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La trascendencia de e y

Comenzamos introduciendo unos convenios utiles de notacion:

Definicion 1 Escribiremos hr = r!, de modo que si f(z) =mr=0

crzr C[z],

entonces f(h) representara

f(h) =

mr=0

crhr

=

mr=0

crr!

Igualmente, f(z + h) sera el polinomio que resulta de sustituir yr porhr = r! en la expresion desarrollada de f(z+ y). Concretamente:

f(z+y) =mr=0

cr(z+y)r =

mr=0

cr

rk=0

r

k

zrkyk =

mk=0

mr=k

cr

r

k

zrk

yk,

luego

f(z+h) =mk=0

mr=k

cr

rk

zrk

k! =

mk=0

mr=k

r!(r k)!

crzrk

=mk=0

fk)(z),

donde fk)(z) es la k-esima derivada formal del polinomio f. Observar que

f(z+ h) =mr=0

cr(z+ h)r,

pues

mr=0

cr(z+ h)r =

mr=0

cr

mk=0

(zr)k) =

mk=0

mr=0

crzrk)

=mk=0

fk)(z) = f(z+ h).

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As mismo,

f(0 + h) =mk=0

fk)(0) =mr=0

crr! = f(h).

Sea

ur(z) = r!n=1

zn

(r + n)!.

Teniendo en cuenta que

|z|n

(r+n)!r!

n y p > |c0|. Sea

(x) =xp1

(p 1)!((x 1)(x 2) (x n))p.

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Por el teorema 2:

0 =nt=0

ctet(h) =

nt=0

ct(t + h) +nt=0

ct(t)et = S1 + S2.

Tomando m = p, el teorema 3 nos da que (h) Z y

(h) (1)pn(n!)p (mod p).

Si 1 t n, entonces

(t + x) =(x + t)p1

(p 1)!((x + t 1)(x + t 2) x (x + t n))p,

y sacando el factor x queda

(t + h) =xp

(p 1)!f(x),

con f(x) Z[x]. Por el teorema 3 tenemos que (t + h) Z y es un multiplode p. Ahora,

S1 =nt=0

ct(t + h) c0(h) c0(1)pn(n!)p 0 (mod p),

ya que c0 = 0 y p > n, |c0|. As pues, S1 Z y S1 = 0, luego |S1| 1. ComoS1 + S2 = 0, lo mismo vale para S2, es decir, |S2| 1. Por otro lado, sea

(x) =

sr=0

arxr. Entonces

|(t)| =

s

r=0

arr(t)tr

s

r=0

|ar| |r(t)|tr

sr=0

|ar|tr.

Observemos que |ar| es el coeficiente de grado r del polinomio

xp1

(p 1)!((x + 1) (x + n))p.

Basta ver que si bi es el coeficiente de grado i de ((x 1) (x n))p

,entonces |bi| es el coeficiente de grado i de ((x + 1) (x + n))p, pero

|bi| = |(1)pnienpi(1, . . . , n , . . . , 1, . . . , n)|

= (1)pnienpi(1, . . . , n , . . . , 1, . . . , n).

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Por lo tanto podemos concluir:

|(t)| s

r=0

|ar|tr =

tp1

(p 1)!((t + 1)(t + 2) (t + n))p,

y en definitiva:

|(t)| (t + 1)(t + 2) (t + n)(t(t + 1) (t + n))p1

(p 1)!.

Pero esta expresion tiende a 0 cuando p tiende a infinito (por la conver-gencia de la serie de la funcion exponencial). En consecuencia, tomando p

suficientemente grande podemos exigir que S2 =nt=0

ct(t)et cumpla |S2| < 1,

cuando hemos demostrado lo contrario para todo p. Esto prueba que e estrascendente.

La trascendencia de es algo mas complicada de probar. Ademas de losteoremas 2 y 3 necesitaremos otro resultado auxiliar:

Teorema 5 Sea p(x) = dxm + d1xm1 + + dm1x + dm Z[x], sean

1, . . . , m sus races en C y sea q(x1, . . . , xm) Z[x1, . . . , xm] un polinomiosimetrico. Entonces q(d1, . . . , d m) Z.

Demostracion: Claramente

dm1p(x) = (dx)m + d1(dx)m1 + dd2(dx)

m2 + + dm2dm1(dx) + dm1dm.

O sea, dm1p(x) = r(dx), donde

r(x) = xm + d1xm1 + dd2x

m2 + + dm2dm1x + dm1dm Z[x]

es un polinomio monico y sus races son obviamente d1, . . . , d m. Conse-cuentemente, r(x) = (x d1) (x dm) y los coeficientes de r(x) son(1)iei(d1, . . . , d m) para i = 0, . . . m. As pues, ei(d1, . . . , d m) Z parai = 1, . . . , m.

Por otro lado sabemos que q(x1, . . . , xm) = r(e1, . . . , em) para cierto poli-nomio r(x1, . . . , xm) Z[x1, . . . , xm], luego

q(d1, . . . , d m) = r(e1(d1, . . . , d m), . . . , em(d1, . . . , d m)) Z.

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Teorema 6 El numero es trascendente.

Demostracion: Si es algebraico tambien lo es i. Sea

dxm + d1xm1 + + dm1x + dm Z[x]

un polinomio tal que d = 0 y con raz i. Sean 1, . . . , m sus races en C.Como una de ellas es i y ei +1 = 0, tenemos que (1+ e1) (1 + em) = 0,o sea,

1 +2m1t=1

et = 0,

donde 1, . . . , 2m1 son 1, . . . , m, 1 + 2, . . . , m1 + m, . . . , 1 + + m.Supongamos que c 1 de ellos son nulos y n = 2m 1 (c 1) no son

nulos. Ordenemoslos como 1, . . . , n, 0, . . . , 0. As c 1 y

c +nt=1

et = 0. (1)

Notemos lo siguiente:

ei(x1, . . . , xn) = ei(x1, . . . , xn, 0, . . . , 0),

donde ei es a la izquierda el polinomio simetrico elemental de n variables ya la derecha el de 2m 1 variables. Por lo tanto

ei(d1, . . . , d n) = ei(d1, . . . , d 2m1)

= ei(d1, . . . , d m, d1 + d2, . . . , d m1 + dm, . . . , d 1 + + dm).

Sea qi(x1, . . . , xm) = ei(x1, . . . , xm, x1+x2, . . . , xm1+xm, . . . , x1+ +xm).Claramente se trata de polinomios simetricos con coeficientes enteros y

ei(d1, . . . , d n) = qi(d1, . . . , d m),

luego el teorema anterior nos permite afirmar que ei(d1, . . . , d n) Z.Si s(x1, . . . , xn) Z[x1, . . . , xn] es simetrico, entonces s depende polinomi-

camente de los ei, luego s(d1, . . . , d n) Z. Sea p un primo tal que p > |d|,p > c, p > |dn

1

n|. Sea

(x) =dnp+p1xp1

(p 1)!((x 1) (x n))

p.

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Multiplicamos (1) por (h) y aplicamos el teorema 2. Nos queda

c(h) +nt=1

(t + h) +nt=1

(t)e|t| = S0 + S1 + S2 = 0.

Ahora,

(x) =xp1

(p 1)!dp1((dx d1) (dx dn))

p.

Los coeficientes de (y d1) (y dn) son polinomios simetricos ele-mentales sobre d1, . . . , d n, luego son enteros, segun hemos visto antes. Deaqu se sigue que tambien son enteros los coeficientes de (dx d1) (dx dn), con lo que

(x) =

xp1

(p 1)!

npr=0

grxr

, donde cada gr Z.

Por el teorema 3 tenemos que (h) Z y (h) g0 (mod p). Concreta-mente, g0 = (1)

pndp1(d1 dn)p, luego por la eleccion de p resulta que

p g0 (aqu es importante que d1 dn Z porque es el termino indepen-diente de (y d1) (y dn). Como p c, resulta que p S0 = c(h).

Nos ocupamos ahora de S1. Tenemos que

(t + x) =dnp+p1(t + x)

p1

(p 1)!((x + t 1) (x + t t1)

x(x + t t+1) (x + t n))p

=xp

(p 1)!dp(dt + dx)

p1((dx + dt d1) (dx + dt dt1)

(dx + dt dt+1) (dx + dt dn))p

=xp

(p 1)!

np1r=0

frtxr,

donde frt = fr(dt, d1, . . . , d t1, dt+1, . . . , d n) y fr es un polinomio sime-trico respecto a todas las variables excepto la primera, con coeficientes enterosy que no depende de t. En efecto, consideramos el polinomio

(y (x1))p1

(y (x2 x1)) ((y (xn x1))p

.

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Sus coeficientes son los polinomios simetricos elementales actuando sobrex1 (p 1 veces) y sobre x2 x1, . . . , xn x1 (p veces cada uno), luego sonpolinomios simetricos en x2, . . . , xn. Digamos que el polinomio es

np1r=0

sr(x1, . . . , xn)yr

.

Entonces

(t + x) =xp

(p 1)!

np1r=0

dpsr(dt, d1, . . . , d t1, dt+1, . . . , d n)drxr,

es decir, fr = dr+psr(x1, . . . , xn). Por lo tanto,

n

t=1

(t + x) =xp

(p 1)!

np1

r=0

n

t=1

frtxr,

peront=1

frt =nt=1

fr(dt, d1, . . . , d t1, dt+1, . . . , d n),

y el polinomiont=1

fr(xt, x1, . . . , xt1, xt+1, . . . xn) es simetrico (respecto a todas

las variables), luego Fr =nt=1

frt depende simetricamente de d1, . . . , d n y

por lo tanto es un entero. As pues,

n

t=1

(t + x) =xp

(p 1)!

np1

r=0

Frxr,

y por el teorema 3 concluimos que S1 =nt=1

(t + h) Z y es multiplo de p

(aqu hemos usado que (1 + 2)(h) = 1(h) + 2(h), lo cual es evidente).

Esto nos da que S0 + S1 Z y no es un multiplo de p. En particular|S0 + S1| 1 y, por la ecuacion S0 + S1 + S2 = 0 resulta que tambien S2 Zy |S2| 1. Como en el caso de e, ahora probaremos lo contrario.

Sea (x) =np+p1r=0

crr(x)xr. Entonces

|(x)| =

np+p1r=0

crr(x)xr

np+p1r=0

|cr| |xr|

|d|np+p1|x|p1

(p 1)!((|x| + |1|) (|x| + |n|))

p

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(por el mismo razonamiento que en la prueba de la trascendencia de e) y as

|(x)| M2np+2p2

(p 1)!,

donde M es una cota que no depende de p.

Como M2np+2p2 M2np+2p = M(2n+2)p = Kp = KKp1, tenemos que

|(x)| KKp1

(p 1)!

y la sucesion converge a 0 cuanto p tiende a infinito, pues la serie convergea KeK. Esto para cada x fijo. Tomando un primo p suficientemente grande

podemos exigir que |S2| nt=1

|(t)|e|t| < 1, con lo que llegamos a una

contradiccion.

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