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Exponentes y Radicales

Ernesto S. Pérez-Cisneros

Curso de Matemáticas Preuniversitarias

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Exponentes y Radicales

Exponentes

Si n es un entero positivo, la notación exponencial an representa el

producto del número real a multiplicado n veces por si mismo.

La expresión an se lee a a la enésima potencia o simplemente a a la n.

El entero positivo n se llama exponente y el número real a, base.

Caso General

(n es cualquier entero positivo)

ejemplos

factores de

n

n a

a a a a a 1

2

5

a a

a a a

a a a a a a

3

Ejemplos

Es importante observar que si n es un entero positivo,

entonces una expresion

significa

pero no !

4

4

5 5 5 5 5 625

1 1 1 1 1 1 1 1

3 3 3 3 3 9 9 81

3 na

3( )na

(3 )na

4

Exponente Cero y Negativo

0 1

1nn

a

aa

0

55

( 2) 1

1( 3)

( 3)

Definición

(a diferente de cero)

Ejemplos

5

Suma de Exponentes

Si m y n son enteros positivos, entonces

En vista de que el número total de factores de a a la derecha es m+n, la expresion am an es igual a am+n

factores de factores de

m n

m a n a

a a a a a a a a a a

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Leyes de los Exponentes

Ley Ejemplo

m n m na a a ( )m n m na a

( )n n nab a bn n

n

a a

b b

mm n

n

aa

a

3 4 3 4 75 5 5 5 78125

32 2 3 63 3 3 729

2 2 2(3 10) 3 10 9 100 900 3 3

3

3 3 27

2 2 8

66 2 4

2

22 2 16

2

7

Ejercicios: Simplificar la siguiente expresión

Simplificar:

Solución:

3 2 83 4x y xy

3 2 8 3 2 8

4 10

3 4 (3)(4)( )( )

12

x y xy x x y y

x y

8

Ejercicios: Simplificar la siguiente expresión

Simplificar:

Solución:

3 22

5

2t p

p t

33 222 2

25 3 5

22 tt p p

p t p t

2 3 23

5 2 32

t p

t p

6 410 3 2

1 1 88

t pp t

9

Radicales

Si n es un entero positivo mayor de 1 y a es un número real , la

raíz enésima de a se define como:

donde n es el índice del radical y el número a se denomina radicando

n a

1) Si , entonces

2) Si , entonces

3) Si y ,

0 0

0 es el número real

tal que

0 es non es el núentonces

4) Si y ,entonce

mero real

tal que

0 es par no es un número reals

n

n

n

n

n

n

b b a

b

a a

a a

a n a

a n a

b a

positivo

negativo

10

Ejemplos:

2

5

5

3 3

4

4 16

1 1

2 3

16 4

1 1

32 2

8 2

porque

porque

porque

no es un núm

2

2 8

1 ero real6

11

Propiedades de (n es un entero positivo)

Propiedad Ejemplo

, si es un número realn

n na a a

, si 0n na a a

, si 0 y es nonn na a a n

, si 0 y es parn na a a n

33 5 5

25 5

55 ( 2) 2

44 ( 2) 2 2

n

12

Las tres leyes siguientes son verdaderas para los enteros positivos m y n, siempre que existan las raices indicadas; es decir, siempre que las raices sean números reales

Ley Ejemplo

n n nab a bn

nn

a a

b b

m n m na a

3 33 33108 ( 27)(4) 27 4 3 4

3 3

33

5 5 5

8 28

6 63 2 3 664 64 64 2 2

13

Ejercicios

9

6

9 3 3

3 6 3 212 4

2 3 5

2 6 4

23

312

2 3

2

3 2

5

64

27

3 6

4 4

3 3

3 2 3

3

)

)

2

3 2

3 2

) a x a x

a b a b

a b a

a b

a x

a b a b

a

b

c

a

a b a