 0,1214 0,12280,1257 0,1354 0,1520 0,1920 .................

P(C | No caravana) =P(C No caravana) P(C) P(No caravana|C)P(No caravana) P(No caravana)

=0,15 0,70

0,40 0,90 0,20 0,80 0,15 0,70 0,25 1= 0,1200

95. La probabilitat que una màquina no serveixi la beguda demanada és constant i igual a0,05. Quina és la probabilitat que estudiant 1000 peticions es detecti que ha servit labeguda menys de 950 vegades?0,0502 0,1587 0,3567 0,4721 0,6274 0,7324

0,8293 0,8962 0,9686 0,9922 .................

Sigui X la variable aleatòria �nombre de vegades, de 1000 peticions, que la màquina expenedora ha servit la beguda�. Resulta que X b(n = 1000; p = 0,95)

És una llei binomial amb n molt gran i p no massa petita, per tant, es pot aproximar a unallei Normal segons ens indica el teorema límit central.

Al ser E(X) = n × p = 950 i V(X) = n × p × (1 p) = 47,5 resulta

X aprox. N(m = 950; 2 = 47,5)

Tenint en compte que al aproximar una llei discreta (binomial) per una contínua (Normal)cal fer la correcció per continuïtat, la probabilitat demanda és

949,5 950P(X 950) P(X 949) P(X 949,5) P Z

47,5= P(Z 0,07) = 0,47210

La distància (m) recorreguda per un cotxe cada segon es pot considerar N(m = 27; 2 = 4) ifa una parada tècnica, exactament, cada 3 hores. Una moto necessita un temps(h)

N(m = 1,25; 2 = 0,0025) per fer 100 Km.

96. Amb un risc del 2,5%, quina és la distància màxima (Km) recorreguda pel cotxe entre2 parades tècniques consecutives?

272,8 274,5 286,0 291,2 292,0 308,3321,2 333,9 336,5 338,9 .................

LESTAD

ETSEIAT UPC



76

Sigui X = �distància recorreguda cada segon� X N(mX = 27; 2X = 4)

Si el cotxe fa una parada tècnica cada 3 hores, entre dues parades consecutives passa un temps de 3 hores, o bé de 3 × 360 = 10800 segons.

En aquest temps, la distància recorreguda, Y, és una variable aleatòria, expressada

en Km, tal que Y =10800

ii 1

X /1000. Com combinació lineal de Normals independents,

Y N(mY = 10800 ×mX /1000 = 291,6; 2Y = 10800 × 2

X /10002 = 0,0432)

I la distància màxima, amb un risc del 2,5%, que pot recorre en aquestes 3 hores és

Ymax = my + z0,025 Y = 291,6 + 1,96 × 0,0432 = 292,007 Km

97. Amb un risc del 2,5%, quin és el temps mínim (h) que necessita la moto per fer 300Km?

2,30 2,36 3,46 3,58 4,61 4,805,76 6,03 6,91 7,26 .................

Sigui W el temps, en hores, que necessita la moto per fer 100 Km.

W N (mW = 1,25; 2W = 0,0025)

El temps, T, requerit per fer 300 Km és3

ii 1

T W i està expressat en hores. La seva

distribució és

T N (mT = 3 ×mW = 3,75; 2T = 3 × 2

W = 0,0075)

El tempsmínim, amb un risc del 2,5 %, que necessita la moto per fer els 300 Km és

0,025

mY Y

Ymàx

LESTAD

ETSEIAT UPC



77

Tmin = mT + z0,975 × T = 3,75 1,96 × 0,0075 = 3,580 hores

98. La resistència al trencament (Kg) d�un cinturó de seguretat és N(m = 3000; 2 = 8100).S�agafen 9 cinturons d�aquest tipus. Quina és la probabilitat que la mitjana de les resistències no superi els 2950Kg?

0,0027 0,0066 0,0091 0,0274 0,0475 0,95250,9726 0,9909 0,9934 0,9973 .................

Sigui X la variable aleatòria �resistència en Kg d�un cinturó�, X N(m = 3000; 2 = 8100).

Si la variable aleatòria és normal, la mitjana mostral també ho és , de forma que

2 8100X N m; N 3000; N 3000; 900

n 9

Per tant

2950 3000P X 2950 P Z P(Z 1,67)

30= 0,04746

99. Es llencen simultàniament 2 daus, el primer és equilibrat i en el segon la probabilitat dequalsevol parell és un 150% la de qualsevol senar. Si la suma ha donat 8, quina és laprobabilitat que el primer dau hagi donat un 2?

0,091 0,121 0,133 0,148 0,176 0,1900,217 0,231 0,241 0,267 .................

Anomenem p la probabilitat de senar del segon dau, llavor la de parell serà 1,5p.

Sigui X1 el resultat del primer dau i X2 el del segon.

Una suma igual a 8 es pot aconseguir amb els següents resultats: 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2. Elprimer dígit representa el valor de X1, o sigui del dau equilibrat i el segon és X2, resultat deldau carregat.

0,025

mT T

Tmín

LESTAD

ETSEIAT UPC



78

P(X1 + X2 = 8) = P(2 6 3 5 4 4 5 3 6 2) = (1,5p + p + 1,5p + p + 1,5p) = (6,5/6)p

P(X1 = 2|X1 + X2 = 8) = 1 1 2 1 2

1 2 1 2

P(X 2 X X 8) P(X 2) P(X 6) 1/6 1,5p 1,5P(X X 8) P(X X 8) (6,5/6) p 6,5

= 0,231

100. En les taquilles de venda d�entrades d�un estadi esportiu, el 5% dels assistents compra 1entrada, el 70% en compra 2, el 10% 3 i el 15% 4. Quina és la probabilitat que amb 2000compradors s�hagin venut més de 4640 entrades?

0,24 0,10 0,24 0,34 0,44 0,550,75 0,85 0,92 0,95 .................

Sigui X la variable aleatòria nombre d�entrades venudes a cada assistent, de les dades resulta que

E(X) = 1 × 0,05 + 2 × 0,70 + 3 × 0,10 + 4 × 0,15 = 2,35

E(X2) = 12 × 0,05 + 22 × 0,70 + 32 × 0,10 + 42 × 0,15 = 6,15

V(X) = E(X2) � [E(X)]2 = 6,15 � 2,352 = 0,6275

La variable aleatòria W, entrades venudes a 2000 compradors, és la suma de les adquirides per cadascun d�ells (que són independents i igualment distribuïdes). Pel teorema central de límit es pot aproximar a una Normal, o sigui

2000

ii 1

W X N(E(W); V(W)) N(2000×2,35; 2000×0,6275) N(4700; 1255)

P(W > 4640) = P(W 4640,5) = P( Z 1,68) = 0,95352

El temps (minuts) necessari per l�evacuació d�un edifici ésW(2,5; 10).

101. Què val la probabilitat que amb 4 simulacres d�evacuació, més de la meitat durinmés de 7 minuts ?

0,030 0,144 0,243 0,336 0,414 0,4360,587 0,632 0,749 0,793 .................

Sigui Y el nombre de simulacres, entre els 4 realitzats, que superen els 7 minuts, i sigui X eltemps necessari per cada evacuació. Resulta que

LESTAD

ETSEIAT UPC



79

X ~ W(2,5; 10)

Y ~ b(n = 4; p = P(X > 7) = b(n = 4; p = exp( (7/10)2,5) = b(n = 4; p = 0,6637)

P(Y > 2) = P(Y = 3) + P( Y = 4)

= b(3; 4; 0,6637) + b(4; 4; 0,6637) = 4×0,66373×0,3363 + 0,66374 = 0,587

102. Sigui X ~ exp( = 0,5). Què val l�esperança matemàtica del valormínim en mostresde grandària 5?0,08 0,10 0,12 0,25 0,40 0,54

0,75 1,29 1,50 2,00 .................

Essent Y = min(X1, X2, ..., Xn), la seva funció de distribució és G(y) = P(Y y) = 1 � [1 � Fx(y)]n

Si la distribució de X és exponencial de paràmetre , tenim que F(x) = 1 � e x. Llavors

G(y) = P(Y y) = 1 � [e x)]n

Fàcilment s�observa que la distribució del valor mínim de mostres de grandària n, extretesd�uns llei exponencial de paràmetre , segueix també una llei exponencial de paràmetren . Per tant

E(Y) = 1/n = 1/(5 × 0,5) = 1 / 2,5 = 0,4

103. El gramatge (g/m2) del paper tipus A és N(80; 0,25) i el de tipus B és N(90; 0,16). Es fan10 determinacions del gramatge de paper A i 25 de paper B. Quin és el valormàxim delquocient entre la variància de la mostra de A i la de la de B amb un risc del 5%?

2,30 2,42 2,65 2,90 3,59 3,683,78 4,14 4,53 5,75 .................

En aquest cas en que es vol relacionar les variàncies mostrals de dues mostres extretes delleis normals independents, cal utilitzar la distribució

1 A 2 B

2A2A

n 1; n 12B2B

S

FS

El valormàxim del quocient de variànciesmostrals, per un risc del 5%, és

LESTAD

ETSEIAT UPC



80

1 A 2 B

2 2A A

0,05; n 1; n 12 2B B

SF

S

De les taules s�obté F0,05; 9; 24 = 2,30 que porta a2A2B

S 0,252,30 3,59

0,16S

El temps per anar (o tornar) des de casa a l�estació és N(15; 2 = 1). El temps d�espera a

l�estació és N(8; 2 = 4) i la durada del viatge de tren és N(45; 2 = 1) (tot en minuts).

104. Quina és la probabilitat que el temps setmanal (5 dies) dedicat a anar i tornar des decasa a l�estació de destí superi 11 hores?

0,099 0,302 0,341 0,436 0,579 0,6740,742 0,794 0,922 0,995 .................

El primer pas consisteix en anomenar les variables aleatòries implicades.

C: temps en minuts entre casa i l�estació C ~ N(15; 1)

E: temps d�espera en minuts a l�estació E ~ N(8; 4)

V: temps en minuts del viatge en tren V ~ N(45; 1)

Les variables aleatòries C, E i V són normals i independents, conseqüència

T: temps total de desplaçament V = C + E + V ~ N(68; 6)

S: temps setmanal invertit en els 10 desplaçaments S =10

ii 1

V ~ N(680; 60)

Cal calcular

P(S > 11×60) = P(Z > 2,58) = 0,99506

105. En 4 setmanes (de 5 dies), quina és la probabilitat que el viatgemés ràpid en trenentre les dues estacions hagi estat inferior a 44 minuts?

0,060 0,206 0,499 0,691 0,822 0,8410,933 0,975 0,977 0,994 ....0,999.....

En 4 setmanes de 5 dies es fan 40 viatges, i el més ràpid correspon al mínim de lamostra de grandària 40.

P(min(V1, V2, ..., V10) < 44) = 1 [1 FV(44)]40 = 1 [1 FN(0; 1)( 1)]40 =

= 1 0,8413440 = 0,9990026

LESTAD

ETSEIAT UPC



81

106. L�usuari comença el dilluns almatí un llibre de 224 pàgines i només llegeix dins el

tren. El temps de lectura d�una pàgina (minuts) és N(2; 2 = 0,04). Quina és la probabilitat que en acabar la setmana (5dies) encara no hagi acabat el llibre?

0,010 0,084 0,323 0,413 0,448 0,4840,516 0,583 0,677 0,989 .................

V: temps en minuts del viatge en tren V ~ N(45; 1)

VS: temps del 10 viatges en tren setmanals VS =10

ii 1

V ~ N(450; 10)

L1: temps en minuts per llegir una pàgina L1 ~ N(2; 0,04)

L: temps per llegir el llibre (224 pàg) L =224

ii 1

L1 ~ N(448; 8,96)

VS L (normals independents) VS L ~ N(2; 18,96)

Cal calcular

P(VS < L) = P(VS L > 0) = P(Z < 0,46) = 1 0,67724 = 0,32276

107. El contingut d�uns envasos és Normal. La quantitat de producte mesurada en 5 envasosha estat 9,42; 11,14; 4,78; 8,49 i 10,38. Quin és el valormínim en què es pot estimar lavariància del contingut dels envasos amb un risc del 5%?0,93 1,09 2,02 2,21 2,37 2,59

3,33 3,91 5,22 6,13 .................

Amb els valors mostrals resulta

S2 =2n

i

i 1

(X X)

n 1= 6,15102

En llei Normal, el valormínim en què es pot estimar 2 amb un risc és

2 22min 2 2

; n 1 0,05; 4

(n 1) S (n 1) S 4 6,15102� 2,5939,488

LESTAD

ETSEIAT UPC



82

108. En un operador telefònic el 70% dels cops que es marca un número s�estableix laconnexió correcta. Quina és la probabilitat d�haver de marcar el número correcte,

com amínim 3 cops, per poder parlar hi?

0,023 0,040 0,063 0,090 0,160 0,2160,343 0,422 0,512 0,614 .................

Sigui X la variable aleatòria �nombre de cops que cal marcar per establir la trucada correcta�.

Siguin C i I els esdeveniments independents �connexió correcta� i �connexió in

correcta�, respectivament, i se sap que P(C) = 0,7 i P(I) = 0,3.

P(X 3) = 1 P(X 2) = 1 � P(X = 1) � P(X = 2) = 1 � P(C) � P(I C)

= 1 � 0,7 � 0,7 0,3 = 1 � 0,91 = 0,09

109. En les taquilles de venda d�entrades d�un estadi esportiu, el 5% dels assistents

compra 1 entrada, el 70% en compra 2, el 10% 3 i el 15% 4. Quina és la probabilitat que amb els tres primers compradors s�hagin venut 10 entrades?

0,0518 0,0540 0,0585 0,0653 0,0743 0,0882

0,0995 0,1215 0,1664 0,2746 .................

Les diferents formes de vendre 10 entrades a 3 compradors, atenent a que cap en

compra ni menys de 1 nimés de 4, són

2 4 4 3 3 4 3 4 3 4 2 4 4 4 2 4 3 3

Aquestes opcions configuren 6 esdeveniments incompatibles, format cadascun

d�ells per altres 3 que són independents. Així, observant que n�hi ha 3 formats perun 2 i dos 4 i altres 3 amb dos 3 i un 4, resulta

p = 3 0,7 0,15 0,15 + 3 0,10 0,10 0,15 = 0,0518

La durada de les reparacions (hores) d�una escalamecànica és logN(1,14; 2 = 0,9).

110. Calcular la probabilitat que, després d�haver efectuat 20 reparacions, comamàxim 2 hagin duratmés de 20 hores cadascuna.

0,0014 0,0130 0,0882 0,0995 0,1774 0,2882

0,4962 0,9118 0,9870 0,9986 .................

LESTAD

ETSEIAT UPC



83

Sigui T la v.a. �durada (h) d�una reparació�. Sabem que T logN(1,14; 2 = 0,9)

Sigui X la variable aleatòria �nombre de reparacions, de entre les 20 efectuades,

que durenmés de 20 hores�. La seva distribució és X b(n = 20; p = P(T > 20)).

p = P(T > 20) = P(ln T > ln 20) =ln 20 1,14

P Z0,9

= P(Z > 1,96) = 0,025

La probabilitat que com amàxim 2 durinmés de 20 hores és

P(X 2) = B(2; 20; 0,025) = 0,9870

111. Sigui X ~ U[0; 1]. Calcular l�esperança matemàtica del valormàxim de mostres

de grandària 100,131 0,356 0,500 0,689 0,752 0,889

0,909 0,923 0,933 0,941 .................

La llei U(0; 1) és tal que F(x) = 0 per x < 0; F(x) = x per 0 x 1 i F(x) = 1 per x 1

Designant com G(y) a la funció de distribució de la variable aleatòria Y, màxim dela mostra de grandària n, resulta

G(y) = [FX(y)]n = yn per 0 y 1

La funció de densitat s�obté derivant la de distribució

g(y) = n yn 1 per 0 y 1 i g(y) = 0 e.q.a.c.

L�esperança matemàtica de Y és

1 1 1n 1 n0 0 0

n 10E(Y) y g(y) dy y n y dy ny dy 0,9091

n 1 11

112. El contingut dels iogurts de la marca A és N(125 g; 9 g2). El de la B és N(120 g; 10 g2).

Es compra un pack de 4 iogurts de cada marca. Quina és la probabilitat que el contingutmitjà per envàs del pack de B superi al del pack A?

0,001 0,008 0,011 0,015 0,018 0,0230,032 0,046 0,054 0,065 .................

LESTAD

ETSEIAT UPC



84

Es tracta de calcular una probabilitat associada a la diferència de mitjanes mostrals depoblacions normals i independents. Per tant, essent

A N(125 g; 9 g2) i B N(120 g; 10 g2),

A B A B

9 10 9 10A N 125; i B N 120; A B N 5;

n n n n=

Amb nA = nB = 4,

0 5P B A P A B 0 P Z P Z 2,29 0,011

19/4

El temps (minuts) d�una cançó és N(3; 2 = 0,25), el d�aplaudiments entre cançons és

N(0,8; 2 = 0,02) i el dels aplaudiments de final de concert N(5; 2 = 0,90). Es considera

que els aplaudiments després de l�última cançó són els de final de concert i que no hi

ha cap repetició de cançons en acabar ni aplaudiments abans de la primera cançó.

113. Amb un risc del 1,5%, quina és la duradamínima (minuts) d�un concert amb 20

cançons.52,96 56,60 57,64 59,82 61,90 73,63

74,51 74,76 75,29 75,79 .................

Definim les següents variables aleatòries, totes independents entre si

C: durada d�una cançó C N(3; 0,25)

A: aplaudiments entre cançons A N(0,8; 0,02)

F: aplaudiments finals AF N(5;0,90)

La durada d�un concert, DC, de 20 cançons és20 19

i ii 1 i 1

DC C A AF

DC N(20 3 19 0,8 5; 20 0,25 19 0,02 0,90) N(80,2; 6,28)

DCmin = 80,2 + z0,015 6,28 = 80,2 � 2,17 6,28 = 74,76

0,025

16Xmin

0,015

DCDCmin

LESTAD

ETSEIAT UPC



85

114. S�ha fet una gira de 10 concerts (de 20 cançons cadascun), calcula la probabilitat que l�aplaudiment finalmés curt no hagi superat els 4 minuts.

0,004 0,017 0,041 0,057 0,147 0,161

0,298 0,444 0,796 0,971 .................

Una gira de 10 concerts és una mostra de grandària 10 on cal calcular

P(min(AF1, ..., AF10) < 4) = 1 � [1 � FAF(4)]10 =

=

1010

Z Z4 5

1 1 F 1 1 F 1,05 0,79570,9

115. L�equip de so (que només funciona mentre canten) és de 80000 w. El preu de

l�electricitat és de 0,14 �/kWh. Calcula la desviació tipus del cost (�) de l�energiaelèctrica consumida en l�emissió d�un concert de 20 cançons.0,313 0,365 0,417 0,470 0,522 1,400

1,633 1,867 2,100 2,333 .................

El temps de funcionament, en minuts, de l�equip de so (TS) és la durada de les 20

cançons del concert, o sigui20

ii 1

TS C que es distribueix

TS N(20 3; 20 0,25) N(60; 5).

El cost en euros de l�energia elèctrica consumida en so, CECS, és80000 TS 0,56

CECS 0,14 TS1000 60 3

La seva desviació tipus és2 20,56 0,56

D(CECS) V(CECS) V(TS) 53 3

= 0,4174

116. El contingut d�uns envasos és Normal. La quantitat de producte mesurada en 5 enva

sos ha estat 9,42; 11,14; 4,78; 8,49 i 10,38. Quin és el valormínim en què es pot estimar l�esperança matemàtica del contingut dels envasos amb un risc del 5%?

5,76 6,48 6,81 7,91 8,06 8,739,55 9,64 9,96 10,26 .................

En ser llei Normal de variància desconeguda cal utilitzar la distribució de Student, per

tant, amb la mostra de grandària 5 de que es disposa i risc del 5%, resulta

min 0,05;4�m x t s / 5 = 8,842 � 2,132 2,480/ 5 = 6,48

EXERCICIS PROPOSATS · 2019. 10. 11. · EXERCICIS PROPOSATS EXAMEN PARCIAL. LESTAD ETSEIAT UPC...

Documents

Transcript of EXERCICIS PROPOSATS · 2019. 10. 11. · EXERCICIS PROPOSATS EXAMEN PARCIAL. LESTAD ETSEIAT UPC...