11

Cálculo diferencial e integral de una variable

Extremos locales

Teorema del valor medio

22

Cálculo diferencial e integral de una variable

Habilidades

1. Define el concepto de extremos locales 2. Define el Teorema del valor extremo. Ilustra su significado

geométricamente.3. Define e interpreta el Teorema de Fermat.4. Calcula puntos críticos analizando premisas.

33

Cálculo diferencial e integral de una variable

Valores máximos y mínimos

)()( xfcf

Sea D el dominio de f.

Se dice que cD es un punto de máximo absoluto de f si

para todo xD.

El número f(c) se llama valor máximo absoluto de f en D.

)()( xfcf

Se dice que cD es un punto de mínimo absoluto de f si

para todo xD.

El número f(c) se llama valor mínimo absoluto de f en D.

Los valores máximo y mínimo se conocen genéricamente como valores extremos absolutos de f.

Definición

44

Cálculo diferencial e integral de una variable

x

y

A

B

C

D

E

F

G

H

Ejemplo

a b

Ubique los puntos de máximo y mínimo absoluto de f :

55

Cálculo diferencial e integral de una variable

Valores máximos y mínimos locales

)()( xfcf

Se dice que c es un punto de máximo relativo o local de f si

para todo x en algún intervalo abierto dentro del dominio de f que contiene a c.

)()( xfcf

Se dice que c es un punto de mínimo relativo o local de f si

para todo x en algún intervalo abierto dentro del dominio de f que contiene a c.

Definición

Los valores máximo y mínimo locales se conocen genéricamente como valores extremos locales de f.

66

Cálculo diferencial e integral de una variable

x

y

A

B

C

D

E

F

G

H

Ejemplo

a b

Ubique los puntos de máximo y mínimo relativos de f :

77

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo

máximo absoluto

puntos de máximo absoluto

y

xa c1 bc2 c3c4d1 d2 d3

puntos de mínimo local

88

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo

y

x

xxf

1)( 0x

¿Tiene f extremos locales?, ¿tiene extremos absolutos?

99

Cálculo diferencial e integral de una variable

Teorema del valor extremo

Si f es continua en [a, b] entonces:

f alcanza un máximo absoluto f (c) y un mínimo absoluto f (d) en algunos números c y d de [a, b].

y

xa b

y

xa b

y

xa b

Teorema

¿Se dan las condiciones para que se cumpla el teorema?

1010

Cálculo diferencial e integral de una variable

ejemplo

Determine los extremos absolutos de la función f sobre . 4,1

x

234 18163 xxxxf

1111

Cálculo diferencial e integral de una variable

Teorema de Fermat

Si f tiene un extremo local en c y si f ’ (c) existe entonces:

0)( c' f

y

xc1 c2 c3

f(x)y

1212

Cálculo diferencial e integral de una variable

Teorema del valor medio

2 Derivable en (a, b) .

1 Continua en [a, b] . Sea f:

Existe c (a, b) tal queab

afbfcf

)()(

)(

Entonces

y

xa b

abafbf

m )()(

Teorema

c2c1

1313

Cálculo diferencial e integral de una variable

Teorema de Rolle

Sea f : 1 Continua en [a, b] .

2 Derivable en (a, b) .

Entonces

Existe c (a, b) tal que 0)( c'f

Teorema

3 f (a)=f (b) .

y

xa bc1 c2

1414

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplos

1. Muestre que 5 es un número critico de la función

pero g no tiene un extremo local en 5.

2. La función f(x) = IxI tiene un mínimo local en 0, esto contradice las hipótesis del teorema de Fermat.

3. Utilizando el resultado del teorema del valor medio, determine la recta tangente a f, paralela a la recta secante que une los extremos del intervalo.

352 xxg

2,0;)( 3 xxxf

1515

Cálculo diferencial e integral de una variable

Puntos críticos

Un punto crítico de una función f es un número c en su dominio tal que:

existe no )(o0)( cfcf

Definición

Teorema

Si f tiene un extremo local en c entonces c es un punto crítico de f.

1616

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo

y

xa c1 c2 c3 c4c2 c5 c6 c7

puntos críticos

1717

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo

puntos de extremo

y

xa c1 c2 c3 c4c2 c5 c6 c7

1818

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo

53642203)( 234 xxxxxf

1919

Cálculo diferencial e integral de una variable

Método del intervalo cerrado

Para hallar los extremos absolutos de una función f continua en [a, b]:

1 Halle los valores de f en los puntos críticos de f en <a, b>.

2 Halle f(a) y f(b).

3 El mayor de los valores obtenidos en 1 y 2 es el máximo absoluto de f en [a, b]. El más pequeño es el mínimo absoluto.

Método del intervalo cerrado

2020

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplos

4,0;53642203)() 234 xxxxxfa

4;1;18163) 234 xxxxfb

Determine los extremos absolutos de las funciones en los intervalos que se indican.

2121

Cálculo diferencial e integral de una variable

Bibliografía

“Cálculo de una variable”

Cuarta edición

James Stewart

Secciones 4.1 y 4.2

Ejercicios 4.1 pág 284:4, 6, 8, 12, 16, 23, 24, 26, 30, 51, 53, 60, 63, 73, 80.

Encuentre los números críticos de la función:

40; 43, 50, Pág. 285

Encuentre los extremos absolutos de f o justifique la no existencia. Pág. 284 – 285: 17; 30; 56; 63.