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Saber 11 Regresión multivariada Regresión con efectos aleatorios Modelamiento de varianza Estimación Bayesiana Conclusiones

Factores que inciden en la media y la variabilidadde los puntajes en las pruebas de Saber 11

Luis Adrian Quintero Sarmiento

Icfes - Subdirección de Estadísticas

Seminario Internacional 2019, Noviembre 7

Modelamiento de la media y variabilidad en Saber 11 Seminario Internacional 2019, Bogotá

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Contenido

1 Saber 11

2 Regresión multivariada

3 Regresión con efectos aleatorios

4 Modelamiento de varianza

5 Estimación Bayesiana

6 Conclusiones


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Prueba Saber 11

Es una prueba estandarizada para estudiantes terminando educaciónmedia

523,084 estudiantes evaluados en 5 pruebas para 2018:→ Matemáticas → Sociales y ciudadanas→ Lectura crítica → Ciencias naturales→ Inglés

¿Cuáles factores inciden en el desempeño de los estudiantes?→ Edad → Género→ Sector → INSE


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Distribución de puntajes: Tunja - 2169 estudiantes

LC

Fre

cuen

cia

30 40 50 60 70 80

010

020

030

040

0

MA

Fre

cuen

cia

20 40 60 80 100

010

020

030

040

0

CN

Fre

cuen

cia

40 60 80 100

010

020

030

0

Puntajes en lectura crítica, matemáticas y ciencias naturales.


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Contenido

1 Saber 11





6 Conclusiones


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Regresión multivariada

Se ajustó el siguiente modelo:

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣LCijMAijCNij

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣β01β02β03

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ +⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣β11 β12 β13 β14β21 β22 β23 β24β31 β32 β33 β34

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

EdadijGeneroijSectoriINSEij

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ +⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣εij1εij2εij3

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦para i = 1, . . . , 40 y j = 1, . . . , nj.[εij1, εij2, εij2]′ ∼ N3(0,Σ)La matriz de covarianza para la respuesta Yij = (LCij,MAij,CNij)′ es

Var(Yij) = Σ


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Resultados β’s

−4 −2 0 2 4 6

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●Privado−CN

Privado−MA

Privado−LC

INSE−CN

INSE−MA

INSE−LC

Hombre−CN

Hombre−MA

Hombre−LC

Edad−CN

Edad−MA

Edad−LC

Intervalo de confianza del 95% para los parámetros de regresión.


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Este modelo ...

Asume independencia para todas las observaciones

Normalmente hay correlación entre los estudiantes de la mismainstitución

Se debe tener en cuenta esta correlación

Modelos jerárquicos/Modelos con efectos aleatorios/Modelos mixtos


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Contenido

1 Saber 11





6 Conclusiones


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Modelo con intercepto aleatorio

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0 20 40 60 80

020

4060

8010

0

INSE

Pun

taje

Representación de modelo con intercepto aleatorio.


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Regresión multivariada con efectos aleatorios


⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣β01β02β03

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ +⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣Ci1Ci2Ci3

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ +⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣β11 β12 β13 β14β21 β22 β23 β24β31 β32 β33 β34

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

EdadijGeneroijSectoriINSCij

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ +⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣εij1εij2εij3

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦Se asume [Ci1,Ci2,Ci3]′ ∼ N3(0,Σc).Cor(LCij, LCik) = σ

(1,1)c /(σ(1,1) + σ

(1,1)c )

La matriz de covarianza para la respuesta Yij = (LCij,MAij,CNij)′ es

Var(Yij) = Σ +Σc


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Comparación de estimaciones: β’s

−4 −2 0 2 4

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Edad−LC

Edad−MA

Edad−CN

Hombre−LC

Hombre−MA

Hombre−CN

INSE−LC

INSE−MA

INSE−CN

Privado−LC

Privado−MA

Privado−CN

Línea punteada: modelo sin efectos aleatorios, línea sólida: modelo mixto.


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Análisis de residuales: Matemáticas

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−3 −2 −1 0 1 2 3

−40

−20

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Q−Q plot

Cuantil teórico

Cua

ntil

mue

stra

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15 16 17 18 19 20 21

−40

−20

020

Dispersión

Edad

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idua

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Varianza de los residuales en función de los grupos de edad.


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.14/31


Análisis de residuales

17.0 17.5 18.0 18.5

5060

7080

90

Varianza

Edad

LCMACN

Varianza de los residuales en función de los grupos de edad.


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1 Saber 11





6 Conclusiones


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Modelo de regresión para la varianza

Para una respuesta multivariada Yi ∈ Rp y un vector de covariables xi ∈Rq, el modelo propuesto por Hoff & Niu (2012) es

Yi = βxi + γiFxi + εi, i = 1, . . . , n,

donde γi ∼ N (0, 1) y el error εi ∼ Np(0,Σ) son independientes. F es unamatriz de cargas factoriales de tamaño p × q.

La matriz de varianza para Yi es

Var(Yij) = Σ + FxixTi FT


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.17/31


Ejemplo: Y = (Y1,Y2)T y una covariable

Yi = βxi + γiFxi + εi

F = (1 −22 −3) x = (1

x)−2 −1 0 1 2

−5

05

10

Variance−Covariance

x

σ12

σ22

σ12


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.18/31


Modelo para Saber 11


⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣β01β02β03

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦+⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣β11 β12 β13 β14β21 β22 β23 β24β31 β32 β33 β34

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣


⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ +⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣εij1εij2εij3

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ +⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣Ci1Ci2Ci3

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦+ γij

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣f11 f12 f13 f14f21 f22 f23 f24f31 f32 f33 f34

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣


⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦[εij1, εij2, εij2]′ ∼ N3(0,Σ)[Ci1,Ci2,Ci3]′ ∼ N3(0,Σc)γij ∼ N (0, 1)


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.19/31


Contenido

1 Saber 11





6 Conclusiones


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.20/31


Estimación Bayesiana

Yij = βxij + Ci + γijFxij + εij

Inferencia para vector de parámetros θ = (β,F,Σ,Σc)Conclusiones dado los datos observados, distribución a posteriori

p(θ∣y) = p(θ)p(y∣θ)p(y)

p(θ) es la distribución a priorip(y∣θ) es la verosimilitudp(y) es una constante de normalización


...

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.21/31


Estimación Bayesiana


A prioris vagasβ’s, f’s ∼ N (0, 106)Σ,Σc ∼ IW(diag(0.1), 3)

La función de verosimilitud es

Yij ∼ N3(βxij + Ci + γijFxij,Σ)Inferencias basadas en

p(θ∣y) = p(θ)p(y∣θ)p(y)


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.22/31


Muestreador de Gibbs

Dada una posición inicial θ0 = (θ01, θ

02, . . . , θ

0d), el método muestrea de

las distribuciones condicionales en la iteración (k + 1) en d pasos:Muestra θ

(k+1)1 de p(θ1∣θk

2, θk3, . . . , θ

kd, y)

Muestra θ(k+1)2 de p(θ2∣θ(k+1)

1 , θk3, . . . , θ

kd, y)

⋮

Muestra θ(k+1)d de p(θd∣θ(k+1)

1 , θ(k+1)2 , . . . , θ

(k+1)(d−1), y)Se genera secuencia θ

1,θ

2, . . . ,θ

n de la distribución a posteriori p(θ∣y).Software: JAGS, WinBugs, Stan, R


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Traceplots JAGS: 10000 burn-in, 10000 muestra

10000 14000 18000

1.5

2.0

2.5

3.0

beta.inse[LC]

Iterations

10000 14000 18000

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

f.edad[MA]

Iterations

10000 14000 18000

5560

65

sigma2[CN]

Iterations

10000 14000 18000

2040

6080

sigma2.e[CN]

Iterations

Muestra posterior para 4 de los parámetros en el modelo.


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Distribución posterior

beta.inse[LC]

Fre

quen

cy

1.5 2.0 2.5 3.0

010

030

050

0

f.edad[MA]

Fre

quen

cy

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

010

030

050

0

sigma2[CN]

Fre

quen

cy

55 60 65

010

030

050

0

sigma2.e[CN]

Fre

quen

cy

20 40 60 80

020

040

060

0

Distribución posterior para 4 de los parámetros en el modelo.


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Coeficientes de regresión y cargas factoriales


Media posterior e intervalo de credibilidad del 95%

Parámetro Media 2.5% 97.5% Parámetro Media 2.5% 97.5%βEdad[LC] -2,16 -3,12 -1,29 βPrivado[LC] 0,09 -2,85 3,29βEdad[MA] -4,10 -5,35 -2,87 βPrivado[MA] 0,92 -3,61 5,67βEdad[CN] -2,51 -3,53 -1,52 βPrivado[CN] 0,83 -3,09 5,14βHombre[LC] 1,04 0,31 1,75 f0[LC] 0,50 -1,09 1,91βHombre[MA] 3,47 2,71 4,26 f0[MA] 1,42 0,10 2,68βHombre[CN] 2,88 2,18 3,55 f0[CN] -0,08 -1,48 1,40βINSE[LC] 2,19 1,74 2,67 fEdad[LC] 1,22 0,73 1,82βINSE[MA] 1,49 0,99 2,01 fEdad[MA] 2,27 1,55 3,09βINSE[CN] 1,62 1,15 2,12 fEdad[CN] 1,47 0,90 2,09


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Varianza de los puntajes

10 15 20 25

4060

8010

0

Var(LC)

Edad

10 15 20 25

100

150

200

250

300

350

Var(MA)

Edad

10 15 20 25

4060

8010

012

014

0

Var(CN)

Edad

Función de varianza dado el modelo


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Comparación de estimaciones: β’s

−4 −2 0 2 4 6

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Edad−LC

Edad−MA

Edad−CN

Hombre−LC

Hombre−MA

Hombre−CN

INSE−LC

INSE−MA

INSE−CN

Privado−LC

Privado−MA

Privado−CN

Línea punteada: modelo efectos aleatorios, línea sólida: modelo varianza.


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Contenido

1 Saber 11





6 Conclusiones


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Conclusiones

Es importante tener en cuenta la naturaleza jerárquica de los datos.

La variabilidad de los puntajes depende de la edad.

Existen modelos para explicar la varianza de los datos.

Es importante ajustar un modelo adecuado para los datos.

La edad, género e índice socioeconómico tienen efecto en los puntajesde Saber 11.


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Referencias

Hoff, P.D. & Niu, X. (2012). A covariance regression model. Statis-tica Sinica 22, 729-753.Quintero, A. & Lesaffre, E. (2017). Multilevel covariance regressionwith correlated random effects in the mean and variance structure.Biometrical Journal 59, 1047-1066.


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