MECÁNICA DEL CUERPO RÍGIDO

Centro de masa. Centro de gravedad. Centroides.

EL CENTRO DE MASA, GRAVEDAD Y CENTROIDE

• Observe el vídeo y comente el significado del centro de gravedad e

intente dar una definición del mismo. Haga lo propio con el centro de

masas.

http://www.youtube.com/watch?v=tpTAOeba4ho

PREGUNTAS DE INDAGACIÓN

• ¿Cómo se llama este punto apoyo?

• ¿La fuerza que aplica es igual al peso?

• ¿Es posible sostener en el punto de apoyo a cualquier cuerpo o importa

su “flexibilidad”?

LOGROS

• Al término de la sesión de aprendizaje el estudiante resuelve problemas

de centro de masa, centro de gravedad y centroide, utilizando fórmulas,

graficas y relaciones, con orden y precisión mostrando una buena

presentación.

MOMENTOS

• Hasta ahora se han calculado

momentos de fuerzas. Sin

embargo, en muchos problemas

de ingeniería aparecen

momentos de masas, fuerzas,

volúmenes, superficies o líneas

respecto a ejes o planos.

Ejemplo: Momento de una

superficie A (contenida en el

plano xy) respecto al eje y.

• La superficie puede considerarse

compuesta por elementos de

superficie muy pequeños de área

dA. Así, el momento de un

elemento respecto al eje será:

• Y el momento total de la

superficie A respecto del eje y

será:

• El momento de una masa, fuerza,

volumen, superficie o línea

respecto a un eje, plano o línea

se definen de manera análoga.

A

iiy

n

i

iiy dAxModAxM1

idAixidM

x

ydAixi

0

CENTRO DE GRAVEDAD

• De acuerdo con la noción de Centro de Gravedad proporcionada en el

vídeo, explique la razón de que se mantenga el sistema en equilibrio. Use

términos como: peso, centro de gravedad, punto de apoyo.

CENTRO DE GRAVEDAD

• El peso de un cuerpo es la resultante

de las fuerzas distribuidas que la

Tierra ejerce sobre los puntos

materiales que constituyen el cuerpo.

• Se considera que el peso está

dirigido verticalmente a la superficie

terrestre.

• El centro de gravedad se halla

dividiendo la suma de los productos

de las coordenadas con sus pesos

parciales correspondientes por el

peso total del sistema.

iiCG

iiCG

iiCG

WzW

1z

WyW

1y

WxW

1x

gmW

)z,y,x(r 1111

)z,y,x(r 2222

)z,y,x(r 3333

)z,y,x(r 4444

• Un elemento de peso en una distribución continua es

• donde γ es el peso específico del material (peso por unidad de volumen) y

dV es el volumen del elemento. El peso total del cuerpo será:

• y según la definición de CDG:

• Análogamente,

dVdW

V

dVW

V

VCG

dV

)dV(xx

V

VCG

V

VCG

dV

)dV(zzy

dV

)dV(yy

CDG DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE PESO

CG DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE PESO

Centro de gravedad

EJERCICIO

• Tres objetos de 2 kg cada uno

están localizados del modo

siguiente: el objeto 1 está en

x=10 cm, y=0; el objeto 2 está en

x=0, y=10 cm; y el objeto 3 está

en x=10 cm, y=10 cm. Hallar el

centro de gravedad del sistema.

• Hallar el centro de gravedad de

las varillas, cuyas posiciones se

indican en la figura.

2

54

EJERCICIO

• El hacha de piedra de la figura, en donde se muestran sus dimensiones,

está formada por una piedra simétrica de 3 kg atada al extremo de un

palo homogéneo de 1,5 kg. ¿A qué distancia del mango del hacha se

encuentra su centro de gravedad?

80 cm15 cm

30 cm

EJERCICIO 2

• El hacha que está formada por una piedra simétrica y homogénea de 3 kg

está atada al extremo de un palo homogéneo de 1,5 kg y presenta tiene

una abertura en la parte central. Las dimensiones se muestran en el

dibujo. ¿Cuál es la posición del centro de gravedad?

80 cm15 cm

30 cm10 cm

4 cm

4 cm

• Es el punto de un sistema de puntos materiales en donde podría

concentrarse toda la masa, de manera que el momento de la masa

concentrada respecto a un eje o plano cualquiera fuese igual al momento

respecto a dicho eje o plano de la masa distribuida.

Si consideramos un sistema de n

puntos materiales, las distancias a los

planos de coordenadas del CDM G del

sistema de puntos materiales son:

n

1i

iiCM

n

1i

iiCM

n

1i

iiCM

zmm

1z

ymm

1y

xmm

1x

Donde:

n

i

imm1

CENTRO DE MASA (CDM)

• Las ecuaciones anteriores pueden condensarse en una ecuación vectorial

• Que se reduce a

• Ya que el vector posición del punto i-ésimo respecto al origen es

• Y el vector posición del CDM respecto al origen es

n

1i

iiiiCMCMCM )kzjyix(m)kzjyix(m

n

1i

iiCM rmm

1r

kzjyixr iiii

kzjyixr CMCMCMCM

ECUACIÓN VECTORIAL DEL CDM

¿CENTRO DE MASA O CENTRO DE GRAVEDAD?

http://geotecnia-sor.blogspot.com/2013/06/historia-de-la-geotecnia-perfil.html

Caso 1 Caso 2

• Si puede dividirse una línea, superficie o volumen en partes cuyos

respectivos centroides tengas posiciones conocidas, se podrá determinar

sin integración el momento de la línea, superficie o volumen total

sumando algebraicamente los momentos (producto de la longitud, área o

volumen por la distancia del centroide al eje o plano) de las partes.

• Ejemplo: Si tenemos una superficie compuesta por la superficies A1, A2,

…, An y las coordenadas de los centroides de las respectivas partes son

tendremos:

• Si se tiene un agujero, su área se considerará magnitud negativa.

n21 x...,,x,x

n

1i

iix

n

1i

ii

y

yAA

1

A

My

teanálogamen

xAA

1

A

Mx

CENTROIDES DE CUERPOS COMPUESTOS

EJERCICIO

• Hallar el centroide del siguiente cuerpo homogéneo

8 cm 6 cm

3 3 cm

24 cm

4 cm 2 cm

4 cm

15 cm

EJERCICIO

• Determinar el radio r del círculo perforado sabiendo que el radio del

círculo mayor es R y el centro de gravedad de la parte sombreada es (0,-

2R/5).

EJERCICIO

CENTROIDES DE LÍNEAS Y SUPERFICIES

CENTROIDES DE LÍNEAS Y SUPERFICIES

CENTROIDES DE VOLÚMENES

CENTROIDES DE VOLÚMENES

CONCLUSIONES

1. ¿Cómo aprendí a resolver problemas de centro de masa para

distribuciones discretas y continuas

2. ¿Cuánto aporte a la solución grupal de cada ejercicio?

3. ¿En qué forma contribuye estos problemas en mi formación?

4. ¿Qué recursos podrían mejorar mi aprendizaje?

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. 530 SEAR 2009 V.1SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, FREEDMAN. FÍSICA

UNIVERSITARIA. Biblioteca física y virtual